三角恒等变换

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三角恒等变换所有公式

三角恒等变换所有公式
三角恒等变换是一种重要的数学思想，它是一种重要的数学变换，它可以将函数或形式转换成另一种形式。

它具有良好的几何意义，包括积分，平方，幂和三角函数。

这种变换可以帮助我们理解数学概念，解决数学问题，更好地应用数学的思想。

三角恒等变换的公式有很多种，其中最受欢迎的是“反三角变换”，它的公式如下：
反三角变换：f(x) = sinx和 cosx反三角变换是
Acos(x)+Bsin(x)。

它的反三角变换表示式是：
Acos(x)+Bsin(x) = f(x)
利用反三角变换可以将函数 f(x)换成 Acos(x)+Bsin(x)，其中A和B是任意实数。

也可以把它看成是三角函数的线性组合。

反射恒等变换：反射恒等变换是另一种常用的三角变换，它的公式是：
Csin(x)+Scos(x) = f(x)
反射恒等变换表示上式函数 f(x)以用 Csin(x)+Scos(x)表示，其中C和S是任意实数。

反射恒等变换也可以看成是三角函数的线性组合。

另外，三角恒等变换还有其他公式，例如求导公式：
f(x)=Acosx + Bsinx
反三角变换也可以应用于求积分，其求积分公式为：
F(x) = Asin(x)+Bcos(x)
F(x) =f (x) dx
上述就是三角恒等变换的所有公式，它们是数学的重要变换，有着无限的应用空间，被广泛应用在科学中和工程中。

他可以帮助我们更快地理解数学概念，解决数学问题，更好地运用数学思想。

(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档

三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。

三角恒等变换

第三章三角恒等变换（一）三角恒等变换常用公式 1．公式βα+C ：_____________________________________)cos(=+βα；2．公式βα-C ：_____________________________________)cos(=-βα。

3．公式βα+S ：_____________________________________)sin(=+βα；4．公式βα-S ：_____________________________________)sin(=-βα；5．公式βα+T ：___________________)tan(=+βα。

6．公式βα-T ：___________________)tan(=-βα。

7．公式α2S ：_____________2sin =α。

8．公式α2C ：________________________________________2cos ===α。

9．公式α2T ：________________2tan =α。

10．将α2sin 1±化为一个平方式：_________________________。

11．二倍角公式α2C 的几种变形形式：⑴=+α2cos 1_______________； ⑵=-α2cos 1_______________；⑶降幂公式=α2sin ________________； ⑷降幂公式=α2cos ________________。

12．将ααcos sin b a +化为一个角的一个三角函数___________________________。

（二）三角恒等变换常用方法利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的求值、化简、证明问题一般可用“差异分析法”。

所谓“差异分析”，就是考察所给问题中1．角的差异；2．函数名称的差异；3．运算符号的差异。

分析这些差异的联系，从解决差异入手，施行适当的变换（角的变换、函数名的变换、运算符号的变换等），不断消除差异，从而达到目标。

三角恒等变换知识点总结详解

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。

这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。

1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。

- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。

2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。

- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。

3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。

- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。

- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。

4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。

- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。

- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。

三角恒等变换

2， π 2cos4＝－1， 2，最小值为－
3π f 4 ＝
3π π 2sin 2 －4＝－
所以函数 1.
π 3π f(x)在区间8， 4 上的最大值为
【考情分析】
两角和与差的三角函数公式及倍角公式一直是高考数学的热点内容之一，可对其直接考查，主要是作为工具在有关三角函数的解答题中进行考查，各种题型均可能出现，难度不大，分值4～6分．
π α α 2 cos2 . α，再升幂或化为sin2± 1± cos2±
(4)asin α ＋ bcos α→ 辅助角公式 asin α ＋ bcos α ＝ b a ＋b · sin(α ＋ φ) ，其中 tan φ ＝ a 或 asin α ＋ b cos α ＝
2
升幂：1＋cos 2α＝2cos2 α， 1－cos 2α＝2sin2 α.
(4) 角的变换．角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的变换有： α＝(α＋β)－β， 1 α＝β－(β－α)，α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ， 1 α＝2[(α＋β)－(β－α)] ， α＋β＝(2α＋β)－α 等． (5)公式的逆用和变用．
sin 47° －sin 17° cos 30° 6．(2013· 重庆高考) ＝( cos 17° 3 A．－ 2 1 C.2 1 B．－2 3 D. 2
)
sin 47° －sin 17° cos 30° 解析： cos 17° sin17° ＋30° －sin 17° cos 30° ＝ cos 17° sin 17° cos 30° ＋cos 17°sin 30° －sin 17°cos 30° ＝ cos 17° 1 ＝sin 30° ＝2，选 C. 答案：C

三角恒等变换的概念与性质

三角恒等变换的概念与性质三角恒等变换是指具有相同数学结构的两个三角形之间的一系列等式和比例关系。

在三角学中，恒等变换是非常重要的概念，它不仅可以帮助我们简化计算，还可以帮助我们发现三角形的各种性质和关系。

本文将介绍三角恒等变换的概念和一些常见的性质。

一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是由三角函数的基本性质推导出来的一系列等式和比例关系。

它可以将一个三角函数的表达式变换为另一个等价的表达式，或者将一个三角函数与其他三角函数进行关联。

三角恒等变换的概念是基于三角函数的周期性和对称性的特点而建立的。

根据三角函数的定义，我们可以得到很多关于三角函数之间的等式和比例关系，这些等式和比例关系就是三角恒等变换的基础。

通过利用这些等式和比例关系，我们可以进行三角函数的简化、求值和证明等操作。

二、常见的三角恒等变换1. 倍角公式：a) 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθb) 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)c) 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2(θ))2. 半角公式：a) 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]b) 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ) / 2]c) 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = sinθ / (1 + cosθ)3. 和差公式：a) 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβb) 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβc) 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)4. 三角函数的倒数关系：a) sinθ = 1 / cscθb) cosθ = 1 / secθc) tanθ = 1 / cotθ以上仅是一些常见的三角恒等变换，实际上还有更多的变换关系可以推导得到。

三角恒等变换技巧

三角恒等变换技巧三角恒等变换是指一系列三角函数的等价关系，通过这些等价关系，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而更容易进行求解和计算。

在解三角函数方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等问题中，三角恒等变换技巧是非常重要的。

1.基本恒等式：基本恒等式是指最基本的三角函数之间的等价关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

（1）正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1sin(-θ) = -sinθsin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2θ) = 2sinθcosθ（2）余弦函数的基本恒等式：cos²θ + sin²θ = 1cos(-θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ（3）正切函数的基本恒等式：ta nθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π/2 + θ) = -1/tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan²θ)2.和差角公式：和差角公式是指可以将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的等价关系。

（1）正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ（2）余弦函数的和差角公式：cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ（3）正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)3.二倍角公式：二倍角公式是指可以将一个三角函数的二倍角转化为一个三角函数的等价关系。

三角恒等变换课件

解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$，得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要的变换方法，通过代数运算将一个三角函数式转换为另一个三角函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性质，如线性性质、乘积性质、幂的性质等，这些性质在变换过程中起着重要的作用。

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（２）若已知ｓｉｎ＋厂（）＝ ÷，据此
ａ－
２ｔａｎ（４４ｓ－ｘ）ｉｎ２ｌｆ＼４机１／
（２）
２２
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Ｘｆ２ｓｉｎ（２）＋１＂的值已知０＜＜詈，０詈，求—
例１设为锐角，若
ｃ。ｓ
度入子．例如：切化弦， “ 复角” 变“ 单
切值，再据已知卢与２
构造出
，
角” ，降次，等等．第（１）题先降次，再
从而可求出Ｏｔ的一个三角函数值，再据，的取值范围求Ｏ／的取值范
、／丽
（０＜＜订）．
ｔａｎ２詈，求南值・
２
最高点与最低点间的距离求出∞；第（２）１＂３先将要求的关系“ ｏ切化弦” ，并
出它们之间的关系；有一定难度；但
若从角度关系入手．发现已知角与未知角的倍数关系．再进行拆角变
换就可很快解决此题．
破解
与，应进行统一，通过常值 ‘ ‘ １ ’ ’ 的
１一ｔａｎ
２５
２
２５
２
５０
图象上相邻最高点、最低点问的距
醐
例２化简：
２ｅｏｓ４ｘ一２ｃ０ｓ＋
离为、／４＋竹．
（１）求函）的表达式；
（１）
２
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＜
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ｏ
＞０，所以原式：一ｃ。ｓ
２ｓｉｎ（ａ＋３）ｃｏｓａ＝４ｃｏｓ（ａ＋１）ｆｓｉｎａ．因为
所以
６
＋＜＋旦：
６２６
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２
３
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ｏ＜詈，０＜号，所以０姐＜耵，所
以ｓｉｎ（（） ≠０，ＣＯＳＯ／ ≠０．所以ＣＯＳ＝）＝）ｓｉｎａ＃Ｏ，所以
水 — —
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明但．
．
３ｓｉ－Ｓ（＋卢），４ｔａｎ詈＿１一思索第（１）问首先根据偶函（１＋ｓｉｎｃ。ｓ（ｓｉｎ导一ｃ？ｓ导）Ｋ数的定义求出‘ Ｄ值，再结合图象理解
（４－ｘ１；第（２）题所求关系中角为
破解因为４ｔａｎ：１一ｔａｎ２且
若从条件展开ｃ。ｓ（＋詈 ÷ ，则也代换，变“ 复角” 为“ 单角” ，从而使问应展开所求的ｓｉｎ（２＋＇ｉＴ），才可找题获解．
（１）原式＝
破解因为为锐角．即０＜＜
．
掣／＼＼斗／
ｅ０Ｉ』
：
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『２ｓｉ仆。＋２。坦１
（２）
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（＋詈）＝了４，￣．］１ｓｉｎ（２＋）的值
—
为—
切化弦，并利用互余变形ｓｉｎ（手机）：围，从而确定堆
ｃ。ｓ
思索：三角变换的基本策略常常是从角的关系寻找突破口：本题
４，￣ｅｔａｎ（ａ＋／？）２．所以ｔａｎ（
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ｔａｎａ
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２ｔａｎｃ￣＝１（１）・又Ｏ＜詈，０＜詈，所
以０＜＜叮Ｔ（２）．由（１）和（２）知
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以ｓｉｎ（２叶）＝ｓｉｎ２＋詈一号）＝
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所以ｓｉｎ２
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２
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