垂径定理及其推论
专题24.3 垂径定理【十大题型】(人教版)(原卷版)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E 为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC 上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
三垂径定理
三垂径定理一、垂径定理的内容1. 定理表述- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 定理的证明（以人教版教材思路为例）- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB（同圆半径相等），OE⊥ AB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE=BE。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
3. 相关概念理解- 弦：连接圆上任意两点的线段。
如在圆O中，AB就是一条弦。
- 直径：经过圆心的弦。
例如CD是圆O的直径。
- 弧：圆上任意两点间的部分。
圆O中的widehat{AD}、widehat{BD}、widehat{AC}、widehat{BC}等都是弧。
二、垂径定理的推论1. 推论内容- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD平分弦AB（AB不是直径）于点E，则CD⊥ AB，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 推论的证明- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB，AE = BE，所以 OAB是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OE⊥ AB，即CD⊥ AB。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
- 这里要注意弦不能是直径，因为任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定垂直。
三、垂径定理及其推论的应用1. 计算类应用- 例1：已知圆O的半径为5，弦AB = 8，求圆心O到弦AB的距离。
- 解：设圆心O到弦AB的距离为d。
- 连接OA，因为OA = 5，AB = 8，根据垂径定理，OE⊥ AB时AE=(1)/(2)AB = 4。
圆2垂径定理及其推论
1 •垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.推论1:①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.③平分弦所对的一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤.推论2•圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）：④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1如图AB CD是O O的弦，M N分别是AB CD的中点，且ZAMN ZCNM •求证：AB=CD A”------- 、,例2已知，不过圆心的直线l交O 0于C、D两点，AB是O O的直径，AE丄l于E, BF丄l于F。
求证：CE=DF例3如图所示，O O的直径AB = 15cm,有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D 与B不重合），且CE丄CD交AB于E, DF丄CD交AB于F。
（1）求证：AE = BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形若不是，请说明理由。
例4如图，在O O内，弦CD与直径AB交成45°角，若弦CD交直径AB于点P,且O O半径为1,试问：PC2 PD2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1. 已知O O的半径为2cm,弦AB长2 .. 3cm，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）A . 1cm B.2cm C. .2cm D. . 3cm cm6cm AB CD为两弦，且AB丄CD垂足为点E,若CE=3cm DE=7cm贝U AB的长为（A . 10cm B.8cm C. D. 8.. 2cmCDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值,3.如图1, O O的半径为B4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有6.等腰三角形腰长为4cm,底角为30,则外接圆直径为（A . 2cm B.4cm C.6cm图17. 如图,OO的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么0P长的取值范围是8. 如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm拱高CD=4cm那么拱形的半径是9. 如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm求水的最大深度CD10. 如图，已知△ ABC中，/ ACB=90 ,B11. 已知：如图，在OO中，弦AB的长是半径OA的,3倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状，并说明理由.无数条.其中正确的判断有（)A . 0 个 B.1个 C.2个 D.35.如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D 若AB=4,径之比为( )A . 3:2 B....5 :2 C.5:2个CD=2圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半D.5:4m.长为）BAB于D,贝U AD的12. 如图所示，在O O 中，弦AB 丄AC,弦BD 丄BA AC BD 交直径 MN 于E 、F.求证：ME=NF.13•（思考题）如图，GO 与002交于点A,B ,过A 的直线分别交O0i , OO 2于M,N,C 为MN 的中点，P 为O 1O 2的中点，求证：PA=PC. 1. 已知O O 的直径AB=10cm 弦CDL AB 垂足为M 。
垂径定理及其推论课件
大学阶段
欧几里德几何学
垂线定理是欧几里德几何学的 基础之一，是一个完整的证明 体系的一部分。
垂线定理的应用举例
建筑工程
建筑师可以使用垂线定理准确地 确定一个建筑的高度，并在施工 期间使用以确保建筑的平衡和结 构稳定性。
结构工程
天文学
结构工程师可以使用垂线定理学中， 在三角视差上衡量星际距离。
垂径定理及其推论课件
在这里，您将学习垂径定理，这是数学的一个基本定理。
垂线定理的定义
垂线
从一个点到一条直线的线段， 且该线段与这条直线成直角。
垂足
垂线与直线相交的点称为垂 足。
垂线定理
引自两点的垂线汇合于同一 直线，即两点到直线的垂线 长度乘积相等。
垂线定理的初步应用
测量高度
通过测量杆与建筑物之间的倾斜 角度和距离，可以使用垂线定理 精确地测量建筑物的高度。
总结
垂径定理是一项常见而又重要的数学知识，无论您是初学者还是专业人士， 掌握垂线定理都是非常有用的。
判断直角
一个三角形是否是直角三角形可 以用垂线定理来判断。如果线段 的平方相加等于斜边平方，那么 这个三角形是直角三角形。
消防安全
垂线定理也可以用于消防安全。 消防员可以使用绳索若干次下落 以评估火场内的距离、阻力和重 量等要素。
垂线定理的推论
1 勾股定理
勾股定理是垂线定理最著名的推论之一。它得出了一个正直角三角形的边长之间的关系。
3
费马点
假设有一个圆，它可以将三角形内的所有角度看成锐角或钝角。垂线定理可以用 来查找与三角形顶点相连线相交的圆的圆心。所得的点被称为费马点。
垂线定理的证明
初中阶段
展示长度关系
证明可延伸为平行四边形的变 形，使用长度、面积和方向的 来解释定理。
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
垂径定理及其推论
28.1.2垂径定理及推论的教学设计活动一：画一个圆，并把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：活动二：在刚才的⊙O内画一条弦AB和一条直径CD，使CD⊥AB，垂足为E，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：垂径定理：1、图形语言2、文字语言：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、几何语言：∵ABCD于E ，AB是⊙O的直径CE=DE，AC＝AB，BC＝BD练习1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
（）（）（）※垂径定理的几个基本图形定理中垂直于弦的直径，可以是直径、半径、也可以是过圆心的直线或线段。
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
条件结论AB为直径 AB平分弦CD点A平分弧CAD点B平分弧CD①过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的优弧推论：知其二可推其三①②③④⑤注意：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．活动三：例题与练习例1：如图，圆的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8变式1：在⊙O中，已知AB等于8，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，求圆的直径。
变式2：在⊙O中，已知直径为10，弦AB等于8，求圆心O到弦AB的距离OM的长。
例1图例2图例2：如图，已知：⊙O 中， AB为弦，D为 AB 中点， OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.变式1：已知：⊙O中，AB为弦，C为弧AB中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O的半径OA.变式2：已知：⊙O中，AB为弦，D为AB中点，OC交AB于D ，AB=6cm ，⊙O的半径OA为5，求CD的长。
变式3：已知：⊙O中，AB为弦，D为AB中点，OC交AB 于D ，CD =1cm ，⊙O的半径OA为5，求AB的长。
人教版初三数学上册垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
【垂径定理】
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
【注】
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
【垂径定理的推论】
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧；
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧；
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论：
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心。
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圆部份知识点总结之蔡仲巾千创作
垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,而且平分弦所对的弧.
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,而且平分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心,而且平分弦所对的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,而且平分弦所对的另一条弧.
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
2：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角即是它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3：如果三角形一边上的中线即是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有：d<r⇔点P在⊙O 内；
d=r⇔点P在⊙O上；
d>r⇔点P在⊙O外.
过三点的圆
1、不在同一直线上的三个点确定一个圆.
2、经过三角形的三个极点的圆叫做三角形的外接圆.
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心.
直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系,具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,那么：直线L与⊙O相交⇔d<r；
直线L与⊙O相切⇔d=r；
直线L与⊙O相离⇔d>r；
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角即是它的
内对角.
切线的性质与判定定理
的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不成
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个
条件就能推出最后一个.
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 即：∵PA 、PB 是两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠ 圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.
即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ,
∴PA PB PC PD ⋅=⋅
推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥,
∴2CE AE BE =⋅
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线
∴2PA PC PB =⋅
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）.
即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线
∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 两圆公共弦定理
A
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直而且平分这两个圆的的公共弦.
如图：12O O 垂直平分AB .
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点
∴12O O 垂直平分AB 圆的公切线
（1）公切线的长：12Rt O O C ∆中
,221AB CO =
（2）外公切线的长：2CO 是半径之差；2CO 是半径之和
三角形的内切圆和外接圆
1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心. 圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种.
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种.
如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交. 2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距. 3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R 和r,圆心距为d,那么
两圆外离⇔d>R+r 两圆外切⇔d=R+r 两圆相交⇔R-r<d<R+r （R≥r） 两圆内切⇔d=R-r （R>r ）两圆内含⇔d<R-r （R>r ） 4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
圆内正多边形的计算
1.正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；
2.正四边形
同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::1:1:
2OE AE OA =：
3.正六边形
同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::1:3:2AB OB OA =.
弧长和扇形面积
1、弧长公式n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为
180
r
n l π= 2、扇形面积公式lR R n S 2
13602==
π扇 其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,L 是扇形的
弧长.
3、圆锥的正面积rl r l S ππ=•=22
1
其中L 是圆锥的母线长,r 是圆锥的底面半径. 内切圆及有关计算.
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等.
（2）△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=
2
c
b a -+ . （3）S△ABC=)(2
1c b a r ++,其中a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径. 拱高问题
1.如图,圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米,拱高CD ＝4米,则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米
S l
B
A
O
2.如图,用暗示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径为R．经过
A B
圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC与AB 相交于点D,根据前
面的结论,D 是AB 的中点,C是的中点,CD 就是拱高．。