初中数学竞赛专题1-均值不等式的应用
均值不等式在初中数学中的应用
均值不等式在初中数学中的应用均值不等式是中学数学中解决多个量之间关系的重要工具，它比较容易被初中生所接受，也可以用于解决复杂的问题。
均值不等式是一组不等式，它的形式为：$ n \le \overline{x} \le p $其中，$\overline{x}$代表某组数的平均数，n、p是这组数的最小值和最大值。
在初中数学中，均值不等式可以用来用于解决一些问题，如：1. 假设学校有30个学生，其中每个学生的考试成绩都在0~100分之间，求学校学生平均考试成绩最少应该多少分？通过均值不等式可以得出：只要最低分数少于平均成绩，其他分数就可以比平均成绩高一些。
由于这里最低分数是0分，根据均值不等式，我们可以得出学校学生平均考试成绩最少要得30分。
2. 假设有一个班级有30个学生，他们的体重范围都在50kg~80kg 之间，求这个班级学生的平均体重？同样的，由于这组数据的最低值是50kg，所以根据均值不等式，我们可以得出这个班级学生的平均体重至少是50kg。
即：$ 50 \le \overline{x} \le 80 $，故$ \overline{x} = 65 kg $。
此外，均值不等式还可以用来解决某些组合问题，如：假设把一组数据分成两组，每组数据平均值相等，这组数据最少有多少个？由均值不等式可知：一组数据的最大值一定大于两组数据的平均值，最小值一定小于两组数据的平均值，结合最少有的要求，我们可以得出，这组数据最少有4个，且满足以下条件：$ n + p + q = 2 \overline{x} \\n \le \overline{x} \le p \\p \le \overline{x} \le q $从上面可以看出，均值不等式是一种重要的数学工具，在初中数学中也可以被广泛运用，它可以帮助我们更好、更准确地解决复杂问题，让初中生更好地理解数学知识，进而深化学习。
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
数学竞赛几个重要不等式
几个重要不等式一．基础知识1. 均值不等式: 设a i >0,i=1,2,…,n,n>1.n n n nn a a a G na a a A 2121,=+++=,na a a Q a a a nH nn nn 2222121,111+++=+++=,分别叫算术平均,几何平均,调和平均和平方平均,则有H n ≤G n ≤A n ≤Q n .当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立. 例1.设z y x ,,是正实数,且3=++z y x .求证:()zx yz xy x z z y y x +++≥+++++27291888333333.证明:由均值不等式,得3274227283274227283233233xy y y y x y y y y x =+-⋅+⋅+≥+-++++, 同理,3274227283274227283233233y z z z y y z z z z y =+-⋅+⋅+≥+-++++, 3274227283274227283233233z x x x x z x x x x z =+-⋅+⋅+≥+-++++.三式相加得()22233333327194888z y x x z z y y x ++-≥+++++ ()()()2791279912222222z y x z y x z y x ++-+++=++-+= ()zx yz xy +++=27291.例2 证明:.,)111()11(*1N n n n n n ∈++<++证明: 因11)111(11)11(1)11(++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++<⋅+n n n n n nn n , 所以,1)111()11(+++<+n n n n . 例3设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n ∈R +,且a 1+a 2+…+a n ≤1,b 1+b 2+…+b n ≤n. 求证:n nn n b a b a b a )1()11()11)(11(2211+≥+++ . 证明:∵11)1()1(11111++≥+++=+n in i i n i i i i b na n b na na b a个∴1212111)(1)1()1()11(+=⋅+≥+∏n n nn n n n ni i ib b b a a a n n b a ,又a 1a 2…a n ≤ n n n a a a )(21+++ ≤n n 1, b 1b 2…b n ≤n n n b b b )(21+++ ≤1∴nni i in b a )1()11(1+≥+∏=,得证例4设a ,b,c,d>0,且满足(a +b)(b+c)(c+d)(d+a )=1.求证:(2a +b+c)(2b+c+d)(2c+d+a )(2d+a +b)(a bcd)2161≤. 证明:因∏(2a +b+c)4])2(41[∑++≤c b a =(a +b+c+d)4，所以,仅证 (a +b+c+d)4(abcd)2161≤⇔≤16116(a +b+c+d)4(abcd)2≤[(a +b)(b+c)(c+a )(d+a )]3 ⇔≥++++3)]11)(11)(11)(11[(ad d c c b b a 16(abc dab cda bcd 1111+++)4. 令w dz c y b x a ====1,1,1,1,欲证: [(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)]3≥16(xyz+xyw+xzw+yzw)4:因4(xyz+xyw+xzw+yzw)2≤4[xy(z+w)+zw(x+y)]2≤ [xy (x+y)(z+w)+zw (z+w)(x+y)]2=[(x+y)(z+w)]2(xy +zw )2=[(x+y)(z+w)]2(xy+zw+2xyzw )2≤[(x+y)(z+w)]2(xy+zw+yw+xz)=[(x+y)(z+w)]2(y+z)(x+w);同理4(xyz+xyw+xzw+yzw)2≤(x+y)(z+w)[(y+z)(x+w)]2,将两式相乘得: [(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)]3≥16(xyz+xyw+xzw+yzw)4,即原不等式得证. 2.柯西不等式:设a i ,b i ∈R(i=1,2,…,n),则∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)())((.当且仅当nn b a b a b a === 2211时等号成立.变形1设a i ∈R, b i ∈R +(i=1,2,…,n),则∑∑∑===≥ni i ni i ni iiba b a 11212)(.变形2设a i ,b i 同号且a i b i ≠0(i=1,2,…,n), 则∑∑∑===≥ni ii ni i ni iiba ab a 1121)(.例5、设z y x ,,是非负数,且3222=++z y x .证明:++++++xz y y zy x x2232≤++yx z z .证明:由柯西不等式得()()2223z y x z y x ++≥++, 又3222=++z y x ,所以, .222z y x z y x ++≥++由柯西不等式,有()()()221z y x z y z y x ++++++,因此,只要证明.3111≤++++++++++zy x yx z x z y z y x再由柯西不等式得()()()()()()[]()()()[]()()[]().22111322222z y x zx yz xy z y x z y x zx yz xy z y x z y x zy zx z xy yz y zx xy x z y x zyzx z z yx yz y y xz xy x x yx z x z y z y x++=+++++++≤+++++++=++++++++++≤++⋅+++⋅+++⋅=++++++++故3111222=++≤++≤++++++++++z y x z y x zy x yx z x z y z y x .因此,原不等式得证.例6设1),,,2,1(,01==>∑=ni ii xn i x ，求证：1111-≥-∑∑==n x x x ni ini ii.证明:左边=∑∑∑∑====---≥---ni i ni ini ni i i x x n x x 11211111112112111212112))1(()1())1(()1(∑∑∑∑====---≥ni i ni ni i ni x x n 11)11(1)1()1(1222-≥-++⋅=-=---=∑∑=n x n x n nn n n n n ni ii .例7设正实数a 1,a 2,…,a n 满足a 1+a 2+…+a n =1.求证:1))((1213232222113221+≥+++++++++n na a a a a a a a a a a a a a a n n . 证明:∵132211232222121132211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++≥+++=+++,∴只要证.11322112132322221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≥++++++a a a a a a n n a a a a a a a a a n n∵12132223221122112132322221)()()()a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a nn n n ++++++=++++++.1)(13221213221a a a a a a a a a aa a nn +++++++≥ 令t=13221a a a a a a n +++ ，则t ≥n ，故只要证112+≥+n nt t t ，即t ≥n 这已知成立。
均值不等式及其运用
均值不等式及其运用编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知学习目标：1. 了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.重点：会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题难点：基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。
知识要点梳理知识点一：2个重要不等式1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.注意：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.注意：1. 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
均值不等式及其应用
2 当且仅当ab＝ab 时等号成立，
1 1 2 所以 2＋ 2＋ab≥ab＋ab≥2 2， a b 1 1 a2＝b2 当且仅当 2 ＝ab ab
，即 a＝b＝ 2时取等号．
4
bc ac ab 3．(1)设 a，b，c 都是正数，求证： a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋c. 1 1 (2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：a＋b≥4.
∴y＝4x· (3－2x)＝2[2x(3－2x)]
2x＋3－2x 2 9 ≤2 ＝2. 2
3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝ 时，等号成立． 4 3 3 ∵ ∈0，2， 4 ∴函数
3 9 y＝4x(3－2x)0<x<2的最大值为 . 2
如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来
求解．
[题组自测] 1．已知 a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1， 1 1 1 求证：(a－1)(b－1)(c －1)≥8.
证明：∵a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1， 1－a1－b1－c 1 1 1 ∴ ( a － 1)( b － 1)( c － 1) ＝ ＝ abc b＋ca＋ca＋b 2 bc· ac· ab 2 2 ≥ ＝8. abc abc 1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3
3 4 已知 x>0，y>0 且x＋y ＝1，求使 x＋y≥c 恒成立的 c 的取值范围．
3 4 解：∵x>0，y>0 且x＋ y＝1. 3 4 ∴x＋y＝(x＋y)(x＋ y ) 3y 4x ＝7＋ x ＋ y ≥7＋2 3y 4x x · ＝7＋4 3， y
3y 4x 当且仅当 x ＝ y ，即 3y＝2x 时等号成立， 此时 x＝3＋2 3，y＝4＋2 3. 要使 x＋y≥c 恒成立，只需 c≤7＋4 3. ∴c 的取值范围是(－∞，7＋4 3]．
三元齐次不等式问题的数学竞赛讲义——均值不等式与柯西不等式应用拓广 学生版
三元齐次不等式问题的解答讲义-均值不等式与柯西不等式应用拓广众所周知，三元齐次不等式是一类基本型不等式问题，证明所需技巧性简单，本文通过几个例题梳理证明的一般步骤：通常只要展开分析，考察展开式，能否首先使用均值不等式，均值不等式的元可以任意，其次考虑应用柯西不等式，能否配方，能否使用同一类型的3-u -v 法证明。
一、基本三元齐次不等式问题1原始问题：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a2≥a b +b c +c a .2问题的加强1：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a2≥a b +b c +c a +3a -b 2+b -c 2+c -a 2ab +bc +ca .3问题的加强2：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c +2a -b 2+b -c 2+c -a 2a +b +c.根据上述两个题，增加字母次数，变形改编一题，1加强变形题1：已知a，b，c>0，求证：a(a2−b2)b +b(b2−c2)c+c(c2−a2)a≥3(a−b)4+(b−c)4+c−a4a2+b2+c2.舍掉一部分元素，使得题目条件难度加大，改编题目，2加强变形题2：问题[2023-06-2500:00]：已知a，b，c>0，，求证：a(a2−b2)b +b(b2−c2)c+c(c2−a2)a≥4c−a4a2+b2+c2.二、复杂一点的三元齐次不等式问题：这类问题看能否使用均值不等式，凑一组不等式问题，使用均值不等式，若使用过程出现困难，则展开证明.1问题1：已知a，b，c>0，求证：b+c4a+b+c+c+a4b+c+a+a+b4c+a+b≥3.2问题2：已知a，b，c>0，求证：a2(b+c)4a+b+c +b2(c+a)4b+c+a+c2(a+b)4c+a+b≥29bc+ca+ab.3问题3：已知a，b，c>0，求证：b(b+c)c(4a+b+c)+c(c+a)a(4b+c+a)+a(a+b)b(4c+a+b)≥13.4问题4：已知a，b，c>0，求证：a(b+c)b(4a+b+c)+b(c+a)c(4b+c+a)+c(a+b)a(4c+a+b)≥13.5问题5是多元均值不等式的应用问题.再看一个题8次不等式的展开证明：已知a，b，c≥0，β∈0，31，求证：cyc [(b4+c4)(3b+c)(b+3c)(b2+c2-2a2)]≥42cyc a2⋅cyca2-c2+βcycc-a 2⋅cycc-a 2.三、思考问题：6①已知a ，b ，c >0，求证：2cyc a 4 cyc a 3(a +b ) 5a −c (4a +3b −7c )−20cyc a 2b 3(a −c )≥cyc bc (a −b )8 +cyc (c −a )2⋅ cyc(b −c )2(c −a )2 .7②已知a ，b ，c >0，求证：a 2+b 2+c 2≥a b 2−bc +c 2+b c 2−ca +a 2+c a 2−ab +b 2≥ab +bc +ca .。
均值不等式及其应用
1
(
2
9
+
+ 10)
9
∙
+5=3+5=8
1
3
= 3
= 3等号成立，由
得 = , = .
2
2
+ =2
9
的最小值为8.
b
均值不等式的变形
均值不等式
+ ≥
+
≤ (
)
重要不等式
利用均值不等式求最值
积定和最小，和定积最大.
“1”的代换
=−
6
.
2
6
2
例2 已知 ∈ (−1,3),求 = (1 + )(3 − )的最大值，以及取
得最大值时的值.
【解析】当x ∈ (−1,3)时,−1 < < 3,因此1 + > 0,3 − > 0.
由均值不等式可得
1++3−
(1 + )(3 − ) ≤
=2
2
从而(1 + )(3 − ) ≤ 4,即 ≤ 4.
所以( + ) = 2
思考2：已知矩形的周长为36，则这个矩形长、宽各为多少时，矩
形的面积最大？最大面积是多少？
【解析】设矩形的长与宽分别为与,则2( + ) = 36,即
+ y = 18
因为 > 0, > 0,所以
18 +
=
≥
2
2
所以 ≤ 9，即 ≤ 81.
当且仅当1 + = 3 − ,即 = 1时，等号成立.
因此，当 = 1时，取得最大值4.
均值不等式及其应用ppt课件
2
2
2
ab
即 2
0，
ab ．
而且，等号成立时，当且仅当 ( a b ) 2 0 ，即a＝b．
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正
实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比
67
如
2
42 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还
可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它
4
y 4x
y 4x
y
4 ，当且仅当 y 4 x ，即 x 2 ， y 8 时等号成立，所以 x 4 .
4 min
又x
y
m2 3m 有解，所以 m2 3m 4 ，解得 m 1 或 m 4 .故选 D.
4
6.某批救灾物资随 41 辆汽车从某市以 v km / h 的速度匀速直达灾区，已知两地公
用来展示校友的书画作品.它的左、右两侧及顶部和底部都留有宽为 2 米的自由
C)
活动区域，如图所示，则整个书画展区域（大矩形）的最小面积是(
A.360 平方米
B.384 平方米
C.361 平方米
D.400 平方米
解析：设小矩形的一边长为 x 米，其邻边长为 y 米，整个书画展区域（大矩形）
的面积为 S 平方米.由 x 0 ， y 0 及 xy 225 ，得 S ( x 4)( y 4) xy 4 y 4 x
1
4
B.4
C.
1
2
D).
D.2
解析： a 0 ，b 0 ， 4 2a b 2 2ab （当且仅当 2a b ，即 a 1 ，b 2 时
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初中数学竞赛专题1
均值不等式的应用
基础概念
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤
（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*,R b a ∈，则2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2
)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 例题解析
【例1】求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋1
2x 2 （2）y ＝x ＋1x
解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2
＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x
＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x
）≤－2x ·1x =－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
【例2】求函数2
y =的值域。
(2)t t =≥，则2
y =1(2)t t t ==+≥ 因10,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t
=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
【例3】若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a
当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．
变式：若44log log 2x y +=，求
11x y
+的最小值.并求x,y 的值 【例4】已知0,0x y >>，且191x y
+=，求x y +的最小值。
错解
．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥x y =，在
19x y +≥19x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求y
x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +的最小值
【例5】已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，
a ＋
b 2 ≤a 2＋b 22 ，本题很
简单
3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20
∴ W ≤20 ＝2 5
变式: 求函数15
()22y x =<<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=
又0y >，所以0y <≤
当且仅当21x -=52x -，即32
x =时取等号。
故max y = 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
【证明不等式问题】
【例6】已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个
“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥
解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。
∴111a b c a a a -+-==≥。
同理11b -≥
11c -≥
111221118ac ab a b c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
当且仅当13a b c ===时取等号。