人教版八年级数学上册珠海市文园中学—度第一学期期中考试
广东省珠海市文园中学(集团)2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷
广东省珠海市文园中学（集团）2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷一、单选题1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A ．B ．C ．D ．2．现有两根长度分别3cm 和7cm 的木棒．若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（）A ．4cm B ．7cm C ．10cm D ．13cm3．若ABC DEF ≌△△，且50A ∠=︒，=60B ∠︒，则F ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒4．意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（）A ．三角形具有稳定性B ．两点之间，线段最短C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短5．如图，ABC V 的面积为18，AD 为ABC V 的中线，E 、F 为AD 的两个三等分点，连接CE BF 、，则图中阴影部分的面积和为（）A ．4B ．6C ．8D ．96．如图，在ABC V 中，点D 在BC 上，AD BD =，40B ∠=︒，将ABD △沿着AD 翻折得到AED △，则CDE ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒7．下列关于ABC V 的说法错误的是（）A ．若AB AC =，则ABC V 为等腰三角形B ．若ABC V 为直角三角形且90C ∠=︒，30A ∠=︒，则BC 等于AB 的一半C ．若ABC V 中::4:5:6A B C ∠∠∠=，则ABC V 为直角三角形D ．若ABC V 中AB AC =，60A ∠=︒，则ABC V 为等边三角形8．如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线a b ⊥r r ，则该正多边形是（）A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形9．如图，,AB CD 表示两条公路，,E F 表示两个仓库，试找出点P ，使点P 到两公路的距离相等且到两个仓库的距离也相等，则点P 为（）A ．EF 的垂直平分线与CD 的交点B ．EF 的垂直平分线与AB 的交点C ．EF 的垂直平分线与,AB CD 夹角的平分线的交点D ．以上都不对10．如图，已知ABC V 和CDE 均是等边三角形，点B 、C 、D 在同一条直线上；BE 与AD交于点O ，AD 与CE 交于点N ，AC 与BE 交于点M ，连接OC 、MN ，则下列结论：①AD BE =；②ME BM =；③MN BD ∥；④BOC DOC ∠=∠；⑤OB AO OC =+，其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．一个七边形的内角和等于︒．12．已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是．13．如图，若AB=AC ，BD=CD ，∠A=80°，∠BDC=120°，则∠B=°.14．如图，4cm,6cm,AB BC B C ==∠=∠，如果点P 在线段BC 上以2cm /秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 从C 点出发沿射线CD 运动．若经过t 秒后，ABP 与CQP V 全等，则t 的值是．15．如图，10AOB ∠=︒，射线OA 、OB 上有一系列点1C 、2C 、3C 、…、n C ，满足1122334451n n OC C C C C C C C C C C -====== ，当1n n C C OB -⊥时，n =．三、解答题16．上午8时，一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得42NAC ∠=︒，84NBC ∠=︒，求从海岛B 到灯塔C 的距离．17．在ABC V 中，,DE FG 分别是边,AB AC 的垂直平分线，(1)若120BAC ∠=︒，求EAG ∠的度数．(2)若8BC =，求AEG △的周长．18．如图，AC BC ⊥，DC EC ⊥，AC BC =．DC EC =，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：AE BD =；（2）求AFD ∠的度数．19．（1）画出ABC V 关于x 轴的对称图形111A B C △；（2）求ABC V 的面积；（3）在y 轴上找一点P ，使得PBC △的周长最小（保留作图痕迹，不写做法）．20．如图，点D ，E 分别是ABC V 边AC ，BC 上的点，点D 在线段AB 的垂直平分线上，87ABC ∠=︒，33ACB ∠=︒，27∠︒=CAE (1)求证：ABD △是等边三角形；(2)求证：2BD BE BC =⋅．21．如图，在ABC V 中，BD CD ，分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，BP CP ，分别是EBC FCB ∠∠，的平分线．(1)当60ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒时，D ∠=°，P ∠=°；(2)60A D ∠∠=︒=，°，P ∠=°；(3)请你猜想，当A ∠的大小变化时，D P ∠∠+的值是否变化？请说明理由．22．如图，等腰直角ABC V 中，BC AC =，90ACB ∠=︒，现将该三角形放置在平面直角坐标系中：(1)若点B 坐标为(0,2)，点C 坐标为(6,0)，求点A 的坐标；(2)若点B 坐标为(0,)m ，点C 坐标为(,0)n ，连接OA ，若P 为坐标平面内异于点A 的点，且以O 、P 、C 为顶点的三角形与OAC 全等，请求出满足条件的点P 的坐标（用含m ，n 的式子表示）；(3)已知(4,3)A ，5OA =，在x 轴上是否存在点Q ，使OAQ 是以OA 为腰的等腰三角形，直接写出点Q 的坐标_____．23．在锐角ABC V 中，45B ∠=︒，60C ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．(1)如图1，过点B 作BG AC ⊥于点G ，求证：AC BF =；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ AP ⊥，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得APM ∆和AQN ∆成轴对称，若有，求此刻APD ∠的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 于点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD ，请直接写出PB BD的值．。
广东省珠海市文园中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题(含答案解析)
广东省珠海市文园中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下四个环保标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．以下各组线段中， 能组成三角形的是（ ）A ．1cm 、2cm 、4cmB ．2cm 、3cm 、6cmC ．4cm 、6cm 、8cmD ．5cm 、6cm 、12cm 3．下列四个图形中，线段BH 是ABC 的高的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在直线向右平移到Rt △DEF ，则下列结论中，错误的是（ ）A ．BE EC =B ．BC EF = C ．AC DF= D ．ABC DEF △≌△5．如图，在△ABC 中，∠A ＝50°，∠C ＝60°，BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是（ ）A ．85°B ．80°C ．75°D ．70° 6．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是()A．6 B．5 C．4 D．38．在平面直角坐标中，点P(2，1)关于x 轴对称点的坐标是（）A．(2，-1) B．(2，1) C．(-2，-1) D．(-2，1)，延长BC交EF于点D，若9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知ABC AEFBD＝5，BC＝4，则DE长是（）A．2 B．5 C．4 D．310．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题11．等腰三角形的两条边长为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为___．12．如图，∠1=∠2，由SAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件_____．13．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝12cm ，则阴影部分的面积是_____cm 2．14．如图，B 处在A 处的南偏西42°方向，C 处在A 处的南偏东30°方向，C 处在B 处的北偏东72°方向，则∠ACB 的度数是______．15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．16．如图，△ABC 是等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR ＝PS ，则下列结论：①AP ⊥BC ；②AS ＝AR ；③QP ∥AR ；④BRP QSP △△．正确的有________（填序号）．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，连结AE ．如果AE ∥CD 时，恰好CD ＝2.5，那么此时BE ＝________．三、解答题18．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A＝∠D＝40°．（1）求∠B的度数；（2）求∠ACD的度数．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，已知∠1＝∠2，AD＝DE，求证：△ABD≌△DCE．=，连接BD，若20．如图，以等边ABC的边AC为腰作等腰CAD，使AC AD∠=︒，请求出CADDBC41∠的度数．21．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD．（1）用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM，交DA的延长线于点E，交BD于F （保留画图的痕迹，不写作法）；（2）若F是BD的中点，AD＝4，AC＝3，求BC的长．22．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．23．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，边长为6，高为a，在拼成的四边形ABCD中，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF，CE，CF．（1）求证：△CEF是等边三角形；（2）△AEF周长的最小值是．（用含a的式子表示）24．如图，平面直角坐标系中有点B（﹣1，0）和y轴上一动点A（0，a），其中a＞0，以A点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a=2时，则C点的坐标为（，）；（2）动点A在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．（3）当a=2时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC 全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．25．已知直线AB 交x 轴于点A （a ，o ），交y 轴下点B （0，b ），且a 、b 满足()240a b b ++-=． （1）求∠ABO 的度数；（2）如图1，若点C 在第一象限，且BE AC ⊥于点E ，延长BE 至点D ，使得BD AC =，连OC 、OD 、CD ，试判断△COD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若点C 在OB 上，点F 在AB 的延长线上，且AC =CF ，△ACP 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，CQ ⊥AF 于点Q ，求2AF BP CQ -的值．参考答案1．C【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．C【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．【详解】A、1+2＜4，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项错误；C、6+4＞8，能组成三角形，故此选项正确；D、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3．B【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足所连的线段叫做三角形的高，由此求解即可．【详解】解：第一幅图，BH是AC边上的高，符合题意；第二幅图，BH不是三角形的高，不合题意；第三幅图，BH不是三角形的高，不合题意；第四幅图，BH是AC边上的高，符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，解题的关键在于能够熟练掌握三角形高的定义．4．A【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以Rt△ABC与Rt△DEF的形状和大小完全相同，即Rt△ABC≌Rt△DEF，据此判断即可．【详解】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF，∴BC=EF，AC=DF，BC-EC=EF-EC，即BE=CF，所以只有选项A是错误的，故选：A．【点睛】本题考查了平移变换，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，熟练应用平移的基本性质．5．A【分析】先根据∠A＝50°，∠C＝60°得出∠ABC的度数，再由BD平分∠ABC求出∠ABD的度数，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和解答．【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝12∠ABC＝12×70°＝35°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝50°＋35°＝85°，故选：A．【点睛】本题考查的是三角形的外角和内角的关系，熟知三角形的外角等于和它不相邻的内角的和是解题的关键．6．C【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝900°，解得n＝7．故选：C．【点睛】本题考查多边形内角和，掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．7．D【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF=DE=2，根据S△ADB+S△ADC=7和三角形面积公式求出即可．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，∴DE=DF=2，∵S△ABC=7，∴S△ADB+S△ADC=7，∴12×AB×DE+12×AC×DF=7，∴12×4×2+12×AC×2=7，解得：AC=3．故选D .【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．8．A【分析】根据“关于x轴对称的点, 横坐标相同, 纵坐标互为相反数” 解答.【详解】解:点P(2,1)关于x轴对称的点的坐标是(2,-1)，所以A选项是正确的.【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.9．D【分析】连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF=DC=1，可得结论．【详解】解：如图，连接AD．∵△ABC ≅△AEF ，∴AF =AC ，在Rt △ADF 和Rt △ADC 中，AD AD AF AC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADF ≌Rt △ADC （HL ），∴DF =DC ，∵BD =5，BC =4，∴CD =DF =5-4=1，∵EF =BC =4，∴DE =EF -DF =4-1=3．故选：D ．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．C【分析】连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12BC •AD ＝12×4×AD ＝16，解得AD ＝8，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝8+2＝10．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．11．11cm或13cm【分析】根据等腰三角形的定义，分类讨论，当3cm的边为腰和底时，分别计算其周长即可．【详解】当3cm的边为腰时，该等腰三角形的周长为33511++=cm，当3cm的边为底时，该等腰三角形的周长为35513++=cm，故答案为：11cm或13cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．12．∠B=∠C或AB=AC【详解】本题要判定△ABD≌△ACD，已知∠1=∠2，AD是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“AAS”的条件；两角和其中一角的对应边相等，只能选∠B=∠C.解：由图可知，只能是∠B=∠C，才能组成“AAS”.故填∠B=∠C.13．18【分析】由于BC//DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．【详解】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，∴AC=6cm．由题意可知BC//ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=6cm．×6×6=18（cm2）．故S△ACF=12故答案为：18．【点睛】本题考查了相等腰三角形的判定及性质定理、含30度角的直角三角形的性质，发现△ACF 是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．14．78°【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵AE，DB是正南和正北方向，∴BD∥AE，∵B处在A处的南偏西42°方向，∴∠BAE＝∠DBA＝42°，∵C处在A处的南偏东30°方向，∴∠EAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，又∵C处在B处的北偏东72°方向，∴∠DBC＝72°，∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．故答案为：78°．【点睛】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 15．45°【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．【详解】解：如图所示： 由题意可得：11tan 3,tan 122BC CF AB EF ∠==∠== ∴∠1=∠3， tan 1FM FAM AM∠== 122345FAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：45°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键． 16．①②③④【分析】先利用直角三角形全等的判定定理证出Rt APR Rt APS ≅，再根据全等三角形的性质可得,30AS AR PAR PAS =∠=∠=︒，由此可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论①；先根据等腰三角形的性质可得30PAS APQ ∠=∠=︒，从而可得PAR APQ ∠=∠，再根据平行线的判定即可判断结论③；先根据三角形的外角性质可得60PQS ∠=︒，从而可得B PQS ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可判断结论④．【详解】解：ABC 是等边三角形，60B BAC ∴∠=∠=︒，在Rt APR 和Rt APS 中，PR PS AP AP =⎧⎨=⎩， ()Rt APR Rt APS HL ∴≅，1,302AS AR PAR PAS BAC ∴=∠=∠=∠=︒，则结论②正确； AP ∴是BAC ∠的角平分线，AP BC ∴⊥（等腰三角形的三线合一），则结论①正确；AQ PQ =，30PAS APQ ∴∠=∠=︒，PAR APQ ∴∠=∠，QP AR ∴，则结论③正确；60PQS PAS APQ ∠=∠+∠=︒，B PQS ∴∠=∠，在BRP △和QSP 中，90BRP QSP B PQS PR PS ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BRP QSP AAS ≅∴，则结论④正确；综上，正确的有①②③④，故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．17．4.8【分析】画出图形，设BE 与CD 的交点为点F ，过D 作DG BC ⊥于G ，先根据勾股定理可得5AB =，根据折叠的性质可得,2,,BE CD BE BF BD DE BDC EDC ⊥==∠=∠，再根据平行线的性质可得,AED EDC EAD BDC ∠=∠∠=∠，从而可得AED EAD ∠=∠，根据等腰三角形的判定可得AD DE =，从而可得1 2.52AD BD AB CD ====，然后根据等腰三角形的三线合一可得1 1.52BG BC ==，利用勾股定理可得2DG =，最后利用BCD △的面积可求出BF 的长，由此即可得．【详解】解：如图，设BE 与CD 的交点为点F ，过D 作DG BC ⊥于G ，90,3,4ACB BC AC ∠=︒==，5AB ∴==，由折叠的性质得：,2,,BE CD BE BF BD DE BDC EDC ⊥==∠=∠，AE CD ，,AED EDC EAD BDC ∴∠=∠∠=∠，AED EAD ∴∠=∠，AD DE ∴=，1 2.52AD BD AB ∴===， 2.5CD =，2.5BD CD ∴==，1 1.52BG BC ∴==（等腰三角形的三线合一），2DG ∴，1122BCD S CD BF BC DG =⋅=⋅， 112.53222BF ∴⨯=⨯⨯， 解得 2.4BF =，2 4.8BE BF ∴==，故答案为：4.8．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．18．（1）50°；（2）90°；【分析】（1）由DF ⊥AB ，在Rt △BDF 中可求得∠B ；（2）由（1）求出∠B ，再由∠ACD ＝∠A+∠B 可求得结论．【详解】解：（1）∵DF ⊥AB ，∴∠BFD ＝90°，∴∠B+∠D ＝90°，∵∠D ＝40°∴∠B ＝90°﹣∠D ＝90°﹣40°＝50°；（2）∠ACD ＝∠A+∠B ＝40°+50°＝90°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理及外角的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 19．证明见解析．【分析】先根据等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可得证．【详解】证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，在ABD △和DCE 中，12B C AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD DCE AAS ∴≅．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．20．82CAD ∠=︒．【分析】根据等边三角形的性质可得：AB =AC ，∠ABC =∠BAC =60°，从而求出∠ABD 的度数，然后根据已知条件可得：AB = AD ，根据等边对等角即可得：∠ADB =∠ABD ，利用三角形的内角和即可求出∠BAD ，从而求出∠CAD 的度数．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形∴AB =AC ，∠ABC =∠BAC =60°∵AC =AD ，∠DBC =41°∴AB = AD ，∠ABD=∠ABC －∠DBC =19°∴∠ADB =∠ABD =19°∴∠BAD =180°－∠ADB －∠ABD =142°∴∠CAD =∠BAD －∠BAC =82°【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等边三角形的内角都是60°和等边对等角是解决此题的关键．21．（1）见解答；（2）7【分析】（1）利用基本作图，作出∠ACB 的平分线即可；（2）先证明∠ACE ＝∠AEC 得到AE ＝AC ＝3，再证明△BCF ≌△DEF ，所以BC ＝DE ．【详解】解：（1）如图，CM 为所作；以C 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC ，BC 与G 、N 两点，分别以G 、N 为圆心，以大于GN 的一半长为半径画弧，交于点H ，连接CH 并延长交DA 的延长线于E .（2）∵CM 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝∠ACE ，∵AD ∥BC ，∴∠AEC ＝∠BCE ，∴∠ACE ＝∠AEC ，∴AE ＝AC ＝3，∵F 是BD 的中点，∴BF ＝AF ，在△BCF 和△DEF 中，==DEF BCF DFE BFC BF DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△DEF （AAS ），∴BC ＝DE ＝4+3＝7．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作图—基本作图，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.22．（1）证明峥解析；（2）OE=4EF.【详解】试题分析：（1）先证△ODE ≌△OCE ，得出△DOC 是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一得出OE 是CD 的垂直平分线；（2）分别求出∠AOE=30°，∠EDF=30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半求解.解：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，又∵OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；(2)∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵ED⊥OA，CD⊥OE，∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF.23．（1）证明见解析.（2）6＋【分析】（1）证明△BEC≌△AFC（SAS），可得结论；（2）△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋BE＋EF＝AB＋EF＝6＋EF，推出EF的值最小时，△AEF的周长最小，因为△ECF是等边三角形，推出EF＝CE，推出当CE⊥AB时，CE的值最小．（1）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，CB CA CBE CAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△AFC （SAS ），∴CE ＝CF ，∠BCE ＝∠ACF ，∴∠BCE ＋∠ACE ＝∠ACF ＋∠ACE ，∴∠ECF ＝∠BCA ＝60°，∴△CEF 是等边三角形．（2）解：∵△AEF 的周长＝AE ＋AF ＋EF ＝AE ＋BE ＋EF ＝AB ＋EF ＝6＋EF ，∴EF 的值最小时，△AEF 的周长最小，∵△ECF 是等边三角形，∴EF ＝CE ，∴当CE ⊥AB 时，CE 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，且CE ⊥AB ， ∴132AE AB ==， 在Rt △AEC 中，CE∴△AEF 的周长的最小值为6＋故答案为：6＋【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（1）C （-2,3）；（2）c+d 的值不变，c+d=1（3）P 点坐标（-3,1）、（2，1）、（1，-1）．【分析】(1)先过点C 作CE ⊥y 轴于E ，证△AEC ≌△BOA ，推出CE=OA=2，AE=BO=1，即可得出点C 的坐标；(2)先过点C 作CE ⊥y 轴于E ，证△AEC ≌△BOA ，推出CE=OA=a ，AE=BO=1，可得OE=a=1，即可得出点C 的坐标为(-a ，a+1)，据此可得c+d 的值不变；(3)分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案．【详解】(1) 解：（1）如图，过点C 作CE ⊥y 轴于E ，则∠CEA=∠AOB ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BA ，∠BAC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°=∠BAO+∠CAE ，∴∠ACE=∠BAO ，在△ACE 和△BAO 中，CEA AOB ACE BAO AC BA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACE ≌△BAO （AAS ），∵B （-1，0），A （0，2），∴BO=AE=1，AO=CE=2，∴OE=1+2=3，∴C （-2，3），故答案为：-2，3；(2) 动点A 在运动的过程中c+d 的值不变．过点C 作CE ⊥y 轴于E ，则∠CEA=∠AOB ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BA ，∠BAC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°=∠BAO+∠CAE ，∴∠ACE=∠BAO ，∴△ACE ≌△BAO ，∵B(-1，0)，A(0，a)，∴BO=AE=1，AO=CE=a ，∴OE=a+1，∴C(-a ，1+a)，又∵点C 的坐标为(c ，d)，∴c+d=-a+1+a=1，即c+d 的值不变；(3) 存在一点P ，使△PAB 与△ABC 全等，分为三种情况：①如图，过P 作PE ⊥x 轴于E ，则∠PBA=∠AOB=∠PEB=90°，∴∠EPB+∠PBE=90°，∠PBE+∠ABO=90°，∴∠EPB=∠ABO ，在△PEB 和△BOA 中，EPB ABO PEB BOA PB BA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△PEB ≌△BOA （AAS ），∴PE=BO=1，EB=AO=2，∴OE=2+1=3，即P 的坐标是（-3，1）；②如图，过C 作CM ⊥x 轴于M ，过P 作PE ⊥x 轴于E ，则∠CMB=∠PEB=90°，∵△CAB ≌△PAB ，∴∠PBA=∠CBA=45°，BC=BP ，∴∠CBP=90°，∴∠MCB+∠CBM=90°，∠CBM+∠PBE=90°，∴∠MCB=∠PBE ，在△CMB 和△BEP 中，MCB PBE CMB PEB BC BP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CMB ≌△BEP （AAS ），∴PE=BM ，CM=BE ，∵C （-2，3），B （-1，0），∴PE=1，OE=BE-BO=3-1=2，即P 的坐标是（2，1）；③如图，过P 作PE ⊥x 轴于E ，则∠BEP=∠BOA=90°，∵△CAB ≌△PBA ，∴AB=BP ，∠CAB=∠ABP=90°，∴∠ABO+∠PBE=90°，∠PBE+∠BPE=90°，∴∠ABO=∠BPE ，在△BOA 和△PEB 中，ABO BBPE BOA PEB BA BP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BOA ≌△PEB （AAS ），∴PE=BO=1，BE=OA=2，∴OE=BE-BO=2-1=1，即P 的坐标是（1，-1），综合上述，符合条件的P 的坐标是（-3，1）或（2，1）或（1，-1）．【点睛】本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质、三角形全等的证明与应用、平面直角坐标系中点的表示方法．在解决这个问题的时候，关键就是要能够作出辅助线，利用全等得出线段之间的关系，从而得出点的坐标．在坐标系中解题的时候，我们一定要注意点的坐标和线段的长度之间的关系，不然就会出现线段长度为负数的情况．25．（1）∠ABO 的度数为45；（2）△COD 为等腰直角三角形，见解析；（3）22AF BP CQ-= 【分析】（1）利用非负数的性质先求解,a b 的值，再证明,OA OB = 从而可得答案；（2）先证明∠EBF =∠OAF ，再证明：△AOC ≌△BOD ，可得OC =OD ，∠AOC =∠BOD ，从而可得：△COD 为等腰直角三角形（3）如图，过P 作,PT CQ ⊥ 交CQ 的延长线于,Q 证明,ACQ CPT ≌ 可得,AQ CT = 再证明2,AF AQ = ,PCB FCB ≌ 可得90,PBQ ∠=︒ 再利用两平行线间距离处处相等可得,BP TQ = 从而可得22,AF BP CQ -= 于是可得答案. 【详解】解：（1） ()240a b b ++-= 0,40a b b +=⎧∴⎨-=⎩解得：4,4a b =-⎧⎨=⎩()()4,0,0,4,4,A B OA OB ∴-==90,AOB ∠=︒45.ABO BAO ∴∠=∠=︒ ∠ABO 的度数为45°（2）COD △是等腰直角三角形，理由如下：如图所示：∵BE AC ⊥，OA OB ⊥∴∠EFB +∠EBF =∠OF A +∠OAF又∵∠OF A =∠EFB∴∠EBF =∠OAF在△AOC 与△BOD 中AC BD OAF EBF OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ）∴OC =OD ，∠AOC =∠BOD∴∠AOB +∠BOC =∠BOC +∠DOC∴∠DOC =∠AOB =90°∴△COD 为等腰直角三角形（3）如图，过P 作,PT CQ ⊥ 交CQ 的延长线于,Q90,PCQ TPC ∴∠+∠=︒ACP 是等腰直角三角形，,90,AC PC ACP =∠=︒90,ACQ PCQ ∴∠+∠=︒,ACQ TPC ∴∠=∠,CQ AF ⊥90,AQC PTC ∴∠=︒=∠,ACQ CPT ∴≌,AQ CT ∴=,,AC CF CQ AF =⊥2,AF AQ ∴=45,,BAC CAO ABO F BCF AC CF ∠+∠=︒=∠=∠+∠=,,BAC F CAO BCF ∴∠=∠∠=∠90,ACP AOC ∠=︒=∠90,CAO ACO ACO PCB ∴∠+∠=︒=∠+∠,CAO PCB ∴∠=∠,PCB FCB ∴∠=∠,,AC PC FC BC BC ===,PCB FCB ∴≌18045135,PBC FBC ∴∠=∠=︒-︒=︒1354590,PBQ ∴∠=︒-︒=︒,,PT CT BQ CT ⊥⊥∴//PT BQ ，∴ 利用两平行线间距离处处相等可得：,BP TQ =22222222,AF BP AQ BP CT BP CT TQ CQ ∴-=-=-=-=∴222. AF BP CQCQ CQ-==【点睛】本题考查的是非负数的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练的运用以上知识解题是解题的关键.。
广东省珠海市八年级上学期数学期中考试试卷
广东省珠海市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）下列说法错误的有（）①无限小数是无理数；②无理数都是带根号的数；③只有正数才有平方根；④3的平方根是；⑤﹣2是（﹣2）2的平方根．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分） (2016八上·萧山期中) 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的是（）A . 5B . 7C .D . 或53. （2分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A . 1.5 2 3B . 7 24 25C . 6 8 10D . 9 12 154. （2分）如图，在Rt△A CB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D，E分别在AC，BC上，且DE=6，以DE为直径的⊙O 交AB于点M，N，则弦长MN的最大值为（）A . 2.4B . 4.8C . 5D . 65. （2分）(2018·秦皇岛模拟) 如图，直线与直线把平面直角坐标系分成四个部分，则点（，）在（）A . 第一部分B . 第二部分C . 第三部分D . 第四部分6. （2分）若点A(2，m)在x轴上，则点B(m-1,m+1)在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分） (2017八下·栾城期末) 如果点A（﹣2，a）在函数y=﹣ x+3的图象上，那么a的值等于（）A . ﹣7B . 3C . ﹣1D . 48. （2分）园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（）A . 24米2B . 36米2C . 48米2D . 72米29. （2分）计算：3 ÷3 ﹣2 的结果为（）A . ﹣2B .C . 6﹣2D . 36﹣210. （2分） (2017八下·大石桥期末) 一次函数 +b 中，随的增大而减小，b＞ 0, 则这个函数的图像不经过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）一般地正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过________ 的直线，我们称它为直线y=kx．当k＞0时，直线y=kx经过第________ 象限，从左向右上升，即y随着x的增大而________ ；当k ＜0时，直线y=kx经过第________ 象限，从左向右下降，即y随着x的增大而________ ．12. （1分）一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出AB=3dm，BC=4dm，∠B=90°，CD=1dm，DE=1.5dm，EF=DE，AC=2AG．根据这些数据，试着计算出折线AC（即楼梯表面AJIHGFEDC）的长度为________．13. （1分） (2016八上·镇江期末) 已知直角三角形的两直角边a、b满足 +|b﹣12|=0，则斜边c 上的中线长为________．14. （1分）计算：sin45°+6tan30°﹣2cos30°=________．15. （1分） (2016九上·宾县期中) 小明用30厘米的铁丝围成一斜边等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形一直角边长x厘米，根据题意列方程为________16. （1分）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为________．三、解答题（一） (共3题；共25分)17. （5分）已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简｜a｜－｜a+b｜+ +｜b－c｜.18. （10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．19. （10分）(2018·德阳) 如图点、分别是矩形的边、上一点，若，且，（1）求证：点为的中点；（2）延长与的延长线相交于点，连结，已知，求的值.四、解答题（二） (共3题；共26分)20. （10分）(2012·柳州) 下表反映了x与y之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式：y=x+7，y=x﹣5，y=﹣，y= x﹣1x…﹣6﹣534…y…1 1.2﹣2﹣1.5…（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式：1；（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．21. （10分） (2016八上·临泽开学考) 已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A 的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB=6cm，试回答下列问题：（1）图甲中的BC长是多少？（2）图乙中的a是多少？（3）图甲中的图形面积的多少？（4）图乙中的b是多少？22. （6分） (2015八下·绍兴期中) 计算下列各题：（1）（2）．五、解答题（三） (共3题；共30分)23. （10分） (2017七下·徐州期中) 探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1根据前面的规律，回答下列问题：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1）=________（2）当x=3时，（3﹣1）（32016+32015+32014+…+33+32+3+1）=________（3）求：（22015+22014+22013+…+23+22+2+1）的值．（请写出解题过程）24. （5分） (2019八下·江城期中) 如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长．25. （15分）某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:（1）求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;（2）求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?（3）该经销商想要每天获得168元的销售利润,销售价应定为多少?参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题（一） (共3题；共25分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、四、解答题（二） (共3题；共26分)20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、22-2、五、解答题（三） (共3题；共30分) 23-1、23-2、23-3、24-1、25-1、25-2、25-3、第11 页共11 页。
【全国百强校】广东省珠海市文园中学2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
23．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ ABE=15°，∠ BED=55°，求∠BAD的度数；
（2）作△BED的边BD边上的高；
A．50°B．60°C．85°D．80°
6．如图，∠A=50°，P是等腰△ABC内一点，AB=AC，BP平分∠ABC， CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为( )
A．100°B．115°C．130°D．140°
7．如图，△ABC≌△DEF，若BC=12cm，BF=16cm，则下列判断错误的是( )
A．AB=DEB．BE=CFC．AB//DED．EC=4cm
三、解答题
17．如图，A、F、B、D在一条直线上，AF=DB，BC=EF，AC=DE.求证：∠A=∠D．
18．一个多边形，它的内角和比外角和还多180°，求这个多边形的边数.
19．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可以是（填一个满足题意的即可）.
12．若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是．
13．点M与点N（-2，-3）关于y轴对称，则点M的坐标为.
14．在 中，若 ，则 是___________三角形.
（3）在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．
25．如图1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t(s).
八年级上册珠海数学期中精选试卷复习练习(Word版 含答案)
八年级上册珠海数学期中精选试卷复习练习(Word版含答案)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE CGA BOG AF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE BGEBF GBF BF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.2．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DF∥BC 交AC 于F ，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC 是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF 是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF ，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD ，由AAS 证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论；（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ，则△ADF 为等边三角形∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60° ，∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ，在△DEB 和△CDF 中，120EBD DFC EDB DCF DE CD ，，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△CDF ，∴BD=DF ，∴BE=AD .(2). EB=AD 成立；理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB=DF ，∴EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.3．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明． ②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ．【详解】（1）AF BD =证明如下：ABC 是等边三角形，BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．即BCD ACF ∠=∠．BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=．（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．（3）①AF BF AB '+=证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．BD AF ∴=．同理BCF ACD '△≌△．BF AD '∴=．AF BF BD AD AB '∴+=+=．②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，BCF ACD '∴△≌△．BF AD '∴=．又由（2）知，AF BD =．AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．即AF AB BF '=+．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．4．操作发现：如图，已知△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将这两个三角形放置在一起，使点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB ＝∠EAD ＝120°，∴∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠BAD ＝∠ACE ，BD ＝EC ＝4，同理可证∠BEC ＝∠BAC ＝120°，∴∠FEC ＝60°，∵CF ⊥EF ，∴∠F ＝90°，∴∠FCE ＝30°，∴EF ＝12EC ＝2. 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .（1）如图，连接AE ，①AE 与AC 的数量关系是__________；②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF，理由见详解.【解析】【分析】（1）①根据轴对称性，即可得到答案；②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证∆FCG是等边三角形，得GF=FC，再证∆ACG≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.【详解】（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AB和AE关于射线AD的对称，∴AB=AE.故答案是：AB=AE；②∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，∵ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦，∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴∆FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中，∵CA CBACG BCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．7．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E 关于直线BC 的对称点为M (如图2)，连接DM ，AM ．求证：DA =AM ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC =∠ACB =60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA ，然后结合（1）可得∠MDC =∠BAD ，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°，∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ，又∵DE =DA ，∴∠E =∠DAE ，∴∠BAD =∠EDC ．(2)由轴对称可得，DM =DE ，∠EDC =∠MDC ，∵DE =DA ，∴DM =DA ，由(1)可得，∠BAD =∠EDC ，∴∠MDC =∠BAD ，∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°，∴∠MDC +∠ADB =120°，∴∠ADM =60°，∴△ADM 是等边三角形，∴AD =AM ．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.8．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .（1）若10AC=，求HI的长度；（2）如图2，延长BC到D，再延长BA到E，使得AE BD=，连接ED，EC，求证：ECD EDC∠=∠.【答案】（1）HI =5；(2)见解析.【解析】【分析】（1）作FP∥BC交AB于点P，证明APF∆是等边三角形得到AH=PH，再证明PFI BGI∆≅∆得到PI=BI，于是可得HI =12AB，即可求解；（2）延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，就可以得出BE=BQ，得出△BEQ是等边三角形，就可以得出BE=QE，得出△BCE≌△QDE就可以得出结论．【详解】解：如图1，作FP∥BC交AB于点P，∵ABC∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FH AB⊥，∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI∆和BGI∆中，PIF BIGPFI BGIPF BG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴PFI BGI∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB,∴HI=PI+PH =12AB=1102⨯=5；(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=60°．∵AE=BD，DQ=AB，∴AE+AB=BD+DQ，∴BE=BQ．∵∠B=60°，∴△BEQ为等边三角形，∴∠B=∠Q=60°，BE=QE．∵DQ=AB，∴BC=DQ．∴在△BCE和△QDE中，BC DQB QBE QE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△QDE（SAS），∴EC=ED．∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.9．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.【详解】解：定理证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵直线n是边AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OA＝OB∵OH⊥AB，∴AH＝BH；（2）如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，∴DE＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以10．如图，在等边ABC∆，连结BE．CD为一边在CD的下方作等边CDE（1）求CAM ∠的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，CBE CAD ∴∠=∠，同理可得：30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒，∵30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 中纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2， ∴xy=()222()2x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=-()()324 111,x x x x x -+++=-()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213-- 【解析】【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.【详解】（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+ =201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+ =2020(2)13--- =2020213-- 【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.13．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12．解法一：设x 2+5x ＝y ，则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．解法二：设x 2+5x+2＝y ，则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：(1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10；(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2；(3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2．【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1)(2)(266x x ++)2(3) (x+y-xy-1)2【解析】【分析】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；（2）()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可；（3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解.【详解】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++=m 2-m-2=(m-2)(m+1)= (2x x +-2)(2x x ++1)=(x+2)(x-1) (2x x ++1)(2)()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x , 令n=256x x ++，原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2=(n+x)2=(266x x ++)2(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+-=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2【点睛】此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.14．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个． 点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．15．下面是某同学对多项式()()22676114x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设26x x y -=，原式(7)(11)4y y =+++（第一步） 21881y y =++（第二步）2(9)y =+（第三步）()2269x x =-+．（第四步） 请你回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______；A ．提公因式法B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______； （3）仿照以上方法因式分解：()()222221x x x x --++．【答案】（1）C ；（2）4(3)-x ；（3）4(1)x -【解析】【分析】（1）根据公式法分解因式可得答案；（2）先将269x x -+分解因式得2(3)x -，由此得到答案；（3）设22x x y -=，得到原式()21y =+，将22x x y -=代回得到()2221x x -+，再将括号内根据完全平方公式分解即可得到答案.【详解】解：（1）由21881y y ++2(9)y =+是运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C ；（2）∵269x x -+=2(3)x -，∴()2269x x -+=4(3)-x ，故答案为：4(3)-x ；（3）设22x x y -=， 原式()21y y =++，221y y =++，()21y =+， ()2221x x =-+， 4(1)x =-．【点睛】此题考查特殊方法分解因式，完全平方公式分解因式法，分解因式时注意应分解到不能再分解为止.四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．已知：方程﹣=﹣的解是x =，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．【答案】（1）x=4；（2）x=．【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x=15﹣8，解得：x=，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：，解得：x=，这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd﹣ab，分母为（a+b）﹣（c+d），所以方程的解为x=．17．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。
广东省珠海市文园中学八年级(上)期中数学试卷
2011-2012学年广东省珠海市文园中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）1．（3分）如图所示的QQ表情中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列等式中成立的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列各数中，不是无理数的是（）A．B．0.5C．2πD．0.151151115…（两个5之间依次多1个1）4．（3分）下列说法不正确的是（）A．﹣1立方根是﹣1 B．﹣1的立方是﹣1C．﹣1是1的平方根D．﹣1的平方根是﹣15．（3分）已知=2，那么x2=（）A．4 B．16 C．±2 D．二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）6．（4分）的相反数；= ．7．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，若AC=3cm，则AE+DE= cm．8．（4分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若BC=10，则△AFE的周长为．9．（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=4，则BD= ．10．（4分）等腰三角形中，有一个角是140°，则等腰三角形另外两个角的度数分别是．三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）11．（6分）计算：|﹣2|++（）2．12．（6分）求解x的值：（x+1）2=9．13．（6分）如图，D在AB上，E在BC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE．14．（6分）如图，两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你通过尺规作图找出这一P点，（不写作法，保留作图痕迹）．15．（6分）如图，△ABC，AB=BC，DF⊥AC于F，交AB的延长线于D，求证：△DBE是等腰三角形．四、解答题（本大题4小题，每题7分，共28分）16．（7分）已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：CF=EB．17．（7分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．（1）求证：AE=BE；（2）若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．18．（7分）如图所示，在正方形ABCD中，E是正方形边AD上一点，F是BA延长线上一点，并且AF=AE．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）指出图中线段BE与DF之间数量和位置的关系，并加以证明．19．（7分）△ABC为等边三角形，点M是射线BC上一点，点N是CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠AQN的度数．五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D是斜边AB的中点，E是DA上一点，过点B作BH⊥CE于点H，交CD于点F．（1）求证：DE=DF；（2）若E是线段BA的延长线上一点，其它条件不变，（1）中的结论仍成立吗？若成立，请画出图形并证明；若不成立，请说明理由．21．（9分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE ⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．22．（9分）（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E 在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？2011-2012学年广东省珠海市文园中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）1．（3分）（2011秋?香洲区校级期中）如图所示的QQ表情中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故正确；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（3分）（2011秋?香洲区校级期中）下列等式中成立的是（）A．B．C．D．【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可进行选择．【解答】解：A、=4，故A错误；B、±=±4，故B错误；C、±=±0.1，故C正确；D、=2，故D错误；故选C．【点评】本题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．3．（3分）（2009秋?海门市期末）下列各数中，不是无理数的是（）A．B．0.5C．2πD．0.151151115…（两个5之间依次多1个1）【分析】A、B、C、D根据无理数、有理数的定义来求解即可．【解答】解：A、是无理数，故选项错误；B、0.5是小数，即分数，是有理数，故不是无理数，故选项正确；C、2π是无理数，故选项错误；D、0.151151115（两个5之间依次多1个1）是无理数，故选项错误．故选B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方的才是无理数，还有无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．4．（3分）（2014春?麻城市期中）下列说法不正确的是（）A．﹣1立方根是﹣1 B．﹣1的立方是﹣1C．﹣1是1的平方根D．﹣1的平方根是﹣1【分析】根据有理数的乘方，平方根，立方根分别求出，再判断即可．【解答】解：A、﹣1的立方根是﹣1，故本选项错误；B、﹣1的立方是﹣1，故本选项错误；C、﹣1是1的平方根，故本选项错误；D、﹣1没有平方根，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了对有理数的乘方，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．5．（3分）（2011秋?香洲区校级期中）已知=2，那么x2=（）A．4 B．16 C．±2 D．【分析】首先利用算术平方根的定义求得x的值，然后再求x2的值即可．【解答】解：∵=2，∴x=4，∴x2=16，故选B．【点评】本题考查了算术平方根的定义，题目难度较小．二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）6．（4分）（2009秋?海门市期末）的相反数2﹣；= 3﹣．【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，判断﹣3的正负情况，然后利用绝对值的定义即可求解．【解答】解：∵﹣（﹣2）=2﹣，∴﹣2的相反数为2﹣；∵﹣3＜0，∴=3﹣．故答案为：2﹣，3﹣．【点评】此题主要考查了相反数、绝对值的定义，解题时先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号．7．（4分）（2008秋?上饶期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，若AC=3cm，则AE+DE= 3 cm．【分析】从已知条件开始思考，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知．【解答】解：AE=DE∵AC=AE+CE=3∴AE+DE=3．故填3．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．利用相等的把线段转移时一种很重要的方法，注意掌握．8．（4分）（2011秋?香洲区校级期中）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若BC=10，则△AFE的周长为10 ．【分析】根据垂直平分线性质得AE=BE，AF=CF，所以△AEF周长=BC．【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E，F，∴AE=BE，AF=CF，．∴C△AEF=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10故答案为：10．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．9．（4分）（2011秋?香洲区校级期中）如图，△ABC中，∠C=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=4，则BD= 1 ．【分析】根据直角三角形的性质可知BC=AB=×4=2，因为CD是△ABC的高，所以∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，BD=BC=×2=1．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=2，∵CD是△ABC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，∴BD=1．故答案为：1．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解题关键是利用30°角所对的直角边等于斜边的一半解决问题．10．（4分）（2011秋?香洲区校级期中）等腰三角形中，有一个角是140°，则等腰三角形另外两个角的度数分别是20°、20°．【分析】由条件可知该等腰三角形的顶角为140°，结合三角形内角和可求得另外两个角的度数．【解答】解：∵等腰三角形中，有一个角是140°，∴该等腰三角形的顶角为140°，∴另外两个角相等，为=20°，故答案为：20°、20°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，判断出顶角的大小是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）11．（6分）（2011秋?香洲区校级期中）计算：|﹣2|++（）2．【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用立方根定义计算，最后一项利用平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣﹣2+3=3﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（6分）（2011秋?香洲区校级期中）求解x的值：（x+1）2=9．【分析】直接开平方法进行解答．【解答】解：（x+1）2=9，（x+1）2=（±3）2，∴x+1=±3，∴x=2或x=﹣4．【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．13．（6分）（2016?东西湖区模拟）如图，D在AB上，E在BC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE．【分析】要证BD=CE只要证明AD=AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD=AE．【解答】证明：∵AB=AC，∠B=∠C，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD．∴AD=AE．∴BD=CE．【点评】考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得线段相等．14．（6分）（2013秋?江东区校级期中）如图，两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你通过尺规作图找出这一P点，（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】分别作出MN的中垂线和∠BAC的交平分线，两线的交点就是P点位置．【解答】解：如图所示：P点即为所求．【点评】此题主要考查了作图与应用设计作图，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；角的平分线上的点到角的两边的距离相等．15．（6分）（2011秋?香洲区校级期中）如图，△ABC，AB=BC，DF⊥AC于F，交AB的延长线于D，求证：△DBE是等腰三角形．【分析】如图，首先证明∠D=∠CEF，此为解决该题的关键性结论；然后根据∠BED=∠CEF，得到∠D=∠BED，即可解决问题．【解答】解：如图，∵AB=BC，∴∠A=∠C；∵DF⊥AC，∴∠D=90°﹣∠A，∠CEF=90°﹣∠C，∴∠D=∠CEF；而∠BED=∠CEF，∴∠D=∠BED，∴△DBE是等腰三角形．【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握等腰三角形的判定及其性质是灵活运用、解题的基础和关键．四、解答题（本大题4小题，每题7分，共28分）16．（7分）（2012秋?黔东南州期末）已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：CF=EB．【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB 的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB．【解答】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，∴DE=DC．又∵BD=DF，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF=EB．【点评】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．求得CD=DE是解答本题的关键．17．（7分）（2009?宜昌）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．（1）求证：AE=BE；（2）若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．【分析】（1）先证明Rt△ACE≌Rt△BDE，再利用全等三角形的性质可得AE=BE；（2）再利用等腰直角三角形的性质可以知道CE=AE=1．【解答】（1）证明：∵∠AEC与∠BED是对顶角，∴∠AEC=∠BED，在△ACE和△BDE中，∴△ACE≌△BDE（AAS），（3分）∴AE=BE；（4分）（2）解：∵∠AEC=45°，∠C=90°，∴∠CAE=45°，（5分）∴CE=AC=1．（7分）【点评】本题利用了三角形全等的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质．18．（7分）（2011秋?香洲区校级期中）如图所示，在正方形ABCD中，E是正方形边AD 上一点，F是BA延长线上一点，并且AF=AE．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）指出图中线段BE与DF之间数量和位置的关系，并加以证明．【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=AB，∠FAD=∠EAB=90°，根据SAS即可推出答案．（2）延长BE交DF于G，根据全等三角形的性质得BE=DF，∠ABE=∠ADF，得到∠ABE+∠AEB=∠ADF+∠DEG=90°，即BE⊥DF．所以BE=DF且BE⊥DF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠FAD=∠EAB=90°，在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）．（2）延长BE交DF于G，如图，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠AEB=∠DEG，∠BAE=90°∴∠ABE+∠AEB=∠ADF+∠DEG=90°，∴∠DGE=90°，即BE⊥DF．故BE=DF且BE⊥DF．【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行推理是解此题的关键．19．（7分）（2015秋?龙泉驿区校级期末）△ABC为等边三角形，点M是射线BC上一点，点N是CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠AQN的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质求得AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，再由SAS证明△ABM 和△BCN全等即可；（2）根据全等三角形的性质：对应角相等，求得∠BAM=∠NBC，利用三角形的外角和定理可得∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，所以∠AQN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）解：∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠NBC，∵∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，∴∠AQN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．故∠AQN的度数是60°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便．五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）（2009秋?新洲区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D是斜边AB的中点，E是DA上一点，过点B作BH⊥CE于点H，交CD于点F．（1）求证：DE=DF；（2）若E是线段BA的延长线上一点，其它条件不变，（1）中的结论仍成立吗？若成立，请画出图形并证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由已知条件可通过AAS证Rt△BDF≌△CDE，得出DE=DF；（2）（1）的结论仍成立，思路和证法同（1）．【解答】解：（1）∵△ABC是等腰Rt△，且D是AB的中点，∴AD=CD=BD，∠CDE=∠BDF=90°；∵∠HFC=90°﹣∠HCF=∠CED，∴∠BFD=∠CED；∴△DCE≌△DBF（AAS），∴DE=DF．（2）成立．图如右图，证明同（1）．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21．（9分）（2013秋?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；（2）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【解答】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，AD=CE，；∴DE=CE+CD=AD+BE（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）解：DE=BE﹣AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．22．（9分）（2008秋?南通期末）（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？【分析】（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因为BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=67.5°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=22.5°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=112.5°﹣67.5°=45度；（2）先设∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°﹣2x，又因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（90°+x）﹣（x+45°）=45度；（3）可设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°﹣∠B ﹣∠E=2y﹣x，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x，即∠DAE=∠BAC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=67.5°，∵CE=CA，∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=112.5°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=112.5°﹣67.5°=45度；（2）不改变．设∠CAE=x，∵CA=CE，∴∠E=∠CAE=x，∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B=90°﹣∠ACB=90°﹣2x，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=x+45°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E，=180°﹣（90°﹣2x）﹣x=90°+x，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD，=（90°+x）﹣（x+45°）=45°；（3）∠DAE=∠BAC．理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x，∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=2y﹣x﹣y=y﹣x，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x，∴∠DAE=∠BAC．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．本题由易到难，由特例到一般，是一道提高学生能力的训练题．。
广东省珠海市八年级上学期期中数学试卷
广东省珠海市八年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面五个词中“自由平等民主敬业友善”可以看作轴对称图形的汉字有（）个．A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个2. （2分） (2017七下·射阳期末) 四边形的内角和为（）A . 180°B . 360°C . 540°D . 720°3. （2分）等腰三角形中的一个内角为50°，则另两个内角的度数分别是（）A . 65°，65°B . 50°，80°C . 50°，50°D . 65°，65°或50°，80°4. （2分） (2017八上·哈尔滨月考) 如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线且AD=4，是AD上的动点，是AC边上的动点，则的最小值是（）A . 6B . 4C .D . 不存在最小值5. （2分）在平面直角坐标系中，若点P(x-2，x)在第二象限，则x的取值范围是（）A . 0<x<2B . x<2C . x>0D . x>26. （2分）要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF 的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图），可以证明在△ABC≌△EDC，得ED=AB，因此，测得DE的长就是AB 的长，在这里判定在△ABC≌△EDC的条件是（）A . ASAB . SASC . SSSD . HL7. （2分）下列说法中不正确的是（）A . 有两个角相等的三角形为等腰三角形B . 等腰三角形两底角相等C . 钝角三角形不可能是等腰三角形D . 有一高线一中线重合的三角形是等腰三角形8. （2分）(2017·平顶山模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，一定长为半径作圆弧，分别交AD、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线AG，交边CD 于点H．若AB=6，AD=4，则四边形ABCH的周长与三角形ADH的周长之差为（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2018八上·海淀期末) 已知△ABC中，AB=2，∠C=40°，请你添加一个适当的条件，使△ABC的形状和大小都是确定的．你添加的条件是________．10. （1分）(2017·历下模拟) 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是________．11. （1分）(2018·义乌) 等腰三角形中，顶角为，点在以为圆心，长为半径的圆上，且，则的度数为________．12. （1分） (2019八下·长沙期中) 如图，在中，为BC上一点，过点D作，垂足为E，连接AD，若，则AB的长为________13. （1分） (2016九上·武胜期中) 等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为________．14. （1分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：________三、解答题 (共8题；共54分)15. （11分） (2019八上·兴化月考)（1）在网格中画，使、、三边的长分别为、、（2）判断三角形的形状:________(直接填结论).（3）求的面积.16. （5分）绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）17. （5分）如图：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长．他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到E，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出DE=8m；问题：DE=AB吗？AB的长度是多少？请说明理由．18. （5分）(2012·常州) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．19. （7分） (2016九上·海南期末) 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）将△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是________;（2）△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标________;（3）若△DBC与△ABC全等（点D与点A重合除外），请直接写出满足条件点D的坐标．20. （5分） (2016八上·重庆期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD．21. （5分） (2018九上·顺义期末) 已知：如图，在△ABC的中，AD是角平分线，E是AD上一点，且AB ：AC = AE ：AD．求证：BE=BD．22. （11分） (2019八下·嘉兴期中) 已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝________°；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试求∠E的度数．四、问答题 (共2题；共20分)23. （5分）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．24. （15分）(2017·平谷模拟) 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB 交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD 互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…．请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共8题；共54分)15-1、15-2、15-3、16-1、答案：略17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、四、问答题 (共2题；共20分)24-1、。
广东省珠海市八年级上学期数学期中考试试卷
广东省珠海市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下列三角形中，不是直角三角形的是（）A . 三个角的度数之比是1：2：3B . 三条边长之比是1：2：C . 三条边长之比是1：2：4D . 三条边长之比是3：4：52. （2分） (2016八上·靖江期末) 若a＞0，b＜﹣2，则点（a，b+2）在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2017·河北模拟) 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A . ﹣a＜0＜﹣bB . 0＜﹣a＜﹣bC . ﹣b＜0＜﹣aD . 0＜﹣b＜﹣a4. （2分） (2017七下·民勤期末) 在下列各数：0.51525354…，，0.2，，，，，中，无理数的个数（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个5. （2分） (2019八上·太原期中) 如图，在中，，以的三边为边分别向外作等边三角形，，，若，的面积分别是10和4，则的面积是（）A . 4B . 6C . 8D . 96. （2分）(2014·绵阳) 若代数式有意义，则x的取值范围是（）A . x＜B . x≤C . x＞D . x≥7. （2分） (2016八上·抚宁期中) 点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A . （﹣3，﹣2）B . （3，﹣2）C . （3，2）D . （﹣3，2）8. （2分） (2017九上·开原期末) 彼此相似的矩形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点、的坐标分别为（1，2），（3，4），则的坐标是（）.A . （，）B . （ - ，）C . （ - ，）D . （ -1，）9. （2分）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A . x≥2B . x>2C . x<2D . x≤210. （2分）式子 + 有意义，则点P（a，b）在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限二、填空题 (共11题；共12分)11. （1分） 9的平方根是________ ________的立方根是﹣212. （2分）如图所示，线段，，的长度分别为，，，且平分 .若将点表示为，点表示为，则点可表示为________.13. （1分）如图，根据图中提供的信息，可以写出正比例函数的关系式是________；反比例函数关系式是________.14. （1分）写四组勾股数组．________，________，________，________．15. （1分）点P（-1，m）、Q（2，n）是直线y=-2x上的两点，则m与n的大小关系是________.16. （1分）(2019·揭阳模拟) 如图，边长不等的正方形依次排列，第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长是第一个正方形边长的2倍，第三个正方形的边长是第二个正方形边长的2倍，依此类推，…．若阴影三角形的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn ，则S4的值为________．17. （1分）如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1=40°，则∠2的度数为________ .18. （1分）(2016·鄂州) 如图，直线l：y=﹣ x，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1 ，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2 ，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2 ，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3 ，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为________．19. （1分） (2016八上·河源期末) 若a＜0，则 =________．20. （1分） (2015八下·武冈期中) 如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AE+DE=3cm，那么AC=________．21. （1分） (2016八上·重庆期中) 已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab 的值为________．三、解答题 (共8题；共71分)22. （10分）计算：4cos45°-．23. （5分） (2018八下·江门月考) 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．x （元）152025…y （件）252015…（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．24. （15分）(2018·杭州) 设一次函数（是常数，）的图象过A（1，3），B（-1，-1）（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值；（3）已知点C（x1，y1），D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1-x2）（y1-y2），判断反比例函数的图象所在的象限，说明理由。
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初中数学试卷
珠海市文园中学2011—2012学年度第一学期期中考试
初二数学试卷
（说明：所有答案必须写在答题卷上；满分120分） 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 1. 如图所示的QQ 表情中，是轴对称图形的是 （ ）
A B C D
2. 下列等式中成立的是（ ） A.
416±= B. 416=± C. 1.001.0±=± D.
()222
-=-
3.下列各数中，是有理数的是（ ）
A 、7
B 、0.5
C 、 2π
D 、0.151151115…
4. 下列说法中不正确的是( )
A 、－1的立方根是－1；
B 、－1的立方是－1；
C 、－1是1的平方根；
D 、－1的平方根是－1；
5. 已知x ＝2，那么2
x ＝（ ）.
第8题
A 、4
B 、16
C 、±2
D 、2 二、 填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 6.
52-的相反数 ；=-32 .
7．如图，在Rt ΔABC 中，∠C=90°,BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ，若AC =3cm ， 则AE +DE = cm ．
8. 如图，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若BC=10， 则△AFE 的周长为 。
9. 如图，△ABC 中,CD 是高，∠A=30°, 若AB=4, 则BD=
10．等腰三角形中，有一个角是140°，则等腰三角形另外两个角的度数分别是 . 三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11. 计算：23328(3)-+-+ 12. 求解x 的值：()912
=+x ；
13. 如图，D 在AB 上，E 在AC 上, AB=AC, ∠B=∠C 。
求证：BD=CE
C B E
D
A
第7题图
A
B
C
D
第9题
14. 如图，3班与4班两个班的学生分别在M 、N 两处参加植树劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且PM=PN ，请你用尺规
作图的方法作出P 点。
(不写作法，保留作图痕迹)
15. 如图，△ABC, AB=BC, DF ⊥AC 于F, 交AB 的延长线于D, 求证：△DBE 是等腰三角形
A
B
C
D
E
˙ ˙ B
A
C
M N
A
B
D
F
C E
第18题
四、解答题（本大题4小题，每题7分，共28分）
16. 如图，△ABC 中，∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF 。
求证：CF=EB
17. 如图，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC=BD ，BC ，AD 相交于点E ． (1) 求证：AE=BE ；
(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE 的长．
18. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是正方形边AD 上一点，F 是BA 延长线上一 点，并且AF=AE 。
（1）求证：△ABE ≌△ADF ；
（2）指出图中线段BE 与DF 之间数量和位置的关
系，并加以证明。
D
A
B
C
F
E E
D
C
B
A。