33知识讲解_两角差的余弦公式_基础

两角差的余弦公式【学习目标】1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础.3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。

【要点梳理】要点一：两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式的推导：（1）如图，在平面直角坐标系xoy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ，它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B ，则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==由向量数量积的概念，有||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=-，结合向量数量积的坐标表示，有cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+所以cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （*）（2）由以上的推导过程可知，,αβ是任意角，则αβ-也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的αβ-[]0,π∈。

为此，我们讨论如下：由于αβ-是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角[]0,2θπ∈，使cos cos()θαβ=-。

①若[)0,θπ∈，则cos cos()OA OB θαβ⋅==-。

②若[),2θππ∈，则(]20,πθπ-∈，且cos(2)cos cos()OA OB πθθαβ⋅=-==-由以上的讨论可知，对于任意的,αβ，都有：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ()C αβ-2．公式的记忆右端为,αβ的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。

要点诠释：(1)公式中的αβ、都是任意角。

(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即()cos cos cos αβαβ-≠-。

(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。

要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1．逆用cos cos sin sin αβαβ+=cos()αβ-要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由cos50cos20sin50sin 20︒︒+︒︒能迅速地想到()cos50cos 20sin 50sin 20cos 5020cos30︒︒+︒︒=︒-︒=︒=。

2．角变换后使用 []cos cos ()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+-=+++。

3．移项运用cos cos cos()sin sin αβαβαβ=--sin sin cos()cos cos αβαβαβ=--4．特殊化使用cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα-=+= 5．以β-代β []cos ()cos cos()sin sin()αβαβαβ--=-+-即()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-【典型例题】类型一：利用差角的余弦公式进行证明高清课堂：两角差的余弦公式 401789 例1例1．求证：（1）cos()cos cos sin sin +=-αβαβαβ（2）sin()sin cos cos sin ±=±αβαβαβ【思路点拨】（1）用β-代β，利用两角差的余弦公式展开。

（2）利用sin()cos ()2παβαβ⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦及两角和的余弦公式可证得。

【证明】（1）cos()αβ+=[]cos ()cos cos()sin sin()αβαβαβ--=-+-=cos cos sin sin αβαβ-（2）sin()cos ()cos ()22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =cos()cos sin()sin 22ππαβαβ-+- =sin cos cos sin αβαβ+sin()cos ()cos ()22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤-=--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=cos()cos sin()sin 22ππαβαβ--- =sin cos cos sin αβαβ- 举一反三：【变式1】2222cos 2cos sin 2cos 112sin=-=-=-ααααα证明：cos 2cos()cos cos sin sin ααααααα=+=- =22cos sin αα-=22cos (1cos )αα--=22cos 1α-=22(1sin )1α--=212sin α-类型二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式例2．化简：52cos 2cos 663x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】 0【解析】原式 5522cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin cos sin 666633x x x x x x ππππππ=+++ 22cos 2cos sin sin 2sin cos 333333x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos 02222x x ⎛⎛=++-= ⎝⎭⎝⎭。

【总结升华】化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。

对于三角函数式的化简，要求：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数的种类最少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母中不含有三角函数；（5）尽量使被开方数不含有三角函数。

对于本题我们看到，化简前与化简后相比，化简后显然简洁得多，而且关系也清晰得多。

举一反三：【变式1】化简：cos(3)cos(3)sin(3)sin(3)4334x x x x ππππ⋅--⋅++-。

【答案】4 【解析】原式=cos(33)43x x ππ++- =cos()34ππ+ =cos cos sin sin 3434ππππ-=12=4类型三：利用差角的余弦公式求值例3．求值：（1）cos15︒（2）cos40cos70cos20cos50︒︒+︒︒（3）cos(α－35°)·cos(25°+α)+sin(α－35°)·sin(25°+α)；【思路点拨】（1）利用156045=-求解（2）利用两角差的余弦公式（3）把α－35°和25°+α看作一个整体，利用两角差的余弦公式。

【答案】（12（3）12【解析】（1）cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 30=-=+=12222+⋅=4（2）原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos302=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=（3）原式1cos[(35)(25)]cos(60)2αα=-︒-︒+=-︒=。

【总结升华】两角差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（3）中的（35α-︒）可视为一个整体。

分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型。

举一反三：【变式1】求值：cos15°cos105°+sin15°sin105°【解析】原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0【变式2】求值：sin37cos172cos37cos82︒︒-︒︒【解析】原式=cos53cos(1808)sin 37sin(908)---=cos53cos8sin53sin8--=(cos53cos8sin 37sin8)-+=cos 45-=2-例4．已知111cos ,cos(),,(0,)cos .7142πααβαββ=+=-∈，求 【思路点拨】若展开cos(+)αβ，又由cos sin αα→，从而可得出关于β的方程求解.经观察：=(+)-βαβα，故又可直接由cos(+)sin(+)cos sin αβαβαα→→由代入求解. 【答案】12【解析】由1(0)cos =,sin 27πααα∈∴，， 由,(0,) +(0,)2παβαβπ∈∴∈sin()14αβ∴+=== 故cos cos()cos()cos sin()sin βαβααααβα=+-=+⋅++1111.1471472=-⋅+⋅= 【总结升华】 仔细分析角与角之间的关系是利用两角差的余弦公式求值的关系，解这类题时要“一看角、二看名、三看结构”。

举一反三：【变式1】已知1sin 5θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

【解析】 ∵1sin 5θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 5θ=-，则11cos cos cos sin sin 33325πππθθθ⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭。

【总结升华】依据角的范围确定函数的符号，再利用差角公式求解，是一种常见的题型。

【变式2】已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-。

求cos 2β。

【答案】6365- 【解析】 由题意得0,4παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭。

∴5sin()13αβ-==，4cos()5αβ+==-， ∴cos 2cos[()()]βαβαβ=+--cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ=+-++-412356351351365⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。