第四章大数定律与中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理
个次品， 例 6 设一批产品共 2000 个，其中 40 个次品，放回地 个样品， 的概率分布。 随机抽取 100 个样品，求样品中次品数 X 的概率分布。
. 解：次品数 X ~ B(100,002)
m P( X = m) = C100 p mq100−m ， m = 0,1,2,L,100 .
p = 0.02 < 0.1
故
1 D(Yn ) = 2 n
∑ D( X
k =1
n
k
)=
σ2
n
2
切 比 雪 夫 不 等 式
σ P{| Yn − µ |< ε } ≥ 1 − 2 . nε
lim P {| Y n − µ |< ε } = 1
n→ ∞
1 意义：令ξn = n
∑
i =1
n
ξi ，则
1 n E ξn = ∑ E ξi ， n i =1 1 n 1 K D ξn = 2 ∑ D ξi < 2 ⋅ n K = n i =1 n n
1 P Yn = ∑ X k → µ n k =1
推论:若 为独立同分布随机变量序列, 推论 若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列 为独立同分布随机变量序列 E(X1k)= <∞, 则 ∞
n
1 P k k ∑ X i → E( X1 ) n i =1
定积分的 近似计算
L.
适用范围：n较大，pn较小，npn适中
用EXCEL计算的结果 EXCEL计算的结果
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B(10,0.1) 0.348678 0.38742 0.19371 0.057396 0.01116 0.001488 0.000138 8.75E-06 3.65E-07 9E-09 1E-10 B(100,0.01) 0.36603234 0.36972964 0.18486482 0.06099917 0.01494171 0.00289779 0.00046345 6.2863E-05 7.3817E-06 7.622E-07 7.006E-08 5.7901E-09 4.3377E-10 B(1000,0.001) B(10000,0.0001) P(1) 0.367695425 0.367861046 0.36787944 0.368063488 0.367897836 0.36787944 0.184031744 0.183948918 0.18393972 0.061282509 0.061310174 0.06131324 0.015289955 0.015324478 0.01532831 0.003048808 0.003063976 0.00306566 0.0005061 0.000510458 0.00051094 7.19381E-05 7.28862E-05 7.2992E-05 8.93826E-06 9.1053E-06 9.124E-06 9.86181E-07 1.01099E-06 1.0138E-06 9.78284E-08 1.01018E-07 1.0138E-07 8.81337E-09 9.17522E-09 9.2162E-09 7.27095E-10 7.63837E-10 7.6801E-10
大数定理与中心极限定理
的随机变量，使得X Xi . 易知 i 1
E( X ) np D( X ) npq
由Lindeberg-Levy中心极限定理知
lim
P
X
np
x
1
x t2
e 2 dt
n npq
2
n
理解：在定理条件下，总有 X ~ N(np, npq).
三、中心极限定理的应用
➢ Lindeberg-Levy中心极限定理应用
其概率分布一定是正态分布。
定理4(De Moivre-Laplace中心极限定理) 设随机变量X ~ B(n, p)，则对于任意的实数x，有
lim
P
X
np
x
1
x t2
e 2 dt
n npq
2
证明：因为X ~ B(n, p)，由Bernoulli大数定理证明有
X1, X 2 , , X n为独立同分布于参数为p的两点分布
P
1 n
n i1
1 Xi n
n
E( Xi )
i1
1
D(1 n n i1
2
Xi)
1
M
n 2
所以
lim P n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E( Xi )
1
推论：设X1, X 2 , , X n , 是独立同分布
随机变量序列，且数学期望为，方
差 2，则对于任意的正实数有
lim
n
当观测次数n充分大时，“观测值得算术平均值接近 期望值”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：
1
n
n i 1
Xi
n充分大
E(X )
04 第四节 大数定理与中心极限定理
第四节 大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理.内容分布图示★大数定理的引入 ★切比雪夫不等式 ★例1 ★例2 ★大数定理 ★推论 大数定律 ★中心极限定理的引入 ★林德伯格—勒维定理 ★棣莫佛—拉普拉斯定理★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★例8★高尔顿钉板试验 中心极限定理 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题4-4内容要点：一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性. 定义1 设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列, a 为一个常数,若对于任意给定的正数ε,有 ,1}|{|lim =<-∞→εa X P n n 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a , 记为).(∞→−→−n a X Pn定理1 设,,b Y a X Pn P n −→−−→−又设函数),(y x g 在点),(b a 连续, 则),(),(b a g Y X g Pn n −→−.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ,则对于任给0>ε, 有22}|{|εσεμ≤≥-X P .上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若2σ越小, 则事件}|)({|ε<-X E X的概率越大, 即, 随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.如取,3σε= 则有.111.09}3|)({|22≈≤≥-σσσX E X P故对任给的分布,只要期望和方差2σ存在, 则随机变量X 取值偏离)(X E 超过σ3的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3 (切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X 是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即,,2,1,)( =≤i K X D i 则对任意0>ε, 有1)(11lim 11=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-∑∑==∞→εn i i n i i n X E n X n P 注: 定理表明: 当n 很大时,随机变量序列}{n X 的算术平均值∑=ni i X n 11依概率收敛于其数学期望∑=ni i X E n 1)(1.2．伯努利大数定理定理4 (伯努利大数定律)设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率, 则对任意的0>ε, 有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n n P A n 或 0l i m =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-→∞εp n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数n 充分大时, 事件A 发生的频率nn A依概率收敛于事件A 发生的概率p .定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.(ii) 如果事件A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件A 发生的频率也是很小的，或者说事件A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3．辛钦大数定理 定理5 (辛钦大数定律) 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则对任意0>ε, 有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P . 注: (i) 定理不要求随机变量的方差存在;(ii) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(iii) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n 块,计算其平均亩产量, 则当n 较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.四、中心极限定理在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布.1．林德伯格—勒维定理定理6 (林德伯格—勒维) 设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列, 且,,,2,1,)(,)(2n i X D X E i i ===σμ则 ⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 2/1221lim πσμ 注: 定理6表明: 当n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出n X X X +++ 21的分布的确切形式, 但当n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有.1),/,(~)1,0(~/1)1,0(~1211∑∑∑====⇒-⇒-n i i ni i ni i X n X n N X N nX n N n n X σμσμσμ近似近似故定理又可表述为: 均值为μ, 方差的02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里再次给出，并利用上述中心极限定理证明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量n Y 服从参数p n ,)10(<<p 的二项分布, 则对任意x , 有)(21)1(lim 22x dt e x p np np Y P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→π注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况.3．用频率估计概率的误差设n μ为n 重贝努里试验中事件A 发生的频率, p 为每次试验中事件A 发生的概率,,1p q -=由棣莫佛—拉普拉斯定理,有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-pq n npqnp pq nP p n P n n εμεεμ .12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈pq n pq n pq n εεε这个关系式可用解决用频率估计概率的计算问题:4. 李雅普诺夫定理定理8（李雅普诺夫定理） 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 它们具有数学期望和方差: ,2,1,0)(,)(2=>==i X D X E kk k k σμ，记.122∑==nk k nB σ 若存在正数δ, 使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE Bδδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量:nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x , 满足).(21lim )(lim 2/112x dt e x B X P x F x t n n k k n k k n n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎰∑∑∞--==∞→∞→πμ注：定理8表明, 在定理的条件下, 随机变量.11nnk kn k kn B X Z ∑∑==-=μ当n 很大时,近似地服从正态分布)1,0(N . 由此, 当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk k Z B X 11μ近似地服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这就是说,无论各个随机变量),2,1( =k X k 服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和∑=nk k X 1当n 很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布.例题选讲：切比雪夫不等式例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700. 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解设每毫升白细胞数为,X 依题意, ,7300=μ,70022=σ所求概率为}94005200{≤≤X P }73009400730073005200{-≤-≤-=X P }21002100{≤-≤-=μX P }.2100|{|≤-=μX P 由切比雪夫不等式22)2100/(1}2100|{|σμ-≥≤-X P 2)2100/700(1-=,9/89/11=-=即每毫升白细胞数在5200 ~ 9400之间的概率不小于8/9.例2 (讲义例1) 在每次试验中, 事件A 发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解 设X 为次试验中, 事件A 出现的次数, 则)75.0,(~n b X , ,75.0n =μ ,1875.025.075.02n n =⨯=σ所求为满足90.0}76.0/74.0{≥<<n X P 的最小的.n }76.0/74.0{<<n X P 可改写为}76.074.0{n X n P <<}01.075.001.0{n n X n P <-<-=}01.0|{|n X P <-=μ 在切比雪夫不等式中取,01.0n =ε 则}76.0/74.0{<<n X P }01.0|{|n X P <-=μ22)01.0/(1n σ-≥20001.0/1875.01n n -=n /18751-=依题意, 取n 使,9.0/18751≥-n 解得 ,18750)9.01/(1875=-≥n即n 取18750 时, 可以使得在n 次独立重复试验中, 事件A 出现的频率在76.0~74.0之间的概率至少为 0.90.中心极限定理例3 (讲义例2) 一盒同型号螺丝钉共有100个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.解 设为第i 个螺丝钉的重量, ,100,,2,1 =i且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量为,1001∑==i i X X且由,100)(==i X E μ,10)(==i X D σ,100=n 知,10000)(100)(=⨯=i X E X E ,100)(=X D由中心极限定理有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=>∑=n n nn X P X P n i iσμσμ10200}10200{1⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=100100001020010010000X p⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=2100100001210010000X P X P.02275.097725.01)2(1=-=Φ-≈例4 (讲义例3) 计算机在进行数学计算时, 遵从四舍五入原则. 为简单计. 现在对小数点后面第一位进行舍入运算, 则误差X 可以认为服从]5.0,5.0[-上的均匀分布. 若在一项计算中进行了100次数字计算, 求平均误差落在区间]20/3,20/3[-上的概率.解,100=n 用i X 表示第i 次运算中产生的误差.10021,,,X X X 相互独立, 都服从]5.0,5.0[-上的均匀分布,且,0)(=i X E ,12/1)var(=i X 100,,2,1 =i , 从而).1,0(~5312/100010010011001100N XX Y i ii i 近似∑∑===⨯-=故平均误差∑==10011001i i X X 落在⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-203,203上的概率为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-∑=20310012032032031001i iX P X P⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=∑=35331001i i X P )3()3(-Φ-Φ≈.9973.0=例5(讲义例4) 某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工作等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的, 且在开工时需电力1千瓦, 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?解 对每台车床的观察作为一次试验, 每次试验观察台车床在某时刻是否工作, 工作的概率为0.6, 共进行200次试验. 用X 表示在某时刻工作着的车床数, 依题意, 有),6.0,200(~b X现在的问题是: 求满足999.0}{≥≤N X P 的最小的.N由定理3,)1(p np np X --近似服从),1,0(N 这里,120=np ,48)1(=-p np于是.48120}{⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤N N X P 由,999.048120≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ΦN 查正态分布函数表得,999.0)1.3(=Φ故,1.348120≥-N 从中解得,5.141≥N 即所求.142=N 也就是说, 应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.例6 (讲义例5) 某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费160元, 若一年内发生重大人身事故, 其本人或家属可获2万元赔金. 已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为,005.0 现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少?解记⎩⎨⎧=事故个被保险人未发生重大若第故个被保险人发生重大事若第i i X i ,0,1 )5000,,2,1( =i于是i X 均服从参数为005.0=p 的两点分布, 且,005.0}1{==i X p .25=np∑=50001i i X 是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数, 保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为∑=⨯-⨯5000125000016.0i i X 万元.于是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-⨯≤∑=4025000016.02050001i i X P ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∑=302050001i i X P ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯-≤⨯-≤⨯-=∑=995.0252530995.02525995.025*********i i X P 6826.0)1()1(=-Φ-Φ≈例7 对于一个学校而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长, 1名家长, 2名家长来参加会议的概率分别0.05, 0.8, 0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. 求参加会议的家长数X 超过450的概率.解以)400,,2,1( =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数, 则k X 的分布律为15.08.005.0210kk p X易知,1.1)(=k X E ,19.0)(=k X D ,400,,2,1 =k 而,4001∑==k k XX 由定理3, 随机变量),1,0(~19.04001.140019.04001.14004001N X Xk k近似⨯-=⨯-∑= 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯->⨯-=>19.04001.140045019.04001.1400}450{X P X P⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⨯--=147.119.04001.14001X P.1357.0)147.1(1=Φ-≈例8 设有1000人独立行动, 每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9. 以95%概率估计, 在一次行动中, 至少有多少人能进入掩蔽体.解用i X 表示第i 人能够按时进入掩蔽体, 令.100021X X X S n +++=设至少有m 人能进入掩蔽体, 则要求,95.0}{≥≤n S m P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤⨯⨯⨯-=≤909001.09.010009.01000}{n n S m S m由中心极限定理, 有),1,0(~90900N S n 近似- 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤9090090900}{n n S m P S m P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<--=90900909001m S P n查正态分布数值表, 得 ,65.190900-=-m 故88435.88465.15900≈=-=m 人.课堂练习某地有甲、乙两个电影院竞争当地每天的1000名观众, 观众选择电影院是独立的和随机的,问: 每个电影院至少应设有多少个座位, 才能保证观众因缺少座位而离去的概率小于1%?。
第四章 大数定律与中心极限定理
则称{X 依概率收敛 依概率收敛于 则称 n}依概率收敛于X. 可记为
X n →X.
P
或
lim P{| X n − X |≥ ε} = 0
n→∞
二.几个常用的大数定律 几个常用的大数定律
1. 契贝晓夫大数定律 契贝晓夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为两两不相关的随机变量序 为两两不相关的随机变量序 且它们的方差有界 即存在常数C>0，使 方差有界， 列，且它们的方差有界，即存在常数 ，
lim P{|
n→∞
µn
n
− p |< ε} = 1
即：µn
n
=
∑X
i= 1
i
n
→p
P
3. 辛钦大数定律
为独立同分布随机变量序列, 若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列 为独立同分布随机变量序列 EXi=a <∞, i=1, 2, … 则对任意的 ε > 0，有 ∞
1 n 1 n P lim P{| ∑Xi − a |< ε} = 1，即 Yn = ∑Xi →a n→∞ n i=1 n ii=1 =1
2.德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 德莫佛 拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 设随机变量η 服从参数为n, 设随机变量ηn(n=1, 2, ...)服从参数为 p(0<p<1) 服从参数为 的二项分布， 的二项分布，则有 ηn − np L→ξ ~ N(0, 1).
§4.3. 中心极限定理 一.依分布收敛 依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 为随机变量序列 若在F(x)的 对应的分布函数分别为F 的 对应的分布函数分别为 n(x), F(x). 若在 连续点，有 连续点， limF (x) = F(x),
第四章 大数定律与中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理第一节大数定律一、历史简介概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.二、大数定律定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且而于是由契比晓夫不等式有又由独立性知道有从而有这就证明了定理1.若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的,有成立,则称随机变量序列服从大数定律.定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有则对于任意的,有证明:利用契比晓夫不等式,有因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到从而有从而定理2得证.[例1] 设为独立同分布的随机变量,均服从参数为的普哇松分布.由以往的讨论知道,,因而满足定理2的要求,则由定理2 的结论可知定理3(马尔科夫大数定律) 对于随机变量序列,若有则有证明:利用契比晓夫不等式,有由假设知,右端趋于1,于是于是定理3得证.一般称条件为马尔科夫条件.定理4(辛钦大数定律) 设是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望,则对于任意的,有上式也可表示为或,并且称依概率收敛于.三、大数定律的应用[例2] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由契比晓夫不等式,有令,其中,则.即至少需要抛掷27778次才能至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01[例3] (蒙特卡洛方法求积分) 计算.解:任取一列相互独立的都具有上均匀分布的随机变量,则也是一列相互独立且具有相同分布的随机变量,而因此,.为求,自然想到大数定律:这样一来,只要能生成随机变量序列,就能计算积分.现在借助计算机,产生上的随机数,然后通过大数定律,算出,最后由算出.这就是一种新的计算方法:概率计算方法,也称蒙特卡洛方法.[例4] 设随机变量序列的方差一致有界,即,且当时, 与的相关系数,证明服从大数定律.证明:因为由题设知,任给,存在当时,.这表明,在共有个中,绝对值超过的元素不多于个,其余的个元素的绝对值不超过,故有由于可任意小,故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例5] 设相互独立且,.证明服从大数定律.证明:因为,故故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例6] 设相互独立且分别具有以下分布,试确定是否满足马尔科夫条件.(1)(2)(3)解:(1)易知.由于故不满足马尔科夫条件.(2) 易知.由于故不满足马尔科夫条件.(3) 易知.由于注意到,故满足马尔科夫条件. [例7] 设相互独立且分别具有以下分布:(1)的分布函数为(2)(3) 的密度函数为(4)问是否满足大数定律.解:(1)因为,这是柯西分布,它的数学期望不存在,因此,不满足大数定律.(2)因为,由辛钦大数定律,知满足大数定律.(3)因为是奇函数,故.由辛钦大数定律,知满足大数定律.(4)而,故级数收敛,满足大数定律.作业:P221 EX 19,24,25,26。
第四章 大数定律和中心极限定理
设需N台车床工作， 现在的问题是：
求满足
P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台 工作所需电力即N千瓦.）
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似N(0,1), np(1 p)
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120, np(1-p)=48
第四章
大数定律和中心极限定理
§1 大数定率
一. 切比雪夫不等式 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，
有
D( X ) P{| X E( X ) | } ; 2
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
P{Y 60000 0.9 }
P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000}
=P{X60000/a}0.9; 由中心极限定理,上式等价于
60000 10000 0.006 ( a ) 0.9 10000 0.006 0.994
a 3017
例3 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿 命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率. 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
7 500 100 100 2 P{ X i 500} 1 35 1 (8.78) 0 i 1 10 12
2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De MoivreLaplace)
设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则
概率论与数理统计（茆诗松）第二版课后第四章习题参考答案
第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11． 如果X X Pn →，且Y X Pn →．试证：P {X = Y } = 1．证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，又因X X Pn →，且Y X Pn →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ，则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P ， 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X Pn →，Y Y Pn →．试证：（1）Y X Y X Pn n +→+； （2）XY Y X Pn n →．证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X Pn n +→+；（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8}|{|2hM Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8}1|{|h Y Y P n <≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}时，有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X Pn n →．3． 如果X X Pn →，g (x )是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g Pn →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4}|{|h M X P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，存在N 2 > 0，当n > N 2时，4}|{|hX X P n <≥−δ，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ，即)()(X g X g Pn →．4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX Pn →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX Pn →；当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ，即ca cX Pn →．5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ．证：以连续随机变量为例进行证明，设X n − X 的密度函数为p ( y )，必要性：设X X Pn →，对任意的ε > 0，都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，对012>+εε，存在N > 0，当n > N 时，εεε+<≥−1}|{|2X X P n ， 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ，故n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ； 充分性：设n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ， 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，即X X Pn →．6． 设D (x )为退化分布：⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n = 1, 2, …．）（1）{D (x + n )}； （2）{D (x + 1/n )}； （3）{D (x − 1/n )}．解：（1）对任意实数x ，当n > −x 时，有x + n > 0，D (x + n ) = 1，即1)(lim =++∞→n x D n ，则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1，有f (−∞) = 1 ≠ 0，故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数； （2）若x ≥ 0，有01>+n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，若x < 0，当x n 1−>时，有01<+n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数；（3）若x ≤ 0，有01<−n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，若x > 0，当x n 1>时，有01>−n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数．7． 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x )，试证：{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，对任意的ε > 0，取正整数ε2>k ，则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1，使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ，并取x 0 = −∞，x k = +∞， 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε， 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x )，且F (x ) 连续，有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x )，则存在N > 0，当n > N 时，1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε，且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ，20|)()(|ε<=−k k n x F x F ，对任意实数x ，必存在j ，1 ≤ j ≤ k ，有x j −1 ≤ x < x j ，因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ，则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ，且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ，即对任意的ε > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε ， 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )．8． 如果X X Ln →，且数列a n → a ，b n → b ．试证：b aX b X a Ln n n +→+． 证：设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点，因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(，有a b y x −=是F X (x )的连续点，且X X L n→， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n ， 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续， 存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(ε−>M F X ，4)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，41)(ε−>M F n X ，4)(ε<−M F n X ，可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因数列a n → a ，b n → b ，存在N 3，当n > N 3时，M h a a n 4||<−，4||h b b n <−， 可得当n > max{N 2, N 3}时，⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n ， 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→，b aX b X a Ln n n +→+． 9． 如果X X Ln →，a Y Pn →，试证：a X Y X Ln n +→+． 证：设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点，因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a )，有x = y − a 是F X (x )的连续点，且X X Ln →， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n ， 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因a Y Pn →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 2，当n > N 2时，22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2}时，ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n ， 故)()(y F y F a X WY X n n ++→，a X Y X Ln n +→+． 10．如果X X Ln →，0Pn Y →，试证：0Pn n Y X →．证：因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续，则对任意的h > 0，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(h M F X −>，4)(hM F X <−， 因X X L n →，有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→，4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→，则存在N 1，当n > N 1时，41)(h M F n X −>，4)(hM F n X <−，可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>，因0Pn Y →，对任意的ε > 0，有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε，存在N 2，当n > N 2时，2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε， 则当n > max{N 1, N 2}时，有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ，故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ，即0Pn n Y X →．11．如果X X Ln →，a Y Pn →，且Y n ≠ 0，常数a ≠ 0，试证：aXY X L n n →． 证：设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点，因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=，有x = ay 是F X (x )的连续点，且X X Ln →，有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x )单调不减且几乎处处连续，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且121)(ε−>M F X ，12)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，121)(ε−>M F n X ，12)(ε<−M F n X ，可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因0≠→a Y Pn ，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 3 > 0，当n > N 3时，62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ，有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ，且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ，故)()(//y F y F a X WY X n n →，aX Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22．试证：0Pn X →．证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫， 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n ， 故0Pn X →．13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βPn Y →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1， 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ， 故βPn Y →．14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y Pn →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ，故a Y Pn →．15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U(0, 1)．令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．证：设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ，1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ，n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=，由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−，则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ，1)(−=→n P n Z E Z ，因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e −→=PZ n n Y ， 故c Y Pn →，其中1e −=c 为常数．16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布，试证：)()(11ξξ−−→F F Pn． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F −>，2)(h M F <−， 因F (x ) 是连续、严格单调函数，有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数， 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时，| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点，记x * = F −1( y *)，有x * ∈ [−M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ，就有 δ≥−|*)(|y x F ，根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ，有*)(y x F n ≠，即*)(1y F x n −≠， 则对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n ， 可得对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ，故)()(11ξξ−−→F F Pn．17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = µ，试证：µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2．证：令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2，并设Var (X n ) = σ 2， 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n ， 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n ， 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P ， 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：2121σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，故}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即2121σP n k k X n →∑=．19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令∑==n i i X n X 11，∑=−=n i i n X X n S 122)(1．试证：22σPnS →．证：2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====，设E(X n ) = µ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即µP nk k X n X →=∑=11，则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22µPX →，因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在，则}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即22121µσ+→∑=P n k k X n ，故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S ．20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1，试证明：0)(Pn n n S E S →−． 证：因n X P i 1}1{==，nX P i 11}0{−==，且i ≠ j 时，)1(1}1{−==n n X X P j i ，)1(11}0{−−==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(−=n n X X E j i ，)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ，1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n ， 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−， 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故0)(Pn n nS E S →−．习题4.21． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．1.02.03.04.03210PX解：特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ，有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ，故pX E 1)(=； 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ， 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ，可得222)(p p X E −=， 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{，k = r , r + 1, …试求X 的特征函数．解：特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．（1）)0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ； （2）)0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=，故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=； 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ，有)(0)0(1X iE ==′ϕ， 故E (X ) = 0；因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ， 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ，可得222)(a X E =， 故222202)Var(aa X =−=；（2）因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=， 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ， 由第（1）小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ，根据逆转公式，可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ， 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫， 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ； 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ，即)0(2ϕ′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．5． 设X ~ N (µ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (µ, σ 2)，有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=，则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−，)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ，因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ，有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3)， 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2； 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ，有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4．6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ b (n + m , p )．证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ，ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m ， 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ P (λ1 + λ2)．证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ，)1(e2e )(−=itt Y λϕ，则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ，21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ，则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ χ 2 (n + m )．证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ，2)21()(m Y it t −−=ϕ，则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==．证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ，则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．11．设连续随机变量X 的密度函数如下：+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ， 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, µ )．（1）试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当µ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )，但是X 与Y 不独立；（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |，且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p ， 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1)，X 2 ~ Ch (λ2, µ2)，且相互独立，有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=，||222e )(t t i X t λµϕ−=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==，这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)； （2）当µ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |，又因Y = X ，有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |，且X + Y = 2X ，故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；（3）因X i ~ Ch (λ, µ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=， 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏，故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数．证：方法一：根据随机变量X 与−X 的关系充分性：设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布，因X 的密度函数为p (x )，有−X 的密度函数为p (−x )，故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )， 因−X 的密度函数为p (−x )，即−X 与X 同分布，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕ=====−−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系充分性：设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ，有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ， 令t = −u ，有dt = −du ，且当t → −∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → −∞，则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ， 故p (x ) 关于原点对称；必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )，因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ，有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ，令x = −y ，有dx = −dy ，且当x → −∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → −∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕ====−=−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数．13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N(µ , σ 2)分布，试求∑==ni i X n X 11的分布．证：因X i ~ N (µ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=，则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏，这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞n n np lim ，则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ．证：二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ，。
正态分布大数定律与中心极限定理
0
1 e 2
x2 2
2 dx 2
0
1 e 2
x2 2
dx 1
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理பைடு நூலகம்
0
1 （ 2 ）(0) ； 由（ 1 ）容易得到（ 2 ）。 2 （3） x 1 x
1 e 2
x2 2
dx
P ( X x ) F ( x )且F ( x )
x
f ( x )dx ，或f ( x ) F ( x )
x2 x1
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
1.正态变量的密度函数 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( x ) 1 f ( x) e 2 , x 2
2 2
和标准正态密度
1 ( x) e 首先都具有一般密度函 数的非负规范性，另外 ， 2 标准正态密度由于是偶 函数，还具有对称区间 积分的特殊性
f ( x )dx ( x )dx 1且 ( x )是偶函数
1 e 2
x2 2
2 dx 2
( x )2 2 2
dx
t x
k k t e dt 2
t2 2
则： k 0
z
t2 2
k 1, 3, 5,
k
2 k
k 2
2
k
2
0 t e dt
k
2
4大数定律及中心极限定理
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例.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 将一颗骰子连掷100次 100 500的概率是多少 的概率是多少？ 500的概率是多少？ 解:设Xk为第 次掷出的点数 设 为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 则 X1,…,X100独立同分布. 独立同分布 7 1 6 2 49 35 E ( X 1 ) = , D( X 1 ) = ∑ k − = 2 6 i =1 4 12
n−>∞
则称 { X n } 服从大数定律。
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第四章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理 4.1（切比雪夫大数定理） 设随机变量 X 1 ,L, X n ,L 相互独立， 且具有相同的数学期
1 n 望及方差， EX k = µ，DX k = σ ，k = 1,2,L， 令 Yn = ∑ X k ， n k =1
n
≤ x} =
1 2π
−∞
∫e
x
t2 − 2
dt
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常见的中心极限定理
定理3（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre--Laplace) 设随机变量 η n (n = 1,2,L) 服从参数为n,p(0<p<1)的二 项分布 ，即 η n ~ B ( n, p ).
则对于任意 x ，恒有：
n =10, p = 0.2, np = 2, npq ≈1.265. (1) 直接计算: P(ξ ≤ 3) = C ×0.2 ×0.8 ≈ 0.2013
3 10 3 7
(2)用局部极限定理近似计算: P(ξ ≤ 3) =
例 产品为废品的概率为p=0.005, 求10000件产 品中废品数不大于70的概率.
第四章 大数定律与中心极限定理
第四章 大数定律与中心极限定理教学目得与教学要求:了解特征函数得定义与常用分布得特征函数;理解并能应用大数定律;掌握依概率收敛与按分布收敛得概念;掌握并能应用独立同分布下得中心极限定理。
教学重点:大数定律、依概率收敛与按分布收敛得概念、中心极限定理。
教学难点:大数定律与中心极限定理得应用。
教学措施:理论部分得教学多采用讲授法,注意思想方法得训练,计算类问题采用习题与讨论得方法进行教学。
教学时数:12学时教学过程:§4、1 特征函数特征函数就是处理概率论问题得有力工具,其作用在于:(1) 可将求独立随机变量与得分布得卷积运算化成乘法运算;(2) 可将求各阶矩得积分运算化成微分运算;(3) 可将求随机变量序列得极限分布化成一般得函数极限问题等。
§4、1、1 特征函数得定义定义4、1、1 设就是一个随机变量,称其中为虚数单位,为得特征函数。
注:因为,所以总就是存在得,即任一随机变量得特征函数总就是存在得。
特征函数得求法:(1) 当离散随机变量得分布列为则得特征函数为;(2) 当连续随机变量得密度函数为,则得特征函数为。
特征函数得计算中用到复变函数,为此注意:(1) 欧拉公式:;(2) 复数得共轭:;(3) 复数得模:。
例4、1、1 常用分布得特征函数(1) 单点分布:,其特征函数为;(2) 分布:,其特征函数为;(3) 泊松分布:,其特征函数为;(4) 均匀分布:因为密度函数为,所以其特征函数为;(5) 标准正态分布:因为密度函数为,所以其特征函数为;(6) 指数分布:因为密度函数为,所以其特征函数为000()(cos()sin())itx x x x t e e dx tx e dx i tx e dx λλλϕλλ+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰ 。
§4、1、2 特征函数得性质性质4、1、1。
性质4、1、2 ,其中就是得共轭。
性质4、1、3若,其中、就是常数,则。
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85 0.5 90 P{Y 85} 1 0.966. 9
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第四章 大数定律与中心极限定理
第10页
二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. 设供电量为y, 则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
y /15 0.5 140 P{15Y y} 0.95 42 中解得 y 2252.
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第11页
三、给定 y 和概率，求 n
例4.4.5
用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。根据题意
X lim P n
n i 1
i
n n
y ( y )
应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
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第四章 大数定律与中心极限定理
第4页
例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：
10 0.8
9 0.1
8 0.05
7 0.02
6 0.03
( 3.53) (6.85) = 0.99979
14 August 2018华东师范大学第四章 大数定律与中心极限定理
第6页
4.4.3
二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
第四章 大数定律与中心极限定理
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第四章 大数定律与中心极限定理
§4.1 特征函数
§4.2 大数定律 §4.3 随机变量序列的两种收敛性 §4.4 中心极限定理
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第四章 大数定律与中心极限定理
第2页
§4.4
4.4.1
中心极限定理
独立随机变量和
Yn X i
200 20500 200 100 P X i 20500 1 200 100 i 1
1 (3.54) = 0.0002
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
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n np lim P n npq
y ( y )
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
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注 意 点 (1)
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
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第四章 大数定律与中心极限定理
第5页
例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X
P 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. 解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
100 930 100 9.62 900 100 9.62 P 900 X i 930 100 0.82 100 0.82 i 1
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注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
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第四章 大数定律与中心极限定理
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一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
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n = 271
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例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np npq npq
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第四章 大数定律与中心极限定理
P Yn / n p 0.05 2 0.05 n / p (1 p ) 1 0.90
解：用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645 又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6
i 1 n
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
讨论独立随机变量和的极限分布,
并指出极限分布为正态分布.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第3页
4.4.2
独立同分布下的中心极限定理
定理4.4.1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期 望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有