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动态规划讲解大全含例题及答案

动态规划讲解大全含例题及答案动态规划讲解大全动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。

不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。

动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。

因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。

我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。

基本模型多阶段决策过程的最优化问题。

在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

2020年动态规划作业

作业 1 1 动态规划练习为保证某一设备的正常运转，需备有三种不同的零件 E 1 , E 2, E 3。

若增加备用零件的数量，可提高设备正常运转的可靠性，但增加了费用，而投资额仅为8000 元。

已知备用零件数与它的可靠性和费用的关系如表1 所示。

现要求在既不超出投资额的限制，又能尽量提高设备运转的可靠性的条件下，问各种零件的备件数量应是多少为好？要写出计算程序。

解设投资顺序为 E1，E2，E3，阶段编号逆向编号，即第一阶段计算给E3 投资的效果。

设ks 为第 k 阶段的剩余款，kx 为第 k 阶段的拨款额，状态转移方程为k k kx s s 1，目标函数为 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( max3 2 1P P P f ,其中1P ，2P ，3P 分别为 E1，E2，E3 增加的可靠性第一阶段对 E3 的投资效果决策表s1\x1 0 2 3 4 *1xf1 0 10 1 1 10 1 2 1 12 13 1 1 23 24 1 1 2 7 4 75 1 1 2 7 4 76 1 1 27 4 7 7 1 1 2 7 4 78 1 1 2 7 4 7第二阶段，对 E2 的投资效果由于 E1 最多只需 3000，故 52 s 千决策表s2\x2 0 3 5 6 *2xf2 5 7 32 55 567 44 5 9 6 9 7 7 04 65 9 3 048 7 04 8 09 6 09 第三阶段对 E1 的投资效果决策表: s3\x3 0 2 3 4 *3xR3 8 09 09 8 0.7 0,2 09 回溯有两组最优解(1)x3=0,x2=3,x1=2,maxf=09 (2)x3=1,x2=3,x1=0,maxf=092 2 层次分析法练习你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种，你选择的标准主要有价格、耗油量大小、舒适程度和外观美观情况。

经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较判断矩阵。

动态规划练习例题

c(m,n)为最终最小代价，反向追踪获得编辑序列
动态规划方法总结
动态规划算法的设计步骤
– – – – – – – 将问题表示成多步判断确定是否满足优化原则——必要条件确定子问题的重叠性——估计算法效率列出关于优化函数的递推方程(或不等式)和边界条件自底向上计算子问题的优化函数值----非递归的算法备忘录方法记录中间结果标记函数追踪问题的解
• S(i)表示结束于位置i的最大子区间和 • max{S(i)}即为所求最大子区间和 • 考虑如何递推求解并反算问题解
最大子矩阵
• 已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。 • 例如这个矩阵的最大子矩阵大小为15。
0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2
动态规划练习例题在棋盘上移动在一个nn的棋盘上棋子可以向上方右上方或左上方移动每次从x方格移动到y方格将获得pxy元钱pxy不一定是正数现求一个获得钱最多的从底边到顶边的一种移动棋子的方案
动态规划练习例题
在棋盘上移动
• 在一个n×n的棋盘上，棋子可以向上方、右上方或左上方移动，每次从x方格移动到y 方格将获得p(x,y)元钱， p(x,y)不一定是正数，现求一个获得钱最多的从底边到顶边的一种移动棋子的方案。
解题思路
Qx, y 1 Q x, y max Qx 1, y 1 Q x 1, y 1 y 1 px, y 1, x, y y 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 字符串X=x1,x2,…xm和Y=y1,y2,…yn 使用一系列编辑操作将字符串X转变成Y。允许使用插入，删除，修改三种操作，每种操作都有一定的代价，求一个总代价最小的操作序列。 – 设从字符X中删除符号xi的代价为D(xi) – 将符号yj插入X的代价为I(yj) – 将X中的符号xi修改成yj的代价为C(xi,yj)

动态规划练习题(含答案)

动态规划练习题USACO 2.2 Subset Sums题目如下：对于从1到N的连续整集合合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。

举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，他们每个的所有数字和是相等的：and {1,2}这是唯一一种分发（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分发的子集合各数字和是相等的:{1,6,7} and {2,3,4,5} {注1+6+7=2+3+4+5}{2,5,7} and {1,3,4,6}{3,4,7} and {1,2,5,6}{1,2,4,7} and {3,5,6}给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。

程序不能预存结果直接输出。

PROGRAM NAME: subsetINPUT FORMAT输入文件只有一行，且只有一个整数NSAMPLE INPUT (file subset.in)7OUTPUT FORMAT输出划分方案总数，如果不存在则输出0。

SAMPLE OUTPUT (file subset.out)4参考程序如下：#include <fstream>using namespace std;const unsigned int MAX_SUM = 1024;int n;unsigned long long int dyn[MAX_SUM];ifstream fin ("subset.in");ofstream fout ("subset.out");int main() {fin >> n;fin.close();int s = n*(n+1);if (s % 4) {fout << 0 << endl;fout.close ();return ;}s /= 4;int i, j;dyn [0] = 1;for (i = 1; i <= n; i++)for (j = s; j >= i; j--)dyn[j] += dyn[j-i];fout << (dyn[s]/2) << endl;fout.close();return 0;}USACO 2.3 Longest Prefix题目如下：在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。

动态规划例题

动态规划例题动态规划是一种以最优化原理为基础的问题求解方法，通过拆分问题为若干阶段，每个阶段求解一个子问题，再逐步推导出整个问题的最优解。

例如，有一个背包能够承受一定的重量，现有一些物品，每个物品都有自己的重量和价值。

我们希望将物品放入背包中，使得背包的总价值最大。

这个问题可以用动态规划来解决。

首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中所能放入的物品的最大价值。

那么，对于每一个物品，可以选择放入背包或者不放入背包。

如果选择放入背包，最大价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

如果选择不放入背包，最大价值为dp[i-1][j]。

因此，dp[i][j]的状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])。

基于这个状态转移方程，可以逐步求解从第1个物品到第n个物品的最大价值。

最终，dp[n][W]即为问题的最优解，其中W 表示背包的容量。

举个简单的例子，假设背包的容量为10，有3个物品，它们的重量分别为3、4、5，价值分别为4、5、6。

此时，可以得到如下的dp矩阵：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4 4 4 4 4 4 4 40 0 0 4 5 5 9 9 9 9 90 0 0 4 5 5 9 10 10 14 14我们可以看到，dp[3][10]的最大价值为14，表示在前3个物品中，容量为10的背包中所能放入的物品的最大价值为14。

通过动态规划，我们可以有效地求解背包问题，得到物品放入背包的最优解。

这个例子只是动态规划的一个简单应用，实际上，动态规划可以解决各种复杂的问题，如最长公共子序列、最大子数组和、最大字段和等。

因此，学习动态规划是非常有意义的。

动态规划习题完整版

动态规划习题Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】动态规划专题分类视图数轴动规题：题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。

要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。

【输入格式】输入文件box.in有若干行。

第一行：一个整数，表示箱子容量V；第二行：一个整数，表示物品个数n；接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。

【输出格式】输出文件box.out只有一行数据，该行只有一个数，表示最小的箱子剩余空间。

【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有Ck 个,每个重量均为Wk,求：用这些砝码能秤出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。

【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。

表示用这些砝码能秤出的不同重量数。

【输入样例】22223【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。

【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。

动态规划算法作业

动态规划算法作业动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。

在这种方法中，我们将问题划分为多个子问题，并通过解决这些子问题来求解原始问题的最优解。

动态规划可以应用于各种领域，如经济学、制造业、计算机科学等，在优化问题中经常被使用。

1.状态定义：确定问题的子问题以及每个子问题的状态。

状态是问题的关键属性，这些属性在问题的不同阶段保持不变。

2.状态转移方程：表示问题的子问题之间的关系。

它描述了如何从一个子问题转移到下一个子问题。

通过状态转移方程，我们可以推导出子问题的最优解。

3.初始条件：定义问题的起始状态。

这通常是问题的边界条件，如在第一个阶段的子问题中，我们需要定义初始状态。

4.最优解的计算：通过迭代计算，我们可以逐步解决子问题，并最终求解出原始问题的最优解。

这通常通过填充一个表或者使用递归函数来实现。

为了更好地理解动态规划算法的应用，我们可以考虑以下两个经典问题。

1.背包问题：有一个容量为C的背包和一组物品。

每件物品有一个重量和价值。

我们的目标是选择物品，使其总重量不超过背包的容量，同时价值最大化。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。

我们定义一个二维表，其中每一行表示一个物品，每一列表示背包的容量。

通过填充这个表，我们可以计算出每个子问题的最优解，并最终得出最优解。

2.最长公共子序列问题：给定两个字符串，求它们的最长公共子序列。

子序列在原字符串中不一定是连续的，但保持原有顺序。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。

我们定义一个二维表，其中每个单元格表示两个字符串的子问题。

通过填充这个表，我们可以逐步计算出更长子序列的最优解，并最终得出最长公共子序列。

动态规划算法的优点是可以减少问题的重复计算，并且可以避免使用递归导致的堆栈溢出。

然而，这种算法也存在一些局限性。

首先，动态规划算法需要定义子问题以及状态转移方程，这在一些问题中可能会很困难。

其次，动态规划算法的时间复杂度通常较高，特别是对于一些大规模问题。

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动态规划作业完整公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]动态规划作业1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线把A看作终点，该问题可分为4个阶段。

f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。

f4(B1)=20，f4(B2)=40，f4(B3)=30f3(C1)=min[d3(C1, B1)+ f4(B1), d3(C1, B2)+ f4(B2), d3(C1, B3)+ f4(B3) ]=70，U3(C1)= B2 或B3f3(C2)=40 ，U3(C2)= B3f3(C3)=80 ，U3(C3)= B1或B2 或B3f2(D1)=80 ，U2(D1)= C1f2(D2)=70 ，U2(D2)= C2f1(E)=110 ，U1(E)= D1或D2所以可以得到以下最短路线，E→D1→C1→B2 / B3→AE→D2→C2→B3→A2、习题4－2解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3；2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数，Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k＋1＝S k－X kPk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值3)递推关系式：fk(Sk)＝max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k－X k) ] k=3,2,1f4(S4)＝04）从最后一个阶段开始向前逆推计算第三阶段：设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为：f3(S3)＝max[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2,3,4表1第二阶段：设将S2个销售点（S2＝0,1,2,3,4）分配给乙丙两个地区时，对每一个S2值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为：f2(S2)＝max[ P2(X2)+ f3(S2－X2) ]其中，X2＝0,1,2,3,4表2第一阶段：设将S1个销售点（S1＝4）分配给三个地区时，则最大利润值为：f1(S1)＝max[ P1(X1)+ f2(4－X1) ]其中，X1＝0,1,2,3,4表3然后按计算表格的顺序反推，可知最优分配方案有两个：最大总利润为531）由X1*＝2，X2*＝1，X3*＝1。

即得第一个地区分得2个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得1个销售点。

2）由X1*＝3，X2*＝1，X3*＝0。

即得第一个地区分得3个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得0个销售点。

3、某施工单位有500台挖掘设备，在超负荷施工情况下，年产值为20万元/台，但其完好率仅为，在正常负荷下，年产值为15万元/台，完好率为。

在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量，使第四年年末仍有160台设备保持完好，并使产值最高。

试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。

解：1）该问题分成四个阶段，k 表示年度，k ＝1,2,3,4 2）设Sk 表示为分配给第k 年初拥有的完好挖掘设备数量， Uk 表示为第k 年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量， Dk (Sk)={ Uk|0≤Uk ≤Sk }Sk －Uk 表示为第k 年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。

状态转移方程：S k ＋1＝ +(Sk －Uk)， S1＝500台 3）设vk(sk,uk)为第k 年度的产量，则 vk ＝20Uk +15(Sk －Uk)故指标函数为V1,4= f k (Sk)表示由资源量Sk 出发，从第k 年开始到第4年结束时所生产的产量最大。

4）递推关系式：f k (Sk)＝MAX{20 Uk +15(Sk －Uk)+ f k+1[ +(Sk －Uk)]} k=1,2,3,4∑=41k )U ,(S V k k k5）从第4阶段开始，向前逆推计算当k＝4时，S5=160, +(S4－U4)=160 2S4-U4=400 U4=2S4-400f4(S4)＝MAX{20 U4 +15(S4－U4)+ f5[ +(S4－U4)]}＝MAX{5 U4 +15S4}=25S4-2000当k＝3时，f3(S3)＝MAX{20 U3 +15(S3－U3)+ f4[ +(S3－U3)]} = MAX{5U3+15S3+25 ＝MAX{-5U3 +35S3-2000}故得最大解U3*＝0所以f3(S3)＝35 S3-2000依次类推，可求得：U2*＝0，f2(S2)＝43S2-2000U1*＝0，f1(S1)＝因为S1＝500台，故f1(S1)＝22700台最优策略为U1*＝0，U2*＝0，U3*＝0，U4*＝112已知S1＝500，S2＝ *+(S1－U1*)＝＝400S3＝ *+(S2－U2*)＝＝320S4＝ *+(S3－U3*)＝＝256U4=2S4-400=112 S4-U4=256-112=144即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工，第四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工，144台投入正常负荷下施工。

这样最高产量为22700台。

4、某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭，生产以万只为单位。

根据以往记录，一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3万、2万只。

设每万只存放在仓库内一个季度的存储费为万元，每生产一批的装配费为2万元，每万只的生产成本费为1万元。

问应该怎样安排四个季度的生产，才能使总的费用最小再生产点性质，Xi Xi hi Xi nXi Xi Xi Ci 2.0)(00,2,12)(=⎩⎨⎧==+= C(1,1)=C(3)+h(0)=5 C(1,2)=C(5)+h(2)= C(1,3)=C(8)+h(5)+h(3)= C(1,4)=C(10)+h(7)+h(5)+h(2)=C(2,2)=C(2)+h(0)=4 C(2,3)=C(5)+h(3)= C(2,4)=C(7)+h(5)+h(2)=C(3,3)=C(3)+h(0)=5 C(3,4)=C(5)+h(2)= C(4,4)=C(2)+h(0)=4f0=0 f1=f0+ C(1,1)=5 j(1)=1f2=min{f0+ C(1,2),f1+ C(2,2)}=min{0+,5+4}= j(2)=1 f3= min{f0+ C(1,3),f1+ C(2,3),f2+ C(3,3)} =min{0+,5+,+5}= j(3)=1F4= min{f0+ C(1,4),f1+ C(2,4),f2+ C(3,4), f3+ C(4,4)}=min{0+,5+,+,+4}= j(4)=1,3当j(4)=1，X1=d1+d2+d3+d4=10,X2=0,X3=0,X4=0 当j(4)=3,X3=d3+d4=5,X4=0,X1=d1+d2=5,X2=0。

5、某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如下表所示，现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6吨。

问如何安排运输使总利润最大。

解：(){}{()}()()}{2180,60max 3463180max )2130180max(3180max 62221,036343f f x f x x x x f x x ++=-+=++==≤(){}{()}()()()}{}{01260260,210,240max 0260,3130,60max 2362130max )180max(2130max 611112,1,026232===+++=-+=+==≤x f f f x f x x x f x x (){}{()}()1180********max )180max(2130max 211022232===-+=+==≤x f x f x x x f x x()}{13,02,113,22,01260260,260max63========xxxxxxf6、某工厂在一年进行了A、B、C三种新产品试制，由于资金不足，估计在年内这三种新产品研制不成功的概率分别为、、，因而都研制不成功的概率为××=。

为了促进三种新产品的研制，决定增援2万元的研制费，并要资金集中使用，以万元为单位进行分配。

其增援研制费与新产品不成功的概率如下表所示。

试问如何分配费用，使这三秤新产品都研制不成功的概率为最小。

解:1) （1分）将问题按产品A、B、C分为三个阶段，k=1、2、3；2) （6分）设Sk表示第k阶段可分配给第k个产品到第n个产品的研制费，S1＝2Xk设为决策变量，表示第k阶段分配给第k个产品的研制费。

状态转移方程为Sk＋1＝Sk－Xk允许决策集合：Dk(Sk)＝{ Xk∣0≤Xk≤Sk，Xk为整数}Pk(Xk)表示为第k个产品失败的概率fk(Sk)表示为Sk万元研制费分配给第k个产品到第n个产品的最小的失败概率3)（4分）递推关系式：f k(Sk)＝min[ Pk(Xk)×f k+1(Sk－Xk) ] k=3,2,1边界条件： f4(S4)＝14）（11分）从最后一个阶段开始向前逆推计算第三阶段：设将S3万元研制费（S3＝0,1,2）全部分配给C产品时，最小的失败概率为：f3(S3)＝min[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2X3*表示使得f3(S3)为最大值时的最优决策。

第二阶段：设将S2万元研制费（S2＝0,1,2）分配给B、C产品时，最小的失败概率为：f2(S2)＝min[ P2(X2)×f3(S2－X2) ]其中，X2＝0,1,2第一阶段：设将S1万元研制费（S1＝2）分配给三个产品时，最小的失败概率为：f1(S1)＝min[ P1(X1)×f2(S1－X1) ]其中，X1＝0,1,25）即分配给A产品1万元，B产品0万元，C产品1万元，可使三个小组都失败的概率减小到。