级数求和的常用方法
无限求和公式∑ 计算方法
无限求和公式∑ 计算方法无限求和公式，也称级数求和，是数学里的一个重要概念。
它是指将一系列无限多个数按照特定规则进行相加的过程。
其中，我们使用的符号∑表示该求和过程。
在本文中，我们将讨论一些常见的无限求和公式，以及计算这些公式的方法和技巧。
1. 等差数列求和公式对于等差数列a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差。
等差数列求和公式如下：∑(a + nd) = n/2(2a + (n-1)d)其中n表示要相加的项数。
首先，我们需要确定a、d以及n的值，然后将其代入公式中进行计算即可。
2. 等比数列求和公式对于等比数列a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比。
等比数列求和公式如下：∑(a * r^n) = a/(1-r)这里，我们需要知道a、r和n的值，并将其代入公式进行求和。
3. 倍级数的求和公式倍级数是一种具有无限项的级数，每一项的系数都是前一项系数的倍数。
例如，1，2，4，8，16，.....，每一项都是前一项的两倍。
对于这种倍级数，我们有以下求和公式：∑(ar^n) = a/(1-r)这里的a是首项，r是倍数。
同样地，我们需要知道a、r和n的值，并将其代入公式中计算结果。
4. 幂级数的求和公式幂级数是一种特殊的无限求和公式，其中每一项都是变量x的幂次方。
例如，1，x，x^2，x^3，...。
对于幂级数，我们使用泰勒级数来计算。
泰勒级数展开的求和公式如下：∑(c * x^n) = c/(1-x)在这里，c是常数，x是变量。
我们需要知道c、x和n的值，并将其代入公式进行计算。
我们注意到，以上四种无限求和公式中，都涉及到传统的等差、等比、倍级数和幂级数。
在计算时，我们需要明确给定的项数n，以及数列或级数中的首项和公差、公比、倍数或幂次方。
然后，我们可以将这些值代入相应的求和公式，并进行计算。
需要注意的是，在求和过程中，如果数列或级数具有收敛性，即总和有限，则我们可以得到一个精确的结果。
求级数的和的方法总结
求级数的和的方法总结求解级数的和是数学中常见的问题之一、在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列，而求解级数的和就是对这些项进行求和运算得到的结果。
级数求和方法的总结如下：一、等差级数求和：等差级数是指级数中每一项与前一项之差都是相等的级数，求等差级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等差级数和的公式为Sn = (n/2)(a1+an)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项。
通过代入这些值即可求得。
2. 差分法：将等差级数分解为两个等差数列之和，然后分别求和。
例如，Sn = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+(a1+d(n-1))) = (2a1+d(n-1))(n/2) = (2a1+2d(n-1))(n/4) = 2(a1+d(n-1))(n/4)。
二、等比级数求和：等比级数是指级数中每一项与前一项之比都是相等的级数，求等比级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等比级数和的公式为Sn = (a1 - an*r)/(1-r)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项，r为公比。
通过代入这些值即可求得。
2. 求和法：当公比r在-1到1之间时，等比级数和的求和公式可以通过不断地相加前n项来逼近真实值。
即Sn = a1/(1-r) - an*r/(1-r)。
三、收敛级数求和：收敛级数是指级数在求和过程中会逐渐趋于一个有限的值的级数。
常用的收敛级数求和方法主要有以下几种:1. 逐项求和法：如果级数每一项能够逐项求和，那么可以通过逐项求和来求得级数的和。
例如，级数Sum(1/n^2) = 1/1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ...，可以通过逐项求和将级数的每一项相加来得到和。
2. 极限求和法：如果级数满足级数的通项能够构造成一个已知数列，那么可以通过求出这个数列的极限来得到级数的和。
例如，级数Sum(1/n) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...，通过求出数列1/n的极限为0，可以得知级数的和为无穷大。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全（最新版）目录1.引言2.无穷级数求和公式的分类3.常见无穷级数求和公式及其应用4.结论正文【引言】在数学领域，无穷级数求和是一个重要的研究方向。
求和公式是解决无穷级数问题的关键工具，它们可以帮助我们计算各种无穷级数的和。
本文将介绍一些常见的无穷级数求和公式，并探讨它们的应用。
【无穷级数求和公式的分类】无穷级数求和公式可以根据求和的方法进行分类，主要包括以下几类：1.裂项相消法：将无穷级数的每一项分解为两个部分，然后通过裂项相消的方法求和。
2.求和公式法：利用常见的求和公式，如等差数列求和公式、等比数列求和公式等，直接求得无穷级数的和。
3.级数收敛性判定法：通过判断无穷级数的收敛性，如发散、单调有界、单调无穷等，从而求得级数的和。
4.积分法：将无穷级数转化为一个定积分，然后求解该积分得到级数的和。
5.递推法：通过构造一个递推关系式，逐步求解无穷级数的和。
【常见无穷级数求和公式及其应用】1.等差数列求和公式：S_n = n(a_1 + a_n)/2，其中 S_n 表示前 n 项和，a_1 表示第一项，a_n 表示第 n 项。
该公式适用于各项之间差值为常数的无穷级数。
2.等比数列求和公式：S_n = a_1(1 - q^n)/(1 - q)，其中 S_n 表示前 n 项和，a_1 表示第一项，q 表示公比。
该公式适用于各项之间比值为常数的无穷级数。
3.交错级数求和公式：S_n = (a_1 + a_3 + a_5 +...+ a_n) - (a_2 + a_4 + a_6 +...+ a_(n-1))，适用于各项正负相间的无穷级数。
4.柯西收敛准则：当一个级数的各项绝对值单调有界时，该级数收敛。
该准则可以用于判断无穷级数的收敛性。
5.积分法求和：将无穷级数表示为某个函数的积分，然后求解该积分得到级数的和。
例如，求解 x^n 在区间 [0, 1] 上的积分，可以得到等比数列求和公式。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全无穷级数是数学中的一个重要概念，它由一系列无穷多个数相加而成。
在许多实际问题中，我们需要计算无穷级数的和。
本文将介绍一些常见的无穷级数求和公式，帮助读者更好地理解和计算无穷级数。
1.等差数列求和公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当n趋近于无穷大时，等差数列的和可以通过以下公式计算：Sn = lim(n→∞) (n/2) [2a1 + (n-1)d]其中Sn是前n项和。
2.等比数列求和公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当，r，<1时，等比数列的和可以通过以下公式计算：Sn=a1/(1-r)当，r，>1时，等比数列的和不存在。
3.幂级数求和公式幂级数是形如∑(n=0)∞a^n的无穷级数，其中a为常数。
幂级数的和可以通过以下公式计算：S=1/(1-a)该公式要求幂级数的绝对值，a，<14.调和级数求和公式调和级数是形如∑(n=1)∞1/n的无穷级数。
调和级数的和发散，即不存在有限的和。
然而，其部分和可以逼近自然对数的常数项：S = ∑(n=1)∞ 1/n ≈ ln(n) + γ5.奇数级数求和公式奇数级数是形如∑(n=1)∞(2n-1)的无穷级数。
奇数级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞(2n-1)=n^26.平方和级数求和公式平方和级数是形如∑(n=1)∞n^2的无穷级数。
平方和级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞n^2=n(n+1)(2n+1)/67.指数级数求和公式指数级数是形如∑(n=0)∞(x^n/n!)的无穷级数，其中x为常数。
S=∑(n=0)∞(x^n/n!)=e^x8.费马级数求和公式费马级数是形如∑(n=1)∞(1/n^2)的无穷级数。
费马级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞(1/n^2)=π^2/6上述是一些常见的无穷级数求和公式，希望能够帮助读者更好地理解和计算无穷级数的和。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和是数学中的一种重要计算方法，它广泛应用于各种数学分析、物理、工程等领域。
求和公式大全旨在为大家提供一个全面的参考，以便更好地理解和应用无穷级数求和。
一、无穷级数求和的概念与意义
无穷级数是指一个无限项的数列，每一项都是一个函数的值。
求和公式则是用来计算无穷级数前n项和的公式。
在数学分析中，级数收敛性是判断级数求和的关键，只有收敛的级数才有意义进行求和。
二、常见无穷级数求和公式
1.等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an)/2
2.等比数列求和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)
3.调和级数求和公式：Hn = ln(n) - ln(1 + 1/n)
4.几何级数求和公式：S = a/(1 - r)
5.幂级数求和公式：S = ∑(an^k)，其中a是级数的首项，n是项数，k是指数。
三、无穷级数求和方法概述
1.收敛性判断：如泰勒级数、级数收敛则求和收敛。
2.部分求和法：将级数分为部分，分别求和，再求总和。
3.数学归纳法：用于证明收敛级数的求和公式。
4.数值计算方法：如迭代法、蒙特卡洛方法等，用于求解非收敛级数的近似值。
级数典型例题
级数典型例题摘要：一、级数概念介绍1.级数的定义2.级数的基本性质二、级数求和方法1.级数的求和公式2.级数的比较判别法3.级数的根值判别法三、典型例题解析1.求和公式应用题2.比较判别法应用题3.根值判别法应用题四、级数在实际生活中的应用1.数学分析中的应用2.物理学中的应用3.经济学中的应用正文：级数是一个数学概念，它表示一个无穷序列的和。
在数学领域，级数被广泛应用于各种问题，如求极限、求和、研究函数的性质等。
本文将介绍级数的基本概念、求和方法以及典型例题，并探讨级数在实际生活中的应用。
一、级数概念介绍级数是指一个无穷序列{a_n}，其中每个元素都有一个确定的值。
级数的和可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...级数的基本性质包括：1.级数收敛：当且仅当各项的绝对值逐渐减小，趋于零。
2.级数发散：当且仅当各项的绝对值逐渐增大，不趋于零。
3.级数的和：当级数收敛时，存在唯一的和S。
二、级数求和方法1.级数的求和公式：求和公式是一种计算级数和的方法，通常适用于某些具有规律的级数。
例如，等差级数和等比级数的求和公式分别为：S_n = n*(a_1 + a_n)/2 （等差级数）S_n = (a_1 - a_n)^(n)/(1 - r) （等比级数）2.级数的比较判别法：比较判别法是一种判断级数敛散性的方法。
通过比较级数与另一个已知敛散性的级数，来判断原级数的敛散性。
例如，若级数{a_n}满足|a_n+1| < |a_n|，则级数{a_n}收敛。
3.级数的根值判别法：根值判别法是一种求解级数敛散性的方法。
通过计算级数的根值，判断级数的敛散性。
例如，若级数{a_n}满足|a_n+1| <=|a_n|，则级数{a_n}收敛。
三、典型例题解析1.求和公式应用题：例题1：求等差级数S_n = n^2，求和公式为S_n = n*(a_1 + a_n)/2，其中a_1 = 0，a_n = n^2。
发散级数求和法
发散级数求和法
发散级数求和法指的是一种特殊的数学方法，用于求解无限级数中的和。
在这种方法中，我们不需要确切地知道级数的收敛性，而是通过一些技巧性的方法来计算出级数的和。
其中比较常见的方法包括：
1. 扩展欧拉求和法：这种方法适用于某些发散的级数，但是其部分和数列可以被表示为某个函数的级数形式。
我们可以通过对这个函数进行一些简单的变换，得到级数的和。
2. 几何级数求和法：这种方法适用于形如a + ar + ar^2 + ... 的级数，其中a为首项，r为公比。
我们可以通过求出这个级数的部分和公式，然后对公比进行特殊处理，得到级数的和。
3. 狄利克雷求和法：这种方法适用于某些交替级数或者周期级数。
我们可以通过一些技巧性的操作，将这些级数转化为另外一些级数的形式，然后再求和。
发散级数求和法在实际问题中也有广泛的应用，比如在量子场论中的费曼图计算中，就需要用到这种方法来处理发散级数。
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级数求和的方法
级数求和的方法标题: 级数求和的方法正文:级数是一类重要的数学函数,在实际应用中有着广泛的应用。
其中,级数求和是一种常见的计算方式。
下面,我们将介绍一种常见的级数求和方法,即对数级数求和。
假设有一个正整数n,我们定义一个级数:$$a_0 + a_1 + cdots + a_n = frac{1}{1 - x^n}$$其中,$a_0, a_1, cdots, a_n$是正整数,$x$是一个实数。
这个级数可以表示为:$$a_0 + a_1 + cdots + a_n = sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$那么,级数求和公式如下:$$frac{1}{1 - x^n} = sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$这里,$frac{1}{1 - x^n}$是一个常数函数,可以表示为:$$frac{1}{1 - x^n} = frac{1}{1 - x} cdot sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$ 将级数和级数求和公式代入,可以得到:$$frac{1}{1 - x} cdot sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 + cdots + a_n$$ 这就是级数求和公式。
我们可以使用这个公式来计算任意级数。
例如,我们可以计算以下两个级数的和:$$1 + 2 + cdots + 9 = frac{10}{1 - x^9}$$$$frac{1}{1 - x} cdot (1 + 2 + cdots + 9) = frac{10}{1 - x}$$将这两个级数代入级数求和公式,可以得到:$$frac{10}{1 - x} = sum_{k=0}^{9} a_k x^k$$$$10 = a_0 + a_1 + cdots + a_9$$$$a_0 = 1, a_1 = 2, cdots, a_9 = 10$$这就是一个典型的对数级数求和的例子。
除了对数级数求和,还有其他的级数求和方法。
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四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法学生姓名刘学江院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2008级01班学号**********指导教师李红梅完成时间2012年4月30日级数求和的常用方法学生姓名：刘学江指导老师：李红梅内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法.关键词：级数求和数项级数求和函数项级数求和Common Methods of Summing of SeriesAbstract: Series widely used in the numerical calculation, the series must first consider its convergence, covergent series for the sum mability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content, even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation .Under the guidance of the teachers Honmei Li, and strike to seek the summation of the commonly used method to sum up refining, opened the mystery of series The overall of this article can be divided into two parts: several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies, series summation’s theory，The convergence and divergence of the series is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation, so the convergence of the series discussion is simple in this text. Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as possible.Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series目录1数项级数求和 (1)1.1等差级数求和 (1)1.2首尾相加法 (1)1.3等比级数求和 (1)1.4错位相减法 (2)1.5蕴含型级数相消法 (2)1.6有理化法求级数和 (2)1.7方程式法 (3)1.8原级数转化为子序列求和 (3)1.9数项级数化为函数项级数求和 (3)1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4)1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4)1.12构造函数计算级数和 (5)1.13级数讨论其子序列 (5)1.14裂项法求级数和 (6)1.15裂项+分拆组合法 (7)1.16夹逼法求解级数和 (7)2函数项级数求和 (8)2.1方程式法 (8)2.2积分型级数求和 (8)2.3逐项求导求级数和 (9)2.4逐项积分求级数和 (9)2.5将原级数分解转化为已知级数 (10)2.6利用傅里叶级数求级数和 (10)2.7三角级数对应复数求级数和 (11)2.8利用三角公式化简级数 (12)2.9针对2.7的延伸 (12)2.10添加项处理系数 (12)2.11应用留数定理计算级数和 (13)2.12利用Beta函数求级数和 (14)参考文献 (15)级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.1数项级数求和1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.11((1)22n n a a n n s na d +-=+=），其中1a 为首项，d 为公差 证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ②①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2n n a a s +=）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++.解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：21012(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+⋅，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+.1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1)1n a q s q-=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②，①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.41.4错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q ，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例2：计算212n n -∑. 解： 2313521...2222n n s -=++++ ①，21352121 (222)n n s --=++++ ②， ②-①得：121121************nn n k k k n k k k k k n s s s -===---=-=+-=+-=∑∑∑111121121213122212n n n n n n -----+-=---，lim n s →∞=3. 1.5蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和. 例3：计算1ni =∑.解：将各项展开可得：(1...s =-+++++11==lim n s →∞= 1.6有理化法求级数和 对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例4：计算n ∞=. 解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项n a =对其分母有理化得：−−−−=−分母有理化，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1.1.7方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例5：计算2cos cos 2...cos n q q n q θθθ+++，其中1q <.解：记2cos cos 2...cos =n q q n s q θθθ+++= =1cos nk k k q θ∑ 两边同时乘以cos 2q θ得[]+1+1=1=1cos cos cos =2=2cos +1+cos -1)n nk k k k k k k q s qq θθθθθ•••∑∑（）（ 即：+1222cos cos+1cos )(cos )2=n n n n q s q s q q q s q θθθθ+•++-+-（）（ 解此方程得：2122cos cos(1)cos =12cos n n q n q n q q s q q θθθθ++-++-+- 22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-.1.8原级数转化为子序列求和若下列条件成立[1]:（1）当n →∞时级数的通项0n a →（2）级数各项没有破坏次序的情况而得新序列n 1n b ∞=∑收敛于原级数 .例6：计算11111111111++-1+++-+++-+ (2345627893)（）（）（）. 解：lim 0n n a →∞=，应用欧拉公式1111++...ln 23n c n e n++=++，其中c 为欧拉常数，0()n e n →→∞111111+++...+-1--...-2332s n n= 3ln 3ln n n n n e e =-+-，lim ln3n s →∞=.1.9数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.例7：求级数和11135...n n ∞=••••∑（2-1）. 解：建立函数项级数2111()135...n n s x x n ∞-==••••∑（2-1）由函数敛散性知识可知其收敛域为(,)-∞+∞，将函数项级数逐项求导可得：'2211()1135...n n s x x n ∞-==+••••∑（2-3）= 211111()135...n n x x xs x n ∞-=+=+••••∑（2-1），由此可知()s x 满足微分方程'()()1s x xs x -=，且易知(0)0s =，解此常微分方程得：2211220()xx t dt s x e e -=⎰，令1x =则可以求出原级数和：2111220s t e e dt =⎰.1.10化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将n 与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.例8：计算11k n k ∞=+∑，其中()n →∞. 解：记1011111lim =ln21+1n n n k k dx s k n k nx n∞→∞==−−−−−−−−→==←−−−−−−−−++∑∑⎰分子分母同时除以构造分割建立级数与积分的桥梁. 1.11三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.例9[7]：设2cos cos 2...cos = n s q q n q θθθ+++，求s .解：由于1cos =nk k s q k θ=∑，令(cos sin )i z qe q i θθθ==+为复数，其中0,1,2...k =(cos sin )k k ik k z q e q k i k θθθ==+，其中1,2...k =，得：122011+...1(cos sin )(cos 2sin 2)+1n n k n k z z z z z q i q i z θθθθ+=-==+++=++++-∑ 323cos 2cos 3(cos3sin 3)+...+(cos sin )1cos n q q q i q n i n q θθθθθθθ++++=++ 2...+cos (sin )sin 2...sin n n q n i q q q n θθθθ++++而另一方面1111(cos(+1)sin(+1))11(cos sin )n n z q n i n z q i θθθθ++--+=--+=211-2cos q q θ+ ｛1221cos cos(1)cos(1)cos sin(1)sin n n n q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤--+++++⎣⎦+212sin cos(1)sin sin(1)sin(1)cos n n n i q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤-+-+++⎣⎦｝取实部对应原级数和即得：12211(1cos cos(1)cos )1-2cos n n q q s q q n q n θθθθ+++=--+++即： 11221(1cos cos(1)cos 12cos )1-2cos n n s q q n q n q q q qθθθθθ++=--++-+-+ 当n →∞，且1q <时22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-. 1.12构造函数计算级数和将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例10[7]：请计算下面的级数式子：记2323=1-+......)1111nn t t t t s t t t t t ++++++++（）(，其中1t →-. 解：构造函数式子：1()11x x xe f x e e --==++,此函数在[0,)+∞单调递减. 由于000(1)ln(1)|ln 211x x x xx e d e dx dx e e e --+∞+∞-+∞---+==-+=++⎰⎰， 令ln h t =-，满足11lim limln t t h t →→==0 ln 1111ht h e t e e h h----=-=-=，ln ln ()()1()11k t k hk k t k hk t e e f kh t e e ----===+++. 代入题目中的级数式子得：23231lim 1-+......)111nn t t t t t t t t t t -→+++++++（）(+1= 011lim ()h h k e h f kh h -∞→=-∑=0011lim ()ln 21h x x h k e e h f kh dx h e --∞+∞-→=-==+∑⎰. 1.13级数讨论其子序列引理[1]：数列}{n s 收敛的充分必要条件是}{n s 的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列}{n s 收敛于s 的充分必要条件是两个互补的子列}{2n s ,}{12-n s ,收敛于同一极限.推广可得：定理[1]：若级数∑∞=1n n a 通项满足当n →∞时， 0→n a （收敛判别的必要条件），∑∞=1n n a 收敛于s 的充分必要条件是：部分和}{n s 的一个子序列}{np s 收敛于s ，其中p 满足：p 是某个正整数p =1，2，… 将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和1.6的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.例11[6]：计算：12cos32nn n π∞=∑. 解：记12cos 32n n n s π∞==∑，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：1{|3,0,1,2...}A n n k k ===，2{|31,0,1,2...}A n n k k ==+=，3{|32,0,1,2...}A n n k k ==+=. 则：12302222cos cos cos cos 3333=++2222n n n n n n A n A n A n n n n ππππ∞∞∞∞=∈∈∈∑∑∑∑ 331320002cos cos +133+222k k k k k k πππ∞∞∞++====+∑∑∑（） 1211+cos +cos +()2343k k πππ∞=∑3=01（（））2 1115(1)148718=--=-，所以：12cos 23127n n n s π∞==-=-∑. 1.14裂项法求级数和针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出. 裂项一般形式：1111()()(+)x m x n n m x m x n =-+-++，此处m n >. 例12：计算111...123234(1)(2)s n n n =+++++.解:记1(1)(2)n a n n n =++，111[]2(1)(1)(2)n a n n n n =-+++ 针对11(1)nk k k =⋅+∑同理采用裂项法记111(1)1n b n n n n ==-++则11(1)nk k k =+∑=11111111111(1)()()()()+...+()2233445561n n −−−−−−−−−−→-+-+-+-+--←−−−−−−−−−−+裂项后后面项可以消去前面项部分这就是裂项法的好处！ 11-1n +，111lim lim[1-]1(1)1nn n k k k n →∞→∞===++∑，所以 111111lim lim [](1)(2)2(1)(1)(2)nnn n k k k k k k k k k →∞→∞===++++++∑∑= 11111111lim lim()2(1)2(1)2n n n n k k k k k k +→∞→∞==--++∑∑=1111(1)2224--=. 1.15裂项+分拆组合法将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.例13：计算1(+1)(+2)n nn n n ∞=∑（+3）.解：11235+1+2+3(+1)(+2)n n n n n n n ++-=（+3）111111251()(+1)(+2)3+1+2+33(+1)(+2)n n n n n n n n n n n n n ∞∞∞===∴=+--∑∑∑（+3）（+3）=1125111()()3233464+--=. 1.16夹逼法求解级数和在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.例14[8]：设m 为一给定的正整数，求221,1n m n m n∞=≠-∑. 解：12222221,11111m Nm m Nm Nn m n n n ms m n m n m n +-++=≠==+==+---∑∑∑ 1111111111[ (21122121)m Nn m m m m m m m m n m n +=+=++++++++-+-+--+∑]1111111(1...1...)22222m m N N m m =+++------+ 21112...2122+1m m N m N N N m N +++++++<<且∞→N 时，2lim 0+1N mN →∞=，且2lim 0+2N m N m →∞=，所以23lim 04m N N s m +→∞=-，即2221,134n m nm n m ∞=≠=--∑ 2 函数项级数求和函数项级数和依据未知数x 的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.2.1方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.例15：计算函数项级数23456()1 (21324135246)x x x x x s x x =+++++++ 解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为+∞，逐项求导得3'2()1 (2)x s x x x =++++即：'()1()s x xs x =+(0)1s =解此微分方程得：2222()(1)x t x s xe e dt -=+⎰.2.2积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.例16：计算级数(21)220x k k k eππ∞+-=∑⎰.解：因为(2,(21x k k ππ∈+）），作变量替换tk x +=π2得： (21)(222200=xt tk k k k edx e e e ππππππ+--+--=⎰⎰⎰）再根据：'22t tee dt--=⎰⎰C +得：(42224tt tk ee eπππππ-+--=-+⎰⎰⎰）=4042|2eeπππ--=84042|24eeec ππππ---=.所以原级数=8211t k k eee ππππ∞----==-∑⎰. 2.3逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。