人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》学案
人教A版高中数学必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案2
湖北省洪湖市贺龙高级中学高中数学人教版必修4： 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案【学习目标】1、知道平面向量的基本定理及其坐标表示；2﹑能准确的用坐标表示平面向量的加、减和数乘运算并进行有关的运算.3、知道向量共线的坐标表示；【重点难点】 ▲重点：平面向量基本定理及向量的坐标表示▲难点：平面向量基本定理【知识链接】1、 向量的数乘；实数λ与向量的积是一个向量，记为λ，长度和方向规定如下：（1）λ=（2）当0>λ时，a λ的方向与a 相同；当0<λ时，a λ与向量a 的方向相反，0=λ时0=aλ. 2、共线向量定理； 向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 λ= .【学习过程】阅读课本第93页到94页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:平面向量基本定理问题1、请叙述平面向量基本定理的内容.问题2、把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的__________，同一平面可以有不同的基底。
问题3、不共线的向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角来表示,请给出向量的夹角的定义。
问题4、向量的夹角θ的范围是__________;特别的，当与同向时，夹角为______;与反向时，夹角为______;当与的夹角为_____时，我们说与垂直，记作⊥.阅读课本第94页到第96页的内容，尝试回答以下问题：知识点2: 平面向量的正交分解及坐标表示 问题1﹑在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i 作为基底，对于平面上任一向量，有且只有一对实数y x ,使得y x +=，把有序实数对),(y x 叫做向量的坐标，记作),(y x = =（ ， ），=（ ， ），=（ ， ） 问题2、若(),OA x y = ，则点A 的坐标是_________，即以原点为起点的向量坐标就是该向量终点的坐标,反过来终点A 的坐标就是向量OA 的坐标。
阅读课本第96页到98页的内容，尝试回答以下问题：知识点3:平面向量坐标运算 问题1﹑已知),(11y x =，),(22y x =，则a b += _______________________，a b -= _____________________，a λ= ______________________.问题2﹑已知),(),,(2211y x B y x A ，则=______________________. 问题3﹑已知()()1,2,3,4a b ==- ，请尝试求43,,+-+的坐标阅读课本第98页的内容，尝试回答以下问题：知识点4:共线向量的坐标表示问题1、如果),(11y x a =，),(22y x b =则当a 与b 共线时，用坐标如何表示它们共线的条件？问题2﹑当x 为何值时，)3,2(=与)6,(-=x 共线.问题3、已知()1,1A--,()1,3B ,()2,5C ,试判断A,B,C 三点之间的位置关系。
2.3平面向量的基本定理及坐标表示教案(人教A必修4)
2.3平面向量的基本定理及坐标表示§2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、 复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa =2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a，=b ，用a ，b 表示，，和例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线.例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.四、课堂练习：1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e 1、e 2一定平行B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.24.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、课后记：第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠ ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x λ 三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×6 0 ∴与不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = .五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
人教A版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示学案新
第2课时 平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：＋＝－＝λa ＝已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则＝ ．4．两个向量＝(x 1、y 1)和＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ．例1.已知点A （2，3），B （－1，5），且＝31AB ，求点C 的坐标．解＝31＝(－1，32)，＝+＝(1, 311)，即C(1, 311)变式训练1.若(2,8)OA =，(7,2)OB =-，则31AB = . 解: (3,2)--提示：(9,6)AB OB OA =-=--例2. 已知向量＝(cos2α，sin 2α)，＝(cos 2β，sin 2β)，|－|＝552，求co s(α－β)的值．解:|－|＝55222552=--⇒)cos(βα2cos 22552βα--⇒＝55222552=--⇒)cos(βα⇒cos 2βα-＝53⇒cos(α－β)＝257-变式训练2.已知－2b ＝(－3，1)，2＋b ＝(－1，2)，求＋b ．解 a ＝(－1，1)，b ＝(1，0)，∴a ＋b ＝(0，1)例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，1e ＝＋2，2e ＝2－，且1e ∥2e ，求x ．解:1e ＝(1＋2x ，4)，2e ＝(2－x ，3)，1e ∥2e ⇒3(1＋2x)＝4(2－x)⇒x ＝21变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．证明: k ＝θθsin cos 2- ∴k －3＝θπθsin )3cos(22--≥0 ∴k≥3例4. 在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若＝(3，5)，求点C 的坐标；(2) 当||＝||时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x 得x 0＝10 y 0＝6 即点C(10，6)(2) ∵= ∴点D 的轨迹为(x －1)2＋(y －1)2＝36 (y ≠1)∵M 为AB 的中点 ∴P 分的比为21设P(x ，y)，由B(7，1) 则D(3x －14，3y －2)∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||＝2，求的坐标．解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)，D (－3，9)则四边形OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线OD ∵2103== ∴)5103,510(1032-==1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．。
高一数学人教A版必修四第二章2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示教案
《平面向量的基本定理及坐标表示》教案（人教A必修4第2章第3节）教材简析：本节前面由实际问题引入平面向量概念，研究向量的线性运算，包括运算的几何意义，特别是加法的平行四边形法则，较集中地反映了向量的几何特征，本节后面主要是研究向量的代数运算。
向量的优势更多地体现在于沟通几何与代数的联系，进而通过代数运算来研究几何和其它的问题,而连接两者的关健就是基本定理；所以在向量知识体系中这个定理具有核心地位，起到承前启后的的作用。
另外，它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生体会数学的思维方式方法，帮助学生进行数学的思考和说理，对学生的数学能力发展是十分重要的。
教学目的简析：1.理解平面向量的基本定理，体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用，运用已有知识研究平面向量基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程，奠定了建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义.2.会将给定的向量正交分解；通过向量正交化、坐标化的探索，激发学生探索、合作交流的意识，体会从一般到特殊的研究规律，逐步培养求简思维与模型化思想．3.通过体验平面向量的基本定理的探究过程，激发学生的探索精神，通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力，体会数学的思维方式方法，感受数与形的和谐统一。
重点、难点简析：研读多遍教材后，我认为应该将本课的理论学习置于教学重点，不能对定理进行平铺直叙后,即将重心快速转向坐标的表示与运算，决不能让学生的主体参与被削弱,对定理的理解与领悟被剥夺,而难以产生真正意义上的思想共鸣,也为向量的本质理解与数形结合的运用埋下了隐患。
难点是熟悉平面向量的基本定理，选择适当的基底，在一组基底上唯一分解，特别是正交分解及坐标表示，通过定理的探究过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识，提高学生从一般到特殊的归纳能力，感受数与形的和谐统一。
数学人教A版必修四学案：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(1 2
数学人教A版必修四学案：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1 2数学人教a版必修四学案：2.3平面向量的基本定理及坐标表示（1-2§2.3.1平面向量基本定理§2.3.2平面向量拓扑水解及座标则表示【学习目标】1.掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：备考1：向量b、aa?0就是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以则表示为.备考2：取值平面内任一两个向量e1、e2，恳请同学们做出向量3e1?2e2、e1?2e2.（二）独立自主探究：（复习教材p93―p96）探究：平面向量基本定理问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如?1e1??2e2的向量表示呢？那么存有且只有一对实数?1,?2,并使。
其中，不共线的这两个向量e1,e2叫作则表示这一平面内所有向量的基底。
问题2：如果两个向量不共线，则它们的边线关系我们怎么则表示呢？1.平面向量的基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个的向量，a是这一平面内的任一向量，2.两向量的夹角与横向：:我们规定：未知两个非零向量a,b，作oa?a,ob?b，则叫做做向量a与b的夹角。
如果?aob??,则?的取值范围是。
当时，表示a与b同向；当时，则表示a与b逆向；当时，则表示a与b横向。
记作：a?b.在不能共线的两个向量中，??90，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表而立.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何则表示呢？3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。
人教版高中数学版必修四学案 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示学习目标1.了解平面向量的基本定理.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:设平面直角坐标系中,x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为j,为从原点出发的向量,点A的坐标为(2,3)(如图).则=二、学生探索,尝试解决问题1:三、信息交流,揭示规律问题2:如何建立向量的坐标体系?需要具备什么样的条件?1.平面向量的坐标表示2.平面向量的坐标运算3.向量平行的坐标表示四、运用规律,解决问题【例1】已知a=(2,1),b=(-3,4),求3a+4b的坐标.【例2】已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形的四个顶点.【例3】已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB与直线CD平行吗?五、变式演练,深化提高练习1:已知三个力F1(3,4),F2(2,-5),F3(x,y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标.练习2:若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,求x.练习3:已知点P(2,-1),Q(3,2),求的坐标.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?1.2.3.布置作业课本P100练习第2,4题.课本P101习题2.3A组第1,3,4,5题.参考答案二、学生探索,尝试解决问题1:=2i,=3j.由平行四边形法则知=2i+3j.三、信息交流,揭示规律问题2:需要建立单位正交基底,取两个互相垂直的单位向量即可.1.平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=x i+y j把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).2.平面向量的坐标运算若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx,λy).若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).3.向量平行的坐标表示a∥b(b≠0)的等价条件是x1y2-x2y1=0证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.由a=λb得,(x1,y1)=λ(x2,y2)⇒消去λ,x1y2-x2y1=0.四、运用规律,解决问题【例1】解:原式=3(2,1)+4(-3,4)=(6-12,3+16)=(-6,19).【例2】解:当平行四边形为ABCD时,由得D=(2,2);当平行四边形为ACDB时,得D=(4,6);当平行四边形为DACB时,得D=(-6,0).【例3】解:因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2),又因为2×2-4×1=0所以,又因为=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),2×4-2×6≠0,所以不平行,所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,从而AB∥CD.五、变式演练,深化提高练习1:解:由题设F1+F2+F3=0得:(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),即:∴(-5,1)即为所求.练习2:解:a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,所以(-1)×2-x·(-x)=0,x=±,因为a与b方向相同,所以x=.练习3:解:=(3,2)-(2,1)=(1,3),=(2,-1)-(3,2)=(-1,-3).六、反思小结,观点提炼1.理解平面向量的坐标的概念;2.掌握平面向量的坐标运算;3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.。
高中数学人教A版必修4第二章平面向量的基本定理及坐标表示导学案
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作 ，则点A 的位置由a 唯一确定.设 ，则向量 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.考点3 平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、例题精析【例题1】已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.【例题2】设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b【例题3】已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3，－5)，则用a ，b 表示向量c 为( )A ．2a －bB ．－a ＋2bC ．a －2bD ．a ＋2b【例题4】已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【例题5】已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12B ．2C ．－12D ．－2【例题6】在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )四、课堂运用【基础】1.设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的________条件．2.已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C.2D.22【巩固】1.已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )A.3π2－θB ．θ－π2C.π2＋θD ．θ2.已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》3学案
湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示2》学案 新人教A 版必修4学习目的：让学生掌握平面向量的和、差、积的运算，理解向量的坐标与端点的坐标换算，会用向量的运算求多边形在平面直角坐标系中的坐标。
学习重点： 平面向量的和、差、积的运算。
学习难点：用向量的运算求坐标系中的坐标。
学习过程1，知识回顾：1.向量的加、减法运算及其几何意义2.平面向量的正交分解及坐标表示2，思 考1、 平面向量和与差的运算 已知a (x 1, y 1) ，b (x 2, y 2)，如何求a +b ，a b 的坐标。
两个向量和（差）的坐标分别等于这丙个向量相应坐标的和（差）2、平面向量的数乘 已知a ＝(x 1, y 1)和实数λ,求λa 的坐标， λa ＝λ(x 1i +y 1j )＝λx 1i +λy 1j ＝（λx 1，λy 1）。
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
3、向量的坐标与端点的坐标换算例3 已知A （x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，求 AB 的坐标。
解：-=＝(x 2, y 2)－（x 1, y 1)＝(x 2－x 1, y 2－ y 1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
【典例剖析】例4见书97页例5， 已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4)， 试求顶点D 的坐标。
解法一：设顶点D 的坐标为（x ，y ），AB ＝（－1－（－2），3－1）＝（1,2），DC ＝（3－x ，4－y ），由AB ＝DC ，得：（1,2）＝（3－x ，4－y ），所以⎩⎨⎧-=-=y x 4231，解得：x ＝2，y ＝2，所以顶点D 的坐标为（2,2）。
【知识梳理】 1、在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量=OA A 点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为（x,y ） 2、两个向量相等等价于它们对应的坐标相等。
人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》学案
湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示》学案 新人教A 版必修4【学习目标】要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个或一个向量分解为两个向量．【学习重点】 .平面向量的基本定理及其应用． 【学习难点】平面向量的基本定理．一、课前回顾1.向量共线定理：2．向量的加法运算（平行四边形法则）；3给定平面内的任意俩个向量1e ，2e ，作出向量31e +22e ，1e —22e . 二、新课讲授1平面向量基本定理思考1;一个平面内的俩个不共线的向量1e ，2e 平面内与任意一个向量a 的关系1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量，=1e ，OM =λ12e ，=a =OM +ON =λ11e +λ22e ，=2e ，ON =λ22e ．得平面向量基本定理：如果1e，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ11e +λ22e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 合作探究（1）假如1e,2e 共线，那么对于这一平面内的任一向量a ，是否也有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ11e +λ22e ．向量与非零向量共线，当且仅当有唯b a λλ一的一个实数，使=.b a（2）λ1，λ2是被a ，1e，2e 唯一确定的数量吗？（3）平面内的任一向量a 都可以由平面内的俩个不共线的向量1e ，2e 表示出来吗 2.向量的夹角:显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量,a b，作=OA ,a =OB b ，则 叫做向量a 与b的夹角。
如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。
当 时，表示a 与b同向； 当 时，表示a 与b反向。
3.垂直向量如果 ，就称a 与b垂直，记作【典例剖析】例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e+32e ．作法：（1）取点O ，作=-2.51e，=32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求． 思考：此题还有其他的做法吗？三．知识梳理： １．平面向量的基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的。
高中数学2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示学案设计新人教A版必修4
第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示(第一课时)学习目标1.了解平面向量基本定理及其意义,会用基底表示某一向量;掌握两个向量夹角的定义及两向量垂直的概念,会初步求解简单的两向量夹角问题,会根据图形判断两个向量是否垂直.2.通过本节学习,让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法,体会求解一些比较简单向量夹角的方法.3.培养学生的动手操作能力、观察判断能力,体会数形结合思想.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b,c的和,怎样表达?问题2:如果向量b与e1共线、c与e2共线,上面的表达式发生什么变化?二、学生探索,尝试解决问题1:问题2:三、信息交流,揭示规律问题3:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,a是这一平面内的任一向量,那么a 与e1,e2之间有什么关系?a是否可以用含有e1,e2的式子表示出来?问题4:一对实数λ1,λ2是否唯一?平面向量基本定理四、运用规律,解决问题【例题】已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,设=a,=b,试用基底a,b表示.五、变式演练,深化提高练习1:下面三种说法:(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底;(2)一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底;(3)零向量不可以作为基底中的向量.其中说法正确的是(写出正确说法的序号).练习2:在平面内的四边形MNPQ中,下列一定可以作为该平面内任一向量的一组基底是( )A. B. C. D.编题不是教师的专利,鼓励学生每人各编一个关于平面向量基本定理的题目,然后由同位算出答案.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本P102习题2.3B组第3,4题.参考答案二、学生探索,尝试解决问题1:a=b+c.问题2:a=λ1e1+λ2e2.三、信息交流,揭示规律问题3:如图所示,平面内任一向量a,以及该平面内两个不共线的向量e1,e2,将这三个向量的始点平移至点O,并以a所在的直线为对角线,以e1,e2所在的直线为邻边,作平行四边形.=e1,=λ1e1,=e2,=λ2e2,a=λ1e1+λ2e2问题4:由作图中分解结果唯一,决定了两个分解向量唯一.由平行向量定理,有且只有一个实数t1,使得=λ1e1成立,同理λ2也唯一,即一组数λ1,λ2唯一确定.平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,存在唯一的一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.说明:(1)我们把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)定理中,e1,e2是非零向量;(3)a是平面内的任一向量,且实数对λ1,λ2是唯一的;(4)平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底.四、运用规律,解决问题【例题】解:因为=a+b,=a-b,所以=-=-(a+b)=-a-b,(a-b)=a-b,a+b,=-=-a+b.五、变式演练,深化提高练习1:解析:平面向量的基底有无数对;零向量与任意向量平行,不可以参与基底.所以只有(2)正确.答案:(2)练习2:解析:四组向量中只有D选项中的两个不共线.答案:D六、反思小结,观点提炼1.平面向量基本定理;2.平面向量基本定理的应用;3.由特殊到一般、归纳概括 .。
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湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表
示》学案 新人教A 版必修4
【学习目标】要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个或一个向量分解
为两个向量．
【学习重点】 .平面向量的基本定理及其应用．
【学习难点】平面向量的基本定理．
一、课前回顾
1.向量共线定理：
2．向量的加法运算（平行四边形法则）；
3给定平面内的任意俩个向量1e ，2e ，作出向量31e +22e ，1e —22e .
二、新课讲授
1平面向量基本定理
思考1;一个平面内的俩个不共线的向量1e ，2e 平面内与任意一个向量a 的关系 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量，
OA =1e ，OM =λ
12e ，OC =a =OM +ON =λ11e +λ22e ， OB =2e ，ON =λ22e ．
得平面向量基本定理：
如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只
有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ11e +λ2
2e ． 我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 合作
探究
（1）假如1e ,2e 共线，那么对于这一平面内的任一向量a ，是否也有且只有一对实数λ 1 ，
λ2使a ＝λ11e +λ2
2e ． （2）λ1，λ2是被a ，1e
，2e 唯一确定的数量吗？ 向量与非零向量共线，当且仅当有唯b a λλ一的一个实数，使=.b a
（3）平面内的任一向量a 都可以由平面内的俩个不共线的向量1e ，2e 表示出来吗
2.向量的夹角: 显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=,a =b ，则 叫做向量a 与b 的夹角。
如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。
当 时，表示a 与b 同向； 当 时，表示a 与b 反向。
3.垂直向量 如果 ，就称a 与b 垂直，记作
【典例剖析】
例1 已知向量1e ,2e ，求作向量 2.51e +32e ．
作法：（1）取点O ，作OA = 2.51e ，OB =32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求．
思考：此题还有其他的做法吗？
三．知识梳理：
１．平面向量的基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个
向量的和，并且这种分解是唯一的。
２．平面向量的基本定理中“同一平面内两个不共线的向量1e 、2e ”叫做基底，基底的条件是在
同一平面内不共线，即同一平面内的两个向量1e 、2e 只要不共线即可作为基底，换句话说，平面
内向量的基底不唯一，那么同一平面内任何一组不共线的向量都可作为表示这一平面内的所有向量
的基底。
３．由于零向量可看成与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底。
【总结反思】
【巩固拓展训练】 1．若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设OA = a ，OB = b ，则向量BC 等于
（ ）
A ．+a b
B ．--a b
C ．+-a b
D ．-a b
2．已知向量a 和b 不共线，实数x,y 满足(2)45(2)x -y x -y +a b =a +b ，则x +y
的值等于（ ）
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．3
1
e 2e
3．若 5→ AB + 3→ CD =0，且 |→ AD | = |→ BC |，则四边形ABCD 是 （ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．等腰梯形
D ．非等腰梯形 4．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB ＝a ，AC ＝b ，则AM ＝（ ） Ａ．21（ a － b ） Ｂ． －2
1（ a － b ） Ｃ．－21（ a ＋b ） Ｄ．2
1（ a ＋b ） 5．若1e 和2e 不共线，且123=-+a e e ，1242=+b e e ，12312=-+c e e ，则向量a 可用向量b ，c 表示为a =
6．当ｋ为何值时，向量a ＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共线，其中1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量。
7．已知：1e 、2e 是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a ＝ｋ1e +2e 与b ＝1e ＋ｋ2e 共线？。