六面体单元上的应力分布
材料在静载下的力学性能
图2－9 缺口试样应力集中现象
2020/5/4
缺口顶端的最大应力取决于缺口的几何参数— —形状、深度、角度及根部的曲率半径，以曲率半 径影响最大，缺口越尖锐，应力集中越严重。 应力集中程度可以用理论应力集中系数Kt表示：Kt
＝max/，max—最大应力，—平均应力。
Kt值与材料无关，只决定于缺口的几何形状，可从 手册查到。 比如，若缺口为椭圆形， Kt＝1＋2a/b，a、b分别 为椭圆的长短轴；若缺口为圆形，则Kt＝3。
行为。
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Z
σz
复杂应力状态用 受力点单元六面体 的六个应力分量表 示。正应力导致脆 断，切应力导致韧
τyx
τxy
σx σy
X
断。
Y
单元六面体上的应力分量
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第一节、应力状态软性系数
材料在不同应力状态下，所表现出来的力学性能是不同的。 根据材料力学知识，任何复杂的应力状态可分为三个主应 力σ1、σ2、σ3来表示。而最大应力可以由主应力表示。
曲力，按弹性弯曲公式计算的最大弯曲应力。 ●从弯曲力—挠度曲线上B点上读取相应的弯
曲力Fbb（或从测力盘上直接读取），按前面 公式计算出最大弯曲力矩Mbb，然后算出试 样抗弯截面系数W，继而计算出抗弯强度σbb
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淬火温度对合金工具钢抗抗弯强度的影响
840℃ 855℃870℃
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1.弹性状态下的应力分布
图2－10 薄板缺口拉伸时弹 性状态下的应力分布
轴向应力σy在缺口根部最大，并
y
随着离开根部的距离加大而降低。
在根部产生应力应变集中效应。
第一缺口效应：应力应变集中
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
9-有限元四面体及六面体单元
4 节 点 四 面 体
基本概念 空间问题有限元分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
基本概念 空间问题有限元分析
8. 4节点四面体单元的常系数应变和应力
4 节 点 四 பைடு நூலகம் 体
基本概念 空间问题有限元分析
1. 单元的几何和节点描述
8 节 点 正 六 面 体
该单元为由8节点组成的正六面体单元(hexahedron element)，每个节点有3 个位移(即3个自由度)，单元的节点及节点位移如图所示
(4-115)
(4-116)
基本概念 空间问题有限元分析
2.单元位移场的表达
8 节 点 正 六 面 体
该单元有8个节点，因此每个方向的位移场可以设定8个待定系数， 根据确定位移模式的基本原则（从低阶到高阶、唯一确定性），选 取该单元的位移模式为
(4-117)
(4-118)
基本概念 空间问题有限元分析
基本概念 空间问题有限元分析
1. 4节点四面体单元几何和节点描述
4 节 点 四 面 体
(4-102) (4-103)
基本概念 空间问题有限元分析
2.单元位移场的表达
4 节 点 四 面 体
该单元有4个节点，单元的节点位移有12个自由度(DOF)。因此每个方向的 位移场可以设定4个待定系数，根据节点个数以及确定位移模式的基本原则 （从低阶到高阶的完备性、唯一确定性），选取该单元的位移模式为
2.空间8节点六面体单元分析的算例
空 间 问 题 分 析 的 算 例
基本概念 空间问题有限元分析
2.空间8节点六面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
大跨越架空输电导线钢芯铝股应力分布特性研究
大跨越架空输电导线钢芯铝股应力分布特性研究黄欲成;陈池;汪峰;赵全江;柏晓路;文晓旭【摘要】准确评估输电导线运行张力的分层特性是大跨越输电导线选型设计的重要问题.以大跨越架空用特强钢芯高强铝合金AACSR-EST500/230型导线为例,考虑股线泊松比影响,提出了大跨越输电导线股线轴向张力计算方法,建立了大跨越输电导线三维结构有限元实体模型,通过耦合同层和相邻层节点模拟各层股线之间的接触边界条件,重点研究了运行张力作用下输电导线钢芯和铝股的空间应力分布规律,并与理论结果对比分析,探讨了导线比载与钢芯铝股张力比的相关关系.结果表明:在轴向张力作用下,钢芯承担了约60％张力,铝股共承担了40％张力,其张力比约为3∶2,且钢芯和铝股的张力从内至外各自呈增大趋势;大跨越输电导线在悬挂点处的铝股应力强度高于跨中,距离悬挂点越近,股线应力受边界约束影响越大;输电导线相邻层股线的轴向应力峰值呈现相位差;随着导线比载的增加,钢芯和铝股的张力比呈增大趋势.【期刊名称】《三峡大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(038)004【总页数】6页(P76-81)【关键词】大跨越架空输电线;钢芯铝绞线;有限元模型;应力分布;张力比【作者】黄欲成;陈池;汪峰;赵全江;柏晓路;文晓旭【作者单位】中南电力设计院有限公司,武汉 430071;三峡大学土木与建筑学院,湖北宜昌 443002;三峡大学土木与建筑学院,湖北宜昌 443002;中南电力设计院有限公司,武汉 430071;中南电力设计院有限公司,武汉 430071;三峡大学土木与建筑学院,湖北宜昌 443002【正文语种】中文【中图分类】TM726.3大跨越架空输电导线具有跨越能力强、悬挂点高、档距大等特点，是特高压输电线路跨越湖泊、海峡的重要工程．其典型构造是由多根高强度钢芯和铝合金股线绞制而成，钢芯和铝股共同承担张力．目前我国输电导线设计规范采用整根导线的平均应力进行导线寿命评估和选型设计，忽略了导线钢芯和铝股各层空间应力分布特性．实际上由于两种材料的弹性模量、股线捻角、空间螺旋形态不同，钢芯和铝股应力分布十分复杂，在风雨、覆冰作用下导线线夹出口会产生应力集中，导致疲劳断股．实践表明，服役期输电导线张力分层特性制约着导线的使用寿命．如2008年，衡阳至长沙的500 kV船星I线中的导线在线夹出口附近铝股线全部断裂[1]．2013年对某电站进行巡视时发现多股铝线发生了断股现象，影响了输电线路的安全运营[2]．针对不同档距的输电导线钢芯和铝股力学特性，国内外学者开展了广泛研究．文献[3]根据平截面假定，建立了导线受拉时各单线所受到的沿绞线轴向方向的纵向力和相邻层之间挤压力的控制方程，推导出了绞线应力的计算方法，并揭示了绞线受拉时应力的分布规律，为推算绞线的机械性能提供了解析方法．Majid Kermani[4]等以覆冰输电导线为对象，运用动力学法求解出导线微风振动方程，并运用ABAQUS有限元软件建立导线节段模型，分析得到导线在径向方向上等效应力的分布．文献[5]在考虑钢芯铝绞线结构特性的情况下，通过ANSYS有限元软件建立了钢芯铝绞线模型，并对有限元模型施加了适当的边界条件，分析了股线的应力应变分布情况．文献[6]以ACSR-720/50型架空导线为研究对象，运用ANSYS软件进行数值模拟，通过单股应力分布、横截面应力状态以及铝股截面等效应力变化规律三个方面来说明导线应力分布规律．文献[7-8]根据微分几何学理论分析钢丝绳股内钢丝的空间位置关系，利用ANSYS软件建立了钢丝绳有限元模型并进行数值模拟，得到了股内各丝的轴向应力、剪应力及轴向变形的分布规律，研究了股内各钢丝受力变形规律．文献[9-10]研究了类似于导线结构的钢丝绳外股层钢丝应力及变形分布规律．上述研究对象多为普通档距的钢芯铝绞线，钢芯和铝股层数少，捻角小．而大跨越输电线多由高强度镀锌钢芯和外层铝合金股线绞制而成，其钢芯和铝股层数多，螺旋形态复杂，钢芯和铝股应力分布复杂．因此本文以大跨越架空AACSR-500/230型输电导线为对象，考虑导线泊松比，提出轴向张力作用下导线钢芯和铝股承担的张力计算公式．利用耦合同层和相邻层接触的节点模拟各层股线之间的边界条件，建立输电导线的三维结构有限元模型，重点研究输电导线在静张力作用下铝股应力分布特性，并与理论计算结果进行对比．研究结果为大跨越输电导线的疲劳寿命评估和截面选型设计提供理论依据．大跨越输电导线是由多层高强度钢芯和高强度铝合金股线绕制而成．每层钢股和铝股在空间呈现螺旋状．在运行张力作用下，导线会轴向伸长，但各层之间也相互挤压．为了量化整根导线在轴向力作用下各股线的张力分布规律，通过导线的应力-应变特性，建立单线纵向力的控制方程．同时反映研究问题的本质，作两点假设：(1)同层股线受力状态相同，且各股线的轴心线位于同一圆柱面内；(2)同层股线的螺旋升角变化微小．单根钢股或铝股线的结构特性由自身相关参数体现，如图1(a)所示．其中股线直径为dn，捻角为αn，每缠绕一周股线旋绕上升的轴向距离为节距ln，截面圆心至第n层股线中心的距离为节圆半径Rn，一个节距内股线的长度为Sn，下标n 表示股线层数．同层股线具有相同的dn、αn、Rn，三者关系如下：导线在自重、运行张力等荷载作用下，由于各层股线的长度和空间螺旋形态不同，导线各层股线的应力分配存在差异，且导线股线的力学性能会对整根导线的力学性能产生重要的影响．股线平面展开图如图1中(b)所示，股线拉伸图如1中(c)所示，导线股向伸长量见式(2)：式中，为导线拉伸后一个节距的股线长度，Sn为拉伸前一个节距的股线长度．由三角函数关系可得：式中，ln为拉伸前股线悬臂长度；αn为拉伸前股线捻角，为拉伸后股线捻角；Δu 为股线轴向伸长量．导线股线伸长率εl与轴向伸长率εi分别为：由此可知，股线伸长率为：导线受轴力作用下，具有相同的轴向伸长率，轴向伸长率εi计算公式为：式中，T为作用在整根导线上的轴力；A为整根导线截面面积；E′为整根导线等效弹性模量，计算为：式中，EG、EL分别为钢和铝股线的弹性模量；AGn、ALn分别为钢、铝股线第n 层的截面面积；βGn、βLn分别为钢、铝股线第n层的捻角．由图1可知：式中，μ为该层股线泊松比．代入式(5)可得：由材料力学可知导线股向应力为：式中，En为该层股线弹性模量．则该层股线轴向张力t为：式中，An为该层股线截面面积．假定绞线受拉后各股无塑性变形，且考虑股线自身因拉伸产生的截面收缩变形即考虑泊松比，忽略挤压变形，可得导线的第n层股线轴向张力：式中，下标n表示股线层数；dn为股线直径；zn为股线股数；En为股线弹性模量．大跨越钢芯铝绞线从内到外依次为高强度钢芯和铝股，股线以一定的角度紧密缠绕在钢芯外侧，且相邻层的股线螺旋方向相反，最外层绞制方向为右旋．建立模型时，可利用几何相关理论分析输电导线的结构特点及股线的空间螺旋缠绕关系，建立导线的结构有限元模型[11]，并结合导线运行状态，施加边界条件，确定合理的分析类型和计算模式．以大跨越架空输电线AACSR/EST-500/230型导线为对象，该导线由3层高强度钢股和2层高强度铝合金股丝构成．导线结构参数见表1．本文建模思路：首先将每根股线视为细长圆柱体，采用ANSYS软件自底向上的建模方法，建立导线各股线的横截面，然后在柱坐标系下，利用螺旋线功能建立各股线的母线，利用拉伸命令将截面沿母线拉伸成实体模型．为减小计算机时，同时考虑约束边界对导线结构应力分布的影响，建立长度为50 mm的三维有限元实体模型，并采用Solid45实体单元，运用六面体单元进行网格划分．单元划分后模型有167 384个节点，134 017个单元，输电导线有限元模型如图2所示．在轴向张力作用下，钢芯和铝股实际上存在接触摩擦效应，考虑到接触对设置量非常巨大，且计算可能出现不收敛．因此本文忽略钢股和铝股间摩擦效应，采用钢股和铝股的节点耦合方法，建立2种有限元模型，研究静张力作用下导线股丝应力分布规律．模型1为只耦合同层股线接触节点的自由度；模型2为分别耦合相邻层、同层股线接触节点的自由度．考虑大跨越输电导线是对称轴向受拉结构，因此在输电导线有限元模型中z=0的端面上约束x、y、z三个方向的自由度．在z=50 mm端面外建立一个刚域点，然后和该端面形成刚域，最后在刚域点上施加运行张力，自重通过施加重力加速度考虑．目前我国大跨越输电导线的运行张力一般为15%～20% RTS(导线额定拉断力)，本文该导线额定拉断力为509.8 kN，本文运行张力按照20%取值，即101.96kN．由于导线工作时，由于导线工作时，股线横截面具有较大的转动，导线受力问题属于大转动小应变几何非线性问题，计算时，在“Analysis Options”区域指定“Large Displacement Static”选项．理论分析中式(12)可计算输电导线每层股线的轴向张力，导线各层股线轴向张力有限元模型结果与理论计算结果见表2，内力与层数关系曲线如图3所示．由表2可知，运行张力作用下，大跨越输电导线内3层钢芯共承担了约60%张力，外层铝芯共承担了约40%的张力，其钢芯和铝股张力比为3∶2，且每层钢芯承受的张力从内至外，呈增大趋势．由于模型中股丝间自由度耦合的处理不同，两种有限元模型的铝部张力趋势不尽相同．在模型2中，外层的铝芯从内至外也是依次增加，但模型1中外层的铝芯依次减小．由图3可知，模型2的钢芯和铝股张力分布计算结果与理论结果更为吻合．其原因是建立模型2时考虑了相邻层、同层股线接触节点的自由度耦合变形，能够较为准确地模拟导线受力状况．因此，后文采用模型2进行导线截面应力特性分析．通过对比分析可知，对于大跨越输电导线铝股，外层铝股承担的轴向张力比内层大，但在实际工程中，应注意平衡导线外层铝股的导电性和安全性两方面的性能．为研究导线横截面应力沿轴向的变化规律，选取输电导线模型的10个横截面，如图4(a)所示．5号截面应力云图如图4(b)所示．提取各横截面轴线应力的最大值，变化曲线如图5所示．由图5可知，导线股线应力强度与股线受约束情况相关，跨中5号截面最大轴向应力仅为16.01 MPa，7号截面最大轴向应力为20.94 MPa，而端部10号截面最大轴向应力为258.32 MPa．由此可知，大跨越输电导线沿轴向截面应力并不均匀．输电导线约束端应力强度明显高于档距跨中的应力强度，距离约束端面越近，股线的应力受端面约束影响越大．该规律与实际工程吻合，大跨越输电导线的悬挂点线夹出口处即为约束端，受力较为复杂，此处应力强度较大，容易发生磨损破坏和疲劳断股．因此建议强化大跨越输电线导线线夹出口处的悬挂设计并定期检查．导线第3层钢股和第5层铝股轴向应力云图分别如图6(a)和图6(b)所示．输电导线各层股线截面轴向应力沿截面圆周方向的变化曲线如图7所示(远中心轴处为0°/360°)．由图6可知，每根股丝沿轴向的应力分布不均匀，两端较大，中间较小．其原因是两端应力受到边界条件的影响．第3层钢芯最大轴向应力比第5层的铝芯应力大．由图7可知，导线内3层钢芯应力强度大于外两层铝．第1层钢芯圆周方向的强度最大，第2层和第3层次之，第3层钢股在247～300°之间的轴向应力稍大于中心钢股轴向应力，分析原因是有限元模型中施加节点自由度耦合造成局部的应力集中．当第2股线轴向应力处于峰值时，则第3股线的轴向应力则为最小值，第4层与第5层间也有类似规律．说明输电导线相邻层股线的轴向张力峰值呈现相位差，其原因在于输电导线相邻层绞制方向相反．由图7可知，对于导线铝股部分，即图中的第4层和第5层，第4层铝股的最大轴向张力为140.90 MPa，第5层铝股的最大轴向张力为147.69 MPa，可知外层铝股的应力水平高于内层的铝股应力水平．因材料的屈服极限与其应力大小有关，因此在轴向拉力作用下外层铝股首先产生失效的可能性较大．因此，对大跨越输电导线材料选择与导线制作时，建议内层铝股可选择导电率较高的铝线，提高输电容量，外层铝股则选择强度较高的铝合金线，以保证输电线安全运行．为了明确大跨越输电导线自重比载与钢芯铝股张力比的相关关系．本文选取7种常用的大跨越输电导线型号，并采用上述理论公式，计算了不同自重比载作用下导线钢芯和铝股张力比值，如图8所示．通过图8可知，不同输电导线的自重比载，钢芯和铝股承担张力比并不相同．例如AACSR-EST500/230型导线，自重比载为0.042 6，钢芯和铝股的张力比值为1.5，而AACSR-EST640/290，自重比载为0.042 9，钢芯和铝股的张力比为1.602 6．随着自重比载的增大，大跨越输电导线钢芯和铝股的张力比呈增大趋势．本文建立了大跨越架空AACSR-500/230型输电导线三维有限元模型，研究了大跨越输电导线钢芯和铝部应力分布特征．有如下结论：1)在轴向拉力作用下，大跨越输电导线钢芯承担了约60%的张力，铝芯约40%．其钢芯和铝股张力比约为3∶2，且每层钢芯和铝股承受的张力从内至外，呈增大趋势．2)输电导线股线截面应力大小与其所受约束距离有关，距约束端越近，则股线截面应力值越大．大跨越输电导线的悬挂点线夹出口处即为约束端，受力较为复杂，建议强化大跨越输电线导线线夹出口处的悬挂设计并定期检查．3)输电导线相邻层股线的轴向张力峰值呈现相位差，在轴向拉力的作用下外层铝股首先发生失效的可能性较大．在输电导线材料选择与导线制作时，建议内层铝股选择导电率较高的铝线，提高输电容量，外层铝股则应选择强度较高的铝合金线．4)随着自重比载的增大，大跨越输电导线钢芯和铝股的张力比呈增大趋势．5)考虑相邻层、同层股线接触节点的自由度耦合的有限元模型与理论值较为接近，可用于大跨越输电导线张力分层特性分析．。
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
六面体单元上的应力分量
六面体单元上的应力分量【知识文章】六面体单元上的应力分量1. 引言应力分析是工程力学和结构力学中的重要分支，它研究物体内部各点所受到的力的形式和分布。
而在应力分析中，六面体单元是一种常用的应力剖析方法之一。
本文将针对六面体单元上的应力分量展开讨论。
通过对该主题的深入探究，我们将更好地理解六面体单元的应力分析，以及在工程实践中的应用。
2. 六面体单元的应力分析六面体单元是一种由六个平面组成的物体，其中每个平面都有不同的法向力和切向力作用。
在应力分析中，我们主要关注的是各个面上的应力分量。
在应用力学中，六面体单元通常用于表示固体物体、结构件或体元。
准确计算单元各面上的应力分量对于分析和设计工程结构的强度和稳定性至关重要。
3. 六面体单元的应力分量分析方法3.1 面上应力的计算方法要计算六面体单元上的应力分量，我们首先需要确定各个平面上的面积、面积方向以及面上的受力情况。
在实际问题中，可以通过应力平衡方程和边界条件来计算各个平面上的应力分量。
3.2 应力分量的表示和计算在六面体单元上，通常使用三个相互垂直的坐标系来描述应力分量，即正应力σx、σy和σz。
还需要考虑切应力τxy、τxz和τyz。
通过在六面体单元上的每个面上计算这些应力分量，并结合力平衡方程，可以得出整个六面体单元内部的应力分布情况。
4. 六面体单元上的应力分量应用举例以实际工程问题为例，我们考虑一个承受轴向拉力的六面体单元。
在这种情况下，我们可以根据六面体单元上不同平面的应力分量，来评估结构的强度。
通过计算六面体单元上每个面的正应力和切应力，并利用材料的断裂强度，可以判断结构在受力下是否会发生破坏。
5. 对六面体单元上应力分量的个人观点和理解对于六面体单元上的应力分量，我认为在实际工程问题中的应用非常重要。
通过深入理解和分析六面体单元上的应力分布，我们可以更加准确地评估结构的强度，为工程设计提供有力支撑。
合理利用六面体单元的应力分量分析方法，还能帮助我们更好地优化结构设计，提高工程质量和效率。
第二章应力分析
内力、外力及截面法
面力：分布在物体表面上各点的外力（风力，流体压力，土
压力和接触力 ）。
内力、外力及截面法
在 P点 周 围 ， 包 含 P点 ， 取 微 小 体 积 元 素 S
设 作 用 于 S的 外 力 为 Q ；
若 S 不 断 减 小 ， 则 Q和 Q / S 都 将 不 断 地 改 变 其 大 小 、 方向和作用点；
同 理 , F y 0, F z 0, 可 得 y 和 z 方 向 结 果 ， 写 在 一 起 为 ：
Y N = l xy + m y + n zy Z N = l xz + m yz + n z
X
N
l
x
m
yx
n
zx
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
2 2 2
yz
2 n l z x
Cauchy公式和上式表明，只要知道物体内一点九个应力 分量，就可以求出过此点任一斜微分面上的应力，同时，九 个应力分量（只有六个独立）完全确定了一点的应力状态。
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
◆一点的应力分量与所取的坐标系有关，当坐标改变时，同一 点的应力分量表示形式将发生相应的变化，而该点应力状态 不随之变化。
◆ 受 力 平 衡 ： Fx 0
BMC : ABC : x * l * S ; X
N
* S ;
yx
AMC :
* m * S ;
AMB :
MABC :
zx * n * S ;
X V ;
'
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
应力状态分析 (2)
x
2
y
2
2 xy
设特征值为，则有 展开行列式
x xy
xy
y
的特征值和特征矢量
x xy
xy
参见《线性代数》
0
y
2
( x
y
)
( x
y
2 xy
)
0
方程的两个根
可以证明，应力矩阵的特征矢量就是主方向
2020/4/27
20
2. 极值剪应力
x
y
2
sin 2 xy cos 2
（5） 以C为圆心、CD为半径画圆，就是莫尔 圆（应力圆）。
问题：如果已知主应力，如何作应力圆？
2020/4/27
O
D
C
D
29
证明：
D ( x, xy )
OC OD2 D2C
OD2
1 2
D2 D1
y
1 2
(
x
y)
x y
2
O
圆心得证
D2
D' ( y, -xy )
圆心
C
D1
x
2
y
,
0
CD CD1 2 (D1D)2
80 MPa
30
b 60°
ab
x
y
2
x
y
2
40
cos(60) xy sin(60)
20 60 0.5 30 0.866 76 MPa
ab
x
y
2
sin(60) xy cos(60)
60 (0.866) 30 0.5 37 MPa
25
i j
x y
2 20 602
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六面体单元上的应力分布
在工程力学领域，六面体单元是一种广泛应用于有限元分析中的基本
构件。
它具有六个面和八个顶点，能够很好地描述复杂的结构物体。
而应力分布则是指在材料内部各个点上的应力大小和方向的分布情况。
在本文中，我们将探讨六面体单元上的应力分布，以及其在工程设计
和分析中的重要性。
1. 应力的定义和分类
在开始深入讨论六面体单元上的应力分布之前，我们首先需要了解应
力的基本概念。
应力指的是单位面积上的力的作用，通常用σ表示。
根据作用方向的不同，应力可以分为三类：正应力、剪应力和法向应力。
正应力是垂直于某个面的应力，常用σ表示。
它描述了材料在该面上
受到的拉力或压力大小。
剪应力是沿着某个面的应力，常用τ表示。
它描述了材料在该面上受到的剪切力的大小。
法向应力是指作用在某
个面上的应力，既包括正应力，也包括剪应力。
2. 六面体单元的特点
六面体单元是一种常见的有限元分析单元，它具有以下特点：六个面都是平行于坐标轴的矩形面，八个顶点坐标可通过简单的等距变化得到，单元内外表面积都是规则的。
这些特点使得六面体单元在描述复杂结构时具有较高的逼真度和准确性。
3. 六面体单元上的应力计算
在有限元分析中，计算六面体单元上的应力分布是一个复杂而关键的问题。
常用的方法包括以下几个步骤：
通过有限元分析软件将结构分割为六面体单元，并给定边界条件和加载条件。
使用适当的数学方法，通过求解线性方程组或非线性方程组，得到六面体单元上各个节点的位移。
接下来，利用位移信息和材料力学性质，计算六面体单元上的应变。
利用应变信息和材料的本构关系，计算出六面体单元上的应力分布。
4. 应力分布的重要性和应用
六面体单元上的应力分布对于工程设计和分析具有重要的意义。
它可
以帮助工程师判断结构的强度和稳定性，并优化设计方案。
通过对六面体单元上应力分布的研究，可以了解材料的破坏机理和材料性能，在工程设计中起到指导作用。
六面体单元上的应力分布还可以用于研究材料的疲劳寿命、断裂行为和变形特性等。
通过实验和数值模拟，可以得到六面体单元上不同工况下的应力分布，以及与其相关的变形和破坏情况。
这些信息对于材料的优化和工程结构的安全性评估非常重要。
5. 个人观点和理解
在我看来，六面体单元上的应力分布是工程力学领域中一个非常有趣和重要的研究方向。
通过深入了解六面体单元的结构特性和应力分布规律，我们可以更好地理解材料的力学性质，并在工程设计和分析中提供有力的支持。
然而，我们也需要意识到六面体单元上的应力分布只是整个结构中应力分布的一部分，它受到很多因素的影响，如加载条件、结构形状和材料性质等。
只有综合考虑所有这些因素，才能更准确地描述和预测结构的行为。
总结起来，六面体单元上的应力分布是一个复杂而关键的问题，对于工程设计和分析具有重要的意义。
通过研究六面体单元的结构特性和
应力分布规律，我们可以更好地理解材料的力学性质，并在工程实践
中发挥重要作用。
希望本文能够对读者有所启发，引发更多关于六面
体单元和应力分布的讨论和研究。
1. 六面体单元的应力分布研究在工
程力学中的重要性
六面体单元在结构力学研究中占据着重要的地位。
它的特殊结构使其
具有广泛的应用领域，如建筑、航空航天和机械工程等。
在这些领域中，对于材料的力学性质和结构的安全性评估是至关重要的。
2. 六面体单元应力分布与其相关的变形和破坏情况
六面体单元上的应力分布直接影响着结构的变形和破坏情况。
通过对
六面体单元上应力分布的研究，我们可以了解材料在受力条件下的变
形情况，并预测结构在承受外部负荷时可能发生的破坏形式。
3. 六面体单元应力分布的影响因素
六面体单元上的应力分布受到多种因素的影响，例如加载条件、结构
形状和材料性质等。
不同的加载条件会导致应力的分布方式发生变化，结构形状也会对应力分布产生影响。
材料的性质，如弹性模量和屈服
强度，也会直接影响其在六面体单元上的应力分布。
4. 六面体单元应力分布的应用和意义
六面体单元上的应力分布信息对于材料的优化和工程结构的安全性评
估具有重要意义。
通过研究六面体单元的应力分布，可以为材料的设
计和选择提供依据，以实现更好的机械性能和耐久性。
对于工程结构
的安全性评估，了解六面体单元上的应力分布可以帮助工程师和设计师预测和防止可能的破坏情况。
5. 个人观点和理解
在我看来，六面体单元上应力分布的研究是工程力学领域中一项非常有趣和重要的研究方向。
通过深入理解六面体单元的结构特性和应力分布规律，我们可以更好地理解材料的力学性质，并在工程设计和分析中提供有力的支持。
然而，我们也要意识到六面体单元上的应力分布只是整体结构中应力分布的一部分，受到加载条件、结构形状和材料性质等多个因素的影响。
只有综合考虑所有这些因素，才能更准确地描述和预测结构的行为。
总结起来，六面体单元上的应力分布是一个复杂而关键的问题，对于工程设计和分析具有重要的意义。
通过研究六面体单元的结构特性和应力分布规律，我们可以更好地理解材料的力学性质，并在工程实践中发挥重要作用。
希望本文能够对读者有所启发，并引发更多关于六面体单元和应力分布的讨论和研究。