人教版本数学选修22第一章练习试题与解析.docx
2019人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念
9．利用导数的定义，求函数
1 y＝ x2＋ 2 在点 x＝1 处的导数．
1
1
解：因为 Δ y＝ （ x＋ Δ x） 2＋ 2 － x2＋ 2 ＝
－ 2xΔx－（ Δ x） （ x＋ Δ x） 2· x2
2
，所以
Δ Δ
y＝ x
（
－2x－ Δ x x＋Δ x） 2·
x 2，
所以 y′＝
Δy Δ x＝
－ 2x－ Δx
Δs Δ t ＝ 2t －4＝ 0，所以 t ＝2. 答案： C 2 ．婴儿从出生到第 24 个月的体重变化如图所示，第二年婴儿体重的平均变化率为
________kg/ 月．
解析：第二年婴儿体重的平均变化率为
14.25 － 11.25 24－ 12 ＝ 0.25(kg/ 月 ) ．
答案： 0.25 3．若一物体运动方程是 ( s 的单位是 m， t 的单位是 s)
2
（ x＋ Δ x） 2· x2＝－ x3，
所以 y′｜x＝ 1＝－ 2. 10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间
t 存在关系 s( t ) ＝10t ＋ 5t 2( s 的单位是
m， t 的单位是 s) ．
(1)
求 t ＝ 20， Δ t ＝0.1
时的
Δ
s
与
Δ Δ
s t；
(2) 求 t ＝ 20 时的速度．
解： (1) 当 t ＝ 20， Δt ＝ 0.1 时， Δ s ＝ s(20 ＋ Δ t ) － s(20) ＝ 10(20 ＋ 0.1) ＋ 5(20 ＋ 0.1) 2－(10 × 20 ＋ 5 × 202) ＝ 1＋ 20＋
5×0.01 ＝ 21.05.
所以 Δs＝ 21.05 ＝ 210.5. Δ t 0.1
新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（ ） A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯2．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 3．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:35．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（ ） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．20757．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130S >，140S <，则n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．139．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1B ．6:1C ．7:1D ．9:110．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）A ．210B ．211C ．224D ．22511．已知等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．212．数列{}n a 中，2n ka n n=+，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[]12,24B ．(]12,24C ．[]3,12D ．[]3,12二、填空题13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，当2n ≥时有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使122021m S S S ≥成立的正整数m 的最小值为______.14．若数列{a n }为单调递增数列，且212n na n λ=-+，则a 3的取值范围为__________.15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321nn n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.16．数列{}n a 的前n 项和()*23n n S a n =-∈N，则4a=__________.17．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且675S S S >>，给出以下结论：①0d <；②110S >；③120S >；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >其中正确的有______.（写出所有正确结论的序号）18．已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2n n n S a S a +==，则n S =__________．19．给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log xf x x =-的零点有且只有1个；2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________. 20．已知函数()31xf x x =+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b ，11b =，点()1,n n P b b +直线20x y -+=上.（1）求1a 值；（2）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （3）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对任意*n ∈N ，都有333212n n a a a S +++=.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若()2(1)2n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2nn b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T .24．已知等差数列{}n a 中，23a =，47a =，数列{}n b 满足11b a =，13n n b b +=. （1）求数列{}n a 通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()220n n S n n S -+=（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：1n T < 26．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =． （1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式； （2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得2333221a a a q q++=，解得2q =±或12q =±，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列，设其公比为q ，()3362312611364a a a a q a qa ∴====，则34a =，13521a a a ∴++=，2333221a a a q q∴++=， 即2244421q q++=， 解得2q =±或12q =±， 又{}n a 各项为正且递增，2q ∴=，3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．故选：B ． 【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.3．B解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.4．A解析：A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．5．D解析：D由题意计算出{}n a 的公比q ，由等比数列的性质可得{}1n n a a +也为等比数列，由等比数列前n 项和计算即可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，21a =，518a =，所以35218a q a ==，即12q =，所以12a =，由等比数列的性质知{}1n n a a +是以2为首项，以14为公比的等比数列. 所以12122311214881813343142n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭≤==-< ⎪⎝⎭=+++-， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和的计算，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，7．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】 解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.8．B解析：B 【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件130S >，140S <，确定出780,0a a ><，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前n 项和最大时对应的条件就是100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，从而求得结果.详解：根据130S >，140S <，可以确定11371147820,0a a a a a a a +=>+=+<，所以可以得到780,0a a ><，所以则n S 取最大值时n 的值为7，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的前n 项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前n 项和取最大值的条件10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.9．C解析：C 【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，成等比数列求解.因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m -=， 故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937SS =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.10．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．11．C解析：C 【分析】分别求出等比数列的前三项，利用等比数列的性质能求出入的值. 【详解】∵等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），∴()1123246a S λλλ==+-⨯=-，()()222123223226a S S λλλλλ=-=+-⋅-+-⋅=-⎡⎤⎣⎦()()32332232232412a S S λλλλλ⎡⎤=-=+-⋅-+-⋅=-⎣⎦，123,,a a a 成等比数列，∴()()()22646412λλλ-=--，解得1λ=或3λ= ∵3λ=时，2n S λ=是常数，不成立，故舍去3λ=.故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的性质等基础知识，求和公式与通项的关系，考查运算求解能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】根据题意，可知当0k ≤时，数列{}n a 单调递增，不符合题意；当0k >时，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，得出2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即可求出实数k 的取值范围，再通过数列的单调性进行验证，符合题意，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，2n ka n n=+，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立， 当0k ≤时，可知数列{}n a 单调递增，不符合题意； 当0k >时，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即46238643k k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，解得：1224k k ≥⎧⎨≤⎩，1224k ∴≤≤，此时，数列在()1,2上递减，()3,+∞上递增，或在()1,3上递减，()4,+∞上递增， 故符合题意，所以实数k 的取值范围为[]12,24. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的恒成立问题，根据数列的单调性求参数范围，考查分析解题和运算能力.二、填空题13．1010【分析】由与关系当时将代入条件等式得到数列为等差数列求出进而求出即可求出结论【详解】∵∴∴∴令则∴数列是以为首项公差的等差数列∴即∴∴由解得即正整数的最小值为故答案为:【点睛】方法点睛：本题解析：1010 【分析】由n S 与n a 关系，当2n ≥时，将1n n n a S S -=-代入条件等式，得到数列21{}nn S +为等差数列，求出n S ，进而求出12m S S S ，即可求出结论.【详解】∵1122n n n n n S S S S na --+-=， ∴()11122n n n n n n S S S S n S S ---+-=-， ∴()()1122121n n n n S S n S n S --=+--，∴121212n n n n S S -+--=， 令21n nn b S +=，则()122n n b b n --=≥， ∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，公差2d =的等差数列， ∴21n b n =-，即2121n n n S +=-，∴2121n n S n +=-， ∴12521321321m m S S S m m +=⨯⨯⨯=+-，由212021m +≥，解得1010m ≥， 即正整数m 的最小值为1010.故答案为: 1010. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查递推关系式，求通项公式的主要方法有： 观察法：若已知数列前若干项，通过观察分析，找出规律；公式法：已知数列是等差数列或等比数列，或者给出前n 项和与通项公式的关系； 累加法：形如()1n n a a f n +=+的递推数列； 累乘法：形如()1n n a a f n +=⋅的递推数列．14．(-∞6)【分析】先利用数列的单调性得到λ＜8再求a3的取值范围【详解】当n≥2时因为数列{an}为单调递增数列所以对n≥2(n ∈N)恒成立即λ＜2n+1对n≥2(n ∈N)恒成立所以λ＜8所以故a3解析：(-∞，6) 【分析】先利用数列的单调性得到λ＜8，再求a 3的取值范围. 【详解】当n ≥2时，1121(23)2222n n nn n a a n n λλλ---=-+--+=-，因为数列{a n }为单调递增数列，所以202nλ->对n ≥2(n ∈N )恒成立，即λ＜2n +1对n ≥2(n ∈N )恒成立， 所以λ＜8， 所以3568a λ=+<，故a 3的取值范围为(-∞，6). 故答案为：(-∞，6). 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是如何转化数列单调递增，转化数列的单调性一般利用单调性的定义即10(2,)n n a a n n N -->≥∈.转化出了数列的单调性，后面就容易解答.15．【分析】先由题意求得数列的前几项进而猜想然后利用数学归纳法证明猜想再求得再根据恒成立对分奇数偶数两种情况讨论求得实数的取值范围【详解】解：由题意得……故猜想：下面用数学归纳法证明：（1）当时显然成立解析：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由题意求得数列{}n a 的前几项，进而猜想12n na ，然后利用数学归纳法证明猜想，再求得n c ，再根据1n n c c +>恒成立对n 分奇数、偶数两种情况讨论求得实数λ的取值范围 【详解】解：由题意得11a =，22a =，342214,4228a a =+⨯==+⨯=，…… 故猜想：12n na ，下面用数学归纳法证明：（1）当1,2,3,4n =时，显然成立； （2）假设当(3)n k k =≥时有12k ka ，那么当1n k =+时，12(1)11122222k k k k k k a a a --+-+-=+=+⨯=所以当1n k =+时，也成立， 由（1），（2）得12n na ，所以32(1)3(2)n n n nn n c a λλ=-⨯-=--，因为对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立， 所以113(2)3(2)n n n n λλ++-->--对任意的*n ∈N 恒成立，即13(1)()2nn λ-->-对任意的*n ∈N 恒成立，当n 为偶数时，有1max33()22n λ-⎛⎫>-=- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，有1min3()12n λ-⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以312λ-<< 所以实数λ的取值范围为3,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：此题考查由递推式求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题，解题的关键是归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明，以及由1n n c c +>得13(1)()2n n λ-->-，然后分类讨论可得结果，考查转化思想，属于中档题16．24【分析】根据可得两式作差可证明为等比数列并求解出通项公式从而可求【详解】因为所以所以所以所以且所以所以为首项为公比为的等比数列所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知之间的线性关系求解通项公式的解析：24 【分析】根据23n n S a =-可得1123n n S a ++=-，两式作差可证明{}n a 为等比数列并求解出通项公式，从而4a 可求. 【详解】因为23n n S a =-，所以1123n n S a ++=-，所以1122n n n n a S a S ++--=， 所以1122n n n a a a ++=-，所以12n n a a +=，且11123S a a ==-，所以130a =≠， 所以{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，所以4143224a -=⋅=，故答案为：24. 【点睛】思路点睛：已知,n n S a 之间的线性关系，求解{}n a 通项公式的思路： （1）根据已知条件再写一个关于+1+1,n n S a 或()11,2n n S a n --≥的等式；（2）将新式子与原式作差，利用11n n n a S S ++=-或()12n n n a S S n -=-≥求解出{}n a 的一个递推公式；（3）证明{}n a 为等比数列，并求解出通项公式.17．①②③⑤【分析】由可得即可判断①⑤；可判断②；可判断③；由可判断④【详解】由可得故公差且①⑤正确；故②正确；故③正确；因所以数列中的最大项为故④错误故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查等差数列的性质涉解析：①②③⑤ 【分析】由675S S S >>可得70a <，60a >，670a a +>即可判断①⑤；11611S a =可判断②；61276()a S a =+可判断③；由12670a a a a >>>>>>可判断④.【详解】由675S S S >>可得70a <，60a >，670a a +>，故公差0d <，且67a a >，①⑤正确；11116111()1102a a S a =+=>，故②正确；112261712()6()02a S a a a =+=+>，故③正确；因12670a a a a >>>>>>，所以数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误.故答案为：①②③⑤.【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及到等差数列的和等知识，考查学生推理及运算能力，是一道中档题.18．【分析】由与的关系得出进而得出数列为等比数列由等比数列的通项公式即可得出【详解】即数列是以1为首项为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列前项和与通项的关系属于中档题解析：132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由n S 与n a 的关系得出12()n n n S S S +=-，进而得出数列{}n S 为等比数列，由等比数列的通项公式即可得出n S . 【详解】1122()n n n n S a S S ++==-132n n S S +∴=即数列{}n S 是以1为首项，32为公比的等比数列 132n n S -⎛⎫∴ ⎪⎝⎭=故答案为：132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和与通项的关系，属于中档题.19．④【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项【详解】对于①因为是幂函数但它与不是同一个函数前者要求而后者故不是幂函数故①错误对于②在同一坐标系画出的图象（如图所示）：则的图象没有公共点故没有零解析：④ 【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项. 【详解】对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者x ∈R .故1y =不是幂函数，故①错误.对于②，在同一坐标系画出22,log xy y x ==的图象（如图所示）：则22,log xy y x ==的图象没有公共点，故2()2log x f x x =-没有零点，故②错误.对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件， 故④正确.对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误. 故答案为：④. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度.20．【分析】由已知条件得出变形为可知数列为等差数列确定该数列的首项和公差求出进而可得出【详解】且（且）在等式两边取倒数得且所以数列是以为首项以为公差的等差数列因此故答案为：【点睛】本题考查利用构造法求数 解析：132n -【分析】由已知条件得出()11231n n n a a n a --=≥+，变形为1113n n a a --=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出1na ，进而可得出n a .【详解】()31x f x x =+，且()11131n n n n a a f a a ---==+（*n N ∈且2n ≥）， 在等式1131n n n a a a --=+两边取倒数得11113113n n n n a a a a ---+==+，1113n n a a -∴-=且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以3为公差的等差数列，()113132nn n a ∴=+-=-， 因此，132n a n =-. 故答案为：132n -. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）12a =；（2）2nn a =，21n b n =-；（3）1(23)26n nT n +=-⋅+.【分析】（1）由题意得出22n n a S =+，令1n =可求得1a 的值；（2）当2n ≥时，由22n n a S =+可得出1122n n a S --=+，两式作差可得出12nn a a -=，可得出数列{}n a 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，由题意可推导出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n b 的通项公式；（3）求得12n n c n +=⋅，然后利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）由22n n a S =+得：1122a S =+ 即1122a a =+解得12a = （2）由22n n S a =-1122(2)n n S a n --=-≥①-②1122n n n n n a S S a a --=-=-12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则2nn a =又由数列{}bn 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上 得1:20n n b b +-+=且11b = 所以：12(1)21n b n n =+-=- （2）(21)2nn n n c a b n ==-数列{}n C 的前n 项和23412325272(21)2nTn n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅23451212325272(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅()23411222222222(21)2n n n T n +∴-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅可得：1(23)26n n T n +=-⋅+【点睛】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式，当数列表示为等差和等比数列之积时，利用错位相减法求其前n 项和.22．（1）证明见解析；（2）()()21,21,n n n n T n n n ⎧+⎪=⎨-+⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）令1n =求出首项，令2n =求出2a ，将n 换为1n -，两式相减得出21+n n n a S S -=，再将n 换为1n -，两式相减得11n n a a +-=，即得证；（2）求出n b ，分别讨论n 为奇数和偶数，并项求和结合等差数列的求和公式可求出. 【详解】 （1）333212n n a a a S +++=当1n =时，322111a S a ==，11a ∴=，当2n ≥时，33321211n n a a a S --+++=，两式相减得()()()3221111++n n n n n n n n n n a S S S S S S a S S ----=-=-=，21+n n n a S S -∴=，则2+1+1+n n n a S S =，两式相减得2211+n n n n a a a a ++-=，即()()111++n n n n n n a a a a a a +++-=，因为各项为正，11n n a a +∴-=，当2n =时，则()2331212++a a a a =，即()23221+1+a a =，解得22a =，满足211a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可得()1+11n a n n =-⨯=，()()212n n b n ∴=-⨯，当n 为偶数时，()()2222222+46+822+2n T n n =-----()()()()()()424+2+868+6++2222+22n n n n =-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2+222+4+6+8+22212n n n n n ==⨯=+， 当n 为奇数时，()()21+21421n n n T T b n n n n n -==--=-+，综上，()()21,21,n n n n T n n n ⎧+⎪=⎨-+⎪⎩为偶数为奇数. 【点睛】方法点睛：证明或判断等差数列的方法，（1）定义法：对于数列{}n a ，若1n n a a d --=，则数列{}n a 为等差数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若21+2n n n a a a ++=，则数列{}n a 为等差数列； （3）通项公式法：若n a pn q =+，则数列{}n a 为等差数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断. 23．（Ⅰ）1n a n =+；（Ⅱ）20202061449T =. 【分析】（Ⅰ）根据条件求等差数列的首项和公差，再求通项公式；（Ⅱ）首先求两个数列中的相同项，设数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，根据公式2020203010T A B =-，求解.【详解】（Ⅰ）依题意，()155355202a a S a+⨯===，解得：34a =，又23a =，故1d =，12a =， 所以1(1)1n a a n d n =+-⋅=+.（Ⅱ）令数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，由（Ⅰ）可知11a b =，32a b =，73a b =，154a b =，…，102310a b =，204711a b =， 所以2020203010T A B =-，2030(22031)203020634952A +⨯==，()1010212204612B -==-，故20202061449T =. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，本题的第二问的关键是找到有多少项相同，以及相同项是什么，然后根据公式2020203010T A B =-求解. 24．（1）21n a n =-（*n N ∈）；（2）()1312nn S =-（*n N ∈）. 【分析】（1）解方程组求出112a d =⎧⎨=⎩，即得数列{}n a 通项公式n a ；（2）分析得到数列{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，再求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由23a =，47a =， 所以2141337a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，112a d =⎧∴⎨=⎩，()1121n a a n d n ∴=+-=-（*n N ∈）；（2）由（1）得111b a ==，13n nb b +=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， ()()1113112n nn b q S q-∴==--（*n N ∈）. 【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列常用的方法有：（1）定义法（证明+1=n na a 某一非零常数）；（2）中项法（证明112n n n a a a +-+=）. 25．（1）2n a n =，n *∈N ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和，即可得证； 【详解】解：（1）因为0n a >，所以0n S >，故2n S n n =+ 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦且1a 也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，n *∈N （2）()1411111n n n b a a n n n n +===-++⋅所以()1211112231n n T b b b n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⨯⨯+ 11111111122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 26．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164nn n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可.【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+， 两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =， ∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ． （2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-，∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-，()()()()()12131323133n nn T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-，∴()()()()111413333n nn T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-，∴()()()131********nn n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164nn n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.。
高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc
数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。
新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．数列{}n a 中，112a =，()*,m n m n a a a m n +=∀∈N ，则6a =（ ） A ．116B ．132C ．164D ．11282．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ） A ．1125B ．1250C ．2250D ．25003．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 4．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-5．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且点1(,)()n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上，则12320191111S S S S ++++=（ ）A ．20192020 B ．20191010 C ．20194040D ．201920202⨯ 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④7．已知函数()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n *=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,3B ．()2,3C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．29．已知等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．210．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 11．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+．若()*+11()1n n b n n N a λ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<12．数列{}n a 中，2n ka n n=+，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[]12,24B ．(]12,24C ．[]3,12D ．[]3,12二、填空题13．数列{}n a 满足2121231722222n n a a a a n n -+++⋅⋅⋅+=-，若对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ-+>成立，则实数k 的取值范围是_________．14．数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-+，则它的通项公式是n a =__________.15．如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取ABCD 正方形各边中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和是___________2cm .16．已知正项数列{}n a ，满足()*12nn n a a n N +⋅=∈，且()20201232020321a a a a ++++<-，则首项1a 的取值范围是______．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，当2n ≥时有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使122021m S S S ≥成立的正整数m 的最小值为______.18．今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且()*21(1)nn n a a n N +-=+-∈，则这30天因病请假的人数共有人______.19．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且()2*1122n n n S a a n =+∈N .则数列{}n a 的通项公式为________.20．给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log xf x x =-的零点有且只有1个；2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=-，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n n b a a n +=-+，记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .求证：43n T <，*n N ∈. 23．在①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，______．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12n n n b a a +=，前n 项和是n T ．若2221n T m m <--恒成立，求实数m 的取值范围．24．已知公差为整数的等差数列{}n a 满足2315a a =，且47a =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}3nn a ⋅的前n 项和nS.25．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，212b =，12n b +211n n b b +=+，(n ∈N *). （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）数列{c n }满足n n n a c b =，求证：12334n c c c c ++++<…. 26．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10=110，且a 2，a 4，a 8成等比数列. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设1(1)(1)n n n b a a =-+，求数列{b n }的前n 项和T n .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由,m n 的任意性，令1m =，可得112n n a a +=，即数列{}n a 是首项为12，公比为12得等比数列，即可求出答案. 【详解】由于*,m n ∀∈N ，有m n m n a a a +=，且112a =令1m =，则1112n n n a a a a +==，即数列{}n a 是首项为12，公比为12得等比数列，所以111111222n n n n a a q --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故6611264a ⎛⎫==⎪⎝⎭ 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列，解题的关键是特殊值取法，由,m n 的任意性，令1m =，即可知数列{}n a 是等比数列，考查学生的分析解题能力与运算能力，属于一般题.2．A解析：A 【分析】由题意可知，良马每日行的距离{}n a 以及驽马每日行的距离{}n b 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为{}n a ，其中1103a =，公差113d =. 驽马每日行的距离成等差数列，记为{}n b ，其中197b =，公差20.5d =-. 设长安至齐为x 里，则1291292a a a b b b x +++++++=，即9813980.521039979225022x ⨯⨯⨯⨯=⨯++⨯-=，解得1125x =. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 2倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求解.3．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.4．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=. 故选：B【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.5．B解析：B 【分析】由点在直线上得到数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，根据公式特征利用裂项相消可得答案. 【详解】点1(,)()n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上，所以11n n a a +=+，即1=1n n a a +-所以{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，即=n a n ，(1)=2n n nS +， 所以1211=2(1)1n S n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 123201911111111112121223201920202020S S S S ⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20191010=. 故选：B. 【点睛】 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数.6．B解析：B 【分析】利用等差数列的前n 项和的性质可得正确的选项． 【详解】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>， 所以60a >，所以0d <，①正确； 111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质， 考查等差数列前n 项和的性质.7．B解析：B 【分析】由()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，()()n a f n n N *=∈得数列{}n a ，根据数列{}n a 为递增数列，联立方程组，即可求得答案. 【详解】()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n N *=∈得数列{}n a∴()633,7,7n n a n n a a n -⎧--≤=⎨>⎩()n N *∈且数列{}n a 为递增数列， 得()230,1,733,a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--<⎩解得23a <<. 即：()2,3a ∈ 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.9．C解析：C 【分析】分别求出等比数列的前三项，利用等比数列的性质能求出入的值. 【详解】∵等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），∴()1123246a S λλλ==+-⨯=-，()()222123223226a S S λλλλλ=-=+-⋅-+-⋅=-⎡⎤⎣⎦()()32332232232412a S S λλλλλ⎡⎤=-=+-⋅-+-⋅=-⎣⎦，123,,a a a 成等比数列，∴()()()22646412λλλ-=--，解得1λ=或3λ= ∵3λ=时，2n S λ=是常数，不成立，故舍去3λ=.1λ∴=故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的性质等基础知识，求和公式与通项的关系，考查运算求解能力，属于中档题．10．C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．C解析：C 【分析】 数列{a n }满足()*12nn n a a n N a +=∈+，两边取倒数可得1121n na a +=+，从而得到11=2n n a +，于是b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，由于数列{b n }是单调递增数列，可得b n +1＞b n ，解出即可． 【详解】∵数列{a n }满足：a 1＝1，()*12nn n a a n N a +=∈+， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11a +1＝2，公比为2的等比数列，∴11=2n na +， ∴b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ， ∵数列{b n }是单调递增数列，∴b n +1＞b n ，∴n ≥2时，（n ﹣λ）•2n ＞（n ﹣1﹣λ）•2n ﹣1，化为λ＜n +1， ∵数列{n +1}为单调递增数列，∴λ＜3．当n ＝1时，b 2＝（1﹣λ）×2＞﹣λ＝b 1，解得λ＜2． 综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2． 故选：C ．【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项公式、考查由数列的单调性求解参数问题，考查等比数列的通项公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】根据题意，可知当0k ≤时，数列{}n a 单调递增，不符合题意；当0k >时，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，得出2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即可求出实数k 的取值范围，再通过数列的单调性进行验证，符合题意，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，2n ka n n=+，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立， 当0k ≤时，可知数列{}n a 单调递增，不符合题意； 当0k >时，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即46238643k k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，解得：1224k k ≥⎧⎨≤⎩，1224k ∴≤≤，此时，数列在()1,2上递减，()3,+∞上递增，或在()1,3上递减，()4,+∞上递增， 故符合题意，所以实数k 的取值范围为[]12,24. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的恒成立问题，根据数列的单调性求参数范围，考查分析解题和运算能力.二、填空题13．【分析】记设根据即可求出从而得到再根据题意可得分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围【详解】记设当时；当时当时也满足上式所以即显然当时当时因此的最大值若存在必为正值当时因为当且仅当时取等号所以的解析：⎛-∞ ⎝⎭【分析】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，根据1112n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出n b ，从而得到n a ，再根据题意可得()m 2ax 2n k a λλ-+>，分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围．【详解】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-， 当1n =时，117322b =-=-； 当2n ≥时，()()21217171142222n n n b S n S n n n n -⎡⎤-----=-⎢⎥⎣⎦=-=． 当1n =时，13b =-也满足上式，所以()*4n b n n N =-∈，即142n n n a --=． 显然当3n ≤时，0n a <，40a =，当5n ≥时，0n a >，因此n a 的最大值若存在，必为正值．当5n ≥时，()1324n n a n a n +-=-，因为()151024n n a na n +--=≤-，当且仅当5n =时取等号． 所以n a 的最大值为116．故()m 2ax 1126n k a λλ>=-+，变形得，3116k λλ<+，而3116λλ+≥=λ=时取等号，所以k <．故答案为：,2⎛-∞ ⎝⎭． 【点睛】本题主要考查n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，利用通项n b 与前n 项和n S 的关系1112n n n Sn b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n b ，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．14．【分析】依据与的关系由计算即得结果【详解】时；且时易见也适合该式故故答案为：【点睛】数列的前n 项和当已知求时按照两者关系由计算当也适合通项公式时合并作答否则写出分段形式解析：()22n a n n N +=-+∈【分析】依据n a 与n S 的关系，由()()11,1,2n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩计算即得结果.【详解】1n =时，11110a S ==-+=；2n ≥且n ∈+N 时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-+---+-=⎣⎦-，易见，1n =也适合该式.故()22n a n n N +=-+∈. 故答案为：()22n a n n N +=-+∈. 【点睛】数列{}n a 的前n 项和n S ，当已知n S 求n a 时，按照两者关系，由()()11,1,2n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩计算，当1n =也适合通项公式时，合并作答，否则写出分段形式.15．【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方也为等比数列利用等比数列求和公式即可得解【详解】记第个正方形的边长为面积由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到可知第个正方形的边 解析：25575512【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数列求和公式即可得解. 【详解】记第n 个正方形的边长为2a ，面积()2224n S a a ==，由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第1n +，面积)2212n S a +==，计算可得212422n n S a S a+==， 所以正方形面积构成的数列{}n S 是首项为125S =，公比为12的等比数列， 故从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和10112010125112557525011251212S S S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++⋯+==⨯-=⎪⎝⎭-， 故答案为：25575512【点睛】关键点睛：本题考查等比数列求和，解题的关键是要理解题意，从已知条件明确下一个正方形与上个正方形的面积关系，转化为等比数列求和，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.16．【分析】根据利用递推得到则数列的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列然后利用等比数列前n 项和公式分别求和再根据条件得到求解【详解】因为所以所以所以数列的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列所以所 解析：(1,2)【分析】 根据()*12nn n a a n N +⋅=∈，利用递推得到22n na a +=，则数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，然后利用等比数列前n 项和公式分别求和，再根据条件得到123a a +<求解.【详解】 因为()*12nn n a a n N +⋅=∈， 所以()1*212n n n a a n N +++⋅=∈，所以22n na a += 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列， 所以()()1010101012132019242020,12121122a a a a a a a a =--+++++=--+所以()()()2020202012320212021321a a a a a a =+++++-<-，所以123a a +<， 因为()*12nn n a a n N +⋅=∈，所以212a a ⋅=，即212a a =， 所以1123a a +<，即211320a a -+<， 解得112a <<， 故答案为：(1,2) 【点睛】方法点睛：证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明()*12,nn a q n n a -=≥∈N ；二是等比中项法，证明211n n n a a a -+=⋅.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可．17．1010【分析】由与关系当时将代入条件等式得到数列为等差数列求出进而求出即可求出结论【详解】∵∴∴∴令则∴数列是以为首项公差的等差数列∴即∴∴由解得即正整数的最小值为故答案为:【点睛】方法点睛：本题解析：1010 【分析】由n S 与n a 关系，当2n ≥时，将1n n n a S S -=-代入条件等式，得到数列21{}nn S +为等差数列，求出n S ，进而求出12m S S S ，即可求出结论.【详解】∵1122n n n n n S S S S na --+-=， ∴()11122n n n n n n S S S S n S S ---+-=-， ∴()()1122121n n n n S S n S n S --=+--，∴121212n n n n S S -+--=， 令21n nn b S +=，则()122n n b b n --=≥， ∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，公差2d =的等差数列， ∴21n b n =-，即2121n n n S +=-，∴2121n n S n +=-， ∴12521321321m m S S S m m +=⨯⨯⨯=+-，由212021m +≥，解得1010m ≥， 即正整数m 的最小值为1010.故答案为: 1010. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查递推关系式，求通项公式的主要方法有： 观察法：若已知数列前若干项，通过观察分析，找出规律；公式法：已知数列是等差数列或等比数列，或者给出前n 项和与通项公式的关系； 累加法：形如()1n n a a f n +=+的递推数列； 累乘法：形如()1n n a a f n +=⋅的递推数列．18．255【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律由此求得前天的请假人数之和【详解】依题意且所以以此类推数列的奇数项均为偶数项是首项为公差为的等差数列所以前项的和故答案为：【点睛】本小题主要考查分组求解析：255 【分析】根据题目所给递推关系找到数列{}n a 的规律，由此求得前30天的请假人数之和30S . 【详解】依题意11a =，22a =，且()*21(1)n n n a a n N +-=+-∈，所以31311101a a a a -=-=⇒==，4241124a a a -=+=⇒=， 53531101a a a a -=-=⇒==， 6461126a a a -=+=⇒=，以此类推，数列{}n a 的奇数项均为1，偶数项是首项为2、公差为2的等差数列， 所以前30项的和()()301112430S =+++++++23015151516152552+=+⨯=+⨯=. 故答案为：255 【点睛】本小题主要考查分组求和法，考查等差数列前n 项和公式，属于中档题.19．【分析】令由求出首项再由两式相减得出数列的递推关系式及可求出数列的通项公式【详解】由题意可得：当时所以当且时由所以两式作差可得整理可得因为所以因为所以数列为首项为1公差为1的等差1数列所以故答案为： 解析：n a n =【分析】 令1n =，由()2*1122n n n S a a n =+∈N 求出首项11a =，再由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N 两式相减得出数列的递推关系式，及可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】 由题意可得：当1n =时，211111122a S a a ==+，所以11a =， 当2n ≥且*n ∈N 时，由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，所以()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N ，两式作差可得221111112222n n n n n a a a a a --+-=-，整理可得()()1101n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+≠，所以11n n a a --=，因为11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差1数列，所以n a n =. 故答案为：n a n = 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，解题的关键是根据已知关系求出递推关系，属于中档题.20．④【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项【详解】对于①因为是幂函数但它与不是同一个函数前者要求而后者故不是幂函数故①错误对于②在同一坐标系画出的图象（如图所示）：则的图象没有公共点故没有零解析：④ 【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项. 【详解】对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者x ∈R .故1y =不是幂函数，故①错误.对于②，在同一坐标系画出22,log xy y x ==的图象（如图所示）：则22,log xy y x ==的图象没有公共点，故2()2log x f x x =-没有零点，故②错误.对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件， 故④正确.对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误. 故答案为：④. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度.三、解答题21．（1）()*22n a n n N =+∈；（2）32n nSn +=⋅.【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列式求首项和公差，再求通项公式；（2）先求数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为43a a d -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，解得14a =. 所以()*42(1)22n a n n n N=+-=+∈（2）设等比数列{}n b 的公差为q ，因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q，14b =，所以12n n b +=从而2(1)2n n n a b n +=+.345122232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++，① 4562322232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++，②由①-②得：3452322222(1)2n n n S n ++-=⨯++++-+()33332122(1)2212n n n n S n n ++--=+-+=-⋅-所以32n n S n +=⋅.【点睛】方法点睛：本题考查等差等比数列，以及数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.22．（1）(1)2nn a n =+，*N n ∈；（2）证明见解析.【分析】（1）由122n n n S a +=-，推得11122n n n n a a ---=，得出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列，进而求得数列的通项公式； （2）由题意，求得122nn n b =-，根据111122222nn n n --⎛⎫->- ⎪⎝⎭，得到1111(2)2n n n b b -<⋅≥，进而证得1243n T b <=，再由1n =时，得到143T <，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，当1n =时，可得1124S a =-，解得14a =，又由122n n n S a +=-，当2n ≥时，1122nn n S a --=-，两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即122nn n a a --=，可得11122n n n n a a ---=， 又由1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列， 所以2(1)12n na n n =+-=+，所以*(1)2,n n a n n N =+∈. （2）由11n n n n b a a n +=-+122nn =-，12111n n T b b b =++⋅⋅⋅+. 因为111111122222222nn n n n n --+-⎛⎫⎛⎫-=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12n n b b ->， 所以1111(2)2n n n b b -<⋅≥. 当2n ≥时，12112-11111111111122n n n n T T b b b b b b b b ⎛⎫=++⋯+<+++⋅⋅⋅+<+ ⎪⎝⎭， 可得1243n T b <=. 当1n =时，1112433T b ==<. 综上可得，43n T <. 【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一定要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.23．（1）答案见解析；（2）3m ≥或1m ≤-． 【分析】（1）若选①，利用等差数列的通项公式以及2d ≥，d *∈N 可解得结果；若选②，根据等差数列的求和公式以及2d ≥，d *∈N 可解得结果；若选③，根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得结果；（2）利用()()21121212121n b n n n n ==--+-+裂项求和得到11121n T n =-<+，将不等式恒成立化为2212m m --≥，解得结果即可. 【详解】（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d ≥，d *∈N ， 若选①，由4516a a +=得12716a d +=，由2d ≥，d *∈N ，得11a =，2d =，∴21n a n =-． 若选②，由39S =得1339a d +=，13a d +=， 由2d ≥，d *∈N ，得11a =，2d =，∴21n a n =-．若选③，由2n S n r =+得()()2112n S n r n -=-+≥，∴()()2211212n n n a S S n r n r n n -=-=+---=-≥，∴23a =，35a =，又因为{}n a 是等差数列，∴2d =，11a =，∴21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()()21121212121n b n n n n ==--+-+， 所以11111111335572121n T n n =-+-+-++--+1121n =-+，∴11121n T n =-<+， 因为2221n T m m <--恒成立，∴2212m m --≥，解得3m ≥或1m ≤-．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；24．（1）21n a n =-；（2）1(1)33n n S n +=-⋅+.【分析】（1）由题列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式； （2）利用错位相减法即可求出. 【详解】解：（1）设公差为,d d Z ∈，由题意知：()()11121537a d a d a d ⎧++=⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)21n a a n d n =+-=-；（2）3(21)3n n n a n ⋅=-⋅故123133353(21)3n n S n =⨯+⨯+⨯++-⋅， 则23413133353(21)3n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⋅， 两式相减得23123232323(21)3n n n S n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅()()()11118133213223613n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，1(1)33n n S n +∴=-⋅+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 25．（1）1()3n n a =；1n b n =；（2）证明见解析. 【分析】（1）当1n =时，代入条件，可求得1a 的值，当n ≥2时，根据1n n n a S S -=-，结合等比数列的定义，即可求得数列{a n }的通项公式，根据等差中项的性质，可得1{}n b 为等差数列，代入数据，求得首项11b 和公差d ，即可求得数列{b n }的通项公式； （2）根据（1），可得1()3n n n n a c n b ==⋅，利用错位相减求和法，即可求得数列{c n }的前n 项和，根据表达式，即可得证.【详解】（1）由2S n +a n ＝1，得1(1)2n n S a =-， 当1n =时，111(1)2S a =-，∴113a =， 当n ≥2时，11(12)n n n n a S S a -=-=--1(12)1n a --，∵10n a -≠，∴113n n a a -=， ∴{a n }是首项为13，公比为13的等比数列， ∴1()3nn a =. ∵*12211()n n n n N b b b ++=+∈，∴1{}nb 为等差数列， 由b 1＝1，212b =，得111b =，212b =，21111d b b =-=， ∴1{}nb 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴11(1)1n n n b =+-⨯=，∴1n b n=. （2）1()3n n n n a c n b ==⋅， 设T n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，则21112()()3331n n T n =⋅+⋅++⋅…①， 13n T =2311111()2()()333n n +⋅+⋅++⋅…②， ①-②得231211111()()()()333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+-⋅ 111[1()]2111133()()()133223313n n n n n T n +-=-⋅=-+-， ∴323134434n n n T +=-⨯<. 【点睛】当题中出现n S 与n a 关系时，解题的方法是利用1n n n a S S -=-求解，并检验n=1时是否满足题意，证明数列为等差、等比数列时，①可以用等差、等比数列的定义证明，②可以利用等差中项、等比中项证明，考查学生对基础知识的掌握程度，属中档题.26．（1）2n a n =；（2）21n n + 【分析】（1）根据题中条件求出数列{}n a 的首项和公差，即可得出通项公式；（2）利用裂项相消法即可求出.【详解】（1）设{}n a 的公差为()0d d ≠，则10110910+1102S a d ⨯==，即12+922a d = ①， a 2，a 4，a 8成等比数列， 2428a a a ∴=，即()()()2111+3++7a d a d a d =，即1a d =②，联立①②，解得12a d ==，()2+122n a n n ∴=-⨯=；（2）()()11111(1)(1)212122121n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪-+-+-+⎝⎭， 1112121111111+++1233522121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=--== ⎪ ⎪+⎝---+⎭⎝+⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.。
新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（ ）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+4．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（ ） A ．13B ．25C ．23D ．325．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T6．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101aa -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2057．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．1111433⨯-B ．1211433⨯-C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+8．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．710．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（ ） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+12．在公差不为零的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，7a 依次成等比数列，前7项和为35，则数列{}n a 的通项n a 等于（ ） A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n二、填空题13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．14．已知数列{}n a 满足11a =，1122n n n a a n n++=++，则8a =_________. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()*211n n n S a a n +++=-∈N ，则n S =______.16．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________. 17．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为_____________.19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131413140,0,a a a a ><>，若10k k S S +<，则k =_________.20．已知函数()31xf x x =+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______.三、解答题21．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1212a a +=，34108a a +=， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．22．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知()*1382,5a a a n N +=-=∈.（1）求n a ； （2）若数列()()1144n n n b a a +=++，求数列n b 的前n 项和n T .23．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足33n n S a =-，()*323log 1n n b a n N=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记2n n n c a b λ=-，若数列{}n c 为递增数列，求λ的取值范围.24．已知数列{}n a 是递增的等比数列，前3项和为13，且13a +，23a ，35a +成等差数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n S ，且 ，若数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值．在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题． ①34n n S b +=；②()122n n b b n -+≥= ；③()152n n b b n -=-≥． 注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21nn b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++=-=．（1）证明2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.2．B解析：B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43n n n a =+-=-， 因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14nb ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题3．D解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.4．C解析：C 【分析】设等比数列的公比为q ，进而根据题意得()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，从而解得13q =，故223a =【详解】解：设等比数列的公比为q ，显然1q ≠， 由于等比数列{}n a 中，12a =所以等比数列{}n a 的前n 项和为：()()112111n n n a q q S qq--==--，因为无穷等比数列{}n a 的各项的和为3， 所以()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，所以231q =-，解得13q =， 所以2123a a q ==. 故选：C. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，进而根据极限得13q =，考查运算求解能力，是中档题. 5．B解析：B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.6．C解析：C由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。
高二数学 人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.2.1 Word版含答案
选修2-2 第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．双曲线y ＝1x 在点(2，12)的切线方程是( ) A.14x ＋y ＝0 B.14x －y ＝0 C.14x ＋y ＋1＝0 D ．14x ＋y －1＝0 [答案] D[解析] ∵y ＝1x 的导数为y ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率k ＝－14， ∴切线方程是y －12＝－14(x －2)， 化简得，14x ＋y －1＝0，故选D. 2．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( )A ．0B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′(2)＝3×22＝12，故选D.3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 [答案] C[解析] v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ，∴v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.5．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C.π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] D[解析] 由导数的定义知lim x →0 f (1)－f (1－x )2x＝12lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝12lim －x →0 f (1－x )－f (1)－x＝12f ′(1)＝－1. 二、填空题7．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________(填序号).[答案] ③[解析] 由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________.[答案] (2,8)或(－2，－8)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________.[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0得，y ＝a 2，令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 三、解答题10．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程.[解析] 因为y ＝3x 2，所以y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x －13.所以f ′(8)＝23×8－13＝13，即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)，即3x ＋y －20＝0.一、选择题1．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( ) A.33 B ．333C. 3 D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 2．曲线y ＝3x 上的点P (0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在 [答案] B[解析] ∵y ＝3x ，∴Δy ＝3x ＋Δx －3x＝x ＋Δx －x(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2＝Δx(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2，∴Δy Δx ＝1(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2， ∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝13x 23. ∴曲线在点P (0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x ＝0.二、填空题3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.[答案] 1[解析] 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f (1)＝a ＋2，f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝3a ＋1，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a ＋2)＝(3a ＋1)×(2－1)，解之得a ＝1.4．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________.[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题5．已知曲线C ：y ＝1t －x经过点P (2，－1)，求 (1)曲线在点P 处的切线的斜率．(2)曲线在点P 处的切线的方程．(3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程．[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x. ∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x . 6．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积.[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴k 1＝－1x2|x ＝1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2， ∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如图所示．∵两直线与x 轴交点分别为(2,0)，(12，0)． ∴S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B ．()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C ．()*1112n n a n -=-∈ND ．()*122n n a n =-∈N 2．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+4．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ5．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项6．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×201827．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则(2)(4)(2)f f f n +++等于（ ）A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4) 8．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12=A ．40B ．60C ．32D ．509．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156010．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12n n n a S n N n++=∈，则n a =（ ） A ．()112n n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅12．在公差不为零的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，7a 依次成等比数列，前7项和为35，则数列{}n a 的通项n a 等于（ ） A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n二、填空题13．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为_________.14．已知、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，数列{}n a 是等差数列，S n 是数列{}n a 的前n 项和．若12012OA a OB a OC =⋅+⋅，则2012S =____________．15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321nn n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.16．数列{}n a 的前n 项和()*23n n S a n =-∈N，则4a=__________.17．今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且()*21(1)nn n a a n N +-=+-∈，则这30天因病请假的人数共有人______.18．已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．19．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为_____________.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b ，11b =，点()1,n n P b b +直线20x y -+=上.（1）求1a 值；（2）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （3）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，3522a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设+14n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c +++<.24．已知数列{}{},n n a b 满足1231112,1,2,,n n n n na a ab b b a n N a ++++===-=∈ （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求证：1211111,6n n N b b b ++++<∈. 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ，*n N ∈时，112n n S a -=-，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设n n b na =，数列{}n b 的前n 项和n T ，求使得158n T <成立的n 的最大值. 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()()31n n n S a n a -=-．（1）求n a ； （2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n n a a +-=， 所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=， 将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.2．D解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.3．D解析：D 【分析】 当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===， 当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即12n na a +=， 则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即22,2n n a n -=≥，又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项，则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为111110(11244)11416413431-+++++=+=⨯+-.故选：D. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.4．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解. 【详解】 依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 5．D解析：D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.6．C解析：C 【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】 由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列，则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C 【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.7．A解析：A 【分析】由已知可以假设一次函数为1y kx =+，在根据(1),(4),(13)f f f 成等比数列，得出3k =，利用等差数列的求和公式求解即可． 【详解】由已知，假设()f x kx b =+，(0)k ≠(0)10f k b ==⨯+，1b ∴=．(1),(4),(13)f f f 成等比数列，且41,(13(1)1,(4)1)13k f f k f k =+=+=+．1k ∴+，41k +，131k +成等比数列，即2(41)(1)(131)k k k +=++，22161813141k k k k ++=++，从而解得0k =（舍去），2k =，(2)(4)(2)f f f n +++(221)(421)(221)n =⨯++⨯++⋯+⨯+ (242)2n n =++⋯+⨯+(1)42n n n +=⨯+2(1)n n n =++ ()22332n n n n ==++.故选：A ． 【点睛】本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．8．B解析：B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．9．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】先由已知数列递推公式可得1221n n a a n n +=⋅++，得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 【详解】 解：∵()*12n n n a S n N n++=∈，∴12n n n a S n +=+，① 当2n ≥时，111n n n a S n --=+，② ①－②有1121n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221n n a a n n +=⋅++()2n ≥， 另外，n =1时21113261a S a =+==，故21232a a =⋅，也符合上式， 故1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以112a =为首项，以2为公比的等比数列，∴121n na n -=+，故()112n n a n -=+⋅. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式. 【详解】由题意得，等差数列{}n a 中，1a ，3a ，7a 依次成等比数列，故2317a a a =，则()()211126a d a a d +=+， 故12a d =，① 又数列7项和为35， 则1767352da ⨯+=，②， 联立①②解得：1d =，12a =， 故()211n a n n =+-=+， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.二、填空题13．【分析】先根据题意得由于数列是以为首项为公比的等比数列进而利用分组求和法求和即可得答案【详解】解：由等比数列的前项和公式得由于数列是以为首项为公比的等比数列设的前项和则故答案为：【点睛】本题考查等比 解析：3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案. 【详解】解：由等比数列的前n 项和公式得()13141121818211212n n nn n a q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列， 设{}n S 的前n 项和n T ，则31412188812881212n nn nT n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：3288n n -+- 【点睛】本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出382n n S -=-，再结合数列{}32n -是以4为首项，12为公比的等比数列，再次求和即可. 14．1006【分析】先根据条件将表示成的形式由此确定出的关系再根据等差数列的前项和公式求解出的值【详解】因为三点共线(O 在该直线外)所以所以所以所以所以所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知平面中三点共线解析：1006 【分析】先根据条件将OA 表示成xOB yOC +的形式，由此确定出12012,a a 的关系，再根据等差数列的前n 项和公式求解出2012S 的值. 【详解】因为、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，所以()1AB AC λλ=≠， 所以AO OB AO OC λλ+=+，所以()1OA OB OC λλ-=-+，所以111OA OB OC λλλ-=+--， 所以120121111a a λλλ-+=+=--，所以()120122012201210062a a S +⨯==，故答案为：1006. 【点睛】结论点睛：已知平面中、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，若OA xOB yOC =+，则必有1x y +=.15．【分析】先由题意求得数列的前几项进而猜想然后利用数学归纳法证明猜想再求得再根据恒成立对分奇数偶数两种情况讨论求得实数的取值范围【详解】解：由题意得……故猜想：下面用数学归纳法证明：（1）当时显然成立解析：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由题意求得数列{}n a 的前几项，进而猜想12n na ，然后利用数学归纳法证明猜想，再求得n c ，再根据1n n c c +>恒成立对n 分奇数、偶数两种情况讨论求得实数λ的取值范围【详解】解：由题意得11a =，22a =，342214,4228a a =+⨯==+⨯=，…… 故猜想：12n na ，下面用数学归纳法证明：（1）当1,2,3,4n =时，显然成立； （2）假设当(3)n k k =≥时有12k ka ，那么当1n k =+时，12(1)11122222k k k k k k a a a --+-+-=+=+⨯=所以当1n k =+时，也成立， 由（1），（2）得12n na ，所以32(1)3(2)n n n nn n c a λλ=-⨯-=--，因为对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立， 所以113(2)3(2)n n n n λλ++-->--对任意的*n ∈N 恒成立，即13(1)()2nn λ-->-对任意的*n ∈N 恒成立，当n 为偶数时，有1max33()22n λ-⎛⎫>-=- ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，有1min3()12n λ-⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以312λ-<< 所以实数λ的取值范围为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：此题考查由递推式求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题，解题的关键是归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明，以及由1n n c c +>得13(1)()2n n λ-->-，然后分类讨论可得结果，考查转化思想，属于中档题16．24【分析】根据可得两式作差可证明为等比数列并求解出通项公式从而可求【详解】因为所以所以所以所以且所以所以为首项为公比为的等比数列所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知之间的线性关系求解通项公式的解析：24 【分析】根据23n n S a =-可得1123n n S a ++=-，两式作差可证明{}n a 为等比数列并求解出通项公式，从而4a 可求. 【详解】因为23n n S a =-，所以1123n n S a ++=-，所以1122n n n n a S a S ++--=， 所以1122n n n a a a ++=-，所以12n n a a +=，且11123S a a ==-，所以130a =≠， 所以{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，所以4143224a -=⋅=，故答案为：24. 【点睛】思路点睛：已知,n n S a 之间的线性关系，求解{}n a 通项公式的思路： （1）根据已知条件再写一个关于+1+1,n n S a 或()11,2n n S a n --≥的等式；（2）将新式子与原式作差，利用11n n n a S S ++=-或()12n n n a S S n -=-≥求解出{}n a 的一个递推公式；（3）证明{}n a 为等比数列，并求解出通项公式.17．255【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律由此求得前天的请假人数之和【详解】依题意且所以以此类推数列的奇数项均为偶数项是首项为公差为的等差数列所以前项的和故答案为：【点睛】本小题主要考查分组求解析：255 【分析】根据题目所给递推关系找到数列{}n a 的规律，由此求得前30天的请假人数之和30S . 【详解】依题意11a =，22a =，且()*21(1)n n n a a n N +-=+-∈，所以31311101a a a a -=-=⇒==，4241124a a a -=+=⇒=， 53531101a a a a -=-=⇒==， 6461126a a a -=+=⇒=，以此类推，数列{}n a 的奇数项均为1，偶数项是首项为2、公差为2的等差数列， 所以前30项的和()()301112430S =+++++++23015151516152552+=+⨯=+⨯=. 故答案为：255 【点睛】本小题主要考查分组求和法，考查等差数列前n 项和公式，属于中档题.18．【分析】由递推公式可得即以为首项为公比的等比数列根据等比数列的通项公式求出的通项公式即可得解；【详解】解：因为所以即所以以为首项为公比的等比数列所以所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通 解析：1231n -⨯-【分析】由递推公式可得()1131n n a a ++=+，即{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出{}1n a +的通项公式，即可得解； 【详解】解：因为132n n a a +=+，11a =， 所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+ 所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯ 所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯- 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.19．5【分析】设偶数项和为则奇数项和为由可得的值根据公差求得结果【详解】设偶数项和为则奇数项和为由可得故公差故答案为：5【点睛】本题考查等差数列的定义和性质得到公差是解题的关键解析：5 【分析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由3227354k k += 可得k 的值，根据 公差32276k kd -=求得结果． 【详解】 设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +== 可得6k =，故公差32275566k k kd -===， 故答案为：5． 【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到6k =，公差32276k kd -=，是解题的关键． 20．22【分析】由等差数列的前项和的公式求解解出､的关系式再求出的临界条件最后得解【详解】解：等差数列的前项和为所以所以其中所以当时解得所以的最大自然数的值为22故答案为：22【点睛】本题应用公式等差数解析：22 【分析】由等差数列{}n a 的前n 项和的公式求解149S S =，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，最后得解. 【详解】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，149S S =，所以()114579a a a +=，1117(13)9(4)a a d a d ++=+，111a d =-， 所以()12n a n d =-，其中10a >，所以0d <，当0n a =时，解得12n =，()2312312232302S a a a =+==， 1222222()1102a a S d +==->， 所以0n S >的最大自然数n 的值为22.故答案为：22． 【点睛】 本题应用公式()12n n n a a S +=，等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，判断满足0n S >的最大自然数n 的值.三、解答题21．（1）12a =；（2）2nn a =，21n b n =-；（3）1(23)26n nT n +=-⋅+.【分析】（1）由题意得出22n n a S =+，令1n =可求得1a 的值；（2）当2n ≥时，由22n n a S =+可得出1122n n a S --=+，两式作差可得出12nn a a -=，可得出数列{}n a 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，由题意可推导出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n b 的通项公式；（3）求得12n n c n +=⋅，然后利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）由22n n a S =+得：1122a S =+ 即1122a a =+解得12a = （2）由22n n S a =-1122(2)n n S a n --=-≥①-②1122n n n n n a S S a a --=-=-12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则2nn a =又由数列{}bn 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上 得1:20n n b b +-+=且11b = 所以：12(1)21n b n n =+-=- （2）(21)2nn n n c a b n ==-数列{}n C 的前n 项和23412325272(21)2nTn n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅23451212325272(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅()23411222222222(21)2n n n T n +∴-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅可得：1(23)26n n T n +=-⋅+【点睛】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式，当数列表示为等差和等比数列之积时，利用错位相减法求其前n 项和. 22．(1) 31n a n =-；（2） ()24333+2n T n =-. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知求得411a =，再由等差数列的通项公式可求得答案；（2）运用裂项求和法，可求得答案. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得354222a a a +==，所以411a =， 所以141123413a a d --===-，所以()()1+12+1331n n d n a a n -⨯=-⨯=-=， 所以31n a n =-； （2）由（1）得()()+144411313+23313+2n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪--⎝⎭，所以 411111111++++32558811313+2n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41124323+2333+2n n ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 所以()24333+2n T n =-.数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.23．（1）22n a n =-，(1)n b n n =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差d 可得n a ，根据等差数列的求和公式可得n S ，根据n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列可得(1)n b n n =+； （2）将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解可证不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得31413124333a a d a a d S a d =+=⎧⎨=+==+⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，从而22n a n =-，2(1)(1)2n n nS n n -==-. 因为n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列 所以()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++， 从而()211222n n n n n n n n S S b S S b S S +++++=++，所以2221221(1)(1)(1)(2)2(1)(1)2(1)(1)(2)2(1)2n n n n n n n S S S n n n n n n n n b n n S S S n n n n n n ++++-+--+++====++--+++-+. （2）证明：因为n c ===<=， 所以122(10211)2n c c c n n n +++<-+-++--=【点睛】关键点点睛：将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解是解题关键.24．（1）21nn b =-；（2）证明见解析.（1）由题可知数列{}n a 为等比数列，公比2q，进一步求出n a 的通项公式，所以112n n n b b ---=，利用累加法求出数列{}n b 的通项公式；（2）利用111212n n -<-对数列进行放缩 ，化简求出答案. 【详解】 （1）12n na a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比2112,12q a q a q =+=，所以12a =，2n n a ∴=所以11211211222,22222n n n n n n b b b b b b ----=⋯-==-=+++=-21n n b ∴=-（2）证明：222112111111114111112121322322n n n n b b b --⎛⎫⎛⎫+++=+++<++++=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭111111626n -⎛⎫=-<⎪⎝⎭【点睛】放缩法的注意事项： （1）放缩的方向要一致。
人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案
新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答之南宫帮珍创作第一章 导数及其应用 3．1变动率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时, 原油温度的瞬时变动率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近, 原油温度年夜约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时, 原油温度年夜约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增, 在4t t =附近单调递增. 而且, 函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为 根据图象, 估算出(0.6)0.3r '≈, (1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术, 教师可以将此图直接提供给学生, 然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处, 虽然1020()()W t W t =, 然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以, 企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变动率的应用, 体会平均变动率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆, 所以, (1) 3.3h '=-. 这说明运带动在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆, 所以, (5)10s '=. 因此, 物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s, 它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ, 时间为t , 则2(0)kt t θ=>.由题意可知, 那时0.8t =, 2θπ=. 所以258k π=, 于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆, 所以(3.2)20θπ'=.因此, 车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数界说及熟悉其符号暗示的巩固. 5、由图可知, 函数()f x 在5x =-处切线的斜率年夜于零, 所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得, 函数()f x 在4x =-, 2-, 0, 2附近分别单调递增, 几乎没有变动, 单调递加, 单调递加. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线, 其斜率是一个小于零的常数, 因此, 其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒年夜于零, 而且随着x 的增加, ()f x '的值也在增加；对第三个函数, 当x 小于零时, ()f x '小于零, 当x 年夜于零时, ()f x '年夜于零, 而且随着x 的增加, ()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变动的快慢, 即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变动的快慢, 根据物理知识, 这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息, 并据此画出()s t 的图象的年夜致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解, 以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知, 函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-, 所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象, 然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的年夜致形状. 下面是一种参考谜底.说明：这是一个综合性问题, 包括了对导数内涵、导数几何意义的了解, 以及对以直代曲思想的领悟. 本题的谜底不惟一.1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-, 所以, (2)3f '=-, (6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33x y '=-； （6）21y x '=-习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆, 所以, 0()lim (2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V V π'=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+, 解得032x =6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-, 它暗示氨气在第7天左右时, 以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时, sin()sin x h xy h+-=就越来越迫近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、那时0y =, 0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-, 所以01x y ='=-.所以, 曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以, 上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+, 所以()22f x x '=-.当()0f x '>, 即1x >时, 函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<, 即1x <时, 函数2()24f x x x =-+单调递加. （2）因为()x f x e x =-, 所以()1x f x e '=-.当()0f x '>, 即0x >时, 函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<, 即0x <时, 函数()x f x e x =-单调递加. （3）因为3()3f x x x =-, 所以2()33f x x '=-.当()0f x '>, 即11x -<<时, 函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<, 即1x <-或1x >时, 函数3()3f x x x =-单调递加. （4）因为32()f x x x x =--, 所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>, 即13x <-或1x >时, 函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<, 即113x -<<时, 函数32()f x x x x =--单调递加. 2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠, 所以()2f x ax b '=+. （1）那时0a >,()0f x '>, 即2bx a >-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<, 即2bx a<-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递加.（2）那时0a <,()0f x '>, 即2bx a <-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<, 即2bx a>-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递加.4、证明：因为32()267f x x x =-+, 所以2()612f x x x '=-.那时(0,2)x ∈, 2()6120f x x x '=-<,因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点,其中2x x =是函数()y f x =的极年夜值点, 4x x =是函数()y f x =的极小值点.注：图象形状不惟一.2、（1）因为2()62f x x x =--, 所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=, 得112x =. 那时112x >, ()0f x '>, ()f x 单调递增；那时112x <, ()0f x '<, ()f x 单调递加.所以, 那时112x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-, 所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=, 得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即3x <-或3x >时；②当()0f x '<, 即33x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 3x =-()f x 那时3x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-, 所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即22x -<<时；②当()0f x '<, 即2x <-或2x >时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 10- 那时2x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为22 （4）因为3()3f x x x =-, 所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=, 得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即11x -<<时；②当()0f x '<, 即1x <-或1x >时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 那时1x =-, ()f x 有极小值, 而且极小值为2-； 那时1x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上, 那时112x =, 2()62f x x x =--有极小值, 而且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-, (2)20f =.因此, 函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最年夜值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上, 那时3x =-, 3()27f x x x =-有极年夜值, 而且极年夜值为(3)54f -=；那时3x =, 3()27f x x x =-有极小值, 而且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=, (4)44f =-.因此, 函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最年夜值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上, 那时2x =, 3()612f x x x =+-有极年夜值, 而且极年夜值为(2)22f =. 又由于155()327f -=, (3)15f =. 因此, 函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最年夜值是22、最小值是5527. （4）在[2,3]上, 函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-, (3)18f =-.因此, 函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最年夜值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+, 所以()20f x '=-<. 因此, 函数()21f x x =-+是单调递加函数.（2）因为()cos f x x x =+, (0,)2x π∈, 所以()1sin 0f x x '=->,(0,)2x π∈.因此, 函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--, 所以()20f x '=-<.因此, 函数()24f x x =-是单调递加函数. （4）因为3()24f x x x =+, 所以2()640f x x '=+>. 因此, 函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-, 所以()22f x x '=+.当()0f x '>, 即1x >-时, 函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<, 即1x <-时, 函数2()24f x x x =+-单调递加. （2）因为2()233f x x x =-+, 所以()43f x x '=-.当()0f x '>, 即34x >时, 函数2()233f x x x =-+单调递增.当()0f x '<, 即34x <时, 函数2()233f x x x =-+单调递加.（3）因为3()3f x x x =+, 所以2()330f x x '=+>.因此, 函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-, 所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>, 即1x <-或13x >时, 函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<, 即113x -<<时, 函数32()f x x x x =+-单调递加. 3、（1）图略. （2）加速度即是0.4、（1）在2x x =处, 导函数()y f x '=有极年夜值； （2）在1x x =和4x x =处, 导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处, 函数()y f x =有极年夜值； （4）在5x x =处, 函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++, 所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=, 得112x =-. 那时112x >-, ()0f x '>, ()f x 单调递增； 那时112x <-, ()0f x '<, ()f x 单调递加.所以, 112x =-时, ()f x 有极小值, 而且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-, 所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时.当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 那时2x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+, 所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 那时2x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-, 所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=, 得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 4x =-()f x 128- 那时4x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为128. 6、（1）在[1,1]-上, 那时112x =-, 函数2()62f x x x =++有极小值,而且极小值为4724. 由于(1)7f -=, (1)9f =,所以, 函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最年夜值和最小值分别为9,4724. （2）在[3,3]-上, 那时2x =-, 函数3()12f x x x =-有极年夜值, 而且极年夜值为16；那时2x =, 函数3()12f x x x =-有极小值, 而且极小值为16-. 由于(3)9f -=, (3)9f =-,所以, 函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最年夜值和最小值分别为16, 16-.（3）在1[,1]3-上, 函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=, (1)5f =-, 所以, 函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最年夜值和最小值分别为26927, 5-.（4）那时4x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为128.. 由于(3)117f -=-, (5)115f =,所以, 函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最年夜值和最小值分别为128, 117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-, (0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<, (0,)x π∈所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递加因此()sin (0)0f x x x f =-<=, (0,)x π∈, 即sin x x <, (0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-, (0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-, (0,1)x ∈所以, 那时1(0,)2x ∈, ()120f x x '=->, ()f x 单调递增,2()(0)0f x x x f =->=；那时1(,1)2x ∈, ()120f x x '=-<, ()f x 单调递加,2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此, 20x x ->, (0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--, 0x ≠. 因为()1x f x e '=-, 0x ≠所以, 那时0x >, ()10x f x e '=->, ()f x 单调递增, ()1(0)0x f x e x f =-->=；那时0x <, ()10x f x e '=-<, ()f x 单调递加, ()1(0)0x f x e x f =-->=；综上, 1x e x ->, 0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-, 0x >. 因为1()1f x x'=-, 0x ≠所以, 那时01x <<, 1()10f x x'=->, ()f x 单调递增,()ln (1)10f x x x f =-<=-<；那时1x >, 1()10f x x'=-<, ()f x 单调递加,()ln (1)10f x x x f =-<=-<；那时1x =, 显然ln11<. 因此, ln x x <. 由（3）可知, 1x e x x >+>, 0x >. . 综上, ln x x x e <<, 0x >图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象年夜致是个“双峰”图象, 类似“”或“”的形状. 若有极值, 则在整个界说域上有且仅有一个极年夜值和一个极小值, 从图象上能年夜致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++, 所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：那时0a ≠, 分0a >和0a <两种情形： ①当0a >, 且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x , 且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>, 即1x x <或2x x >时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<, 即12x x x <<时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加.当0a >, 且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≥, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <, 且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x , 且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>, 即12x x x <<时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<, 即1x x <或2x x >时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加. 当0a <, 且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≤, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x , l x -, 则这两个正方形的边长分别为4x ,4l x-, 两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+, 0x l <<.令()0f x '=, 即420x l -=, 2lx =.那时(0,)2l x ∈, ()0f x '<；那时(,)2lx l ∈, ()0f x '>.因此, 2lx =是函数()f x 的极小值点, 也是最小值点.所以, 当两段铁丝的长度分别是2l时, 两个正方形的面积和最小.2、如图所示, 由于在边长为a四个边长为x 的小正方形, 做成一个无盖方盒, 盖方盒的底面为正方形, 且边长为2a x -, 高为x （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-,02ax <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+, 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=, 得2a x =（舍去）, 或6ax =. 那时(0,)6a x ∈, ()0V x '>；那时(,)62a ax ∈, ()0V x '<.因此, 6ax =是函数()V x 的极年夜值点, 也是最年夜值点.所以, 那时6ax =, 无盖方盒的容积最年夜.3、如图, 设圆柱的高为h , 底半径为R , 则概况积222S Rh R ππ=+ 由2V R h π=, 得2Vh R π=. 因此, 2222()222V VS R R R R R Rππππ=+=+, 0R >.令2()40V S R R R π'=-+=, 解得R =.那时R ∈, ()0S R '<； 那时)R ∈+∞, ()0S R '>. （第2题）（第3题）因此, R =是函数()S R 的极小值点, 也是最小值点. 此时,22V h R R π===. 所以, 当罐高与底面直径相等时, 所用资料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑, 所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=, 得11ni i x a n ==∑,可以获得, 11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点, 也是最小值点.这个结果说明, 用n 个数据的平均值11nii a n =∑暗示这个物体的长度是合理的,这就是最小二乘法的基来源根基理. 5、设矩形的底宽为x m, 则半圆的半径为2x m, 半圆的面积为28x π2m ,矩形的面积为28x a π-2m , 矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244x a x a l x x x x x πππ=++-=++, 0x <<令22()104a l x x π'=+-=,得x =.那时x ∈, ()0l x '<；那时x ∈, ()0l x '>. 因此, x =()l x 的极小值点, 也是最小值点.所以,时, 所用资料最省.6、利润L 即是收入R 减去本钱C , 而收入R 即是产量乘单价.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式, 再用导数求最年夜利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-,利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-, 0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=, 即12104q -+=, 84q =.那时(0,84)q ∈, 0L '>；那时(84,200)q ∈, 0L '<；因此, 84q =是函数L 的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 产量为84时, 利润L 最年夜, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的订价为x 元, 那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-,180680x <<.令1()7005L x x '=-+=, 解得350x =.那时(180,350)x ∈, ()0L x '>；那时(350,680)x ∈, ()0L x '>.因此, 350x =是函数()L x 的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 当每个房间每天的订价为350元时, 宾馆利润最年夜. 2、设销售价为x 元／件时,利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b-=-+⨯=--, 54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=, 解得458a b x +=.那时45(,)8a b x a +∈, ()0L x '>；那时455(,)84a b bx +∈, ()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极年夜值点, 也是最年夜值点.所以, 销售价为458a b+元／件时, 可获得最年夜利润.1．5定积分的概念练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步伐, 体会“以直代曲”和“迫近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i ii i s s v t n n n nn n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅, 1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑取极值, 得说明：进一步体会“以不变代变”和“迫近”的思想. 2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“迫近”的思想, 熟悉求变速直线运植物体路程的方法和步伐. 练习（P48） 2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的界说和几何意义.从几何上看, 暗示由曲线3y x =与直线0x =, 2x =, 0y =所围成的曲边梯形的面积4S =. 习题1.5 A 组（P50）1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰.说明：体会通过分割、近似替换、求和获得定积分的近似值的方法.2、距离的缺乏近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间, 在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()n ni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑, 从而 11lim n b a n i b adx b a n →∞=-==-∑⎰, 说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义, 0⎰暗示由直线0x =, 1x =,0y =以及曲线y , 即四分之一单元圆的面积,因此04π=⎰. 5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤, 所以定积分031x dx -⎰暗示由直线0x =,1x =-, 0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质, 得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤, 在区间[0,1]上30x ≥, 所以定积分131x dx-⎰即是位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质, 得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤, 在区间[0,2]上30x ≥, 所以定积分231x dx -⎰即是位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中, 由于3x 在区间[1,0]-上是非正的, 在区间[0,2]上是非负的, 如果直接利用界说把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分, 那么和式中既有正项又有负项, 而且无法抵抗一些项, 求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为023310x dx x dx -+⎰⎰, 这样, 3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的, 再利用定积分的界说, 容易求出031x dx -⎰, 230x dx ⎰, 进而获得定积分231x dx -⎰的值. 由此可见, 利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中, 被积函数在积分区间上的函数值有正有负, 通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单元：s ）之间走过的路程年夜约为145 m.说明：根据定积分的几何意义, 通过估算曲边梯形内包括单元正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；缺乏近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）409.81tdt ⎰； 409.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地拔出1n -个分点, 将它分成n 个小区间：[0,]l n , 2[,]l l n n , ……, (2)[,]n l l n-,记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =）, 其长度为 (1)il i l l x n n n -∆=-=.把细棒在小段[0,]l n , 2[,]l l n n , ……, (2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆,则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似取代当n 很年夜, 即x ∆很小时, 在小区间(1)[,]i l iln n-上, 可以认为线密度2()x x ρ=的值变动很小, 近似地即是一个常数, 无妨认为它近似地即是任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是, 细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）. （3）求和得细棒的质量 2111()n n ni i i i i i lm m x n ρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑, 所以20l m x dx =⎰.. 1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-； （4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它暗示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55） 1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =.2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰； （2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m mππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰； （4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、（1）0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. （2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程, 为了解这个方程, 我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质, 那时0t >, 0.201t e -<<, 从而 5000495245t <<,因此,500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯, 52450.2749245 1.2410e -⨯-≈⨯, 所以, 70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而, 在解方程0.2492452455000t t e -+-=时, 0.2245t e -可以忽略不计.因此, .492455000t -≈, 解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分, 可视学生的具体情况选做, 不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58） （1）323； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60） 1、（1）2； （2）92.2、2[]bb a a q q q q W kdr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =, 即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体到达最年夜高度.最年夜高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇, 则 200(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰,解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时, 物体A 离动身地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）. 5、由F kl =, 得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）. 6、（1）令55()501v t t t=-+=+, 解之得10t =. 因此, 火车经过10s后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B组（P60）1、（1）22aa a x dx --⎰暗示圆222x y a +=与x 轴所围成的上 半圆的面积, 因此2222aa a a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰暗示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积,因此, 2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系, 可设抛物线的 方程为2y ax =, 则2()2b h a =⨯, 所以24h a b =.从而抛物线的方程为 224h y x b =. 于是, 抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰.y xO1（第1（2）题）y x h bO（第2题）223y x y x⎧=+⎨=⎩ 得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =, 22x =. 于是, 所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R R Mm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x +'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-.4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-标明在3℃附近时, 红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为()f x =所以()f x '=.当()0f x '=>, 即0x >时, ()f x 单调递增；当()0f x '=<, 即0x <时, ()f x 单调递加.6、因为2()f x x px q =++, 所以()2f x x p '=+.当()20f x x p '=+=, 即12px =-=时, ()f x 有最小值.由12p-=, 得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=, 所以5q =.7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+,所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.当()0f x '=, 即3c x =, 或x c =时, 函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意那时2x =, 函数2()()f x x x c =-有极年夜值, 所以0c >. 由于所以那时3cx =函数2()()f x x x c =-有极年夜值. 此时, 23c=, 6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时, AOB ∆的面积最小.因为直线AB 过点(,0)A a , (1,1)P ,所以直线AB 的方程为001y x ax a--=--, 即1()1y x a a=--. 那时0x =, 1a y a =-, 即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此, AOB ∆的面积21()212(1)AOB a a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=, 即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =, 或2a =时, ()0S a '=, 0a =分歧题意舍去. 由于所以当2a =即直线AB 的倾斜角为135︒时, AOB ∆的面积最小, 最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m, 另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以, 长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V , 则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++, 0 1.6x <<.令()0V x '=, 即26 4.4 1.60x x -++=.所以, 415x =-（舍去）, 或1x =. 那时(0,1)x ∈, ()0V x '>；那时(1,1.6)x ∈, ()0V x '<.因此, 1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 当长方体容器的高为1 m 时, 容器最年夜, 最年夜容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x +时,旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=, 即105000x -+=, 50x =.又(0)100000f =, (80)108000f =, (50)112500f =. 所以, 50x =是函数()f x 的最年夜值点.所以, 当旅游团人数为150时, 可使旅行社收费最多.12、设打印纸的长为x cm 时, 可使其打印面积最年夜.因为打印纸的面积为623.7, 长为x , 所以宽为623.7x ,打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x =-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--, 5.0898.38x <<. 令()0S x '=, 即23168.3966.340x -=, 22.36x ≈（负值舍去）, 623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点, 且为极年夜值, 从而是最年夜值点.所以, 打印纸的长、宽分别约为27.89cm, 22.36cm 时, 可使其打印面积最年夜.13、设每年养q 头猪时, 总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=, 即3000q -+=, 300q =. 那时300q =, 25000y =；那时400q =, 20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点, 且为极年夜值点, 从而是最年夜值点.所以, 每年养300头猪时, 可使总利润最年夜, 最年夜总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x x πππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =, 得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ） 第一章 复习参考题B 组（P66） 1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以, 细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）那时05t ≤<, ()0b t '>, 所以细菌在增加； 那时55t <<+, ()0b t '<, 所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r , 中心角为α弧度时, 扇形的面积为S . 因为212S r α=, 2l r r α-=, 所以2l rα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-, 02l r <<. 令0S '=, 即40l r -=, 4l r =, 此时α为2弧度. 4l r =是函数()S r 在(0,)2l 内唯一极值点, 且是极年夜值点, 从而是最年夜值点.所以, 扇形的半径为4l 、中心角为2弧度时, 扇形的面积最年夜. 3、设圆锥的底面半径为r , 高为h , 体积为V , 那么222r h R +=.因此, 222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-, 0h R <<.令22103V R h ππ'=-=, 解得3h R =.容易知道, h R =是函数()V h 的极年夜值点, 也是最年夜值点.。
2019-2020学年人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用同步训练卷(一) Word版含答案
【解析】用料最省，即水桶的表面积最小,设圆柱形水桶的表面
积为
S
，底面半径为
r(r
0)
，则水桶的高为
27 r2
,所以
S πr2 2πr 27 πr2 54π (r 0) ．
r2
r
求导，得 S 2πr 54π ． r2
2019-2020 学年人教版高中数学选修 2-2 第一章导数及其应用同步训练卷（一） Word 版含答案
的函数，且关系式为 y1 17x2 (x 0) ，生产成本 y2 (单位：万元）
是产量 x（单位：千台)的函数，且关系式为 y2 2x3 x2 (x 0) ，
A．
B．
为使利润最大，应生产该产品（ )
A． 6 千台
B． 7 千台
C．8 千台
D．9
千台
【答案】A
C．
D．
【解析】设利润为 y ，则
令 y 0 ,得 x a 或 x a 2b ． 3
∵ a b ，∴ a a 2b ，∴当 x a 时， y 取得极大值 0 ； 3
当 x a 2b 时， y 取极小值，且极小值小于零．故选 C． 3
10．某产品的销售收入 y1（单位:万元）是产量 x (单位：千台）
x 6，
经检验知 x 6 既是函数的极大值点也是函数的最大值点，所以
g(x)
【解析】
f
(x)
1 x ex
，令
f
(x)
0 ，得
x
1．
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：
F(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) ． g 2 ( x)
∵当 x 0 时， f (x)g(x) f (x)g(x) 0 ，
数学人教A版选修2-2章末测试：第一章导数及其应用A Word版含解析
x2 4．函数 f(x)＝ ( )
x－1
A．在(0,2)上单调递减
B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C．在(0,2)上单调递增
D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
5．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)＝2x2，x∈(－1,1)．如果 f(x)＜f(1－x)，则实数 x 的取
值范围为( )
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在 x＝2 处取极大值
8．已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则实数 a
的取值范围是( )
A．a＞－1
B．－1＜a＜0
C．0＜a＜1
D．a＞1
9．如果圆柱的轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )
( )1
A． －∞， 2
B．(－1,1)
( )1
C． －1， 2
( )1
D． 0， 2
1 π
6． 3
4 π
cos
2xdx＝( )
4
1 A．
3
2 B．
3
2 C．
3
2 D．－
3
7．已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在 x＝0 处取极小值
∴b≤－1.
答案：C
( ) 二、11．解析：由已知面积 S＝
1 0
(ex＋x)dx＝
1 ex＋ x2
2
|10
1
1
＝e＋ －1＝e－ .
2
2
1 答案：e－
2 12．解析：∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.
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人教版数学选修2-2第一章练习题及解析1．曲线 y ＝ x 3＋ x － 2 在 P 点处的切线平行于直线 y ＝ 4x － 1，则切线方程为 ()A ． y ＝ 4xB ． y ＝ 4x －4C ．y ＝ 4x － 8D ． y ＝ 4x 或 y ＝ 4x － 4[答案 ] D[解析 ]y ′ ＝ limy→xx 0[ x ＋ x 3＋ x ＋ x －2] － x 3＋ x － 2＝ lim→x 0x＝ lim2＋ 3x x ＋ 3x 2＋ 1)→(( x)x 0＝ 3x 2＋ 1.由条件知， 3x 2＋ 1＝ 4，∴ x ＝ ±1，当 x ＝ 1 时，切点为 (1,0) ，切线方程为y ＝ 4(x － 1) ，即 y ＝ 4x － 4.当 x ＝－ 1 时，切点为 (－ 1，－ 4) ，切线方程为 y ＋ 4＝ 4(x ＋ 1)，即 y ＝ 4x.3x ＋ 2上的任意一点， P 点处的切线倾斜角为α，则 α 的取2．设点 P 是曲线 y ＝ x 3－值3范围为 ()A ． 0，π∪2π，πB ． 0，π∪5π， π232 62π5π，C ． 3π， πD ． 26[答案 ] A[解析 ] 设 P(x 0，y 0)，x ＋ x 3－ 3 x ＋ x ＋ 2－ x 3＋ 3x －2∵f ′ (x)＝ li m33→x 0x＝ 3x 2－ 3，∴切线的斜率 k ＝ 3x 02－3，∴ tan α＝ 3x 02－ 3 ≥ － 3.π2∴α∈ 0，2 ∪ 3π， π.故应选 A.3．设 P 为曲线 C ：y ＝ x 2＋2x ＋ 3 上的点，且曲线C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为π[0， 4]，则点 P 横坐标的取值范围为 ()1A ． [－ 1，－ 2] B ． [－ 1,0] C ．[0,1]D ． [ 1， 1]2[答案 ] A[解析 ]考查导数的几何意义．π∵ y ′ ＝ 2x ＋ 2，且切线倾斜角 θ∈ [0，4] ，∴切线的斜率 k 满足 0≤ k ≤ 1，即 0≤2x ＋ 2 ≤ 1 ，1∴－1≤x ≤ － 2.4．已知 f(x) ＝ x 2＋ 3xf ′ (2) ，则 f ′ (2) ＝ ________.[答案 ] － 2[解析 ]∵f ′ (x) ＝ 2x ＋ 3f ′ (2) ，∴f ′ (2)＝ 4＋ 3f ′ (2)，∴f ′ (2) ＝－ 2.15．求过点 (2,0) 且与曲线 y ＝ x相切的直线方程．1上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0[解析]易知(2,0)不在曲线y ＝＝1 .①xx 011 －又 y ′ ＝ limyx ＋ x x1＝ lim＝－2 ，→x→xxx 0x 01所以 y ′ |x ＝ x 0＝－x 20 ，1即切线方程为y ＝－ x 20 ( x －2) 而 y ＝－ 2 1②x 0－ 2 x 0由①②可得 x 0＝ 1 ，故切线方程为 y ＋x － 2 ＝ 0.6．若直线 y ＝ kx 是曲线y ＝ x 3－ 3x 2＋ 2x 上一点处的切线，求实数k 的值．0 32＋ 2x 0，x －3x[解析 ] 设切点 (x)，y x 0＋x3＋2 0＋x － x 30 ＋ 3x 20 － 2x 0－ 3 x x ＋ 2 x∵ x ＝x＝ ( x) 2＋3x 20＋ 3 x ·x 0－ 6x 0－3 x ＋ 2 ，∴ limy＝3x 20 －6x 0 ＋2，→xx 0∴ k ＝ 3x 20 － 6x 0 ＋ 2，切线方程为y － (x 30－ 3x 20＋ 2x 0)＝ (3x 20 － 6x 0 ＋ 2)(x － x 0)，切线过原点，∴ 0－ (x 30－ 3x 20 ＋ 2x 0)＝ (3x 20 － 6x 0＋ 2)(0 － x 0)，31解得 x 0＝ 0 或 2，则 k ＝2 或－ 4.7．已知直线 l 1为曲线 y ＝ x 2＋ x － 2 在点 (1,0) 处的切线， l 2 为该曲线的另一条切线，且l 1⊥ l 2.(1) 求直线 l 2 的方程；(2) 求由直线 l 1、 l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积．[解析 ](1)y ′ |x ＝ 11＋ x2＋ 1 ＋ x － 2－ 12＋1－ 2＝ li m＝ 3，→x 0x所以 l 1 的方程为：y ＝ 3(x － 1) ，即 y ＝ 3x －3.设 l 2 过曲线 y ＝ x 2＋ x － 2 上的点B( b ， b 2＋ b － 2) ，b ＋ x 2＋ b ＋ x － 2－ b 2＋ b －2y ′ |x ＝ b ＝ li m→x 0x＝ 2b ＋1，所以 l 2 的方程为： y －(b 2＋ b － 2) ＝(2b ＋ 1) · (x － b)，即 y ＝ (2b ＋ 1)x － b 2－ 2.21 22因为 l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋ 1)＝－ 1，所以 b ＝－ 3，所以l 2的方程为：y ＝－ 3x － 9 .1(2) 由y ＝ 3x － 3 ，x ＝6，1 22得y ＝－ 3x － 9 ，y ＝－5，2即 l 1 与 l 2 的交点坐标为1，－ 5.62又 l 1， l 2 与 x 轴交点坐标分别为(1,0) ， － 22，0 .31522 125×－ ×所以所求三角形面积 S ＝ 2 21＋3 ＝12. 8． (2014 郑·州一中期中 )函数 f(x) 的定义域为 R ， f(－ 2) ＝ 2013，对任意 x ∈ R ，都有f ′ (x)<2 x 成立，则不等式f(x)>x 2＋ 2009 的解集为 ()A ． (－ 2,2)B ． (－ 2，＋∞ )C ．( －∞，－ 2)D ． (－∞，＋∞ )[答案 ] C[解析 ] 令 F(x) ＝f(x)－ x 2－ 2009 ，则 F ′(x) ＝ f ′ (x) － 2x<0 ，∴ F(x) 在 R 上为减函数，又 F( －2) ＝ f(－ 2)－ 4－ 2009 ＝ 2013 － 2013 ＝ 0， ∴当 x<－ 2 时， F(x)>F( －2) ＝ 0 ，∴不等式 f( x)>x 2＋ 2009 的解集为 (－∞ ，－ 2) ．9．已知 y ＝1x 3＋ bx 2＋ (b ＋2)x ＋ 3 在 R 上不是单调增函数， 则 b 的取值范围为________ ．3[答案 ] b<－1 或 b>2[解析 ]若 y ′＝ x 2＋ 2bx ＋b ＋ 2≥ 0恒成立，则＝ 4b 2－ 4(b ＋ 2) ≤ 0 ，∴－ 1≤b ≤ 2，由题意 b ＜－ 1 或 b ＞ 2.10 ．(2014 ·夏三市联考宁 )若函数 f(x) 的导函数f ′ (x) ＝ x 2－ 4x ＋ 3，则 f(x＋ 1) 的单调递减区间是 ________ ．[答案 ] (0,2)[解析 ]由 f ′ (x) ＝ x 2－ 4x ＋ 3<0 得 1<x<3 ，即得 f(x) 的单调递减区间是(1,3) ，所以由 1<x＋ 1<3 得 f(x ＋ 1) 的单调递减区间 (0,2) ．11 ．已知函数f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ (2a －3)x － 1.(1) 若 f(x)的单调减区间为(－1,1) ，则 a 的取值集合为 ________ ．(2) 若 f(x)在区间 ( －1,1) 内单调递减，则 a 的取值集合为 ________ ．[答案 ](1){0}(2){ a|a<0}[解析 ]f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ 2a － 3＝ (x ＋ 1)(3x ＋ 2a － 3)．(1) ∵ f(x) 的单调减区间为 (－1,1)，∴－ 1 和 1 是方程 f ′(x) ＝0 的两根，3－ 2a∴3 ＝ 1，∴ a ＝ 0，∴ a 的取值集合为{0} ．(2) ∵ f(x) 在区间 (－1,1) 内单调递减，∴ f ′ (x)<0 在 (－ 1,1) 内恒成立，3－ 2a又二次函数 y ＝ f ′ (x) 开口向上，一根为－1 ，∴必有>1 ，∴ a<0 ，3∴ a 的取值集合为 { a|a<0} ．[点评 ]f( x)的单调减区间为 (m ，n) ，则必有 f ′ (m) ＝0， f ′ (n)＝ 0 或 x ＝ m ， x ＝n 是函数 f(x) 的不连续点，f(x) 在区间 (m ， n) 上单调递减，则( m ， n) 是 f(x) 的单调减区间的子集，f ′ (x) ≤ 0 在( m ， n) 上恒成立．112 ．求证：方程x － 2sinx ＝ 0 只有一个根x ＝0.1[证明 ]设 f(x) ＝ x － 2sinx ， x ∈(－ ∞，＋ ∞ )，1则 f ′ (x) ＝ 1－ 2cosx ＞ 0 ，∴ f(x) 在(－ ∞，＋ ∞ )上是单调递增函数．而当 x ＝0 时， f(x) ＝ 0，1∴方程 x － 2sinx ＝ 0 有唯一的根 x ＝ 0.13 ． (2013 ·国大纲文，全21) 已知函数 f(x)＝ x 3＋ 3ax 2＋ 3x ＋ 1.(1) 当 a ＝－ 2 时，讨论f(x) 的单调性；(2) 若 x ∈ [2 ，＋∞ ) 时， f( x) ≥ 0，求 a 的取值范围．[解析 ](1) 当 a ＝－ 2 时， f(x) ＝ x 3－ 3 2x 2＋ 3x ＋1，f ′ (x) ＝ 3x 2－ 6 2x ＋ 3.令 f ′ (x) ＝ 0，得 x1＝ 2 －1， x2＝ 2 ＋ 1.当 x∈(－∞， 2－ 1) 时， f ′ (x)>0 ， f(x) 在(－∞，2－ 1) 上是增函数；当x∈ ( 2－ 1， 2＋1) 时， f ′ (x)<0 ， f( x) 在 ( 2 － 1， 2＋1) 上是减函数；当x∈ ( 2＋ 1，＋∞ )时， f ′ (x)>0 ， f(x) 在 ( 2＋ 1，＋∞ )上是增函数．5(2) 由 f(2) ≥ 0 得 a≥ －4.5当 a≥－4， x∈(2 ，＋∞ )时，2＋2ax ＋ 1) ≥ 3(x 2－51f ′ (x) ＝ 3(x 2x ＋ 1) ＝ 3(x － 2)( x － 2)>0 ， 所以 f(x) 在 (2 ，＋ ∞ )上是增函数，于是当 x ∈[2 ，＋ ∞)时， f(x) ≥ f(2) ≥ 0.5综上， a 的取值范围是[－ 4，＋ ∞ )．14 ．曲线 y ＝ x在点 (－ 1，－ 1)处的切线方程为 ()x ＋ 2A ． y ＝ 2x ＋ 1B ． y ＝ 2x －1C ．y ＝－ 2x － 3D ． y ＝－ 2x － 2[答案 ] A[解析 ]本小题主要考查导数的运算及其几何意义，直线的点斜式方程等基础知识．－ 1 ＋ x－ － 1－1＋ x ＋ 2∵ f ′ (－ 1) ＝ lim→x 0x＝ lim－ 1＋ x ＋ 1 ＋ x2＝ lim → ＝ 2，→1＋ x xx 0x 01＋ x∴曲线在 (－ 1，－ 1)处的切线方程为y － (－ 1) ＝ 2(x ＋1) ，即 y ＝ 2x ＋ 1.15 ．过点 P( － 2,0) 作曲线 y ＝ x 的切线，求切线方程．[解析 ]因为点 P 不在曲线 y ＝ x 上，故设切点为 Q( x 0， x0 )，∵ y ′＝1 ，2 x∴过点 Q 的切线斜率为：1 ＝x 0，∴ x 0＝ 2，2 x 0 x 0＋ 2∴切线方程为： y－ 2＝1( x －2) ，22即： x－ 2 2y＋2＝0.16 ．函数 f(x) 的定义域为R，导函数 f ′ (x) 的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点[答案 ]C[解析 ]设 f ′ (x) 与 x 轴的 4个交点，从左至右依次为x 、 x 、 x 、 x 4，1 2 3当 x<x 1 时， f ′ (x)>0 ， f(x) 为增函数，当 x 1<x<x 2 时， f ′ (x)<0 ， f(x) 为减函数，则 x ＝ x 1 为极大值点，同理， x ＝ x 3 为极大值点，x ＝x 2，x ＝ x 4 为极小值点．[点评 ]有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是 f(x) 的图象还是 f ′ (x) 的图象，若给的是 f( x) 的图象，应先找出 f(x) 的单调区间及极 (最 )值点，如果给的是f ′ (x) 的图象，应先找出 f ′ (x) 的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．17 ．(2014 ·溪一中期中屯) 设 f(x) ＝ x 3 ＋ ax 2＋ bx ＋ 1 的导数 f ′ (x) 满足 f ′ (1) ＝ 2a ，f ′ (2)＝－ b ，其中常数a 、b ∈ R.(1) 求曲线 y ＝ f(x) 在点 (1 ， f(1)) 处的切线方程；－ x(2) 设 g(x) ＝f ′( x)e ，求函数g(x) 的极值．[解析 ]∵ f(x) ＝x 3＋ ax 2＋ bx ＋ 1，∴ f ′ ( x) ＝ 3x 2＋ 2ax ＋ b ，∵ f ′ (1) ＝ 2a ，∴ 3＋ 2a ＋ b ＝ 2a ，∵ f ′ (2) ＝－ b ，∴ 12 ＋ 4a ＋ b ＝－ b ，∴ a ＝－32， b ＝－ 3，33 22∴f(x) ＝x － 2 x－ 3x ＋ 1， f ′ (x)＝ 3x － 3x － 3，5∴f(1) ＝－2， f ′ (1) ＝－ 3，5∴切线方程为y－ (－2)＝－ 3(x － 1) ，即6x ＋2y－ 1＝ 0.(2)∵ g(x)＝ (3x 2－ 3x － 3)e －x，∴ g′ (x) ＝ (6x － 3)e －x＋ (3x2－ 3x － 3) · (－ e－x)，∴ g′ (x) ＝－ 3x(x － 3)e －x ，∴当 0<x<3 时， g′(x)>0 ，当 x>3 时， g′ (x)<0 ，当 x<0 时， g′ (x)<0 ，∴ g(x) 在 (－∞， 0) 上单调递减，在(0,3) 上单调递增，在(3 ，＋∞ ) 上单调递减，所以 g 极小 (x) ＝ g(0) ＝－ 3， g 极大 (x) ＝ g(3) ＝ 15e －3 .18 ． (2014 山·东省菏泽市期中)已知函数 f(x) ＝ 1x 2＋aln x.2(1) 若 a ＝－ 1 ，求函数 f(x) 的极值，并指出是极大值还是极小值；(2) 若 a ＝ 1 ，求证：在区间 [1 ，＋∞ )上，函数 f(x) 的图象在函数2 3的图象的下方．g(x) ＝ x3[解析 ] (1) 由于函数 f(x) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ )，当 a ＝－ 1 时， f ′ (x) ＝ x －1＝x ＋1 x －1，xx令 f ′ (x) ＝ 0 得 x ＝1 或 x ＝－ 1( 舍去 )，当 x ∈ (0,1) 时， f ′ ( x)<0 ，因此函数f(x) 在 (0,1) 上单调递减，当 x ∈(1 ，＋ ∞ )时， f ′ (x)>0 ，因此函数f(x) 在 (1 ，＋ ∞ )上单调递增，则 x ＝ 1 是 f(x) 的极小值点，1所以 f(x) 在 x ＝ 1 处取得极小值为f(1) ＝ 2. 1 2 23(2) 证明：设F(x) ＝f(x) － g(x) ＝ 2x ＋ lnx － 3x，－2x 3 ＋x 2＋1则 F ′ (x)＝ x ＋ 1－ 2x 2＝xx－ x － 1 2x 2＋ x ＋ 1＝，x当 x>1 时， F ′ ( x)<0 ，故 f(x) 在区间 [1 ，＋ ∞) 上单调递减，1又F(1) ＝－6<0 ，∴在区间 [1 ，＋∞ )上， F(x)<0 恒成立，即 f(x)< g(x) 恒成立．因此，当 a ＝ 1 时，在区间[1 ，＋∞ )上，函数f(x) 的图象在函数g(x) 图象的下方．19 ． (2014 山·西省太原五中月考) 已知函数f(x) ＝xln x.(1)求函数 f(x) 的单调递减区间；(2) 若 f(x)≥－ x 2＋ ax － 6 在 (0 ，＋∞ )上恒成立，求实数 a 的取值范围；－2,(3) 过点 A( － e0) 作函数y＝ f(x) 图象的切线，求切线方程．[解析 ] (1)∵f ′ (x) ＝ln x ＋1，∴由 f ′ (x)<0 得 lnx< －1， 11∴ 0<x< e，∴函数 f(x) 的单调递减区间是(0， e)．(2)∵f(x) ≥ － x 2＋ ax －6，∴a ≤ln x ＋x ＋ 6，x设 g(x) ＝ lnx ＋ x ＋6x ，则x 2＋ x － 6x ＋3 x － 2g ′ (x) ＝ 2＝ 2，x x当 x ∈ (0,2) 时， g ′ (x)<0 ，函数 g(x) 单调递减；当 x ∈ (2 ，＋ ∞ )时， g ′ (x)>0 ，函数 g(x) 单调递增．∴ g(x) 最小值为 g(2) ＝ 5＋ ln2 ，∴实数 a 的取值范围是( － ∞， 5＋ ln2] ．(3) 设切点 T(x 0 ， y 0)，则 k AT ＝ f ′(x 0)，x 0 lnx 0 2 ∴ 1 ＝ lnx 0＋ 1，即 e x 0＋ lnx 0＋ 1＝ 0，x 0 ＋2e设 h(x) ＝ e 2x ＋ lnx ＋ 1 ，则 h ′ (x) ＝ e2＋ 1x ，当 x>0 时 h ′ (x)>0 ，∴ h(x) 是单调递增函数，∴ h(x)＝ 0 最多只有一个根，121 11又 h( 2× 220 ＝ 2e )＝ ee ＋ ln e ＋1＝ 0，∴x，e1e2＝ 0.由 f ′ (x0)＝－ 1得切线方程是x＋ y＋1 ，220 ．在曲线 y＝ x (x ≥ 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为12试求：(1)切点 A 的坐标；(2)过切点 A 的切线方程．[解析 ]如图所示，设切点A( x 0，y0)，由 y′＝ 2x 知过 A 点的切线方程为y － y 0＝ 2x 0(x－ x0)，2即y ＝ 2x 0x－ x0 .令 y ＝ 0 得 x ＝x 0，即 Cx 0， 0 .22设由曲线和过A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为S ，21 3S ＝ S 曲边△AOB － S △ABC ， S 曲边△AOB ＝ ∫ x 00 x dx ＝ 3x 0 ，△1 1 － x 02 13 ABC ＝x 00＝0，即 S ＝1x 03－ 1x 03＝ 1 x 03＝ 1 .3 4 12 12所以 x 0＝ 1，从而切点A(1,1) ，切线方程为 y ＝ 2x － 1.21． (2014 山·东省德州市期中 )统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升 )关于行驶速度x(千米 /小时 )的函数为y ＝ 1 x 3－ 3x ＋ 8(0<x<120) ．128000 80(1) 当 x ＝ 64 千米 /小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2) 若油箱有22.5 升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？100 25[解析 ] (1)当 x ＝ 64 千米 /小时时，要行驶100 千米需要 64 ＝16 小时，要耗油 (1 × 643－ 3 × 64 ＋ 8) ×25＝ 11.95( 升 )．1280008016(2) 设 22.5 升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得，133 a(x－80x ＋8)× x ＝ 22.5，128000∴ a ＝22.5，1x 2＋ 8 － 3128000 x 801283x ＋ －， 设 h(x) ＝ 128000 x80则当 h(x) 最小时， a 取最大值，18 x 3－803x－2＝2，h ′ (x) ＝ 64000x 64000x令 h ′ (x) ＝ 0? x ＝ 80 ，当 x ∈ (0,80) 时， h ′ (x)<0 ，当 x ∈ (80,120) 时， h ′ (x)>0 ，故当 x ∈(0,80) 时，函数h(x) 为减函数，当 x ∈ (80,120) 时，函数 h( x) 为增函数，∴当 x ＝ 80 时， h(x) 取得最小值，此时 a 取最大值为∴a＝122.53＝200.28－128000×80 ＋8080答：若油箱有22.5 升油，则该型号汽车最多行驶200 千米．。