浙江2020版高考数学大一轮复习《2.8函数与方程》夯基提能作业含答案

2.8 函数与方程
A组基础题组
1.已知f(x)=
-
则方程f(f(x))=2的实数根的个数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
答案 C 作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,函数f(x)的图象与直
线y=2有三个交点,即方程f(x)=2有三个不等实根,设f(x)=2的三个实数根
从小到大依次为x1,x2,x3,则x1=1,1<x2<2,x3=5.又由图可知,函数f(x)的图象
与直线y=1有2个交点,即方程f(x)=1有2个不等实根,同理,f(x)=5有2个
不等实根,f(x)=x2有3个不等实根,故方程f[f(x)]=2的实数根一共有7个,
故选C.
2.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )
A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞ a 和(a,b)内
C.(b,c)和 c +∞ 内
D.(-∞ a 和 c +∞ 内
答案 A 易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,选A.
3.关于x的方程ax2-|x|+a=0有四个不同的解,则实数a的值可能是( )
A. B. C.1 D.2
答案 A 若a=2,则2x2-|x|+2=0,Δ=1-16<0,无解;若a=1,则x2-|x|+1=0,Δ=1-4<0,无解;若a=,则
x2-2|x|+1=0,Δ=0 =± ;若a=,则x2-4|x|+1=0,Δ>0,方程有4个根,成立.故选A.
4.(2017长沙统一模拟)对于满足0<b≤3a的任意实数a,b,函数f(x)=ax2+bx+c总有两个不同的零点,则-的取值范围是( )
A. B.(1,2]
C.[ +∞
D. +∞
答案D
解析依题意,对于方程ax2+bx+c=0,有Δ=b2-4ac>0,于是c<,从而->-
=1+-,对满足0<b≤3a的任意实
数a,b恒成立.令t=.因为0<b≤3a,所以0<t≤3.因此-t2+t+1∈(1,2].故->2.故选D.
5.已知函数f(x)满足f(x+1)=
+ ,当x ∈[0,1]时,f(x)=x.若函数h(x)=f(x)-ax-a 在区间(-1,1]内有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A. -
B.
+∞
C. -∞
D. 0
答案 D 当x ∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],所以f(x)=
-1=
-1,所以f(x)=
- - 0 0 作出函数y=f(x)和过定点(-1,0)的直线y=a(x+1)的图象(如图所
示). 易得0<a ≤
0 =
,故选D.
6.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当0≤x ≤2时,f(x)=min{-x 2
+2x,2-x},若方程f(x)-mx=0恰有两个根,则m 的取值范围是( ) A. -∞ -
∪
+∞ B. -∞ -
∪
+∞ C. - -
∪
D. - -
∪
答案 C 由题意得,f(x)=f(x+4)=f(- ∴f 是周期函数,周期T=4,且图象关于直线x=2对称 ∴f 的图象如图所示.由
⇒x 2+(m-2)x=0,若直线y=mx 与抛物线y=-x 2+2x 相切,则由Δ=0⇒m=2,故可知实数m 的取值范围是 - -
∪
.故选C.
7.已知f(x)=
- 0
则f(f(-2))= ,函数f(x)的零点个数为 . 答案 14;1
解析 f(-2)=(-2)2=4,则f(f(-2))=f(4)=24-2=16-2=14;当x<0时,f(x)>0,故由f(x)=0,得2x
-2=0(x ≥0),解得x=1,则函数f(x)的零点个数为1.
8.函数f(x)=
- 0 - + 0
的零点个数是 .
答案 2
解析当x≤0时,由x2-2=0得x=-;当x>0时,f(x)=2x-6+lnx在 0 +∞ 上为增函数,且
f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在 0 +∞ 上有且只有一个零点.综上,f(x)的零点个数为2.
9.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.
答案(0,2)
解析函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同
的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).
10.(2019衢州质检)已知b,c∈R,二次函数f(x)=x2+2bx+c在区间(1,5)上有两个不同的零点,则f(1)·f(5)的取值范围是.
答案(0,256)
解析由题意知f(1)·f(5)=(2b+c+1)(10b+c+25)>0,且1<-b<5,即-5<b<-1,而f(x)的最小值是c-b2,由题意得c<b2,故f(1)·f(5)=(2b+c+1)(10b+c+25)<(2b+b2+1)(10b+b2+25)=[(b+1)(b+5)]2,由-5<b<-1,得
- <b+ <0 0<b+5< ∴- < b+ b+5 <0 ∴f ·f(5)<(-16)2=256,故答案为(0,256).
B组提升题组
1.已知函数f(x)=ax2+bx+c,集合A={x|f(x)=0},集合B={x|f(f(x))=0}.若A∩B≠⌀,且存在x0∈B,x0∉A,则b 的取值范围是( )
A.b≥4或b<0
B.b≥4或b≤0
C.b≥4或-4≤b<0
D.0≤b≤4
答案 A 设x 1∈A∩B,则f(f(x1))=f(0)=0,所以c=0,显然ab≠0,所以A中另一元素为-.由题意知,ax2+bx=-有异于0和-的根x0,故a2x2+abx+b=0有解,由Δ≥0得b≥4或b≤0,又b≠0,故选A.
2.对于函数f(x),若存在x0∈N,满足|f(x0)|≤,则称x0为函数f(x)的一个“近零点”.已知函数
f(x)=ax2+bx+c(a>0)有四个不同的“近零点”,则a的最大值为( )
A.2
B.1
C.
D.
答案 D 不妨假设a,b同号,并设m-1,m,n,n+1(m<n)为四个不同的近零点,则|f(m)-f(m-1)|≤
|f(m)|+|f(m-1)|≤,故|am2+bm+c-[a(m-1)2+b(m-1)+c]|≤,即|2ma-(a-b)|≤,同理,|2na+a+b|≤.所以
|(2na+a+b)-[2ma-(a-b)]|≤1,即|2(n+1-m)a|≤1,因为n>m,且m,n∈N,所以n≥m+1,所以n+1-m≥2.故4|a|≤1,即|a|≤,故a的最大值为.
3.已知函数f(x)=|2x-1|,g(x)=x2-(2+3k)x+2k+1.若方程g(f(x))=0有3个不同实根,则k的取值范围是.
答案k=-或k>0
解析方程
g[f(x)]=0有3个不同实根等价于方程g(x)=0,即x2-(2+3k)x+2k+1=0有两个根x1、x2,其中0<x1<1
且x2>1,或0<x1<1且x2=0,当0<x1<1且x2>1时,0 = 0
=-0
∴k>0.同理,当0<x1<1且x2=0时,k=-,此时
g(x)=x2-x=0的根为0和,满足题意.综上,k的取值范围为k=-或k>0.
4.已知函数f(x)=x2-2x,若关于x的方程|f(x)|+|f(a-x)|-t=0有4个不同的实数根,且所有实数根之和为2,则实数t的取值范围是.
答案
解析令h(x)=|f(x)|+|f(a-x)|,
则h(a-x)=h(x),
故h(x)的图象关于直线x=对称,
∵方程|f(x)|+|f(a-x)|-t=0有4个不同的实数根,
且所有实数根之和为2,
∴设|f(x)|+|f(a-x)|-t=0的4个实数根分别为x1,x2,x3,x4,
其中=,=,
则x1+x2+x3+x4=2a=2,解得a=1,
故h(x)=|f(x)|+|f(a-x)|=|x2-2x|+|(1-x)2-2(1-x)|
=
---
-0
-0
-
--
作函数h(x)的图象如图,
由题意可得函数h(x)=|x2-2x|+|(1-x)2-2(1-x)|与y=t的图象有四个不同的交点,
结合图象可知,实数t的取值范围是.。