数列与不等式知识点及练习(唐)

数列与不等式

一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：

①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112

-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )

(2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨

⎧

≤≥+0

01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足⎩⎨

⎧≥≤+0

1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法：

（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②

{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①

；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式

常用方法题型1 利用公式法求通项

例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。

2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ；

⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：

⎩⎨⎧≥-==-)

2()

1(11

n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式；

⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式.

总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如

“

“；⑵迭加法、迭乘法公式：①

⎩⎨

⎧≥-==-)

2()111n S S n S a n n n （)(1n f a a n n +=+).(1n f a a n n =+q pa a n n +=+1n n n q pa a +=+1)(1n f pa a n n +=+n n n a q a p a ⋅+⋅=++12n S n 1322

-+=n n S n 12+=n

n S n )2(12,211≥-+==-n n a a a n n n S n 11=a n n a n S ⋅=2

)(1n f a a n n +=+)

(1n f a a n n ⋅=+11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----

② . 题型3 构造等比数列求通项

例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；

③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式.

总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.

数列求和的常用方法

一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 3.

4、 5.

二.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理

数列、含阶乘的数列等。例2 求数列

的前n 项和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

11

22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

----- 32,111+==+n n a a a q pa a n n +=+1)(1λλ-=-+n n a p a q pa a n n +=+1p

q

x x a a n n -=

⇒==+11∴)(1x a p x a n n -=-+q pa a n n +=+1q pa a n n +=-1∴)(11-+-=-n n n n a a p a a n

n n a a a 32,111+==+n

n n q pa a +=+1q pa a n n +=+1n

n n n f a a )(1+=+d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n )1(211+==∑=n n k S n

k n )12)(1(61

1

2++==∑=n n n k S n

k n 21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n ⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧

+1n n a a c n a )

1(n 1

+n

（1）（2）)

1

21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

三.错位相减法:可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.

例1：求和：. 例2:数列1，3x ，5x 2,…,(2n-1)x

n-1

前n 项的和．

小结：错位相减法类型题均为：

n

n

a b 等差数列等比数列连续相加。四.常用结论

1）1+2+3+...+n =

2

)

1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n 3）2

3

3

3

)1(2121⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=+++n n n 4）)12)(1(613212222++=++++n n n n 5）

111)1(1+-=+n n n n )

21

1(21)2(1+-=+n n n n

重要不等式

1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．

【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】

， 2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;

若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

若0x ≠，则11122-2x x x x

x

x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）

111)1(1+-=+=n n n n a n ,a b R ∈⇒22

2a b ab +≥a b ==222()22

a b a b ab ++≤≤22

2()22a b a b ab ++==(,)2

a b

a b R ++∈2()(,)2a b ab a b R +∈≤b a 、≥≥≥2

2“”112ab a b a b a b a b

+===++时取）