材料力学第四章梁的内力.
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材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
孙训方第五版材料力学(I)第四章
第四章 弯曲应力
Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和 弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则
分别称为剪力图和弯矩图。
27
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
例题4-4
图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载
15
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用
CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用
在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
3. 显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中
9
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
10
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
(3) 静定梁和超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
36
Fa FB l
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
2. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内
任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁
的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。
F
AC段梁
FS(x)
M x
37
Fb 0 x a FS x FA l Fb M x FA x x 0 x a l
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图
1.7 为向下倾斜的直线.
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C
截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.
27 +
例题3-4-2 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所示.试用简
易法作此梁的剪力图和弯矩图. 解：（1） 计算梁的支反力
FRA FRB 0.5 100 1.6 80kN
（1）梁的载荷集度函数、剪力函数和弯矩函数之间的 微分关系
（2）利用微分关系的绘制简单梁的内力图 （3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图 （4）根据梁的内力图反推梁的荷载图 2.5 应用叠加原理绘制梁的内力图（待学习） 2.6 刚架和组合变形杆件的内力分析（待学习）
2.4 利用微分关系绘制梁的内力图
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
发生在剪力图有转折的截面处或杆件的端部.
2）梁上最大弯矩 Mmax可能发生在均布荷载作用区段 内FS(x) = 0 的截面上; 或发生在杆件中部弯矩发生
转折或突变处，或发生在杆件的端部。
将梁分为 AC、CD、DB 三段.
AC和DB上无荷载，CD 段有向下的
均布荷载.
（2）剪力图 AC段 水平直线
FSA右 FRA 80kN
CD段 向右下方的斜直线
FRA
A C
0.2 1
FS
(kN)
80
q
FRB
B
D
1.6
2
+
FSC FRA 80kN
FSD FRB 80kN
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
建筑力学 材料力学 梁的内力
x
②写出内力方程 Q( x ) YO P
M ( x) YO x M O P( x L)
x
③根据方程画内力图。
q
解：①写出内力方程
L Q(x) ○ x – qL
qL2 2
Q( x ) qx
1 M ( x ) qx2 2
②根据方程画内力图
⊕ M(x) x
x
Q(x)
2
106 .30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 0.52(1.855 sin106.3)] 1000 9.8 2
9 (kN/m)
q — 均布力
§4–3 一、弯曲内力：
举例
梁的内力及其求法
目
录
§4–1 工程中的弯曲问题 §4–2 梁的荷载和支座反力 §4–3 梁的内及其求法 §4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
§4–5 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§4–1 工程中的弯曲问题 一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
1 M 2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
§4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
一、 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q( x ) M M (x)
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
梁的内力——剪力和弯矩
上的内力来代替，如图4-7（b）所示。根据静力平衡条件，在
截面m-m上必然存在着一个沿截面方向的内力FS。由平衡方程
∑Y=0
FA-FS=0
得 FS=FA
FS称为剪力，它是横截面上分布内力系在截面方向的合力。
由图4-7（b）中可以看出，剪力FS和支座反力 FA组成了一个力偶，因而，在横截面m-m上还 必然存在着一个内力偶M与之平衡，由平衡方
∑Y=0 FB-FS3=0
∑MO=0 FB×1m-M3=0
FS3=-FB=-10kN
M3=FB×1m=10kN·m
计算结果明，FS3的实际方向与假设的相反，为 负剪力；M3为正弯矩。 从上述例题中可以总结出如下规律：
1） 梁的任一横截面上的剪力，在数值上等于 该截面左边（或右边）梁上所有外力在截面方 向投影的代数和。截面左边梁上向上的外力或 右边梁上向下的外力在该截面方向上的投影为 正，反之为负。
图4-7
为了使无论取左段梁还是右段梁得到的同一截面上的FS和M不仅 大小相等，而且正负号一致，需要根据梁的变形来规定FS和M的 符号。
1 剪力的符号规定
梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为顺时针方向转动时为 正，反之为负，如图4-8（a）所示。
2 弯矩的符号规定 梁截面上的弯矩使所取梁段上部受压、下部受拉时为正，反之为 负，如图4-8（b）所示。 根据上述正负号的规定，在图4-7（b）、（c）两种情况中，横 截面m-m上的剪力FS和弯矩M均为正。
程
∑MO=0
M-FAx=0
得 M=FAx
M称为弯矩，它是横截面上分布内力系的合力
偶矩。
1.2剪力和弯矩的符号规定
在上面的讨论中，如果取右段梁为研究对象，同样也可求得横截 面m-m上的剪力FS和弯矩M，如图4-7（c）所示。但是，根据 力的作用与反作用定律，取左段梁与右段梁作为研究对象求得的 剪力FS和弯矩M虽然大小相等，但方向相反。
梁模板计算方法范文
梁模板计算方法范文
1.弹性力学假设
2.梁的基本假设和参数
在梁模板计算中，通常假设梁为轴对称的，不考虑轴向效应；横截面
平面保持笔直；梁材料均匀各向同性。
3.应力-应变关系
σx=Eεx
横向应力（σy）和横向应变（εy）有以下关系：
σy=Eεy
剪切应力（τxy）和剪切应变（γxy）有以下关系：
τxy = Gγxy
其中，G为剪切模量（G=E/(2(1+ν))）。
4.梁的内力计算
根据梁的基本假设和梁模板计算方法，可通过几何平衡条件和材料力
学关系来计算梁的内力。
常见的内力计算方法包括静力平衡法、弯曲变形
方程法、梁的挠度计算等。
5.梁的位移计算
梁的位移是指梁结构在受力作用下的变形情况。
梁模板计算方法中，
常用的位移计算方法是应用横截面受力与横截面图心迁移产生的曲率关系，计算梁的挠度。
梁挠度计算方法中常用的公式包括：Euler-Bernoulli梁理论、Timoshenko梁理论等。
6.梁模板计算方法的适用范围
综上所述，梁模板计算方法是一种基于弹性力学假设的结构力学方法，用于分析和计算梁的内力、位移等参数。
在进行梁模板计算时，需要了解
材料的力学参数，应用几何平衡条件和材料力学关系，计算梁的内力和位移。
梁模板计算方法适用范围较广，但对材料的线弹性条件和梁的几何形
状等有一定的限制。
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
（3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
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FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy
FBy 3a Fa 2F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F Fy 0 2 F FSE 3 FSE 3 a 5 F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3 Fa ME 2
FRx
固定铰支座
FRy
可动铰支座 固定支座
FRy
M
FRx FRy
§4-2
梁的荷载和支座反力
目录
§4-2 梁的荷载和支座反力
火车轮轴简化
§4-2 梁的荷载和支座反力
§4-2 梁的荷载和支座反力
钢筋混凝土柱：插入基础部分较深，柱下被钳固的很牢， 不能发生转动和移动——固定支座 楼板梁：嵌入长度较浅， 钳固不牢，可能发生微小 转动——固定铰支座
§4-3
梁的内力及其求法
M
F
FN
x
0
FN 0
FAy FN M
FS
F 0 M 0
y c
FS FAy F1
M FAy x F1 ( x a)
FS剪力，平行于
横截面的内力合力
M 弯矩，垂直于
FBy 横截面的内力系的 合力偶矩
FS
§4-3
M FS
梁的内力及其求法
第四章
梁的内力
§4-1
起重机大梁
工程中的弯曲问题
§4-1
起重机大梁
工程中的弯曲问题
§4-1
车削工件
工程中的弯曲问题
§4-1
车削工件
工程中的弯曲问题
§4-1
火车轮轴
工程中的弯曲问题
§4-1
火车轮轴
工程中的弯曲问题
§4-1
弯曲特点
工程中的弯曲问题
力与轴线垂直，直线变曲线
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
F
y
0,
FS1 F aq 0
FS1 5kN 2 4kN / m 0
FS1 13kN
§4-3
例4-4 一悬臂梁， 其尺寸及梁上荷 载如图所示。试 求截面1-1上的剪 力和弯矩。
梁的内力及其求法
a MO 0, M1 Fa aq 2 0 2m M1 5kN 2m 2m 4kN / m 0 2 M1 18kN m 负号表示与假定方向相反
（1）具有纵向对称面； 平面弯曲 （2）外力都作用在此平 面内； （3）弯曲变形后轴线变 成对称面内的平面曲线
对称弯曲 平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该
平面曲线仍与外力共面。
§4-1
工程中的弯曲问题
常见弯曲构件截面
§4-2
梁的荷载与支座
梁的荷载和支座反力
•集中力（载荷） •分布荷载 •集中力偶
FBy
目录
M
A
0
§4-3
FSE O FAy
梁的内力及其求法
FBy F 5F FAy 3 3
ME 分析右段得到：
FBy
O
F FSE FBy 3 3a M o 0 M E FBy 2 Fa 3 Fa ME 2
目录
ME FSE
F
y
0
FSE FBy 0
1 l MA 0, FRB l 2 q 0l 3 0 1 FRB q 0 l 6
§4-2 梁的荷载和支座反力
例4-2承受三角形分布荷载的简支梁如图所示，试求该 梁支座反力。
1 2l MB 0, FRA l 2 q 0l 3 0 1 FRA q 0l 3 1 1 1 1 校核： FRA FRB q 0 l q 0 l q 0 l q 0 l 0 2 3 6 2 反力无误。
校核：
F
y
0,
FRAy FRDy 4q 9kN 15kN 4 6kN / m 0
反力无误。
§4-2 梁的荷载和支座反力
例4-2承受三角形分布荷载的简支梁如图所示，试求该 梁支座反力。
解：将三角形分布荷载用合力来代替，合力值为 1/2q0l(即三角形的面积），合力的位置如图中所示。 考虑梁的平衡：
FBy
§4-3
梁的内力及其求法
F FBy 3 5F FAy 3
FAy FSE FAy 2F FSE
FBy 截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
5F F FSE 2F 3 3
目录
§4-3
梁的内力及其求法
F FBy 3 5F FAy 3
FAy
FBy
ME
FAy 2F ME
FRAx 4q
FRBy FRAx=0 解：因无水平荷载，
FRDy
将分布荷载用合力来代替，合力位于CD中点处，其值为4q。
MA 0, 考虑梁的平衡：
Me 4q (2 1 1)m FRDy (4 1 1)m 0
6kN m 4 6 kN m (2 1 1)m FRDy (4 1 1)m 0
FN FN M FS
FAy
FBy
截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为 负。 截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正； 反之为负。
+
_
左上右下为正；反之为负
+
目录
_
左顺右逆为正；反之为负
§4-3
梁的内力及其求法
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2F
§4-2 梁的荷载和支座反力
吊车大梁简化
均匀分布荷载 简称均布荷载
目录
§4-2 梁的荷载和支座反力
非均匀分布载荷
§4-2 梁的荷载和支座反力
静定梁的基本形式
FAx FAy FAx FBy
简支梁
外伸梁
FAy
FBy
FAx MA FAy
悬臂梁
§4-2 梁的荷载和支座反力
例4-1简支梁受力如图，试求该梁支座反力。
FRDy 15kN
符号为正，说明方向向上
§4-2 梁的荷载和支座反力
FRAy (4 1 1)m Me 4q 2m 0
FRAy (4 1 1)m 6kN m 4 6 kN m 2m 0
M
D
0,
FRAy 9kN 符号为正，说明方向向上
截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
a 5 F 3a 3 2F ME Fa 2 2 3 2
目录
§4-3
例4-4 一悬臂梁， 其尺寸及梁上荷 载如图所示。试 求截面1-1上的剪 力和弯矩。
梁的内力及其求法
解：为避免求左端固定支座反力， 取右段脱离体。分布荷载用合力 代替。