数列与不等式知识点及练习(唐)

数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )(2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ；⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n （)(1n f a a n n +=+).(1n f a a n n =+q pa a n n +=+1n n n q pa a +=+1)(1n f pa a n n +=+n n n a q a p a ⋅+⋅=++12n S n 1322-+=n n S n 12+=nn S n )2(12,211≥-+==-n n a a a n n n S n 11=a n n a n S ⋅=2)(1n f a a n n +=+)(1n f a a n n ⋅=+11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----② . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.数列求和的常用方法一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 3.4、 5.二.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

例2 求数列的前n 项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- 32,111+==+n n a a a q pa a n n +=+1)(1λλ-=-+n n a p a q pa a n n +=+1pqx x a a n n -=⇒==+11∴)(1x a p x a n n -=-+q pa a n n +=+1q pa a n n +=-1∴)(11-+-=-n n n n a a p a a nn n a a a 32,111+==+nn n q pa a +=+1q pa a n n +=+1nn n n f a a )(1+=+d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn )1(211+==∑=n n k S nk n )12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c n a )1(n 1+n（1）（2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n三.错位相减法:可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.例1：求和：. 例2:数列1，3x ，5x 2,…,(2n-1)xn-1前n 项的和．小结：错位相减法类型题均为：nna b 等差数列等比数列连续相加。

四.常用结论1）1+2+3+...+n =2)1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n 3）2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n 4）)12)(1(613212222++=++++n n n n 5）111)1(1+-=+n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】， 2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）111)1(1+-=+=n n n n a n ,a b R ∈⇒222a b ab +≥a b ==222()22a b a b ab ++≤≤222()22a b a b ab ++==(,)2a ba b R ++∈2()(,)2a b ab a b R +∈≤b a 、≥≥≥22“”112ab a b a b a b a b+===++时取）*.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：（，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或baa b -≥-11。

*,,b a 均为正数，b a ba -≥22八种变式：①222b a ab +≤；②2)2(b a ab +≤；③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a ba -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+；⑧若0≠ab ，则222)11(2111b a ba +≥+。

上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”。

放缩不等式：①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③； ④，. ⑤,函数()(0)bf x ax a bx=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：3333a b c abc ++≥0a b c ++>等式即可成立时取等或0=++==c b a c b a 3a b c ++⇒3()3a b c abc ++≤3333a b c ++≤00a b a m >>>>，b m b b ma m a a m-+<<-+b b m a a m+<+0,0a b m >>>，则，，000>>>>n m b a ban b n a m a m b a b <++<<++<1,,a b c R +∈b d a c <b b d d a a c c+<<+n N +∈<<,1n N n +∈>21111111n n n n n-<<-+-ln 1x x -≤(0)x >1xe x +≥()x R ∈(2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：，[0) 最值定理（积定和最小）①，则当时和有最小值（和定积最大）②，则当是积有最大值. 【推广】：已知，则有.（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.③已知，若，则有则的最小值为：④已知，若则和的最小值为：②.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当时，求函的数最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知，求函数的最大值. ⑶调整分子：例3.求函数的值域； ⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视； 例4.求函数的最大值；,0,x y x y >+≥由()xy P =定值x y =x y +,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值x y =xy 214s R y x ∈,xy y x y x 2)()(22+-=+xy ||y x -||y x +||y x -||y x +||y x +||y x -||xy ||y x -||xy ,,,R a x by +∈1ax by +=21111()())by ax ax bya b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=≥04x <<(82)y x x =-54x <1()4245f x x x =-+-2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+2a b +≥2a b+≥222()22a b a b ++≥15()22y x =<<⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值； ⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值 1、数列95,74,53,32,1的一个通项公式n a 是（） A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、32+n n2、已知等比数列{}n a 的公比为正数，且24282a a a =，11=a 则（）A 、B 、2C 、22D 、213、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02564=-+a a a 则=9S （）A 、17B 、18C 、19D 、20 4、已知)1,0(,21∈a a ，记21a a M =，121-+=a a N 则M 与N 的大小关系（） A 、M<N B 、M>N C 、M=N D 、不确定5、若011<<b a ，则下列不等式：bc a c c b c a b a ab b a 22)4(,)3(,)2(,)1(<+>+><+中正确的是（） A 、（1）（2） B 、（2）（3） C 、（1）（3） D 、（3）（4）6、不等式1213≥--x x 的解集是（） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243x x B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243x x C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432x x x 或 D 、{}2<x x 7、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则（）A 、1B 、1-C 、2D 、128、在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，其中正确的个数是（）A 、0B 、1C 、2D 、39、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （）A 、3,12min max ==z zB 、,12max =z z 无最小值C 、z z ,3min =无最大值D 、z 既无最大值，也无最小值 10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，0a b >>216()y a b a b =+-1,12x y >>xy e =ln (2)y t x =20y x π<<≤tan 3tan x y =t x y =-0,0a b >>21a b +=11t a b=+=2a 2则（）A 、11<<-aB 、20<<aC 、2321<<-a D 、2123<<-a 二、填空题：（每小题5分，共25分）11、等比数列{}n a 公比,0>q 已知n n n a a a a 6,1122=+=++,则{}n a 的前4项和=4S ___________ 12、 等比数列{}n a 的前n 项和n S ，又2132S S S +=，则公比=q ___________ 13、若0>x ,0>y 且12=+y x ，则xy 的最大值为___________14、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________15、关于x 的不等式211(1)0(0)x a x a a a a-++++<>的解集为三、解答题：16、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知16,241==a a ， （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和248n S n n =-(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求n S 的最大或最小值.18、（本小题满分12分）已知向量)sin ,2(cos θθn n a n =，),)(sin 2,1(*N n n b n ∈=θ若n n a C =·n n b 2+，（1）求数列{}n C 的通项公式； （2）求数列{}n C 的前n 项和n S .19、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+（1）设12-=n nn a b ，证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 20、（本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元． （Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？ 21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1112,2--==n n a a a ， ,4,3,2=n ， (1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 为等差数列； (2) 求数列{}n a 的通项公式； （3）令∑=+=ni i i n a a T 11，求证：43+<n T nB A B BC BADCC 二、填空题：（每小题5分，共25分） 11、215 12、21- 13、81 14、 [－1,1) 15、1(1,)a a + 三、解答题： 16、解：（1）设公比为q ，则n n n q a a q q 2,2,216113==∴=∴=------------------------6分 （2）由（1）得,32,853==a a 则12,32,853===d b b2812-=∴n b n n n S n 2262-=-----------------------（12分） 17、解：（1）当n=1时，4711-==S a当n ≥2时，4921-=-=-n S S a n n n 故492-=n a n（2）由248n S n n =-576)24(2--=n ，于是n S 有最小值是-576，此时24=n ；无最大值。