第4章 静定结构内力分析

第4章静定结构内力分析第4章静定结构内力分析第四章静定结构的内力分析第一节多跨静定梁、斜梁一、多跨静定梁若干根梁用中间铰连接在一起，并以若干支座与基础相连，或者搁置于其他构件上而组成的静定梁，称为多跨静定梁。

在实际的建筑工程中，多跨静定梁常用来跨越几个相连的跨度。

图13—1a所示为一公路或城市桥梁中，常采用的多跨静定梁结构形式之一，其计算简图如图13—1b所示。

在房屋建筑结构中的木檩条，也是多跨静定梁的结构形式，如图13—2a所示为木檩条的构造图，其计算简图如图13—2b所示。

连接单跨梁的一些中间铰，在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口结合(图13—1a)，而在木结构中常采用斜搭接或并用螺栓连接(图13—2a)。

从几何组成分析可知，图13—1b中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是几何不变的。

且梁AB本身不依赖梁B C和CD就可以独立承受荷载，所以，称为基本部分。

如果仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。

短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。

同样道理在图13—2b中梁AB，CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。

为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，分别如图13—1c和图13—2c所示，我们称它为关系图或层叠图。

3关的基本部分上去。

因此，计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按组成顺序的逆过程进行。

例如图13—1c，应先从附属梁BC计算，再依次考虑CD、AB梁。

这样便5解：（1）作层叠图如图13-3b 所示，AC 梁为基本部分，CE 梁是通过铰C和D 支座链杆连接在AC 梁上，要依靠AC 梁才能保证其几何不变性，所以CE 梁为附属部分。

（2）计算支座反力从层叠图看出，应先从附属部分CE 开始取隔离体，如图13-3c 所示。

∑=0CM 04680=⨯-⨯D V kN V D 120=（↑） ∑=0DM04280=⨯-⨯C V kN V C 40=（↓）将C V 反向，作用于梁AC 上，计算基本部分∑=0X 0=AH∑=0AM －40×10+V B ×8+10×8×4-64=0 ∑=0BM－40×2－10×8×4－64+V A ×8=0V A =58kN （↑） V B =18kN （↓） 校核：由整体平衡条件得∑Y ＝—80十120—18十58—10×8＝0， 无误。

(3)作内力图。

除分别作出单跨梁的内力图，然后拼合在同一水平基线上这一方法外，多跨静定梁的内力图也可根据其整体受力图(图13—3a)直接绘出。

将整个梁分为AB 、BD 、DE 三段，由于中间铰C 处是外力的连续点，故不必将它选为分段点。

6由内力计算法则，各分段点的剪力为kN Q A 58 右 左B Q =58－10×8=－22kN 右B Q =58－10×8－18=－40 kN 左D Q =80－120=－40 kN 右D Q =80 kN 左E Q =80 kNM AB=－64 kN·mM BA=－64+58×8－10×8×4=80 kN·mM DE=－80×2=－160 kN·mM ED=0M F=－64+58×5.8－10×5.8×5.8/2=104.2 kN·m据此作弯矩图如图13-3e所示。

其中AB段内有均布荷载，故需在直线弯矩图（图中虚线）的基础上叠加相应简支梁在跨中间（简称跨中）荷载作用的弯距图。

多跨静定梁比相同跨度的简支梁的弯矩要小，且弯矩的分布比较均匀，此即多跨静定梁的受力特征。

多跨静定梁虽然比相应的多跨简支梁要经济些，但构造要复杂些。

一个具体工程，是采用单跨静定梁，还是多跨静定梁或其它型式的结构，需要作技术自重就是沿梁轴均匀分布的荷裁。

78得 αc o s/1q l l q l l q q '=''=''= （13-1） 式（13-1）表明：沿斜梁轴线分布的荷载q ′除以cos α就可化为沿水平分布的荷载q 。

这样换算以后，对斜梁的一切计算都可按图13-5c 的简图进行。

【例13—2】 斜梁如图13—6a 所示。

已知其倾角为α，水平跨度为l ，承受沿水平方向集度为q 的均布载荷作用。

试作该斜梁的内力图，并与相应水平梁的内力图作比较。

解：（1） 求支座反力；以全梁为分离体，由静力平衡条件求得支座反力为 H A =0， V A =2ql（2）求内力9—6b 所示；由∑K M ＝0，可得弯矩方程为 2222x q x ql x qxx V M A -=-= 故知弯矩图为一抛物线，如图13—6c 所示，跨中弯矩为281ql 。

可见斜梁中最大弯矩的位置（梁跨中）和大小（82ql ）与直梁是相同的。

求剪力和轴力时，将反力V A 和荷载qx 沿截面方向(v 方向)和杆轴方向(u 方向)分解(图13—6b)，由∑v = 0，得αααc o s 2c o s c o s ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=qx ql qx V Q A 由∑=0u ，得αααs i n 2s i n s i n⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=qx ql qx V N A10根据以上二式分别作出剪力图和轴力图，如图13—6d 、e 所示。

图13—6f 所示，为与上述斜梁的水平跨度相等并承受相同载荷的简支梁。

由截面法可求得任一截面K 的弯矩0M 、剪力0Q 和轴力0N 的方程为 2022x q x ql M -=， qx qlQ -=20， 00=N 作得内力图如图13—6g 、h 、i 所示。

将斜梁与水平梁的内力加以比较，可知二者有如下关系：0M M =， αcos 0Q Q =， αs i n0Q N -= 第二节 静定平面刚架(一)、静定平面刚架的特点柱轴线的夹角大小保持不变。

2．在受力方面，由于刚架具有刚结点，梁和柱能作为一个整体共同承担荷载的作用，结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。

在大跨度、重荷载的情况下，是一种较好的承重结构，所以刚架结构在工业与民用建筑中，被广泛地采用。

(二)、静定刚架的内力计算及内力图1、内力计算如同研究梁的内力一样，在计算刚架内力之前，首先要明确刚架在荷载作用下，其杆件横截面将产生什么样的内力。

现以图13—8a所示静定悬臂刚架为例作一般性的讨论。

刚架是在任意荷载作用下，现研究其中任意一截面m—m产生什么内力。

先用截面法假想将刚架从m—m截面处截断，取其中一部分隔离体图13—8b。

在这隔离体上，由于作用荷载，所以X，知截面上将会截面m—m上必产生内力与之平衡。

从∑=0有一水平力，即截面的剪力Q，与荷载在x轴上的投影平衡；从要求出静定刚架中任一截面的内力(M、Q、N)也如同计算梁的内力一样，用截面法将刚架从指定截面处截开，考虑其中一部分隔离体的平衡，建立平衡方程，解方程从而求出它的内力。

因此，关于静定梁的弯矩和剪力计算的一般法则，对于刚架来说同样是适用的。

现将计算法则重复说明如下(注意与前面的提法内容是一致的)：“任一截面的弯矩数值等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)对该截面形心的力矩的代数和”。

“任一截面的剪力数值等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)沿该截面平面投影或称切向投影的代数和”。

“任一截面的轴力数值等于该截面任—侧面所有外力(包括支座反力)在该截面法线方向投影(或称法向投影)的代数和”。

2．内力图的绘制在作内力图时，先根据荷载等情况确定各段杆件内力图的形状，之后再计算出控制截面的内力值，这样即可作出整个刚架的内力图。

对于弯矩图通常不标明正负号，而把它画在杆件受拉一侧，而剪力图和轴力图则应标出正负号。

在运算过程中，内力的正负号规定如下：使刚架内侧受拉的弯矩为正，反之为负；轴力以拉力为正、压力为负；剪力正负号的规定与梁相同。

为了明确的表示各杆端的内力，规定内力字母下方用两个脚标，第一个脚标表示该内力所属杆端，第二个脚标表示杆的另—端。

如AB杆A端的弯矩记为M AB，B端的弯矩记为M BA；CD杆C端的剪力记为Q CD、D端的剪力记为Q DC等等。

全部内力图作出后，可截取刚架的任一部分为隔离体，按静力平衡条件进行校核。

【例13—3】计算图13—9a 所示刚架结点处各杆端截面的内力。

解：（1） 利用整体的三个平衡方程求出支座反力，如图13—9a 所示；对C 1A 隔离体(图13—9b)，则 ∑=0X ， 08=-CAQ ， kN Q CA 8= ∑=0Y ， 06=-CAN， kN N CA 6=∑=0CM， 038=⨯-CA M ， m kN M CA ∙=24 (AC 杆内侧即右侧受拉)对C 2B 隔离体(图13—9c)，有∑=0X ， 0=CBN∑=0Y ， 06=+CBQ ，kN Q CB 6-=∑=0CM， 046=⨯+-CB M ， m kN M CB ∙=24(CB 杆内侧即下侧受拉)（3）取结点C 为隔离体校核(图13—9d)。

校核时画出分离体的受力图应注意：a ）必须包括作用在此分离体上的所有外力，以及计算所得的内力M 、Q 和N ；b ）图中的M 、Q 和N 都应按求得的实际方向画出并不再加注正负号。

∑=0X ， 8－8=0 ∑=0Y ， 6－6=0∑=0CM， 24－24=0 无误。

【例13-4】 计算图13—10所示刚架刚结点C ，D 处杆端截面的内力。

解：（1） （2） （3） 取 ∑=Y ∑=X∑CM右侧受拉。

)取AC 2杆(相当取AC 2为研究对象，包括支座A)，得 ∑=0X ， 04312=⨯-=CDN ∑=0Y ， 4-=CDQkN∑=0CM， 24243412=⨯⨯-⨯=CD M kN ·m (CD 杆内侧即下侧受拉)（3）计算刚结点D 处杆端截面内力。

取BD l 杆(相当取BD 1为研究对象，包括支座B)，得 ∑=0Y ， 4-=DBN kN ∑=0X ， 0=DBQkN∑=0DM， 0=DB M取BD 2杆(相当取D 2DB 为研究对象，包括刚结点D 和支座B)，得∑=0X ， 0=DCN kN ∑=0Y ， 4-=DCQkN∑=0DM， 0=DC M4． 取结点C 或D 为分离体进行校核。

(略)第三节 继续讨论刚架内力计算【例13-5】 作图13-11a 所示刚架的内力图。

（1） 计算支座反力（图13—11a ）； （2）计算各杆端内力取CD 杆：0=CD M414=⨯=DC M kN ·m （左侧受拉） 4==DC CD Q Q kN 0==DC CD N N取DB 杆：0=BD M2847=⨯=DB M kN ·m （下侧受拉） 7-==DB BD Q Q kN0==DB BD N N取AD 杆：0=AD M2424148=⨯⨯-⨯=DA M kN ·m （右侧受拉） 8=AD Q kN4418=⨯-=DA Q kN7==DA AD N N Kn（3）作M 、Q 、N 内力图弯矩图画在杆的受拉侧。