高中数学人教A版必修一优化练习：第二章 2.1 2.1.1 第2课时 指数幂及运算 Word版含解析
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
2019A新高中数学必修第一册：2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式
2014年新课标人教A版必修1数学2.1.1根式与分数指数幂随堂优化训练课件
(1) 3 (16)3 ； (2) 6 ( 3) 6 ； (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2. 解：(1) 3 (16)3 ＝－16. (2) 6 ( 3) 6 ＝|－3|＝3. (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π.
2.化简：
题型 3 分数指数幂与根式的互化 【例 3】 将下列分数指数幂化为根式(其中 a>0)：
4 3 1 2 3 2 5 2
(1)5 ；
4 3
(2)2 ；
(3)a ；
(4)a .
思维突破：根据分数指数幂的意义计算.
解：(1)5 ＝ 3 54 . 2 (2)2 ＝ 2 .
1 2
(3)a ＝ a3. 1 (4)a ＝ 5. a
依此类推，若 xn＝a，那么 x 叫做 a 的______________. 答案：二次方根 立方根 四次方根
n 次方根
2.计算( 3)2，3 43 ，n (2) n .从特殊到一般， 思考( n a )n，n a n 的结果.
答案：( 3)2＝3， 3 43 ＝4， n (2) n
－2，n为奇数， ＝ 2，n为偶数.
a
－a
a≥0， (n 为大于 1 a＜0
2 －7 练习 2： 3 (7)3 ＝________ ； 4 (2) 4 ＝________.
3.分数指数幂的意义 正分数 指数幂
m a 规定： a ＝________(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)
m n
n
分 1 数 m n am 指 负分数 规定： a n ＝ 1m ＝____________( a>0，m， an 数 指数幂 * n ∈ N ，且 n>1) 幂 0 0 的正分数指数幂等于____________ ， 性质 没有意义 0的负分数指数幂____________
人教A版高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算第一、二、三课时
备用
1.要使
(5x
1
)
3 4
(x
2
1) 3
有意义,则x的取
值范围是 2
2.计算:1
(a 2
1
a2
1
)(a 2
1
a2
)(a
a2
a1)
a2
3.求值: 3 2 5 12 3 2 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
第3课时
指数式的计算与化简
指数式的计算与化简,除了掌握定义、法则外，还 要掌握一些变形技巧.根据题目的不同结构特征,灵 活运用不同的技巧,才能做到运算合理准确快捷.
(2)在 根 式n am中,若 根 指 数n与 幂 指 数m有 公 约 数 时, 当a 0时 可约 分.当a 0时 不可 随意 约 分. 如8 32 4 3, 10 (2)2 5 2而15 (2)5 3 2.
课堂练习：课本 P54中练习第3题
课外作业：课本 P59习题2.1中A组第2，3，4题
4.下 列 各 式 中,正 确 的 是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
小结
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根, 其中n 1且n N .
2.根式的简单性质: 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
(1)a a1 7; (2)a2 a2 47;
3
a2 (3) 1
3
a 2
1
(a
1 2
1
a2
)(a
1
a1
1
1
a2
1
a2
)
人教A高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算
练一练
3 3 27
2 3 8
2 5 32
22 4
3 2 9 2 416
视察思考：你能得到什么结论？
得出结论
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
3 3 27 2 3 8 2 5 32
x 5 11
结论：当 n为奇数时，记为 x n a
得出结论
22 4 3 2 9 2 4 16
2.根式的概念：式子n a 叫做根式，其中 n 叫做根指
数，a 叫做被开方数.
3.根式的性质：（1）当 n a有意义时，(n a)n a
（2）当 n 是奇数时， n an a
n 当
是偶数时，n an
a
a(a 0) a(a 0)
选做题： 化简计算：
a
(3) 5 a b5 ;
(4) 6 (a b)6
课堂练习二：化简下列各式 :
(1) 5 32
(2) (3)4 (3) ( 2 3)2 (4)
52 6 化简计算： 3 2 2 3 2 2
课时小结
本节课同学们有哪些收获呢？
1. n次方根的概念: 一般地，如果xn a ，那么 x 叫 a的 n次方根，其中 n 1 且 n N*.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
学习目标
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式性质． 2．能利用根式的性质对根式进行化简．
平方根
如果 x2 a，那么 x 叫做 a的平方根,
正数的平方根有两个，它们互为相反数.
记作 a
如：4的平方根是±2，即 2 4
n 次方根存在吗？有几个？怎么表示？ 若 a是负数呢？
高中数学必修1_ 第二章 2.1 第2课时 指数幂及其运算
＝[(0.4)3]
－
1 3
－
1
＋
(－
2)－4
＋
2－
3＋[(0.1)2]12
＝
0.4－1
－1＋
1 16
＋18＋
0.1＝18403.
(2)原式＝a13×92·a13×－32÷a12×－73·a12
×133＝a96－36＋76－163＝a0＝1.
指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做 指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒 数．底数是负数，先确定符号，底数是 小数，先要化成分数，底数是带分数， 先要化成假分数，然后要尽可能用幂的 形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[课前反思] (1)分数指数幂的意义是什么？
； (2)有理指数幂的运算性质有哪些？
.
观察下式，完成下列思考．
amn ＝n
am，a－mn ＝a1mn ＝n
1 (a>0，n，m∈N*，n>1)． am
[思考 1] 怎样理解分数指数幂？
名师指津：“三角度”理解分指数幂 (1)角度一：与根式的关系． 分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分 数指数幂可以相互转化． (2)角度二：底数的取值范围． 由分数指数幂的定义知 a≤0，amn 可能会有意 义．当 amn 有意义时可借助定义将底数化为正数， 再进行运算．
③0 的分数指数幂的意义：
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无
意义．
(2)有理指数幂的运算性质： ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (3)无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个 确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理 数指数幂同样适用．
高中数学人教A版必修一优化练习：第二章 2.1 2.1.1 第2课时 指数幂及运算 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．化简[3(－5)2]34的结果是( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析：[3(－5)2]34＝(352)34＝52334⨯＝512＝ 5.答案：B 2．设a 12－a 12-＝m ，则a 2＋1a 等于( )A ．m 2－2 B.2－m 2 C ．m 2＋2 D ．m 2解析：对a 12－a12-＝m 平方得：a ＋1a －2＝m 2，∴a 2＋1a ＝a ＋1a ＝m 2＋2. 答案：C3.222的值是( ) A ．278B.258C ．234D ．232解析：222278. 答案：A4． (112)0－(1－0.5－2)÷(278)23的值为( )A ．－13 B.13 C.43D ．73解析：原式＝1－(1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫32233⨯＝1－(－3)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1＋3×49＝1＋43＝73. 答案：D5．若102x ＝25，则10－x ＝( ) A ．－15 B.15 C.150D ．1625解析：102x ＝(10x )2＝25，∵10x >0，∴10x ＝5,10－x ＝110x ＝15. 答案：B6．已知102m ＝2,10n ＝3，则10－2m －10－n ＝________. 解析：由102m ＝2，得10－2m＝1102m ＝12；由10n ＝3，得10－n ＝110n ＝13； ∴10－2m －10－n ＝12－13＝16. 答案：167．已知2x ＝(2)y ＋2，且9y ＝3x －1，则x ＋y ＝________. 解析：2x＝(2)y ＋2＝222y +，9y ＝32y ＝3x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋22，2y ＝x －1，解得{ x ＝1y ＝0，∴x ＋y ＝1.答案：18．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，则11221122x y x y-+的值是________．解析：∵11221122x y x y-+=()122()x y xy x y+--又∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝108.又x ＜y ，∴x －y ＝－108＝－6 3. 代入化简后可得结果为－33. 答案：－33 9．化简求值：(1)(279)0.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2102723-－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338 23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫642723-－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝(－1)23-×(338)23-＋(1500)12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823-＋(500) 12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 10．完成下列式子的化简： (1)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (2)23a ÷46a ·b ×3b 3.解析：(1)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c . (2)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 1136-b 16-·3b 32＝32a 16b 43.[B 组 能力提升]1．若S ＝(1＋2132-)(1＋2116-)(1＋218-)(1＋214-)(1＋212-)，则S 等于( )A.12(1－2132-)－1B.(1－2132-)－1C ．1－2132-D ．12(1－2132-)解析：令2132-＝a ，则S ＝(1＋a )(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16)．因为1－a ≠0，所以(1－a )S ＝(1－a )(1＋a )(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16) ＝(1－a 2)(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16) ＝…＝1－a 32＝1－2－1＝12.所以S ＝12(1－a )－1＝12(1－2132-)－1.故选A.答案：A2．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D ．x x －1解析：∵x ＝1＋2b ，∴2b ＝x －1，∴2－b ＝12b ＝1x －1，∴y ＝1＋2－b ＝1＋1x －1＝x x －1. 答案：D 3．已知10a＝212-，10b＝332，则1 032+4a b＝________.解析：1032+4a b＝(10a )2·(10b )34＝(212-)2·(3213)34＝2－1·254＝214. 答案：2144．若x 1，x 2为方程2x ＝(12)1+1x -的两个实数根，则x 1＋x 2＝________. 解析：∵2x＝(12)1+1x-＝21-1x ，∴x ＝11x-，∴x 2＋x －1＝0. ∵x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 5．已知a ＝3，求11144211241111aaaa+++++-+ 的值 解析：11144211241111aaa a+++++-+ 1114422241(1)(1)1aa a a++++-+ 1122224111a aa+++-+ 1122441(1)(1)aa a +++-+ ＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1. 6．已知x ＝12(51n－51n-)，n ∈N ＋，求(x ＋1＋x 2)n 的值．解析：∵1＋x 2＝1＋14(51n－51n -)2＝1＋14(52n－2＋52n -) ＝14(52n＋2＋52n-)＝[12(51n＋51n -)]2， ∴1＋x 2＝12(51n ＋51n -)，∴x ＋1＋x 2＝12(51n －51n -)＋12(51n ＋51n -)＝51n.1∴(x＋1＋x2)n＝(5n)n＝5.。
人教A版必修一2.1.1.2指数幂及运算
类型一：根式与分数指数幂的互化 用分数指数幂的形式表示下列各式：
规律方法：此类问题应熟练应用
（a＞0，m，n
N*，且n＞1）.当所求根式含有多重根号时，要搞清被 开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质 进行化简. 变式训练1－1：化简
类型二：利用指数幂的运算性质化简、求值 计算下列各式：
（2）解决此类问题的一般步骤是
变式训练3－1：已知x+y=12，xy=9，且x<y，求
的值
思路点拨：负化正、大化小，根式化为分数指数幂，小数化为分数，是简化运 算的常用技巧.
规律方法：（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的； 无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数， 先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化 成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性 质. （2）根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的 运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由 内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.如
. 2. 有理数指数幂的运算性质
3.无理数指数幂 无理数指数幂 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
可化为（ D ）
可化为（ A ）
探究要点一：分数指数幂的概念 1.分数指数幂的引进是受到根式的基本性质启发的.从根式的基本性质
由此知，分数指数幂并不表示相同因式积，而是根式的另一种写法罢了， 分数指数幂与根式可以相互转换. 2.在引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数向有理数指数 的扩展，在进行有理数指数幂的运算时，一般思路是化负指数为正指数，化 根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质.同时要注意 运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运 算过程.
高中数学人教版A版必修一课时作业及解析：第二章2-1指数函数
∴原式＝－－24x1－≤2x<3 －3<x<1 .
12．解
1
1
1
原式＝
a3
2
a 8b
1
2
a3
2b3
1
1
×a3
4b3 2a3 a 3
a3
13．解 ∵x－ xy－2y＝0，x>0，y>0， ∴( x)2－ xy－2( y)2＝0， ∴( x＋ y)( x－2 y)＝0， 由 x>0，y>0 得 x＋ y>0， ∴ x－2 y＝0，∴x＝4y， ∴y2＋x－2 xxyy＝8yy＋－42yy＝65.
6
1
－32>0， 33
<0，C
选项错．故选
D.]
6．B [①中，当 a<0 时，
a2
3 2
a2
1 2
3
＝(－a)3＝－a3，
∴①不正确；
②中，若 a＝－2，n＝3，
则3 －23＝－2≠|－2|，∴②不正确；
x－2≥0， ③中，有3x－7≠0，
即 x≥2 且 x≠73，
故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确； ④中，∵100a＝5,10b＝2， ∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即 102a＋b＝10.
1 2
3
xy
1 2
·(xy)－1
12
＝ x3 ·y 3
1
x6
y
1 6
x
1 2
y
1 2
＝x1 3·x1 31， ＝－1，x<0
x>0
.
(2)原式＝ 1 ＋ 1 ＋ 2＋1－22 22
＝2 2－3.
2019-2020年数学人教A版必修一优化课件：第二章 2.1 2.1.1 第2课时 指数幂及运算
(1)原式＝[(53)
2 3
＋(2－4)
1 2
＋(73)
11
1
1
3 ] 2 ＝(52＋22＋7) 2 ＝36 2 ＝6.
(2)原式＝[141
27 000
2 3
＋14×50×1010600
3 4
]
1 2
＝[14130
3
2 3
＋14×50×120
4
9 B.100
10 C. 3
D．130
解析：(0.027)
2 3
＝[(0.3)3]
2 3
＝0.3
3(-
2 3
)
＝0.3－2＝0.132＝0.109＝1090.
答案：A
3．计算：2 3×3 1.5×6 12＝________.
解析：2
3×3
1.5×6
1
12＝2×3 2
×32
1 3
2019/7/18
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24
1．规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
an＝
n am
(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：
1
a
m n
＝
＝ n am (a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．
3．0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义 ．
二、有理数指数幂的运算性质 1．aras＝ ar＋s ； 2．(ar)s＝ ars ； 3．(ab)r＝ arbr . 三、无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个 确定的实数 ，有理数指数幂的运算 性质对于无理数指数幂同样适用．
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[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．化简[3
(－5)2]3
4
的结果是( )
A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5
解析：[
3
(－5)2]34
＝(
352)34
＝5
2334
⨯＝512
＝ 5.
答案：B 2．设a 12
－a 12
-＝m ，则a 2＋1
a 等于( )
A ．m 2－2 B.2－m 2 C ．m 2＋2 D ．m 2
解析：对a 12
－a
12
-＝m 平方得：a ＋1
a －2＝m 2，
∴a 2＋1a ＝a ＋1
a ＝m 2＋2. 答案：C
3.222的值是( ) A ．278
B.258
C ．234
D ．232
解析：222278
. 答案：A
4． (112)0－(1－0.5－2
)÷(278)23的值为( )
A ．－13 B.13 C.43
D ．73
解析：原式＝1－(1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322
33⨯ ＝1－(－3)÷
⎝ ⎛⎭⎪⎫322
＝1＋3×49＝1＋43＝73. 答案：D
5．若102x ＝25，则10－x ＝( ) A ．－1
5 B.15 C.150
D ．1625
解析：102x ＝(10x )2＝25，∵10x >0，∴10x ＝5,10－x ＝110x ＝1
5. 答案：B
6．已知102m ＝2,10n ＝3，则10－2m －10－n ＝________. 解析：由102m ＝2，得10－2m ＝1102m ＝1
2； 由10n ＝3，得10－n ＝110n ＝1
3； ∴10－2m －10－n ＝12－13＝1
6. 答案：16
7．已知2x ＝(2)y ＋2，且9y ＝3x －1，则x ＋y ＝________. 解析：2x ＝(2)y ＋2＝22
2
y +，
9y ＝32y ＝3x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝y ＋22，2y ＝x －1，解得{
x ＝1
y ＝0，∴x ＋y ＝1.
答案：1
8．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，则
1122112
2
x y x y
-+的值是________．
解析：∵
112
2112
2
x y x y
-+=
()12
2()
x y xy x y
+--
又∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝108. 又x ＜y ，∴x －y ＝－108＝－6 3. 代入化简后可得结果为－3
3. 答案：－3
3 9．化简求值：
(1)(279)0.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫210272
3-－3π0
＋3748； (2)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－338 2
3
-
＋(0.002)
12
-
－10(5－2)－1＋(2－3)0.
解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2591
2＋10.12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫642723
-－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.
(2)原式＝(－1)
23
-×(338)23-＋(1500)1
2－105－2＋1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2782
3-
＋(500) 12
－10(5＋2)＋1
＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 10．完成下列式子的化简： (1)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (2)23a ÷46a ·b ×3b 3.
解析：(1)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c . (2)原式＝2a 1
3÷(4a 16b 16)×(3b 32
)
＝12a 1136-b 16-·3b 3
2＝32a 16b 43.
[B 组 能力提升]
1．若S ＝(1＋2
132
-)(1＋2
116
-
)(1＋2
18
-
)(1＋2
14
-
)(1＋2
12
-
)，则S 等于( )
A.1
2(1－2132-)－1
B.(1－2
1
32-
)－1
C ．1－2132
-
D ．1
2(1－2132-)
解析：令2
132
-＝a ，则S ＝(1＋a )(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16)．
因为1－a ≠0，所以(1－a )S ＝(1－a )(1＋a )(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16) ＝(1－a 2)(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16) ＝…＝1－a 32＝1－2－1＝1
2.
所以S ＝12(1－a )－1
＝12(1－2132-)－1.故选A.
答案：A
2．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1
D ．x x －1
解析：∵x ＝1＋2b ，∴2b ＝x －1，∴2－b ＝12b ＝1
x －1，
∴y ＝1＋2－b ＝1＋1x －1＝x x －1
. 答案：D 3．已知10a
＝212
-
，10b
＝3
32，则1 0
32+4
a b
＝________.
解析：1032+4
a b
＝(10a )
2
·(10b )3
4
＝(2
1
2-
)2
·(3213
)34
＝2
－1
·254＝21
4
.
答案：214
4．若x 1，x 2为方程2x ＝(1
2)1+1x -的两个实数根，则x 1＋x 2＝________.
解析：∵2x
＝(12)1
+1x
-＝21-1x ，
∴x ＝
1
1x
-，∴x 2＋x －1＝0. ∵x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 5．已知a ＝3，求1114
4
2
1124
1111a
a
a
a
+
+
+
++-+ 的值 解析：
1114
4
2
1124
1111a
a
a a
+
+
+
++-+ 1114
4
2
2241(1)(1)
1a
a a a
+
+
++-+ 112
2
224
111a a
a
++
+-+ 112
2
4
41(1)(1)
a
a a ++
+-+ ＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2
＝－1. 6．已知x ＝12(51n
－51
n -)，n ∈N ＋，求(x ＋1＋x 2)n 的值． 解析：∵1＋x 2
＝1＋14(51n
－51
n -)2
＝1＋14(52n
－2＋52
n -)
＝1 4(52
n＋2＋5
2
n
-
)
＝[1
2(51
n＋5
1
n
-
)]2，
∴1＋x2＝1
2(51
n＋5
1
n
-
)，
∴x＋1＋x2
＝1 2(51
n－5
1
n
-
)＋
1
2(5
1
n＋5
1
n
-
)
＝51n.
∴(x＋1＋x2)n＝(51n)n＝5.。