线性变换的矩阵表示
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
线性变换的矩阵表示
即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理１ 定理１ 设线性空间 Vn中取定两个基
α 1 ,α 2 ,L ,α n ; β 1 , β 2 , L , β n ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,
线性变换的矩阵表示与相似矩阵
线性变换的矩阵表示与相似矩阵线性代数是数学中一个重要的分支，研究向量空间和线性变换的性质以及相应的代数结构。
在线性代数中，线性变换是其中一个重要的概念，它可以用矩阵表示，并且与相似矩阵有着密切的关系。
一、线性变换的矩阵表示线性变换是指保持向量空间中的线性结构不变的变换。
在二维或三维向量空间中，线性变换可以用一个矩阵来表示。
以二维向量空间为例，设有向量v=(v₁, v₂)，线性变换v将其映射为向量v=(v₁, v₂)，则可以使用矩阵v来表示v的线性变换，即：[v₁] [v₁₁, v₁₂] [v₁][v₂] = [v₂₁, v₂₂] × [v₂]其中，矩阵v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]表示线性变换v的矩阵表示。
这种矩阵表示的好处在于可以简化线性变换的计算，尤其是在高维向量空间中。
二、相似矩阵的定义相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设有两个v×v矩阵v和v，如果存在一个可逆矩阵v使得v=v⁻¹vv成立，则称矩阵v和v相似，矩阵v称为相似变换矩阵。
三、线性变换的矩阵表示与相似矩阵的联系线性变换的矩阵表示与相似矩阵有着密切的联系。
以二维向量空间为例，设有一个线性变换v的矩阵表示为v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，我们希望找到一个矩阵v使得v=v⁻¹vv中的矩阵v与v相似。
根据相似矩阵的定义，我们可以得到v=v⁻¹vv的形式。
对于二维向量空间来说，v为一个2×2的可逆矩阵，假设v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，则v可表示为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]若要使得v=v⁻¹vv成立，只需令v⁻¹=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]即可。
则v的形式为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]通过矩阵相乘的运算可以得到：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] × [v₂₁, v₂₂]由此可以得到v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]与v=[v₁₁, v₁₂;v₂₁, v₂₂]相似的条件为：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] = [v₂₁, v₂₂]也就是说，要使得两个矩阵相似，只需保证其对应位置上的元素相等即可。
线性变换的矩阵表示
n
T ( ) T ( x i i ) x i T ( i )
n
n
i 1
x1 x (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )) 2 xn
i 1
i 1
x1 x ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn 即 x1 x1 x x T [( 1 , 2 , , n ) 2 ] ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn xn 上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变 换T是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定. 结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
0 1 0 0 0 0 2 0 . A 0 0 0 n 1 0 0 0 0 例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性 变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为i , j , . k , 求T的矩阵 (2) 取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵. 1 0 0 i 0 , j 1 , k 0 . 其中 0 0 1 1 0 0 解(1): Ti i 即 T ( i , j , k ) ( i , j , k ) 0 1 0 . j, Tj 0 0 0 T k 0
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下 的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?
线性变换的矩阵表示式
0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例3 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵．
i 1
i 1
x1
(T ( 1),T (
2),
,T (
n))
x2
xn
x1
( 1 , 2 , , n)A x2 ,
xn
即
T ( 1 , 2 ,
,
n)
x1 x2
( 1 , 2 ,
,
n) A
x1 x2 .
x
n
xn
上式唯一地确定了一个变换T ,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换.
x
n
xn
可知 : 在基 1 , 2 , , n下,
的坐标为
x1
x2 ;
xn
T ( )的坐标为
x1
T ( ) A x2 .
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表⽰千⾥之⾏始于⾜下，重视基础才是本质。
在矩阵论中提到的线性变换是⼀个相对抽象的概念，先给出相关定义定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到⾃⾝的⼀个映射，使对任意向量x ∈V ，V 中都有唯⼀的向量y 与之对应，则称T 是V 的⼀个变换或者算⼦，记Tx =y ，称y 为x 在T 下的象，⽽x 是y 的原象（象源）这个T 类似于数学分析中的函数y =f (x )，不过那⾥是数量函数，这⾥是向量函数。
如果变换T 满⾜⼀定的线性变换要求T (kx +ly )=kT (x )+lk (y )，则T 为V 的⼀个线性变换。
概念类⽐到数量函数，线性变换T 的也是很好理解的。
但是在具体计算过程中，我们怎么把抽象的概念具体化？这就涉及到线性变换的矩阵表⽰。
从定义⼊⼿的话，如果需要确定线性变换T ，则需要找到V 中所有向量在T 下的象。
事实上不需要这么⿇烦的。
V 中所有向量都可以由V 的基向量组(x 1,x 2,……,x n )线性表⽰，加上T 是V 的线性变换，则V 中所有象都可以由基象组(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)线性表⽰。
设T 是线性空间V n 的线性变换，x ∈V n ,且x 1,x 2,……,x n 是V n 的⼀个基，则x =a 1x 1+a 2x 2+……+a n x n Tx =a 1(Tx 1)+a 2(Tx 2)+……+a n T (x n )令Tx 1=a 11x 1+a 21x 2+……+a n 1x n Tx 2=a 12x 1+a 22x 2+……+a n 2x n ……Tx n =a 1n x 1+a 2n x 2+……+a nn x n 在处理具体问题时，采⽤矩阵乘法的形式表⽰上述公式组：T (x 1,x 2,……,x n )=(Tx 1,Tx 2,……,Tx n )=(x 1,x 2,……,x n )A 这个A 称为线性变换T 在V n 的基x 1,x 2,……,x n 下的矩阵，简称A 为T 的矩阵。
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
(整理)05 第五节 线性变换的矩阵表示.
第五节 线性变换的矩阵表示分布图示★ 线性变换的矩阵表示式★ 线性变换在给定基下的矩阵★ 线性变换与其矩阵的关系★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-5内容要点一、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++=+++=,)(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =，其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定.二、线性变换与其矩阵的关系设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ，下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα ,结论 在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.三、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则AP P B 1-=.定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩.结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r .(ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -.例题选讲线性变换与其矩阵的关系例1 (E01) 在3][x P 中, 取基1p =3x ,2p =2x ,3p =x ,4p =1,求微分运算D 的矩阵.解 ,03003002020001100000432124432134321243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++==+++==+++==+++==p p p p x Dp p p p p x Dp p p p p Dp p p p p Dp 所以D 在这组基下的矩阵为=A .0000300002000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2 (E02) 实数域R 上所有一元多项式的集合，记作][x P ,][x P 中次数小于n 的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作n x P ][, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R 上的一个线性空间。
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线性变换的矩阵表示
线性变换是数学中的重要概念，它在许多领域都有广泛应用。
线性
变换可以通过矩阵表示，这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。
1. 线性变换的定义
线性变换是指满足以下两个条件的映射：
(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b，线性变换T满足T(a*u +
b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭，即T(u + v) = T(u) + T(v)，T(k*u) = k*T(u)（k为实数）。
2. 矩阵表示的意义
线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，从而
方便计算和分析线性变换的性质。
对于任意线性变换T，可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量u，有T(u) = A*u。
矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。
3. 线性变换的矩阵表示方法
线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到：
(1) 选择标准基下的基向量，分别记作e1, e2, ..., en。
(2) 对于每个基向量ei，计算线性变换T(ei)的坐标表示，得到矩阵A的第i列。
(3) 将所有计算得到的列向量排列起来，得到矩阵A。
4. 矩阵表示的性质
线性变换的矩阵表示具有以下性质：
(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。
对于线性变换T1和T2，它们的矩阵表示分别为A和B，则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。
(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。
若线性变换T存在逆变换，它们的矩阵表示分别为A和A^-1，则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。
(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。
像空间对应于矩阵的列空间，而核空间对应于矩阵的零空间。
5. 矩阵表示的例子
考虑一个二维平面上的旋转变换，将向量绕原点逆时针旋转θ度。
选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。
对于基向量e1，旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。
对于基向量e2，旋转变换后的坐标表示为sinθ*e1 + cosθ*e2。
将两个坐标表示排列起来，得到旋转变换的矩阵表示：
| cosθ -sinθ |
| sinθ cosθ |
6. 结论
线性变换的矩阵表示是一种重要的数学工具，它方便了线性变换的计算和性质的分析。
通过线性变换的矩阵表示，我们可以更深入地理解线性变换的本质以及它在各个领域中的应用。