氦原子基态的Schrodinger方程的严格解
类氦离子schrodinger方程直接求解的精确势谐方法
类氦离子schrodinger方程直接求解的精确势谐方法类氦离子是由两个电子和一个氦核组成的三体系统，其精确解析解是无法求得的。
然而，通过使用精确势谐方法，我们可以得到类氦离子的近似解。
精确势谐方法是一种基于势能函数的展开式的方法，它将势能函数展开为一组谐函数的线性组合。
在类氦离子的情况下，我们可以将势能函数表示为：V(r1,r2) = -2/r1 - 2/r2 + 1/r12其中，r1和r2是两个电子与氦核之间的距离，r12是两个电子之间的距离。
通过将势能函数展开为谐函数的线性组合，我们可以得到类氦离子的Schrodinger方程的精确解。
具体来说，我们可以将Schrodinger方程表示为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
通过将波函数表示为一组谐函数的线性组合，我们可以得到：Ψ(r1,r2) = ΣCnmψnm(r1,r2)其中，Cnm是系数，ψnm是谐函数。
将波函数代入Schrodinger方程，我们可以得到：ΣCnm(Hψnm) = EΣCnmψnm通过将哈密顿算符表示为谐函数的线性组合，我们可以得到：Hψnm = Enmψnm其中，Enm是能量。
将能量代入Schrodinger方程，我们可以得到：ΣCnmEnmψnm = EΣCnmψnm这是一个矩阵方程，我们可以通过对矩阵进行对角化来求解能量和系数。
通过这种方法，我们可以得到类氦离子的精确解。
总之，精确势谐方法是一种有效的求解类氦离子Schrodinger方程的方法。
通过将势能函数展开为谐函数的线性组合，我们可以得到精确解。
虽然这种方法需要计算大量的系数，但是它可以提供非常精确的结果。
因此，它在量子化学中得到了广泛的应用。
量子力学对H原子描述
1. 当 l 0 则 L l(l1)0
2. 当 l 1 则 L 2
ml 0,1
zB
L
Lz
Lz 0，
3. 当 l 2 则 L 6
ml 0,1,2 Lz 0， ,2
0
L 2
十八个量子态：(3 , 0 , 0 , ±½) (3 , 1 , 0 , ±½) (3 , 1 , ±1 , ±½) (3 , 2 , 0 , ±½) (3 , 2 , ±1 , ±½) (3 , 2 , ±2 , ±½)
3s2 3p6
3d10
15
2. 能量最低原理 原子处于正常状态时，每个电子首先占据可能的最低能级 主量子数 n 决定 能级高低 影响 角量子数 l
系统的动能完全来自于电子的运动，而电子的波函数 Ψ的薛定
谔方程为：
2
(2Ψ2Ψ2Ψ)U ΨEΨU
e2
2m e x2 y2 z2
4 0r
球坐标的定 态薛定谔方 程
r12r(r2 r) r2s1in(sin )
1 2 r2sin22
2m 2 (E4e20r)1 0
§16.7 量子力学对H原子的描述 四个量子数
一. H原子的量子化条件
H原子中电子的运动规律，已由量子力学理论严格解出， 其结果：
1. 能量量子化
能量
En n12 (8m02e4h2)
n1 ,2,3 主 量 子 数
原子的能级主要由主量子数决定
ml △E
1 BB
0
0
-1 BB
l=0
v0
v0
0
0
v0-△v
氦原子基态的Schrodinger方程的严格解
氦原子基态的Schrodinger 方程的严格解物理0701班徐振桓摘要 本文利用了超球坐标的方法求解了氦原子基态的Schrodinger 方程的严格解，得出了氦原子的基态能量和波函数。
关键词 超球坐标 氢原子基态 Schrodinger 方程严格求解三体或三体以上体系的Schrodinger 方程是量子理论工作者非常感兴趣的重要 课题。
原因在于，可得到体系的真实波函数，进而可研究电子相关等许多物理和化学问题。
自从量子力学建立，人们就期待着这一问题的解决，直到将超球坐标用来描写多粒子 Schrodinger 方程，多体问题才变得可能解决。
在这条道路上，前人已做了许多努力，但仍存在一些问题。
本文给出一个新的方法来严格求解氦原子的基态能量和波函数。
这一方法也可用于氦原 子激发态和其它原子能态的计算，原则上可用之求解任意多体问题。
本文计算证明了 Schro dinger 方程可以描写三粒子体系，可作为严格求解多体 Schrodinger 方程的一个范例。
对氦原子，原子单位下的非相对论Schrodinger 方程为：2123123111(,,)(,,),2ji j ii i jiij z z r r r E r r r m r ψψ=<⎧⎫⎪⎪-∇+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑∑（1） 其中i m 为i 粒子的质量，i z 为 i 粒子荷电数 (电子为一1，核为2)。
本文采取 smith 的坐标 取法：先引人三个Euler 角 (α，β，γ) 以描写此原子在空定坐标中的取向，然后在三粒 子所张的平面上用，1r ，2r 分别为电子1，2距核的距离)和两个角度θ和ϕ 描写电子与核的相对位置。
这些量与直角坐标的关系为：i x = R cos θcos 12(ϕ+i β)，0≤θ≤4π，i y = R sin θsin12(ϕ+i β)，0≤ϕ≤2π， i=1，2， (2)这里 132πβ=，232πβ=-。
引人这三个坐标的主要优点在于Euler 角可以直接引出总角动量 ，而不需再对角动量进行标准化耦合。
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
schrodinger方程
Schrödinger方程简介Schrödinger方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了量子系统的演化和波函数的行为。
由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，因此也被称为薛定谔方程。
Schrödinger方程是一个偏微分方程，用于描述粒子在势场中的运动。
它以波函数（或称为量子态）作为基本变量，并通过该波函数来计算粒子在不同位置和时间的概率分布。
通过解析或数值方法求解Schrödinger方程，我们可以得到粒子在不同状态下的能量、位置以及其他物理性质。
方程形式Schrödinger方程可以根据系统的性质和假设而有所不同。
下面是一般形式的时间依赖Schrödinger方程：其中，•ψ是波函数，表示粒子在空间中的状态；•i是虚数单位；•ℏ是约化普朗克常数；•∂ψ/∂t表示波函数随时间的变化；•H是哈密顿算符，描述了系统的总能量。
这个方程可以看作是对经典力学中的哈密顿-雅可比方程的量子化。
波函数解释波函数ψ是Schrödinger方程的解，它包含了关于粒子位置和动量的所有信息。
根据波函数的模值平方|ψ|^2，我们可以计算出粒子在不同位置上的概率分布。
这意味着波函数并不直接表示粒子的位置，而是给出了可能找到粒子在某个位置上的概率。
由于波函数是复数，我们无法直接观测到它。
但是通过测量物理量（如能量、动量等），我们可以得到与波函数相关的实际结果。
哈密顿算符哈密顿算符H在Schrödinger方程中起着关键作用。
它描述了系统的总能量，并且根据系统性质和假设有不同形式。
例如，在自由粒子情况下，哈密顿算符可以写为动能项和势能项之和：其中，•T表示动能算符；•V表示势能。
通过将哈密顿算符应用于波函数，我们可以得到Schrödinger方程的具体形式，并进一步求解波函数。
解Schrödinger方程求解Schrödinger方程是理解量子力学中物理系统行为的关键。
福师《结构化学》在线作业一-0002.E9F063BB-
福师《结构化学》在线作业一-0002
下列哪个理论不能应用于络合物的中央离子与配位体之间化学键本性的讨论（）A:价键理论---VBT
B:晶体场理论---CFT
C:原子轨道理论---AOT
D:分子轨道理论---MOT
答案：C
对氢原子和类氢离子的量子数L，下列叙述不正确的是（）
A:L的取值规定了m的取值范围
B:它的取值与体系能量大小有关
C:它的最大可能取值有解R方程决定
D:它的取值决定了角动量的大小
答案：B
下列配合物磁矩最大的是：（）【中括号外的数字和符号是上角标，里边的是下角标】
A:[FeF6]3-
B:[Mn(CN)6]3
C:[Ni(H2O)]2+
D:[Co(NH3)6]3+
答案：A
电子云描述了：（）
A:电子在空间分散为云的真实情景B:电子的波函数在空间的分布
C:电子的角度波函数在空间的分布D:电子的几率密度在空间的分布答案：D
下列分子具有对称中心的是（）A:水
B:氯仿
C:甲烷
D:乙烯
答案：D
石英所属的晶系为（）
A:六方晶系。
Schrdinger方程
(9)
ψ * × (7)式-ψ × (9)式 ,得 由
2 ∂ * * 2 2 * i (ψ ψ ) = − 2m (ψ ∇ ψ −ψ∇ ψ ) ∂t
=−
2
2m
∇ ⋅ (ψ *∇ψ −ψ∇ψ * )
(10)
1.2
Schrödinger 方程
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 将上式在空间区域
τ
中积分,由 Gauss 定理,可得
1.2 Schrödinger 方程
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 由式(20)可以看出 在 t 时刻于空间 r 点找到粒子的概率波幅 ψ ( r , t ) 是 t ′(≤ t ) 时刻粒子在空间中各 r ′ 点的概率波幅传播 到 r 点后的相干叠加.
1.2
Schrödinger 方程
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
(12)
(13)
ρ
表示概率密度, j 表示概率流密度.
1.2 Schrödinger 方程
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 因此,式(11)可化为
d ∫τ ρ dτ = − ∫ S j ⋅ dS dt
(14)
上式左边代表在闭区域 τ 中找到粒子的总概率 (或粒子数)在单位时间内的增量,而右边(注意负号!) 则应表示单位时间内通过 τ 的封闭表面 S 而流入 τ 内的概率(粒子数). 所以 j 具有概率流(粒子流)密度的意义,是一 个矢量.
借助于传播子 G ( r , t ; r ′, t ′ ) ,体系在时刻 t 的状态 ψ ( r , t ) 可由时刻 t ′(≤ t ) 的状态 ψ ( r ′, t ′ ) 给出. 对于自由粒子,这个传播子由式(21)明显给出. 可以证明
结构化学基础第五版周公度答案
结构化学基础第五版周公度答案目录01.量子力学基础知识 ...................................................................................................................... 1 02 原子的结构和性质 ................................................................................................................. 13 04分子的对称性 ............................................................................................................................ 48 05 多原子分子中的化学键 ........................................................................................................... 61 06配位化合物的结构和性质 ........................................................................................................ 91 07晶体的点阵结构和晶体的性质 .............................................................................................. 103 08金属的结构和性质 .................................................................................................................. 119 09离子化合物的结构化学 .......................................................................................................... 135 10次级键及超分子结构化学 (153)01.量子力学基础知识【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1为单位的能量。
原子核的壳模型全
③、由实验值知道
E l
能12 级在
能El级12 的下面，所以要求f(r)<0。
④、适当选择自旋—轨道耦合强度f(r)后，就可以解释全部的幻数。
对于原子情况：
2 1 dV (r) f(r)
2me2c2 r dr 这里V(r)可取库仑势：
V (r) ~
Ze 2
r
对于原子核的情况f(r)近似取同样的形式。
最简单的中心场势为方阱势，谐振子势及Woods-Saxon势，下面分别 讨论：
（1）、球方阱势
V (r) 0V0
r R(V0 0) rR
R---势阱半径
V0---势阱深度 （2）、球形谐振子势
V
(r)
1 2
m 2r 2
V0
（V0=Constant）
m--核子质量 (2V0 / mR 2 )1/ 2
5、自旋—轨道耦合
在谐振子势阱和方势阱的讨论中，我们都没有考虑核子的自旋和轨道耦合问题。
实验表明，核子的自旋—轨道耦合不但存在，而且这种耦合作用是很强的。
1949年，在大量实验事实的启示下，M.G.Mayer and J.H.D.Jensen独立提
出了强自旋—轨道耦合模型，使问题的解决有了关键性的突破。他们把方势阱和
对某一个确定的n,l相同的状态，能量都一样，因而某一给定l的2l+1个状 态，能量都相同。
由泡利不相容原理，对于自旋s=1/2的电子，它服从泡利原理。这样，在 能量相同的同一个l能级上总共可以容纳2(2l+1)个电子。
对于l=0,1,2,3,4,5,6,7,分别用s,p,d,f,g,h,I,j,…表示 ∴对于s能级，最多容纳的电子数N=2
第二，核中的核子的密度与原子中的电子密度相比，大得不可比拟，以致 核子在核中的平均自由程可以比核半径小得多，于是可以想象核子间似应不 断发生碰撞，因而很难理解在核子中的运动可以是各自独立的。
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氦原子基态的Schrodinger 方程的严格解
物理0701班徐振桓
摘要 本文利用了超球坐标的方法求解了氦原子基态的Schrodinger 方程的严格解
，得出了氦原子的基态能量和波函数。
关键词 超球坐标 氢原子基态 Schrodinger 方程
严格求解三体或三体以上体系的Schrodinger 方程是量子理论工作者非常感兴趣的重要 课题。
原因在于，可得到体系的真实波函数，进而可研究电子相关等许多物理和化学问题。
自从量子力学建立，人们就期待着这一问题的解决，直到将超球坐标用来描写多粒子 Schrodinger 方程，多体问题才变得可能解决。
在这条道路上，前人已做了许多努力，但仍存在一些问题。
本文给出一个新的方法来严格求解氦原子的基态能量和波函数。
这一方法也可用于氦原 子激发态和其它原子能态的计算，原则上可用之求解任意多体问题。
本文计算证明了 Schro dinger 方程可以描写三粒子体系，可作为严格求解多体 Schrodinger 方程的一个范例。
对氦原子，原子单位下的非相对论Schrodinger 方程为：
2
1231231
11(,,)(,,),2
j
i j i
i i j
i
ij z z r r r E r r r m r ψψ=<⎧⎫⎪⎪
-∇+
=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
∑
∑
（1） 其中i m 为i 粒子的质量，i z 为 i 粒子荷电数 (电子为一1，核为2)。
本文采取 smith 的坐标 取法：先引人三个Euler 角 (α，β，γ) 以描写此原子在空定坐标中的取向，然后在三粒 子所张的平面上用
，1r ，2r 分别为电子1，2距核的距离)和两个角度θ和ϕ 描写电子与核的相对位置。
这些量与直角坐标的关系为：
i x = R cos θcos 12
(ϕ+i β)，0≤θ≤4
π
，
i y = R sin θsin
12
(ϕ+i β)，0≤ϕ≤2π， i=1，2， (2)
这里 132
πβ=
，232
πβ=-。
引人这三个坐标的主要优点在于Euler 角可以直接引出总
角动量 ，而不需再对角动量进行标准化耦合。
在这套坐标下，原子的势能为
1
2
12
1112(
)V r r r =-++
1[R
=
-
+。
且动能算符T 由下式给出：
2
2
22
1
5()[]2Q T R R R
R
∂
∂∧=-
+-∂∂ (4)
其中厂义角动量算符2∧仅在{}Q θϕαβγ=，，，，所张的空间中起作用 ，
22222
2
2
2
2
2
2
2
14
4sin 2sin 4,
sin 4cos 2cos 2sin cos cos 2y x z
L
L
L
v
θ
θ
θθ
θ
θϕ
θϕθ
θ
θ
∂
∂∂
∂
∧=-
-
+
+
+
+
∂∂∂∂∂(5)
此算符的本征函数即所谓的超球谐函数．由于广义角动量算符2∧．总角动量平方算符，其 空定分量x L ，宇称算符以及电子交换算符12P 为一组对易算符，我们可以构造其共同本征 函数，即()L M s v Y Q πλ，其中,,,L M s λπ和分别为其量子数，而量子数v 用来区 分简并超球谐 ．
现在我们用超球谐展开体系波函数 ，
(,)()()LM s
v v
R Q R Y Q πλλψφ=
∑ (6)
对基态 ，我们仅需 取 L =M =S=0，π= 1．于是方程(1)可以写成 如下耦台形式：
''
''
''
22
2
15(4)
1[2]02v v
v
v v
d
d E Z dR
R dR
R
R
λλλ
λλλλφφ+-+
-
+-
=∑ (7)
其中矩阵元''
v v Z λλ等于''
()()v v Y Q RV Y Q λλ-．用矩阵表示 ，上式 可写为
22
2
1
5(4){[
]}()02d
d Z E R dR
R dR
R
R
φ∧∧+-
+
-
-
-= (8)
这 里''
()v v Z Z λλ=，''()vv λλλδδ∧=及()v λφφ=．作代换出()()bR a R e R R ψψ-=．上式即
为
2
d
d dR
dR
ψ∧∧2
2
2a+5(a-)(a++4)2Z -b (2a+5)
[+(-2b )
+
+]=0R
R R
(9)
其中b = ，a 为一常数，对S 态，取a=0．作代换 p=2bR ．上式变为
22
2
5
/()
25
()(4)
2[
(
1)
]()0Z b a d
a d a a d d ψρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
-++-∧+∧++-+
+
= (10)
进而将()ψρ展成
()()n
n n C
L μ
ψρρ∞
==
∑ (11)
且 μ=2a 十 4，n L μ
为广 义 Laguerre 多项式 ．代人(1 O)式且考虑到方程
10n L μ
μρ
ρ
ρ
ρ+=22
d
d n
[
+(
-1)
+
]d d （12）
得到2
5/()
()(4)
2[
]()0n n
n
Z b a n a a C L μρρ
ρ
-++-∧+∧++
=∑． (13)
利用广义 Laguerre 多项式的如下性质 ：
11()(21)(1)n n n n L n L n L n L μ
μ
μ
μ
μμμ-+=-++++-+， (1 4)
且由于 构 成正交归一 完备集,关系式(I 3)可以写为
(1)
()
(1)
11[(21)](1)0n n n n n n nZ
C n Z
C n Z
C μμ-+-++∧++++++=· (15)
其中()
5/(),()(4),2
n Z
Z b n a a a -
=-++
∧=∧-∧++
(is)式有关展 开系数 C ．的递推关系形成了一个矩阵方程1
AC=bBC ， (1 6)
由此得到 C 有非零解时的b 即可得能量本征值，相应的波函数满足边界条件 ． (t6)式中A 和B 为常数矩阵 ，可以得到其解析矩阵元 ．实际计算中 ，(16)式 和(11)式的展开不是无限项 ，我们分别假定所取超球谐的总NHH 而广义 Laguerre 多项式的数目为NGLP ．A 和B 的维数 为M ×M(其中 M =NHH × NGLP)． 由于 用超球谐展开致使计算收敛很慢 ，计算中所包含超球谐的数目总是很大．在实际计算中，我们使用子空间迭代的办法，但必须先求出1D B A -=，然后解 DC = bC 本征值问题 ．利用不同 NHH 和NGLP 的计算结果见表 l 和表 2． ．
表 1取不同数目的广义Laguerre 多项式下几个较小数目超球谐对应的基态能量(a-u-)
表 2 取NGLP E =4时,几 个较太数目趣球谐对应的基态能量 (a-u ．)
表 1给出的是几个较小NHH 的结果．表2给出的是对于取 NGLP =4 时几个较大NHH 下 的计算结果．从表中看到，目前我们得到的最好结果为 -2．90328a ．u ．，非常接近于已报道的精确结果-2.903 72a ．u.从计算结果变化趋势看，如超球谐数目取的足够多，计算 能量将趋于真实值 ．
参 考 文 献
r 11 Smith ． F ． T Phys Rev ． 1960， 12fl ： 1058 f 2] gnirk ， D ． L ． ，． Chem P y ， 1 974，60(66)： 760． 31 Mandelz~ iS ．V B ． Phys ． L 刚 ， 1980 A78： 25． r 4 1 K1ar ． H ， ， PA ys A 19B5， 1 8： 1561．
f 5] Sm ith，F T ，，M ath P^ f．1962 3：735．
r 6] Kla r，H ，Klar，M ，』P^y 矗．19B0，13 1057．
[7】王竹溪、辑教仁，特殊函数概论，科学出版牡，北京，1979．
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