2018版高中数学第三章不等式3.5.2简单线性规划二学案新人教B版

3.5.2 简单线性规划(二)学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性函数的最值．知识点一 非线性约束条件思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域．梳理 约束条件不是______________不等式．这样的约束条件称为非线性约束条件．知识点二 非线性目标函数思考 在问题“若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值”中，你能仿照目标函数z ＝ax ＋by 的几何意义来解释z ＝y －1x －1的几何意义吗？梳理 下表是一些常见的非线性目标函数．类型一生活实际中的线性规划问题例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)反思与感悟在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？类型二 非线性目标函数的最值问题命题角度1 斜率型目标函数例2 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 引申探究1．把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．反思与感悟 对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．跟踪训练2 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．(－∞，0] C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)命题角度2 两点间距离型目标函数例3 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．反思与感悟 当斜率k 、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．跟踪训练3 变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种2．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．103．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________． 4．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为______．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)应结合可行域与目标函数微调．3．对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x 2＋y 2是点(x ，y )到点(0,0)的距离的平方，而非距离．答案精析问题导学 知识点一 思考梳理 二元一次 知识点二 思考 z ＝y －1x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率． 梳理 在y 轴上的截距 在y 轴上的截距最大(或最小) (x ，y ) (a ，b ) 平方 交点 (x ，y ) (a ，b ) 斜率 斜率 (x ，y ) ax ＋by ＋c ＝0 交点 题型探究 类型一例1 解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件、y 件，获取的利润为z 百元， 则z ＝2x ＋y (百元)⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ≤24，x ＋y ≤5，5y ≤15，x ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分中的整点，由图可得O (0,0)，A (0,3)，B (2,3)， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，32，D (4,0)． 平移直线y ＝－2x ＋z ，当直线过点(3,2)或(4,0)时z 有最大值．所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大．跟踪训练1 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ∈N ，y ∈N .由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点坐标为(25，752)．所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎫2007，2007，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752，O ()0，0为顶点的三角形区域(含边界) (如图)，由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752时取得最大值，但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择． 类型二 命题角度1x ＋1x －－故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值， 如图所示，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)， ∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.引申探究1．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ， 即29≤k ≤143， ∴13≤32k ≤7， ∴z 的取值范围是[13，7]．x ＋1x ＋1设k ＝y －1x ＋1，仿例2解得－12≤k ≤1. ∴z ∈[32，3]．跟踪训练2 D 命题角度2例3 解 z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知， 原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离d 最小．故z max ＝|OA |2＝13，z min ＝d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝12. 跟踪训练3 解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，即2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到点(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝－3－2＋－2＝8.所以16≤z ≤64. 当堂训练1．C 2.D 3.3 4.12。