【精品】2018-2019学年人教版高中数学选修4-4同步教学课件★★2.2.圆锥曲线的参数方程

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2018版数学人教A版选修4-4课件：第二讲参数方程二

2 2 － tan φ＝1. φ
答案
1 cos
答案
思考2
x2 y2 令 y＝btan φ(φ 为参数)，写出a2－b2＝1(a>0，b>0)的参数方程.
a x＝， cos φ y＝btan φ
ห้องสมุดไป่ตู้
答案
(φ 为参数).
答案
1 梳理令＝sec φ. cos φ
证明：|F1P|· |F2P|＝|OP|2.
证明
类型三抛物线的参数方程
例4
2 x ＝ 2 pt ，已知抛物线的参数方程为 (t 为参数)，其中 p>0，焦点 y＝2pt
为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E，若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p＝________. 2
x2 y2 已知实数x，y满足＋＝1 ，求目标函数z＝x－2y的最大值与最 25 16
解答
反思与感悟
利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大 (小)值，通常是利用辅助角公
式转化为三角函数求解.
跟踪训练 1
x＝2cos φ，已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数)，以坐标 y＝3sin φ
什么？
答案是点(rcos θ，rsin θ)绕点O逆时针旋转的旋转角.
答案
思考2
x2 y2 对于椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)，若令 x＝acos φ(φ 为参数)，那么椭 a b x2 y2 圆 2＋ 2＝1 的参数方程是什么？ a b
答案
x＝acos φ， (φ 为参数). y＝bsin φ
答案
梳理
(1)椭圆的参数方程

2018人教B版数学选修4-4课件本章整合2 最新版

所以压缩后的直线 C'2 与椭圆 C'1 仍然只有一个交点,和 C1 与 C2 交点的个数相同.
专题一专题二
专题二曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x,y之间的间接关系,其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时,要充分注意参数的取值范围.常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等.
C2:
�� =
2 2
��-
�� =
2 2
��.
2,
(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2交点的个数; (2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C'1,C'2,写出C'1,C'2的参数方程.C'1与C'2交点的个数和C1与C2交点的个数是否相同?说明你的理由.
C'1:
��
=
1 2
sin��,
0≤θ≤2π,
C'2:
�� =
2 2
��-
��
=
2 4
��.
2,
专题一专题二
化为普通方程 C'1:x2+4y2=1,C'2:y=
1 2
��
+
22,
联立消元得 2x2+2 2�� + 1 = 0,
其判别式 Δ=(2 2)2 − 4 × 2 × 1 = 0,
解:(1)设 P(4cos t1,2sin t1),Q(4cos t2,2sin t2).
∵kOP·kOQ=−

高中数学人教A版选修4-4课件：2本讲整合

知识建构专题一专题二
综合应用
真题放送
3.参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式. 参数方程普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.
知识建构专题一专题二
综合应用
真题放送
应用1 求方程4x2+y2=16的参数方程. (1)设y=4sin θ,以θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 提示:对于(1),可直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x即可; 对于(2),可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解. 解:(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ, �� = 2cos��, 2 2 因此 4x +y =16 的参数方程是 (��为参数). �� = 4sin��
本讲整合
-1-
知识建构
综合应用
真题放送
知识建构专题一专题二
综合应用
真题放送
专题一曲线的参数方程与普通方程的互化 1.将曲线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数t,其一般步骤为: (1)将参数t用变量x表示; (2)将t代入y的代数式; (3)整理得到x,y的关系,即为普通方程. 2.参数方程与普通方程的区别与联系. 曲线的普通方程 F(x,y)=0 是相对参数方程而言,它反映了坐标变 �� = ��(��), 量 x 与 y 之间的直接联系;而参数方程 (��∈D)是通过参数 �� = ��(��) t 反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数,变数的个数比方程的个数多 1; 曲线的参数方程中有三个变数和两个方程,变数的个数比方程的个数多 1,从这个意义上讲,曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.

人教版A版高中数人教版A版高中数学选修4-4全套PPT课件

[思维启迪] 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意
义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．
解 (1)设 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝y3x得到xy′′＝＝123yx，由于 A13，－2，于是 x′ ＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1， ∴A′(1，－1)为所求． (2)设 B(x，y)，由伸缩变换 φ：2xy′′＝＝y3x得到xy＝＝213yx′′，由于
[思维启迪] 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出
其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然
后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆．
解设变换为xy′′＝＝μyλ，x，μ>λ0>，0，可将其代入第二个方程，得 λ2x2＋μ2y2＝1.与 4x2＋9y2＝36 比较，
将其变为346x2＋396y2＝1，即19x2＋14y2＝1，比较系数得
证明法一以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，
则 Da＋2 b，2c，所以|AD|2＋|BD|2
＝（a＋b）2＋c2＋（a－b）2＋c2
4
4
4
4
＝12(a2＋b2＋c2)， |AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2
【思维导图】
题型一运用坐标法解决解析几何问题
【例1】如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是
1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，
使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．
[思维启迪] 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立

2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：选修4-4 第2节参数方程精品

)
(4)已知椭圆的参数方程xy＝＝24csions
t， t
(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t
＝π3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)曲线yx＝＝2－＋1s＋incθos θ， (θ 为参数)的对称中心(
[规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响，要保持同解变形．
[变式训练 1] 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xy＝＝tt，－a (t 为参数)过椭
当
sin(θ＋α)＝－1
时，|PA|取得最大值，最大值为225
5 .
当
sin(θ＋α)＝1
时，|PA|取得最小值，最小值为2 5
5 .10
分
[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如yx＝＝yx00＋＋batt， (t 为参数)，当 a2＋b2≠1 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题．
[解]
(1)由yx＝＝44scions
θ， θ，
消去 θ，
得圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.2 分
又直线 l 过点 P(1,2)且倾斜角 α＝π6，
所以 l 的参数方程为xy＝＝12＋＋ttcsionsπ6π6，，
x＝1＋即
23t，
y＝2＋12t
(t 为参数).4 分
(2)把直线

2018-2019学年高中数学选修4-4第二讲 2

答题思维规范
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人教A版2018-2019学年高二数学课件：选修4-4 单元整合：：第二讲参数方程(共12张PPT)

所以x42+y2=(cos θ1+cos θ2)2+(sin θ1+sin θ2)2=2+2cos(θ1-θ2)=2.
所以
PQ
中点的轨迹方程为x2
8
+
y22=1.
答案:D
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
专题一
专题二
【应用 2】求在下列条件下普通方程 4x2+y2=16 对应的参数方程. (1)设 y=4sin θ,θ 为参数; (2)以过点 A(0,4)的直线的斜率 k 为参数. 提示:对于(1),可以直接把 y=4sin θ 代入已知方程,解方程求出 x 即可; 对于(2),可寻找斜率 k 与此方程任一点的坐标之间的关系来求解. 解:(1)把 y=4sin θ 代入方程,得到 4x2+16sin2θ=16,于是 4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以 x=±2cos θ.由于参数 θ 的任意性, 可取 x=2cos θ,因此 4x2+y2=16 的参数方程是
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
专题一
专题二
【应用 1】已知圆(x-r)2+y2=r2(r>0),点 M 在圆上,O 为原点,以∠MOx=φ 为参数,那么圆的参数方程为( )
x = r��φ, A. y = r��φ
所以|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=20,即 |OP|2+|OQ|2=20.

2018版数学人教A版选修4-4课件：第二讲参数方程四

第二讲参数方程
四渐开线与摆线
学习目标
1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
内容索引
问题导学题型探究当堂训练
问题导学
知识点一
渐开线
思考
把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状.若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数.
(1)摆线的参数方程
x＝rφ－sin φ，摆线的参数方程为 (φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在 y＝r1－cos φ
直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.
(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，
进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.
解答
反思与感悟
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
跟踪训练 1
＋φsin φsin 30° ， x＝cos φsin 30° 已知圆的渐开线方程为－φcos φcos 60° y＝sin φcos 60°
1 2 ，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角 (φ为参数)，则该基圆半径为____
(φ 为参数).
1
2
3
4
解答
规律与方法
1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外
端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，
就能确定摆线的参数方程.
3.由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示.
本课结束

人教版高中数学选修4-4全部课件

2020/11/6
【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极
点)的距离为2016 ,极角θ= 7+2kπ,k∈Z,
2 因为0≤θ<2π,所以θ= .
4
7
所以点(2016,-2016)的极4 坐标为
.
答案:
(2 016 2，7) 4
(2 016 2，7) 4
2020/11/6
【知识探究】探究点极坐标和直角坐标的互化 1.点与极坐标是一一对应的吗?
由代入φy: =xys＝＝in212(0y2106x1，6得x),xy得＝＝222yy01，′1=6 xsi，nx′,所以y′=
sinx′, 1
即y= sinx,所以y= sinx与直线x=0,x=π,y=20围成图
1
1
2
2
2020/11/6
形的面积为S=
0
答案:1
1 2
sin
xdx
1 2
cos
y 4y
2020/11/6
【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程? 提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程.
2020/11/6
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3x变, 换后,
即 x 代x3，入到圆的方程,可得即所y求新y4，曲线的方程为
y 4y
x2 y2 1， 9 16
2020/11/6
提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y) 是一一对应的,点M与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的, 即点M的极坐标不唯一.
2020/11/6
2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?
2020/11/6
提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式

2018年秋人教B版数学选修4-4课件：本章整合2

专题一
专题二
专题二曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x,y之间的间接关系,其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时,要充分注意参数的取值范围.常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等.
专题一
专题二
应用 1
��2 ��2 椭圆 16 + 4
专题一
专题二
解:(1)设 P(4cos t1,2sin t1),Q(4cos t2,2sin t2).
1 2sin ��1 2sin ��2 1 ∵kOP· kOQ=− , ∴ · =− . 4 4cos ��1 4cos ��2 4 π ∴cos(t1-t2)=0.∴t1-t2=kπ+ 2 (��∈Z).
的
个数比方程的个数多1;曲线的参数方程中,有三个变数和两个方程, 变数的个数比方程的个数多1,从这个意义上讲,曲线的普通方程和参数
专题一
专题二
(3)参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式. 参数方程普通方程,可见普通方程和参数方程是
同一曲线的两种不同表达形式.
专题一
专题二
应用1求方程4x2+y2=16的参数方程. (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 提示:对于(1),可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x;对于(2),可寻找斜率k与此方程表示的曲线上任一点的坐标之间的关系来求解. 解:(1)把y=4sin θ代入方程,得到4x2+16sin2θ=16,于是4x2=1616sin2θ=16cos2θ. ∴x=±2cos θ.由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ,因此4x2+y2=16 �� = 2cos��, 的参数方程是 �� = 4sin��.

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如图, 以原点为圆心, 分别以椭圆的长、短半轴为半径画两个同心圆. 在大圆上任取一点 A, 连接 OA, 交小圆于 B. 过点 A 作 x 轴的垂线, 过点 B 作 y 轴的垂线, 两垂线交于点 M. 求点 M 的轨迹.
设点 M(x, y), ∠AOxj, xxA |OA|cosj acosj,
yyB |OB|sinj bcosj,
y
B
A
M
a x O b 则点 M 的轨迹的参数方程为 x a cosj , y bsinj . (j为参数) 2 2 y 这就是前面由椭圆 x2 2 1 化得的参数方程. a b (请看轨迹动画)
j
如图, 以原点为圆心, 分别以椭圆的长、短半轴为半径画两个同心圆. 在大圆上任取一点 A, 连接 OA, 交小圆于 B. 过点 A 作 x 轴的垂线, 过点 B 作 y 轴的垂线, 两垂线交于点 M. 求点 M 的轨迹.
【椭圆规】如图是一个画椭圆的椭圆规. A、B 是画杆尺上的两个固定滑块, M 是画笔, |AM|a, |BM|b. 请看画图过程. b
y
M
a
OB x
问: 为什么画出的是椭圆? 建坐标系, 求点 M(x, y) 的轨迹方程.
A
【椭圆规】如图是一个画椭圆的椭圆规. A、B 是画杆尺上的两个固定滑块, M 是画笔, |AM|a, |BM|b. 请看画图过程.
请稍候
如图, 以原点为圆心, 分别以椭圆的长、短半轴为半径画两个同心圆. 在大圆上任取一点 A, 连接 OA, 交小圆于 B. 过点 A 作 x 轴的垂线, 过点 B 作 y 轴的垂线, 两垂线交于点 M. 求点 M 的轨迹. y x a cosj , 椭圆中的参数 j A y bsinj B M x r cos 与圆中的参数的 j y r sin a x O b 区别是: y 圆中是 OM M r 的旋转角. x 椭圆中的 j O 不是 OM 的旋转角.
解: 将椭圆的普通方程写成参数方程为 x 3cosj , y 2sinj . (j为参数) 由点到直线的距离公式得 | 3cosj 4sinj - 10| d 12 22 | 5sin(j j0 ) - 10| 3 4 (sinj0 , cosj0 ) 5 5 5 5 | sin(j j0 ) - 2 |, p j j 当 sin(j j0)1 时, 即时, d 最小 5 . 0 2
【课时小结】
1. 椭圆的参数方程
x2 y2 1 a 2 b2 y x 令 cosj , sinj , a b x a cosj , 得 (j为参数). y bsinj ,
通常规定 j[0, 2p).
【课时小结】
2. 椭圆参数方程的应用
特点: 将方程转化为函数. (1) 函数便于计算机应用, 如几何画板软件就可直接用参数方程画椭圆.
2 y 例 1. 在椭圆 x 1 上求一点 M, 使点 M 到 9 4 直线 x2y-100 的距离最小, 并求出最小距离. 2
解: 将椭圆的普通方程写成参数方程为 x 3cosj , y 2sinj . (j为参数) 由点到直线的距离公式得 | 3cosj 10| j 9 , p 4sinj 则 x3cos 3sin ) dj 3cos( 2- j0 0 2 2 5 1 2 52 sin( jp j )0| j0 8 ,3 y2sinj | 2cos sin( -0 j )10 4 (sinj0 2 5 , cosj0 ) 5 5 5 9 8 ∴椭圆上点 x2y-100 的距离 , j)到直线 M 5 |(sin( j ) 2 |, 5 5 0 p 最小 , 最小值为 5 . j j 当 sin(j j0)1 时, 即时, d 最小 5 . 0 2 (能找出使距离最大的点吗? 请同学们试试)
2 y 例 1. 在椭圆 x 1 上求一点 M, 使点 M 到 9 4 直线 x2y-100 的距离最小, 并求出最小距离. 2
分析: 椭圆的参数方程是中的 x、y 是参数 j 的三角函数, 椭圆上的点到直线的距离就是一个三角函数式, 根据三角函数的有界性即可求最大值或最小值.
2 y 例 1. 在椭圆 x 1 上求一点 M, 使点 M 到 9 4 直线 x2y-100 的距离最小, 并求出最小距离. 2
一曲线的参数方程
二圆锥曲线的参数方程
三直线的参数方程
四渐开线与摆线
精品】2018-2019学年人教版高中数学选修4-4同步教学课件★
第一课时第二课时
第一课时
椭圆的参数方程
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1. 如何将椭圆的普通方程化为参数方程? 参数是什么?
2. 用参数方程表示椭圆有什么优点?
1. 椭圆的参数方程问题 1. 类比同角三角函数的关系, 椭圆的方程 2 2 y x 1 (a b 0) 可作怎样的代换? 由此代换, 你能 a 2 b2 写出椭圆的参数方程吗? 2 2 y x 1 类同于 cos2j sin2j 1, a 2 b2 y x 令 cosj , sinj , a b 得 xacosj, (j 为参数) 通常规定 j[0, 2p). ybsinj. 这就是椭圆的参数方程. 问: 参数 j 是不是椭圆上一点 M 与中心连线 OM 为终边的角?
y Q O
jห้องสมุดไป่ตู้j
M
x
A
B
N
问: 为什么画出的是椭圆? 建坐标系, 求点 M(x, y) 的轨迹方程. xQM |AM|cosj acosj, yNM |BM|sinj bsinj, x a cosj , (j为参数) 即点 M 的轨迹方程为 y bsinj . 这是椭圆的参数方程.