一元一次方程的讨论
“从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论”教学反思
出 了 两道 与 实 际 生活 密 切相 关 的问 题 ，
一
个 是关 于 ２０ ０ ８年 奥 运 会 的 问 题 ， 个 一
是 学 校 图 书 分 配 的 问 题 。 从 学 生 身 边 的 问题 入 手 ， 学 生一 种轻松 的心理氛 围 ， 给 易 于 学 生 学 习 新 知 识 ，并 利 用 一 个 个 的 小 问题 ， 步 引导学 生 ， 发 学生 的求 知 逐 激 欲望 。 二 、 学 过 程 的 模 拟 化 教
的概 念 。通 过 这 样 的 争 论 过 程 ， 提 高 学 对
亲 身感受 ， 象会 更加深 刻 。 校 图书分 印 学
配 的 问 题 是 这 样 的 ：学 校 要 将 一 批 图 书
生 的 语 言 表 达 能 力 和 综 合 能 力 有 很 大 的
帮助。
分 给 某 个 班 学 生 阅 读 ， 每 人 分 ３本 ， 若 则 还剩余 ２ ０本 ； 每 人 分 ４本 ， 还 缺 ２ 若 则 ５ 本 ， 知道 这班 有 多少学 生 ？教学 时 ， 你 我 大 胆 模 拟 生 活 情 节 ，让 学 生 进 行 图 书 分 配 的 表 演 ， 活 动 的 形 式 再 现 问题 ， 学 以 使 生 更 加 直接 地 参 与 实践 。通 过讨 论 、 分 析 ， 等 量 关 系 ， 未 知 数 ， 方 程 ， 其 找 设 列 使 中难 点迎 刃而解 ， 而 使学 生学得 轻松 、 从
提 高学 生的 素养 。
示 ，引 导 学 生 对 比 观 察 ，组 织 学 生 分 组 讨 论 、 流后 ， 出 结 论 。学 生 通 过 对 比 问题 交 得 的思维方式 不难找到 解决问题 的方案 ， 并 且 理 解 较 为 深 刻 ，收 到 了 事 半 功 倍 的 效
一元一次方程的解的分类讨论
一元一次方程的解的分类讨论一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程是初中数学学习的基础内容，本文将对一元一次方程的解进行分类讨论。
一、无解的情况在一元一次方程中，存在着无解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程将无解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0，b≠0时，方程无解。
这是因为当a=0时，方程变为0x + b = 0，无论b的值如何，都无法找到一个x使等式成立。
二、有唯一解的情况继续讨论一元一次方程的解分类，可以发现还存在着有唯一解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程仅有一个解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a≠0时，方程有唯一解。
这是因为当a≠0时，方程变为ax + b = 0，可以通过移项和除以a的方式，求得唯一解x = -b/a。
三、有无穷多解的情况除了无解和有唯一解的情况外，一元一次方程还存在有无穷多解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程将有无穷多解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0且b=0时，方程有无穷多解。
这是因为当a=0且b=0时，方程变为0x + 0 = 0，任意实数x都可以使等式成立。
总结一元一次方程的解的分类讨论，可以得出以下结论：1. 当方程的系数a和b满足a=0且b≠0时，方程无解。
2. 当方程的系数a满足a≠0时，方程有唯一解，解为x = -b/a。
3. 当方程的系数a和b满足a=0且b=0时，方程有无穷多解。
根据以上分类讨论，我们可以更加深入地理解一元一次方程的解的特点和性质，并能够更准确地求解一元一次方程的解。
这里我们可以举一个具体的例子来说明。
假设有一个一元一次方程2x + 4 = 0，我们可以将其应用到分类讨论中。
根据分类讨论的结论，我们可以得出该方程的系数a=2，b=4。
由于a≠0，所以该方程有唯一解。
3.3(4) 一元一次方程的讨论
先完成的工作量＋后完成的工作量＝工作总量
问题4、如何列方程？
4x 8( x 2) 1 + 40 40
拓展探索
甲、乙两同学做数学游戏，规则是：甲先报一个不为零的 数，乙就说出甲所说数的2倍，接着甲说出比乙所说数小1 的数，乙又说出甲第二次所说数的2倍，如此下去，先得 零者为胜.现知甲第四次说出的数为零，问甲第一次报出的 数是多少？
去分母，得 28x+21x+6x+42x=1386 合并，得 97x=1386 x=1386/97 答：这个数是1386/97。
（童话数学100雁问题）碧空万里，一群大雁在飞翔，
迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只 雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我孤雁独飞.”群雁中 一只领头的老雁说： “不对！小朋友，我们远远不足 100只.将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之 一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢！”请 问这群大雁有多少只？
解（1） y1=24×5+5(x-5)=120+5x-25=95+5x
y2=24× 90% ×5+5×90%x=108+4.5x (2)如果两种方法的付款数相同. 则 95+5x=108+4.5x 0.5x=13 x=26 答：购买26只茶杯时，两种方法的付款数相同。
问题：英国伦敦博物馆保存着一部分极其珍贵的文物
——纸莎草文书.现存世界上最古老的方程就出现在这部 英国考古学家兰德1858年找到的纸草书上.经破译，上面 都是一些方程，共85个问题.其中有如下一道著名的求未 知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的 七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数为几何？
解：设这个数为x . 由题意，得 2 x+ 1 x+ 1x+x=33 3 2 7
一元一次方程的讨论17
解一元一次方程的一般步骤：
1、去分母； （依据是等式的性质2）
2、去括号；
3、移项； 4、合并；
（依据是乘法分配律）
（依据是等式性质1） （依据是乘法分配律）
5、化未知数的系数为1 （依据是等式性质2）
练一练
（1）
（2）
2x 1 x 1 2 4 2 5 x 1 3x 1 2 x 4 2 3 y4 y3 y2 y5 3 3 2
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一下慕容凌娢。拜托，是你先提出这个话题的好不好，难得我这么有灵感，配你演了一出史诗级虐心催泪大剧，你怎么能一句话就跳到片尾 了呢？我还没演够呢！慕容凌娢突然又了一种棺材盖按不住了的感觉，好心塞啊。“说起来，上次还真要多谢妹妹帮我摆脱困境呢。”柳茗 十分机智的转移了话题，“我呢，无以为报，倒是有一物，想赠与妹妹，若是妹妹能赏脸收下，我心里也好受些。”说着，她向一直立在他 身后的侍女示意。慕容凌娢这时才发现，那是女手里一直捧着一个狭长的木质盒子。(古风一言)醉酒惜花音 欲问梦何处 身在峰转处 洽如 此生 扭转暂不停焉。(从君行小剧场)笄筱玦：“蓝瘦香菇，我用尽了洪荒之力，猴塞雷的老司机还是狗带了，我只好自己去撩妹，然恶这 一切都是套路。感觉身体被掏空的我在家里沙发上来了个葛优瘫。”慕容凌娢：“你是脑残片嗑多了吗？”韩哲轩：“这貌似是2016网络用 语的盘点。”慕容凌娢：“对呀，按照先后顺序排名，仅用于娱乐。大家不要想多。”第062章 钓鱼，捕鲸都可以了！“说起来，上次还真 要多谢妹妹帮我摆脱困境呢。”柳茗十分机智的转移了话题，“我呢，无以为报，倒是有一物，想赠与妹妹，若是妹妹能赏脸收下，我心里 也好受些。”说着，她向一直立在他身后的侍女示意。慕容凌娢这时才发现，那是女手里一直捧着一个狭长的木质盒子。看不出具体是什么 木料，但很有光泽，盒盖上还可有几株惟妙惟肖的兰花，让人仿佛能嗅到淡淡的清香。盒子都这么高大上了，一定不会是买椟还珠的套路， 毕竟如此单纯的古代人应该还不知道什么叫“过度包装”。侍女走到慕容凌娢面前，把盒子塞给了她，“给，这可是柳茗姐姐很珍爱的东西 呢，一直放着，自己有没用过……”“欣儿，别这样说。”柳茗语气严厉了许多，随即又转过脸来笑道，“欣儿这丫头不懂事，妹妹不会介 意吧。”“无妨无妨。”慕容凌娢高频率的摇头，她可不想再立FLAG了。“姐姐如此客气作何，平日里你待我不薄，互帮互助是应该的，如 此贵重的礼物白绫实在是不能接受。”“妹妹倒是太客气了呢。”柳茗说着已经打开了盒盖，里面安静的躺着一支白玉箫，没有反射 出太 多的光芒，但竟然能给人一种眼前一亮的清新之感，内部干净透彻，云雾状的玉花如果不在灯下观察，也很难分辨。都说美玉无瑕，可真正 没有瑕疵的玉可真是少之又少，以至于慕容凌娢有了一种真玉有瑕的错觉。可是这回，她没有对这支玉箫产生任何怀疑，只是惊奇的盯着它 内部那丝丝缕缕，如云雾一般的玉花，竟然能给人一种说不出的朦胧感。“好神奇。”慕容凌娢小声嘟囔。“妹妹也是精通音律之人，这白 玉箫若是归来妹妹，也算是锦上添花了。”柳茗笑
一元一次方程的性质定理
一元一次方程的性质定理一元一次方程是数学中最简单且最常见的方程形式之一。
它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
本文将讨论一元一次方程的性质定理，以便更好地理解和解决这类方程。
一、一元一次方程必有解根据一元一次方程的定义可知，该方程中只含有一个未知数x，因此必有解。
换句话说，对于给定的a和b，必存在一个实数解x，可以使得方程ax + b = 0成立。
这个性质是一元一次方程的基本特征，也是解决该类方程的前提。
二、一元一次方程的解的唯一性一元一次方程的解是唯一的，也就是说方程ax + b = 0只有一个解。
这是一元一次方程相对简单的一个性质。
解决一元一次方程的过程是确定唯一解的过程，通过对方程进行变形和运算，可以得到解x的具体值。
三、零是一元一次方程的特殊解特殊情况下，一元一次方程的解可以是零。
当方程的系数a和b同时为零时，即a = b = 0时，方程ax + b = 0的解就是x = 0。
这是因为0乘以任何数都等于0，所以当x = 0时，方程成立。
四、一元一次方程的解的性质一元一次方程的解具有以下两个性质：1. 解是线性关系：一元一次方程表示了一个直线的图像，因此方程的解也呈现出线性关系。
解的取值随x的变化而线性变化，这是一元一次方程的基本特点。
2. 解的唯一性决定了系数的关系：一元一次方程的解是唯一的，这意味着方程的系数a和b之间存在着某种关系。
具体而言，解的唯一性要求a不等于零，因为当a等于零时，方程将变为bx = 0，解x可以是任意实数。
综上所述，一元一次方程的性质定理包括必有解、解的唯一性、零作为特殊解以及解的线性关系和系数的关系。
理解这些性质定理有助于我们更好地解决一元一次方程问题，对于数学中更高级别的方程和问题的解决也起到了基础性的作用。
一元一次方程的讨论1
； / 济南网站建设 济南网络公司 役，心可真是够狠の，爷为她都病成咯这各样子，她倒好，转脸儿就啥啊都全忘记咯，估计现在正欢天喜地巴不得赶快嫁给二十三爷呢吧。枉爷为 她想得这么周到，千方百计地为她操碎咯心。唉，爷怎么会喜欢上这种诸人，幸好嫁给咯老二十三，否则这要是嫁进咯这府里，不但姐妹们遭咯秧， 爷更是要伤心难过，以后这日子真是别过咯。想到这里，她开口对苏培盛说道：“噢，晓得咯，你先下去吧。”第壹卷 第402章 心诚打发走苏培 盛，排字琦带上红莲，立即起身去咯朗吟阁。转过这条弯路就是书院咯，可是转过这条弯路之后，主仆两人却被映入眼帘の那副景象惊呆咯！天仙 妹妹和她の大丫环月影双双跪在书院の大门口！再壹看书院の大门，闭得死死の。这又是唱着哪壹出？伴着满脸迷惑不解の神情，排字琦走到水清 の面前：“妹妹，你这是干啥啊呢？被爷责罚咯？”“给姐姐请安。爷没有责罚妹妹，只是，妹妹有事情要找爷。”“那你倒是让奴才传话啊！你 自己壹各人跪在这里，爷哪儿晓得啊！”“回姐姐，妹妹已经给爷传话咯。”“那你……”不用问排字琦也晓得咯，爷没有同意见她！可是这天仙 妹妹怎么这么拧呢！爷不见她自有爷の理由，她就是跪到明天早上去，又能有啥啊用？不过这是爷和天仙妹妹の事情，她排字琦是绝对不会再掺和 咯。排字琦不晓得の是，刚才吃咯闭门羮の水清不甘心就这么被他打发走咯，她想要办到の事情，就壹定要办到，不管用啥啊方法。因此，望着远 去の秦顺儿还有那扇紧闭の院门，水清咬咯咬嘴唇，想都没有想，扑通壹声就跪下咯。月影壹见仆役跪下咯，虽然不晓得水清这是为咯啥啊，但是 她自己也赶快跟着跪咯下来。刚刚排字琦在霞光苑里转磨磨，焦急地等待苏培盛，同时，王爷也在朗吟阁里转磨磨，焦急地等待排字琦，现在听到 秦顺儿禀报福晋来咯，王爷赶快请她进来。“给爷请安。”“福晋可是……”“回爷，已经办妥咯，婉然格格の贴身丫环，那各叫翠珠の奴才回话 说收到咯，还转来咯格格の话，让咱们给年妹妹代各话，多谢侧福晋の恩典。”“多谢福晋。”“爷，您这不是折杀妾身咯嘛！爷只要这心里舒坦 咯，妾身就是做啥啊都乐意。”“你の心意，爷晓得，福晋先退下吧。”排字琦退下之后，随着嫁妆の落实，他の心情确实成为这些天来，最为心 和气顺の时刻。虽然眼睁睁地看着自己心爱の诸人转眼就变成咯二十三弟妹，但是假设连这么点儿事儿都经受不住，他还能是办大事，成大业の人 吗？办妥咯婉然の嫁妆，随着心情暂时得到缓解，不经意间，他不禁抬眼朝窗外望去。可是就是他抬眼の这壹瞬间，恰好是排字琦和红莲正在退出 书院の大门。随着院门の打开，那书院外面の景象让他小小地惊讶咯壹下：怎么外面の地上还跪着两各人？还是两各诸人！他不禁有些奇怪：这是 谁？有事情不让奴才禀报，跪在那里爷怎么能够晓得呢？爷の府里怎么还会有这么傻の诸人？韵音吗？她能有啥啊事情来找爷呢？怎么还跪下咯， 这得是多大の事情？“秦顺儿，你快去看看，外面是谁在跪着呢。”“回爷，是年侧福晋和她の奴才。”“你晓得？”“刚才年侧福晋来の时候， 奴才给您禀报过，您没有同意见。”第壹卷 第403章 进见其实秦顺儿没有回复之前，王爷の心中也暗暗地有咯他自己の答案，因为水清从来都是 淡紫色の衣衫，所以当他の眼前晃过那片青藕色之后，虽然从傻诸人の角度，他立即想到咯韵音，但是那抹青藕色还是让他有咯另壹各猜测，现在 从秦顺儿の口中得到证实，他不禁有些踟蹰。这是他将排字琦の房间砸咯壹各稀烂之后，他第壹次见到她。那次の风暴，不仅给咯福晋壹各严重警 告，而且也是对水清因为壹各奴才而敢于向他兴师问罪の惩罚。她病倒咯，他也没有去探望过她，原本她也不需要他の关心问候，而且他也不晓得 如何去面对她——他心爱の诸人の妹妹，所以他选择咯逃避。现在见到水清，他仍然不晓得该如何面对她。因为水清，他与婉然情深缘浅，咫尺天 涯，他不晓得是应该去恨她，还是能够像以前那样，只当这府中根本就没有她这各人，是好是坏、自生自灭都随她去罢。可是现在他已经没有任何 选择，因为水清直接堵到咯他の院门口，他回咯话不见她，可是，她怎么竟然当众跪到咯院门口，她这是要逼他就范吗？“侧福晋就这么壹直跪 着？”“回爷，是の。”“多长时间咯？”“回爷，快有两各时辰咯。”“两各时辰？！”原本他还想回复不见，可是当“两各时辰”从秦顺儿の 口中说出来，他不禁动咯恻隐之心。无论他の哪各诸人，都不曾被他罚跪过两各时辰，最多只有两刻钟。因此当他听到“两各时辰”の回复时，震 惊之余也让他暗暗心生壹丝佩服。当秦顺儿带着王爷同意见她の口信出现在水清面前の时候，她立即激动得热泪盈眶，忙说：“多谢秦公公。”这 发自肺腑の感谢之言，却是让秦顺儿受宠若惊：“侧福晋千万不要谢奴才，这是爷の恩典。”本来月影想要扶水清起身，可是她自己也跪咯这么长 时间，根本就站不起来，秦顺儿见状，赶快将书院里把负责奉茶和笔墨の两各丫环找来，三各人前后左右总算是勉强将水清扶咯起来。由于急着去 见王爷，水清只好示意这三各奴才先将她赶快扶进书院，生怕动作迟咯，又会惹咯爷不高兴，毕竟这次前来，是她有求于他，无奈之下，只能将月 影壹人留在院外慢慢恢复腿伤。见到水清举步维艰地
一元一次方程的讨论
一元一次方程的讨论（二）教学目标：1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题更为简捷明了，省时少力；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程．2、培养学生分析问题，解决问题的能力．3、通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的信心.教学难点：让学生逐步树立列方程解应用题的思想．教学重点：弄清列方程解应用题的思想方法；会用去括号、去分母解一元一次方程．教学过程：一、去括号同学们也许都读过俄国杰出短篇小说家契诃夫的作品《变色龙》、《套中人》、《小公务员之死》……可同学们是否还知道，在他的小说《家庭教师》中，居然写了一位教师为一道数学题大伤脑筋呢！让我们大家一起来看看这究竟是怎样的一道题：顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少？1、如何解决这个问题呢？2、算术方法？方程方法？两种都行吗？孰良孰莠？请同学们讨论交流．3、较之算术方法，方程解法要简易得多，展示如下：（师生共同合作）设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料(138－x)俄尺；因而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5(138－x)卢布，根据买两种布料共用540卢布，列得方程3x＋5(138－x) = 540好，现在怎样使这个方程向x = a的形式转化呢？利用“分配律”先去括号，下面的框图表示了解这个方程的具体进程，你能说出每步的依据吗？由上可知，买了75俄尺蓝布料和63俄尺黑布料。
去括号：在解方程的过程中，我们发现去括号是解方程时常用的变形，因而，要利用方程解决实际问题，当然必须掌握去括号解方程的能力.二、去分母丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程= x和以往不同的是，我们看到，上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，那么可以使解方程中的计算更方便一些．去分母的关键在于：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数84.于是，所列方程变为整系数方程，解得：x = 84探讨归纳：解方程：1、为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？2、在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、小结，并了解过程中每一步的主要依据．三、小结：1、通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又获得了哪些收获？2、去括号解一元一次方程要注意什么？3、去分母解一元一次方程时要注意什么？4、去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘以各分母最小公倍数的目的是什么？。
一元一次方程的讨论6
x 540 x 138 3 5
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
(卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位) 解：设买黑布料花了x卢布，则蓝布料花了 (540－x)卢布
x 540 x 138 5 3
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
(卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位)
(1)(138×5－540)÷(5－3)=75
138－75=63
答：蓝布料买了75俄尺,蓝布料买了63俄尺. (2) )(540 － 138×3)÷(5－3)=63 138－63=75 答：蓝布料买了75俄尺,蓝布料买了63俄尺.
鸡的脚数+ 兔的脚数=66
李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗; 三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中，原有多少酒?
唐代诗人 李白
字太白 号青莲居士 （701~762）
1、本节课你有什么收获？
2、本节课你有何感受？
斗：古代的一个计量单位； 1斗 = 10升
（我国古代的计量器具：斗）
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
移项
注意
3x－ 7x＋2x=3+6－7
合并
1、括号外的因数是正数， 去括号后各项的符号与原括 相同 号内相应各项的符号 。 2、括号外的因数是负数，去 括号后各项的符号与原括号 内相应各项的符号 相反 。