第四章 梁的内力解析
梁的内力
2l 3
0
FRA
1 3 q0l
校核：
FRA
FRB
1 2
q0l
1 3
q0l
1 6
q0l
1 2
q0l
0
反力无误。
§4-3 梁的内力及其求法
已知：如图，F，a，l。 求：距A端 x 处截面上内力。
m
a
F
解：①求外力（支座反力）
A
m
x l
B
Fx 0 , FAX 0
mAF 0 , FBYl Fa 0
注意： 不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用 点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图 和弯矩图。
q
x l
q
FS
M x
解: 将梁在任意 x 处用横截面截开, 取左段为研究对象 横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值
q
x l
q
FS
M x
根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程
F S (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
F S (x) qx (0 x l)
M (x) 1 qx2 (0 x l) 2
剪力图为一斜直线
F S (0) 0
1－1截面
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 5kN
m1 0; M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用， 紧挨杆端截面的弯矩M=0。
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
梁的受力原理
梁的受力原理梁的受力原理是指在静力学中，对于受力梁的平衡条件的分析和描述。
通过对梁体的受力分析，可以得出梁的平衡条件和受力特点，进一步帮助我们了解梁体的力学性质和结构特点。
梁的受力原理可以通过以下几个方面来进行描述和分析：一、梁的力学模型在进行梁的受力原理分析之前，首先要建立梁的力学模型。
梁体通常可以理解为一个长条形的物体，可以直接受力于梁体上的两个端点，或者通过其他的支撑点来传递力。
梁体一般具有一定的刚性，可以忽略其形变，从而简化力学模型的分析。
二、梁的内力梁体受到外界的力作用后，会在梁体内部产生内力。
内力是梁体内部各点受到的相邻切面之间的作用力。
内力可以分为弯曲力、切割力和剪切力等。
在梁的平衡状态下，各点受到的内力应该平衡，即内力合力为零，内力合矩为零。
三、梁的支点反力在梁体的支点处，由于支点的约束作用，会产生支点反力。
支点反力主要分为两种情况：一种是支点对梁体的垂直支持力，又称为支座反力；另一种是支点产生的反力矩，又称为支点反力矩。
支点反力的大小和方向是由支点约束条件以及外力作用决定的。
四、梁的外力梁体在平衡状态下，受到的外力应该满足力的平衡条件。
外力主要分为集中力和分布力两种。
集中力是指作用在梁体上的一点上的力，如物体的重力、沿着梁体施加的力等。
分布力是指梁体上单位长度上的力，如均匀分布的荷载、悬挂的悬臂等。
在分析外力作用时，需要将外力转化为位于梁体各点上的力。
五、梁的平衡条件梁体在平衡状态下，受力应该满足平衡条件。
平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
力的平衡条件要求梁体受到的所有外力和内力合力为零；力矩的平衡条件要求梁体受到的所有外力和内力合矩为零。
通过这两个平衡条件，可以求解出梁体上各点的受力情况。
总结起来，梁的受力原理主要包括了梁的力学模型、梁的内力、梁的支点反力、梁的外力以及梁的平衡条件。
通过对这些方面的分析和描述，可以帮助我们更好地理解和应用梁体的受力原理。
在实际工程中，梁的受力原理是研究和设计各类梁体结构的重要基础原理，对于确保结构的安全和可靠性具有重要意义。
第四章 梁弯曲变形与内力
18
中性层：梁内纵向长度既没有伸长也没有缩短的纤 维层。 中性轴：中性层与横截面的交线 。
19
中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作 用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应 力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。
20
根据弯矩的定义：
M A y dA
σ：横截面上距中性轴为y处的正应力 dA：横截面上距中性轴为y处的一微面积 y：正应力到中心轴的距离
弯矩的符号约定
M M
+
M
-
M
上压下拉为正
上拉下压为负
29
计算弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面 上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取 矩的代数和；凡是向上的外力，其矩取正；向下的外 力，其矩取负值。
30
三 剪力图和弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程：
以坐标 x 表示横截面位置，则剪力和弯矩可表 示为x的函数：Q = Q(x)， M = M(x) 剪力图和弯矩图:为了形象地表示梁各个横截面上 弯矩的大小与正负，将剪力方程和弯矩方程用图 表示 。
33
分段列剪力方程：
AC段 CD段 DE段 EB段 0<x≤0.25m， Q=RA=935N=Q1 0.25m≤x≤0.5m, Q=RA － P1=935 －500 = 435N = Q2 0.5m≤x<0.8m, Q=RA－P1－P2 = 935－500－1000 = － 565N=Q3 0.8m≤x<1m, Q = RA －P1 －P2 －P3= 935 － 500 －1000 －300 = －865N=Q4
剪力图和弯矩图的作法：按选定的比例，以横截 面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横 坐标，把Q=Q （x）， M=M（x） 的图线表示出来。
第4章 梁的内力liu1
FS1 5qa / 3 qx1
q
qa
FS2 qa / 3
B M 2 qa2 qax2 / 3 x2 C
A M1 5qa / 3x1 qx12 / 2
FA
2a
FB
a
FS
5qa/3
x
5a / 3
qa/3
x qa2
M 25qa2/18 4qa2/3
总结FS、M 图的基本画法：
# 弯矩
m m M m m
M
(+)
(-) 使梁段凸向上的弯矩为负
使梁段凸向下的弯矩为正
例1 解：
悬臂梁 AB, 求 1-1 和 2-2截面上的剪力和弯矩。 (1) 约束反力
y
F 0 M 0
A
... ...
FRA F MA 0
MA A FRA a MA
M1=Fa 1 1 2
2F B M2=4Fa a
(0 x1 a)
集中力作用处剪力图发生突变
aF/l
(0 x2 b)
M
abF/l
集中力作用处弯矩图发生折曲
例1
A x1
q
qa 2
B C
FA
2a
FB
a
约束反力
M M
A 0
FB 3a 2qa a qa2 0 FB qa / 3 ()
B
0
FA 5qa / 3 ()
(0 x1 a) (0 x1 a)
(0 x2 b) (0 x2 b)
a
A
F
C
b
x2
x1 l
FRA FS bF/l
b FS1 F l FRB a FS2 F l b x M 1 Fx1 l a M 2 Fx2 l
材料力学 第4章梁的内力
第4章 梁 的 内 力提要：在前面的章节中，已经介绍过轴向拉(压)杆件和受扭杆件的内力的计算，本章将讨论受弯杆件的内力计算。
以弯曲为主要变形的构件称为梁(beam)，如房屋建筑中的楼板梁(图4.1)与火车的轮轴(图4.2)。
本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面(即平面弯曲)的梁。
梁的内力计算与前面一样仍然采用截面法，由于荷载的作用，梁在各横截面产生内力，包括剪力和弯矩。
截断梁上任一横截面，都会有剪力和弯矩，任取截面左或右侧部分为研究对象，通过静力平衡方程可以求出该横截面内力。
通过列出剪力方程和弯矩方程，可以绘制剪力图和弯矩图，从而反映出梁上所有横截面的内力大小和方向。
通过分析剪力方程和弯矩方程发现剪力、弯矩和荷载之间存在微分关系，相应的在剪力图、弯矩图和荷载之间存在某些规律，依据这些规律可以不写剪力方程和弯矩方程，直接作出内力图。
在材料服从胡克定律和小变形的前提下还可以利用叠加法，更方便地作出内力图。
4.1 梁的计算简图第4章 梁的内力·75··75·1. 支座的简化 根据结构中梁的约束情况，支座一般可简化为以下三种基本形式。
(1) 可动铰支座。
图4.3(a)是可动铰支座的简化形式。
该支座限制此截面沿垂直于支承面方向的移动，因此可动铰支座只有一个约束，相应只有一个支反力，即垂直于支承面的反力Y 。
(2) 固定铰支座。
有两个约束，相应的约束反力为两个，分别是水平反力X 和垂直反力Y (图4.3(b))。
(3) 固定端。
它使梁在固定端内不能发生任何方向的移动和转动，约束反力除、X Y 之外，还有阻止转动的反力偶m (图4.3(c))。
这里需要指出的是，理想的“自由转动”和“绝对固定”实际上是不存在的，比如由于摩擦力的存在，转动不会完全自由，由于约束材料的变形，梁也不会完全被固定，只是这些运动相对较小，所以我们把它忽略了。
图4.3 各种支座的约束反力(a) 可动铰支座；(b) 固定铰支座；(c) 固定端2. 载荷的简化梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。
4.梁和刚架内力分析
静定结构的内力分析
结 构 力 学
有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，B端的剪力等 于A端的剪力减去该段分布荷载图的面积。B端的弯矩等于A端的弯 矩减去该段剪力图的面积。 4、内力图
表示内力沿杆轴变化规律的图形称为内力图。 （1）画内力图的有关规定：以杆轴表示横截面的位置，与杆轴垂直的坐标 轴表示对应横截面上的内力。正的轴力（剪力）画在轴线的上侧，负的轴力 （剪力）画在轴线的下侧，要标出正负。弯矩画在梁纤维受拉侧，一般不标
1、截面上内力符号的规定：
静定结构的内力分析
N N
轴力变形为正，画轴力图要注明 正负号；
Q
结 构 力 学
Q
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的合 力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的 为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩—截面上应力对截面形心的力矩之和,
M
M 不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，
D C 0
由Σ MD=0,得 FQCD＝0
由ΣMC=0,得 FQDC=-30 kN 由ΣMD=0,得 FQED=-80 kN 由ΣME=0,得 FQED=40 kN
FQCD
20kN/m
FQDE
60
FQED
180
D
E
静定结构的内力分析
FQEB
E 180
由ΣME=0,得 FQBE=30 kN
由ΣMB=0,得 FQEB=30 kN
静定结构的内力分析
§3-1 概述
静定结构的内力分析主要指多跨静定梁、静定平面刚架、静定三铰拱、 静定平面桁架以及静定的组合结构的内力分析，它们的内力分析方法与材料力 学中单跨静定梁的内力分析方法基本相同，因而，首先对材料力学中有关这方
结 构 力 学
第4章、梁的内力
解：1、确定支反力（可省略）
FY 0; 3 2 m qa 2
a
Fy
Fs
– qa qa2
x
2、画内力图 AB： Fs ；Fs A右 qa,Fs B qa, ( 积分关系FsB=FsA+0) q 0,
M
2 M A 0, M B qa ,
1.5qa ;
2
(Fs < 0,所以M图向负方向斜 MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )
3m 2 1.5m
M FB
B
0, 1.2 31.5 0.8 4.5 RA 6 0
2m
0 .8
1
M1
FA 1.5 (kN ), FB 2.9 (kN )
(2) 1-1截面左段右侧截面：
FA
Fs1 FA 0.8 1.5 0.8 0.7 (kN )
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
Fb FS1 x l B F x Fa S2 l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
M eb l 发生在C截面右侧
Mea l
§4-5 弯矩、剪力与荷载集度间的关系
一、 三者间的关系
q FAy x 讨论如下 L FBy
1 Fs ( x) ql qx 2 1 1 M ( x) qlx qx 2 2 2
(0 x l )
(0 x l )
dFs ( x ) q q (x ) dx
材料力学04梁的内力
段进行平衡分析， 对dx 段进行平衡分析，有：
1.分布荷载作用下的关系： 1.分布荷载作用下的关系： 分布荷载作用下的关系
∑F
y
=0
Fs ( x ) + q ( x )d x − [ Fs ( x ) + dFS ( x ) ] = 0
dFs ( x) = q ( x) dx
剪力图上某点处的切线斜率等于 该点处荷载集度的大小。 该点处荷载集度的大小。
例 用叠加原理作内力图
1. 弯曲: 弯曲:
平面弯曲 F1 q F2
M
纵向对称面
4. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。 弯曲变形为主的构件通常称为梁。 5. 工程实例
二．梁的计算简图及分类 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂， 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分 析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化 以梁的轴线来代替梁，忽略构造上的枝节，如键槽、销孔、 以梁的轴线来代替梁，忽略构造上的枝节，如键槽、销孔、 阶梯等。 阶梯等。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化 三种基本形式：可动铰支座；固定铰支座；固定端。 三种基本形式：可动铰支座；固定铰支座；固定端。
三、微分关系在内力图上的应用 外 力
F q=0 q>0 q<0 C
力
力
M
力
C
FS F 图 x
FS>0
F
S
F
S
F
S
F
S
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梁的内力
主要内容
§4—1 §4—2 §4—3
§4—4
§4—5
概述 梁的内力——剪力和弯矩 梁的剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力与荷载集度之间的微 分关系和积分关系 叠加法绘内力图
重点及难点
❖ 梁的内力及内力图 ❖ 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§ 4 — 1 概述
一、弯曲变形的概念和实例 F
纵向对称面
A
PF1 1
PF22
梁的轴线
B
RFARA
对称弯曲
RFBRB
梁变形后的轴线 与外力在同一平 面内
§ 4 — 1 概述
二、梁的计算简图及分类
➢计算简图：把梁的几何形状、荷载、支承等作
合理的简化得到的力学模型
➢发生平面弯曲的等截面直梁，其计算简图可用
其轴线来表示
荷载的简化：
F
M
q
F
1、集中力
力
M
和弯矩
C
FSC
。
解：1、先求支反力
(a)
FB 4.25kN FA 4.75k(Na)
F=5kN F=5kN A A
l/4
C C l/4
q=2kN/m q=2kN/m
B B l/2
2、再求内力
FA
l/4
l/4
在C 处截开，取左半部分分析 FA
l/2
FB
FB
F=kN
q=2kN/m
解：1、先求支反力
(a) A
C
B
M A (F ) 0
FB
3 ql 8
F 4
4.25kN
l/4 FA
l/4
l/2 FB
Fy 0
FA
F
ql 2
FB
4.75(kb)N
F= 5kN A
F A l/4
C
MC
l/4
FSC
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
M其C 中 外FA力 2对l 横F4截l 面 形4.5心kN之(矩bm) 正负FFAAA号选ll//取44 规律ll//为44 C：FFSSCC
M
C
（1）力——不论横截面左侧还是右侧，只要向上就取正，反之 取负；
§ 4 — 1 概述
一、弯曲变形的概念和实例
纵向对称面 ：包含梁横截面的一个对称轴及梁轴线的平 面称为纵向对称面
对称弯曲 ：所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形 后的轴线是位于该纵向对称面内的平面曲线，这种弯 曲称为对称弯曲。
对称弯曲是平面弯曲的一种特殊形式。平面弯曲是 弯曲问题最基本的形式。
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯 曲。
M
2、集中力偶
3、分布力
4、分布力偶
§ 4 — 1 概述
二、梁的计算简图及分类 支座的简化：固定铰支座、可动铰支座、固定端等
A (a)
A
A
(a)
墙
楼板梁
MA
(b)
(b)
(c)
图4.5
图4.6
§ 4 — 1 梁的荷载和支座反力概述 二、梁的计算简图及分类
➢梁的分类
1、简支梁——一端固定铰支座，一端可动铰支座
FSC
FA
F
0.25kN
(b) (b)
A
MC (F ) 0
F A l/4 F A l/4
MC
FA
l 2
Fl 4
4.5kN m
C C l/4 l/4
MC MC FSC FSC
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
力
M
和弯矩
➢或对研究对象内任一点取矩，顺时针为正，逆时针为
负。 正
负
FS
FS
FS
FS
➢弯矩：对水平梁，使下侧受拉、上侧受压为正；反之 为负。
M
M
下侧受拉
+
上侧受拉
–
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
力
M
和弯矩
C
FSC
。
F=5kN
三、用直接法求剪力、弯矩
直接法：梁任一横
F=5kN
q=2kN/m
截面上的弯矩在数 (a) (a)
值上等于该截面一
F=5kN A
A l/4
C C l/4
q=2kN/m B B
l/2
侧梁段上所有外力 对该截面形心的力
FA
l/4
l/4
FA
F= 5kN
l/2
FB
FB
矩的代数和。
A F= 5kN
C
MC
(b)
FA
FB
在平行于截面方向
投影的代数和。 (b) (b)
FSC FA F 0.25kN
F= 5kN A F= 5kN A F A l/4 F A l/4
C C l/4 l/4
MC MC FSC FSC
其中外力正负号选取规律为：横截面左侧梁段上向
上的外力取正，横截面右侧梁段上向下的外力取正；
反之取负。简记为左上右下取正，反之取负。
C
FSC
。
解：1、先求支反力
F=5kN
q=2kN/m
FB 4.25kN FA 4.75k(Na) A
C
B
2、再求内力
l/4
l/4
在C 处截开，取右半部分分析 FA
l/2 FB
Fy 0
FSC
ql 2
FB
0.25kN((cb))
MC (F ) 0
F= 5kN
A
MC C
Mq=C2kN/m B
F A l/4
F
楼板 q
墙
楼板梁
图4.1
图4.2
横向荷载：荷载的方向与构件的 轴线相垂直
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁
图4.3
§ 4 — 1 概述
F
q
M
梁
FRA
FRB
一、弯曲变形的概念和实例
弯曲变形 受力特征：作用线垂直于杆轴线的横向平衡力系
（以及作用在与轴线平行或重合的纵向面 内的外力偶）。 变形特征：变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
Fl/S4C C FSC
l/2
FB
MC
FB
l 2
ql 2 8
4.5kN m
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
q=2kN/m
直接法：梁任一横 (a) 截面上的剪力在数 (a)
F=5kN A A
q=2kN/m B
C B
C
l/4
l/4
l/2
值上等于该截面一
FA
l/4
l/4
l/2
FB
侧梁段上所有外力
FS ——剪力，单位N
B
M——弯矩，单位N.m x
Fy 0 Fs FRA
FRB 对mm截面中心O取矩
M O 0 M FAy x
FRA
M
梁弯曲变形时，横截面上一般存在 两种内力——剪力FS和弯矩M
§ 4 — 2 梁的内力——剪力和弯矩
二、剪力、弯矩的符号约定
➢剪力：截面的外法线方向顺时针旋转90度为正；反之 为负。
2、外伸梁——一端或两端向外伸出的简支梁
跨、跨度
3、悬臂梁——一端固定支座，另一端是自由端
注：这几种梁的支反力都只有三个，平面一般力系可以求 解三个未知量。
§ 4 — 2 梁的内力——剪力和弯矩 一、梁的内力
求解内力的方法：截面法（截开、分离、代替、平衡）
如 图，以简支梁为例。
y
m F2
A
xm
FRA FS