第四章梁的弯曲
合集下载
直梁的弯曲
MC,MA的坐标相连，画出 抛物线；再以直线MA,MD左 和MD右，MB的坐标，可得 全梁的弯矩图图c所示。 由图可见，在D稍右处横
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
第四章弯曲中心(默认版)
弯曲中心的确定
切应力的合力作用位置 1.上、下翼缘切应力合力
FS hb2 FH 1dx 4I z l
2.腹板切应力合力 FS
1
切应力的合力作用位置
1.上、下翼缘切应力合力
FS hb 2 FH 1dx 4I z l
2.腹板切应力合力 FS 故： FS e FH h 0
剪力是 切应力 合成的 结果
图示切应力的合力位置是 否经过截面的形心？
剪力必须经过形心，剪力是切应力合成的结果。 图示切应力的合力位置是否经过截面的形心？
切应力的合力位置并不经过截面的形 心！因此，“外力经过截面形心时只 引起弯曲变形”的假设不成立。
如果只有弯曲，没有扭转， 切应力的合力位置如图（弯 矩未画出）。
回顾
问题一（平面弯曲）
前提：梁有纵向对称面，外力偶 作用在纵向对称面内 假设：横截面保持为平面，仅绕 某轴作微小转动；纵线变 形后与截面垂直。 结论：1.正应力计算公式 2.轴线弯曲成纵向对称面内的平面曲线 3.各截面上的中性轴与弯矩方向平行 4.挠度方向与中性轴和弯矩方向垂直 推广：外力作用在纵向对称面内，上述结论仍正确，挠 度方向与荷载方向一致
故外荷载作用在图示位置时， 梁只有弯曲变形。
荷载通过此点时， 只有弯曲变形， 没有扭转。
弯曲中心的定义
弯曲中心意指这样的点， 当外力作用线经过此点时， 开口薄壁梁只产生弯曲变 形，而没有扭转变形。 说明：对于闭口梁，经计算知，弯曲中心就 在截面形心附近；且其抗扭刚度远大于相同 尺度的开口薄壁截面梁。当外力经过截面形 心时，所产生的扭转效应可忽略。
开口薄壁截面 的弯曲中心
问题的提出
外力作用在“平行于形心主惯性平面”的平 面内，就只引起弯曲变形（没有扭转）？
材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
第四章 梁弯曲变形与内力
18
中性层：梁内纵向长度既没有伸长也没有缩短的纤 维层。 中性轴：中性层与横截面的交线 。
19
中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作 用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应 力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。
20
根据弯矩的定义：
M A y dA
σ：横截面上距中性轴为y处的正应力 dA：横截面上距中性轴为y处的一微面积 y：正应力到中心轴的距离
弯矩的符号约定
M M
+
M
-
M
上压下拉为正
上拉下压为负
29
计算弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面 上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取 矩的代数和；凡是向上的外力，其矩取正；向下的外 力，其矩取负值。
30
三 剪力图和弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程：
以坐标 x 表示横截面位置，则剪力和弯矩可表 示为x的函数：Q = Q(x)， M = M(x) 剪力图和弯矩图:为了形象地表示梁各个横截面上 弯矩的大小与正负，将剪力方程和弯矩方程用图 表示 。
33
分段列剪力方程：
AC段 CD段 DE段 EB段 0<x≤0.25m， Q=RA=935N=Q1 0.25m≤x≤0.5m, Q=RA － P1=935 －500 = 435N = Q2 0.5m≤x<0.8m, Q=RA－P1－P2 = 935－500－1000 = － 565N=Q3 0.8m≤x<1m, Q = RA －P1 －P2 －P3= 935 － 500 －1000 －300 = －865N=Q4
剪力图和弯矩图的作法：按选定的比例，以横截 面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横 坐标，把Q=Q （x）， M=M（x） 的图线表示出来。
第四章梁的弯曲详解
FQ
F yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
例题4 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
FAy
FBy
1 2
ql
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
1 2
ql
qx
M (x)
FAy x
1 9x2 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
三、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数
梁的剪力方程 FQ=FQ (x) 梁的弯矩方程 M=M(x)
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于 梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表 示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定 正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F (0 ≤ x ≤ l )
M (x) Fx (0≤x ≤ l)
第四章(弯曲挠度3-Lu)
§4-9 用积分法计算梁旳挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
第4章 弯曲
机械设计基础 第四章 弯曲
周占霞
第4章 弯 曲
4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图 4.1.1 平面弯曲的概念 4.1.2 梁的计算简图 4.2 梁的内力——剪力与弯矩 4.2.1 用截面法分析计算梁的内力 4.2.2 剪力与弯矩正负号的规定 4.3 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 4.4 纯弯曲正应力 4.4.1 纯弯梁横截面上的正应力 4.4.2 常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及平行移轴定理 4.4.3 横力弯曲时梁的正应力计算
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
4.1.2 梁的计算简图
（3）实际约束(支座)的简化： ① 固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动也不能转动、因此它有三个约束，相应
有三个支反力：水平支反力 FX ，铅垂支反力 FY和矩 M 。如跳水板支座。
A
FAx
A
MA FAy
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
l
点的集中力。
Fs
Fb/l
如下图所示。
x
Fa/l x
M
Fab/l
若将集中力F看为Δx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Δx梁段内，剪力从 Fb/l沿斜直线过度到- Fa/l，不存在突变现象。
F
Fb/l
Fa/l
习题例4
简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。
解：先求支座约束力
∑MB(F)=0, FA×0.6+10×0.4×0.2- 2 = 0 FA= 2 kN
M(x)
FA
Fs(x)
AC段 Fs(x)= -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -2x (0 ≤ x ＜ 0.2 m)
CB段 Fs(x)= -10x (0.2 m≤ x ＜ 0.6m)
周占霞
第4章 弯 曲
4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图 4.1.1 平面弯曲的概念 4.1.2 梁的计算简图 4.2 梁的内力——剪力与弯矩 4.2.1 用截面法分析计算梁的内力 4.2.2 剪力与弯矩正负号的规定 4.3 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 4.4 纯弯曲正应力 4.4.1 纯弯梁横截面上的正应力 4.4.2 常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及平行移轴定理 4.4.3 横力弯曲时梁的正应力计算
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
4.1.2 梁的计算简图
（3）实际约束(支座)的简化： ① 固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动也不能转动、因此它有三个约束，相应
有三个支反力：水平支反力 FX ，铅垂支反力 FY和矩 M 。如跳水板支座。
A
FAx
A
MA FAy
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
l
点的集中力。
Fs
Fb/l
如下图所示。
x
Fa/l x
M
Fab/l
若将集中力F看为Δx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Δx梁段内，剪力从 Fb/l沿斜直线过度到- Fa/l，不存在突变现象。
F
Fb/l
Fa/l
习题例4
简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。
解：先求支座约束力
∑MB(F)=0, FA×0.6+10×0.4×0.2- 2 = 0 FA= 2 kN
M(x)
FA
Fs(x)
AC段 Fs(x)= -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -2x (0 ≤ x ＜ 0.2 m)
CB段 Fs(x)= -10x (0.2 m≤ x ＜ 0.6m)
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章梁的弯曲
一、判断题
1. 作用在刚体上的力偶可以任意平移，而作用在变形固体上的力偶一般不能平移。
（√）
2. 在等截面梁中，正应力绝对值的最大值必然出现在弯矩值最大的截面上。
（√）
3. 梁的合理截面应该使面积的分布尽可能离中性轴远。
（√）
4. 弯曲应力有正应力和剪应力之分。
一般正应力由弯矩引起，剪应力由剪力引起。
（√）
5. 弯曲变形的实质是剪切。
（×）
6. 梁弯曲时，中性层上的正应力为零。
（√）
二、选择题
1．梁的合理截面形状依次是（D、A、C、B ）。
A．矩形；B．圆形；C．圆环形；D．工字形。
2. 梁在集中力作用的截面处，其内力图（ B ）
A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续
B 剪力图有突变，弯矩图有转折
C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续
D 弯矩图有突变，剪力图有转折
3. 梁在集中力偶作用的截面处，其内力图（ C ）
A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续
B 剪力图有突变，弯矩图有转折
C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续
D 弯矩图有突变，剪力图有转折
4．在梁的弯曲过程中，梁的中性层（ B ）
A 不变形
B 长度不变
C 长度伸长
D 长度缩短
5．当横向外力作用在梁的纵向对称平面时，梁将发生（ C ）
A 拉压变形 B.扭转变形 C 平面弯曲 D 剪切变形
6. 梁弯曲变形时，横截面上存在（ D ）两种内力。
A. 轴力和扭矩；
B. 剪力和扭矩；
C. 轴力和弯矩；
D. 剪力和弯矩。
7. 一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座的梁，称为（ A ）。
A. 双支梁；
B.外伸梁；
C. 悬臂梁。
8. 一端为固定端，另一端为自由的梁，称为（ C ）。
A. 双支梁；
B. 外伸梁；
C. 悬臂梁。
三、填空题
1. 在没有分布载荷作用（q＝0）的一段梁内，剪力图为水平直线；弯矩图为斜直线。
2．在有均布载荷作用（q＝常数）的一段梁内，剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线，在剪力为0处，弯矩取极值。
3．在集中力作用处，剪力图发生突变；弯矩图发生转折。
4．在集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图发生突变。
5．梁在弯曲变形时，梁内有一层纵向纤维长度保持不变，叫做中性层，它与横截面的交线称为中性轴。
6．一般情况下，直梁平面弯曲时，对于整个梁来说中性层上的正应力为零。
7．提高梁强度和刚度的主要措施有：合理安排梁的支承、合理地布置载荷、选择梁的合理截面。