数列与不等式测试题及答案
高考数学(理)二轮专题练习：数列、不等式(含答案)
数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n－m.(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． 答案 925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件． 答案 充分不必要7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．答案22易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 错解 －1找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 错解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132 所以S k ＝2k 2－23k ＋132.找准失分点 忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．正解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝－2k 2＋23k .当k ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132，所以S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7).易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 错解 150或－200找准失分点 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.答案 150易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．错解 由⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4 ≥2ab ＋2ab＋4≥4ab ·1ab＋4＝8， 得⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是8. 找准失分点 两次利用基本不等式，等号不能同时取到． 正解 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4 由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b2≥16,1＋1a 2b2≥17.∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案 C解析 因为a 3＋a 8＝10，所以由等差数列的性质，得a 5＋a 6＝10， 所以3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，选C.2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确； 由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e答案 A解析 x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，14ln x ·ln y ＝(14)2，即14＝ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y 2)2，ln x ＋ln y ≥1，ln xy ≥1，故xy ≥e.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3答案 A解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列， 记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ， 进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．396答案 C解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________． 答案 2 2解析 点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m＋2n＝2 2.7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．答案 4解析 由x ，a ，b ，y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ，① 由x ，c ，d ，y 成等比数列知cd ＝xy ，②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋b )2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析 画出可行域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z ， 令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时， 截距z 有最大值， 故z max ＝2×2＋2＝4.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,8)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0a >1(4－a 2)×6＋4<a2，⎩⎪⎨⎪⎧a <8a >1a <－7或a >4， ∴4<a <8.10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，①知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1， 整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项． 当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。
不等式练习题(带答案)
不等式基赋性质练习之五兆芳芳创作一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0,b >0,则)11)((b a b a ++ 的最小值是 （ ）A ．2B ．22C ．24D ．42．阐发法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的（ ）A ．需要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．需要或充分条件3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ ）A ．111<+b aB ．111≥+b aC ．211<+b aD ．211≥+b a4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是（ ）A ．a c ≥bB ．a b ≥cC ．bc ≥aD ．a b ≤c5．设a =2，b=37-，26-=c ，则a 、b 、c 间的大小关系是（ ）A ．a >b>cB ．b>a >cC ．b>c>aD ．a >c>b6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式b a m b m a >++（）A．当a< b时成立B．当a> b时成立C．是否成立与m无关D．一定成立7．设x为实数，P=e x+e-x，Q=(sin x+cos x)2，则P、Q之间的大小关系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P<Q8．已知a> b且a+ b <0，则下列不等式成立的是（）A．1>baB．1≥baC．1<baD．1≤ba9．设a、b为正实数，P=a a b b，Ｑ=a b b a，则P、Q的大小关系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q D．不克不及确定10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（）A．甲先到B．乙先到C．甲乙同时到D．不克不及确定二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若正数a、b满足a b=a+b+3，则a b的取值规模是．12．已知a >1，a lgb =100，则lg(a b)的最小值是． 13．使不等式a 2>b 2，1>b a ，lg(a －b )>0，2a >2b-1同时成立的a 、b 、1的大小关系是．14．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米辨别为120元和80元，则水池的最低总造价为元．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．若a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1，求证： (1–a )(1–b)(1–c)≥8a bc ．（12分） 16．设21log log 21,0,1,0+>≠>t t t a a a a 与试比较的大小．（12分）17．已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++（12分）18．已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 = c 2 + d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd ．（12分）19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（14分） 20．数列{x n }由下列条件确定：N n x ax x a x nn n ∈+=>=+),(21,011．（Ⅰ）证明：对n ≥2，总有x n ≥a ；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有x n ≥1+n x ． （14分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．x ≥9 12．22 13．a >b>1 14．1760 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[证明]：因为a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1，所以(1–a )(1–b)(1–c)=(b+c)( a +c)( a +b)≥2bc ·2ac ·2ab =8a bc ．16．（12分）[解析 ]：t t t t a a a21log log 21log +=-+t t t 21,0≥+> （当且仅当t=1时时等号成立）121≥+∴tt（1） 当t=1时，t t a alog 21log =+ （2） 当1≠t 时，121>+tt ，若t t tt a a aalog 2121log ,021log ,1>+>+>则若t t tt a a aalog 2121log ,021log ,10<+<+<<则17．（12分）[证明]：左－右=2（ab +bc －ac ） ∵a ，b ，c 成等比数列，ac b =2又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b =<0≤c a ca +<+2∴b c a >+∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab∴2222)(c b a c b a +->++18．（12分）[证法一]：（阐发法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd只需证：(xy )2≥(ac + bd )2 即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd即：a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由根本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd[证法二]：（综正当）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=++≥bdac bd ac d b abcd c a +=+=++22222)(2[证法三]：（三角代换法） ∵x 2 = a 2 + b 2，∴无妨设a = x sin, b = x cosy 2 = c 2 + d 2 c = y sin, d = y cos∴ac + bd = xy sin sin + xy cos cos = xy cos()≤xy19．（14分）[解析]：设画面高为x cm ，宽为λx cm 则λx 2=4840．设纸张面积为S ，有 S=（x +16）(λx +10) =λ x 2+(16λ+10) x +160,S=5000+44).5(10λλ+当8.)185(85,5取得最小值时即S <==λλλ此时，高：,884840cm x ==λ宽：,558885cm x =⨯=λ答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小．20．（14分）（I ）证明：由,01>=a x 及),(211nn n x ax x +=+可归结证明0>n x （没有证明进程不扣分）从而有).()(211N a a x a x x a x x nn n n n ∈=⋅≥+=+ 所以，当ax n ≥≥,2时成立.（II ）证法一：当)(21,0,21n n n n x ax x a x n +=>≥≥+因为时所以,021)(2121≤-⋅=-+=-+n nn n n n n x x a x x a x x x 故当.,21成立时+≥≥n n x x n证法二：当)(21,0,21n n n x a x x a x n +=>≥≥+因为时所以122)(21222221=+≤+=+=+nn n n n n n n nn x x x a x x x ax x x 故当成立时1,2+≥≥n nx xn .。
不等式测试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习不等式测试卷及答案一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a >b >0，则a ＋1b >b ＋1aD ．若a ，b ∈R ，则a ＋b 2≥ab 答案 C解析 对于A ，a ＝8，b ＝2，c ＝7，d ＝－1，此时a －c ＝1，b －d ＝3，显然不成立； 对于B ，当c ＜0时，a ＜b ，显然不成立；对于C ，∵a ＞b ＞0，∴a ＋1b －b －1a ＝(a －b )＋a －b ab＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab ＞0，∴a ＋1b ＞b ＋1a，显然成立； 对于D ，当a ＝b ＝－1时，显然不成立，故选C.2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 等于( ) A ．14 B ．－14 C ．－10 D ．10答案 B解析 由题意可得，不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13， 所以方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12或13， 所以－b a ＝－16，2a ＝－16. 所以a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.故选B.3．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24答案 B解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b， 得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6.又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.4．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．5．关于x 的不等式x 2－(m ＋1)x ＋(m ＋1)≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－3，1]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D ．[－1，3]答案 D解析 ∵关于x 的不等式x 2－(m ＋1)x ＋(m ＋1)≥0对一切x ∈R 恒成立，∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＝(m ＋1)(m －3)≤0，解得－1≤m ≤3，∴实数m 的取值范围为[－1，3]．故选D.6．设a >0，b >0，若a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．2 D.14答案 A解析 由题意1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号．故选A.7．在1和17之间插入n －2个数，使这n 个数成等差数列，若这n －2个数中第一个为a ，第n －2个为b ，当1a ＋25b取最小值时，n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 D。
数列与不等式30大题(有答案)
S1 S2
Sn
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10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0，a3 = b3 > 0，a1 ≠ a3，试比较 a5 和 b5 的大 小．
11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ ∗ ．
(1) 求数列 an 的通项公式；
∗ 成立，
18. 已知常数 p 满足 0 < p < 1，数列 xn 满足 x1 = p + 1p，xn+1 = xn2 − 2．
(1) 求 x2，x3，x4；
(2) 猜想 xn 的通项公式(不用给出证明)； (3) 求证：xn+1 > xn 对 n ∈ ∗ 成立．
19. 设 b > 0 ，数列
an
大值．
7. 已知 an 是正整数组成的数列，a1 = 1 ,且点( an,an+1 )( n ∈ ∗ )在函数 y = x2 + 1 的图象上；
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列 bn 满足 b1 = 1，bn+1 = bn + 2an ,求证：bn ⋅ bn+2 < bn2+1
8. x,y ∈
∈
+ 都成立
的最大正整数 k 的值．
6. 已知数列 an 是等比数列，首项 a1 = 1，公比 q > 0，其前 n 项和为 Sn，且 S1 + a1，S3 + a3，
S2 + a2 成等差数列．
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列
bn
满足 an+1 =
数列与不等式30大题(有答案)
数列与不等式综合问题30道1. 已知数列是等差数列，()．证明：数列是等差数列．2. 已知曲线，过上的点作斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．(1) 求与的关系式；(2) 令，求证：数列是等比数列；(3) 若(为非零整数，)，试确定的值，使得对任意，都有成立．3. 设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，(1) 求数列的通项公式；(2) 记，证明：．4. 已知数列满足，．(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：．5. 已知数列的前项和为，点在直线上．数列满足，，且其前项和为．(1) 求数列，的通项公式．(2) 设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．6. 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列．(1) 求数列的通项公式；(2) 若数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的最大值．7. 已知是正整数组成的数列， ,且点( )( )在函数的图象上；(1) 求数列的通项公式；(2) 若数列满足， ,求证：8. ，且，若依次成等差数列，依次成等差数列，试比较与的大小．9. 已知数列的各项为正数，其前项和满足．(1) 求与之间的关系式，并求的通项公式；(2) 求证：．10. 在等比数列和等差数列中，，，，试比较和的大小．11. 设数列的前项和为，且，．(1) 求数列的通项公式；(2) 若数列为等差数列，且，公差为．当时，比较与的大小．12. 已知数列中，，．(1) 求证：是等比数列，并求的通项公式；(2) 设，记其前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．13. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，点在函数图象上．(1) 求数列的通项公式；(2) 求；(3) 试比较和的大小，并证明．14. 已知等差数列的前项和为，非常数等比数列的公比是，且满足：，，，．(1) 求与；(2) 设，若数列是递减数列，求实数的取值范围．15. 某种汽车的购车费用是万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？16. 是否存在一个等差数列，使是一个与无关的常数？若存在，求此常数；若不存在，请说明理由．17. 函数，数列满足，，(1) 求证：数列是等差数列；(2) 令，，，若对一切成立，求最小正整数．18. 已知常数满足，数列满足，．(1) 求，，；(2) 猜想的通项公式(不用给出证明)；(3) 求证：对成立．19. 设，数列满足，．(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数，．20. 已知常数满足，数列满足，．(1) 求，，；(2) 猜想的通项公式，并给出证明；(3) 求证：对成立．21. 设，，，若将适当排序后可构成公差为的等差数列的前三项．(1) 求的值及的通项公式；(2) 记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求．22. 已知数列的首项，，(1) 求证：是等比数列，并求出的通项公式；(2) 证明：对任意的，，(3) 证明：．23. 在数列中，，．(1) 证明数列是等差数列；(2) 求数列的通项；(3) 若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围．24. 在数列中，，()．(1) 证明：数列是等差数列；(2) 求数列的通项；(3) 若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围．25. 已知数列中，，，且．(1) 求数列的通项公式；(2) 求证：对一切，有．26. 已知数列满足，．(1) 证明：数列为单调递减数列；(2) 记为数列的前项和，证明：．27. 已知，函数．记为的从小到大的第个极值点．(1) 证明：数列是等比数列；(2) 若对一切，恒成立，求的取值范围．28. 设数列的前项和满足，其中．(1) 求证：是首项为的等比数列；(2) 若，求证：，并给出等号成立的充要条件．29. 设数列定义为，，．(1) 证明：存在正实数，使得，，成等差数列；(2) 求实数的取值范围，使得当时，．30. 已知数列满足，()．(1) 证明：数列是等比数列；(2) 令，数列的前项和为，(ⅰ)证明：；(ⅱ)求证：当时，．数列与不等式30大题答案1. 设公差为，则所以，，根据等差数列的定义，得是首项为，公差为的等差数列．2. (1) 依题意得：．又和在曲线上，所以．所以，即．(2) ．所以．将(1)中的结论代入整理得．所以数列是首项为，公比的等比数列．(3) 由(2)知，要使恒成立，即恒成立，所以恒成立，当为奇数时，恒成立，所以．当为偶数时，恒成立，所以．所以，因为为非零整数，所以．3. (1) ，曲线在点处的切线斜率为．从而切线方程为．令，解得切线与轴交点的横坐标．所以数列的通项公式．(2) 由题设和(1)中的计算结果知当时，．当时，因为，所以综上可得，对任意的，均有．4. (1) 由已知可得，所以，即，所以，又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．(2) 证明：因为所以，因为是正整数，所以，所以，所以，所以．5. (1) 由已知得，所以．当时，有当时，也符合上式，所以由知是等差数列，由的前项和为，可得，得又，所以的公差．因为，所以，所以．(2) ，所以因为增大时，增大，所以是递增数列，所以所以对一切都成立，只要即可，解得，所以．6. (1) 由题意可知：，所以，即，于是，因为，所以；因为，所以．(2) 因为，所以，所以，所以，所以，所以得：，所以，因为恒成立，只需，因为，所以为递增数列，所以当时，，所以，所以的最大值为．7. (1) 由已知得 ,又 ,所以数列是以为首项，公差为的等差数列．故．(2) 证法一：由(1)知，从而．因为所以 .证法二：因为， ,所以．8. 由题意知，所以因为且，所以．所以，所以．9. (1)由得，．是公差的等差数列．而，． (2) 由(1)知，．，10. 设等比数列的公比是，等差数列的公差时．由及，得；由，从而．．所以．11. (1) 因为所以当时，由两式相减，得，即，因为当时，，所以，所以．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．(2) 因为，所以，，因为，由，得，所以当时，．12. (1) 证明：因为数列中，，，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．(2) 因为，所以①-②，得所以，因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，所以对一切恒成立，设，则是递增函数，所以．所以．13. (1) 当时，，所以；当时，由，得，两式作差，得即所以数列从第二项起是等比数列，所以(2) 因为点在直线上，所以时，；时，因为所以由得所以时，，经检验，时也成立．综上，．(3) ，所以时，，所以；时，，所以；时，，所以．14. (1) 设等差数列的公差为，则，且，即有，解得或(舍去)，即有，，则；．(2) ，由题意可得对恒成立，即有，即，即对恒成立，由为递减数列，即有的最大值为，则有，解得，故实数的取值范围为．15. 设这种汽车使用年时，它的年平均费用为万元，则当且仅当，即时．因此，使用年时，年平均费用最小，最小值是万元．16. 假设存在一个等差数列，使，且为首项，为公差．由，得整理，得式是关于的一元一次方程，且对都成立．只需即或(i)当时，；(ii)当时，．17. (1) 证明：由已知得，两边取倒数得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；(2) 由(1)得，所以，所以．所以显然当时，单调递增且，又，，所以．若对一切成立，则，解得最小正整数18. (1) ，，．(2) 猜想：．(3) 因为，，所以，而由(2)知道，，所以的符号与的符号相同，依次类推，我们只需要证明．因为，而，所以，所以，，所以，所以，即．19. (1) 因为，所以所以① 当时，则是以为首项，为公差的等差数列，所以即② 当且时，当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以所以所以综上所述，且(2) ① 当时，② 当且时，要证，只需证，即证即证即证即证因为所以原不等式成立，所以对于一切正整数，20. (1) ，，．(2) 猜想：．下面用数学归纳法证明：当时，，结论成立，假设当时，结论成立，即；当时，因为，所以，即时，结论成立，所以对成立．(3) 因为，，所以，而由(2)知道，，所以的符号与的符号相同，依次类推，我们只需要证明．因为，而，所以，所以，，所以，所以，即．21. (1) 依题意有，可得所以最大．又．当时，，，解得，满足．当时，，，解得，不满足．所以的前三项为，，，此时．因此．(2) 因为，所以时，，即．所以．又因为，所以所以所以22. (1) ，，即，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．(2)(3) 由，知，当时等号成立．．由(2)知，对于任意，有，取，则．故．23. (1) 由得，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．(2) 由(1)可得， .所以．(3) 由对的整数恒成立，即对 ( )恒成立．整理得 ( ， )，令，因为，所以，所以为单调递增数列，最小，且，故的取值范围为 .24. (1) 将()整理得()．所以数列是以为首项、为公差的等差数列．(2) 由(1)可得，，所以．(3) 对任意的整数恒成立，即对任意的整数恒成立，整理得，令，则．因为，所以，所以数列为单调递增数列，所以最小，．所以的取值范围为．25. (1) 由已知，对有，两边同除以，得，即于是即所以所以又时也成立，故．(2) 当，有所以时，有又时，，故对一切，有．26. (1) 证明：由题意知，故，所以数列为单调递减数列．(2) 证明：因为，，所以，当时，，得，故．因为，故．所以．27. (1) ．令，由，得，即．而对于，当时，若，即，则；若，即，则；因此，在区间与上，的符号总相反．于是，当时，取得极值，所以．此时，，易知，而是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列．(2) 对一切，恒成立，即恒成立，亦即恒成立(因为)．设，则，由得．当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．因为，且当时，，，所以．因此，恒成立，当且仅当，解得，故的取值范围是．28. (1) 证法一：由，得即，因，故，得又由题设条件知两式相减得即由，知，因此综上，对所有成立．从而是首项为，公比为的等比数列．证法二：用数学归纳法证明．当时，由，得即，再由，得，所以结论成立．假设时，结论成立，即，那么这就是说，当时，结论也成立．综上可得，对任意．因此是首项为，公比为的等比数列．(2) 证法一：当或时，显然等号成立．设，且．由(1)知，，所以要证的不等式化为即证当时，上面不等式的等号成立．当时，与同为负；当时，与同为正．因此当且时，总有，即上面不等式对从到求和得由此得综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立．证法二：当或时，显然，等号成立．当时，，等号也成立．当时，由(1)知，．下证：且当时，上面不等式化为令当时，，故即所要证的不等式成立．当时，求导得其中则即是上的减函数，故，从而进而是上的增函数，因此所要证的不等式成立．当时，令，则，由已证的结论知两边同乘以得所要证的不等式．综上，当且时，有当且仅当或时等号成立．-29. (1) ，，．当，，成等差数列时，，即，当时，有，则．设，则，，在上有零点．所以存在正实数，使得，，成等差数列．(2) 由题意，有，则，显然．所以，．当时，，因为当时，，所以，解得．下面证明当时，对任意整数，有．所以，故当时，数列递减．因此，即当时，对任意整数，有．30. (1) 因为()，所以，两边同除以得，即，也即．又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．(2) 由(1)得，，所以，所以．(ⅰ)原不等式即为：．先用数学归纳法证明不等式：当时，．证明过程如下：当时，左边，不等式成立．假设时，不等式成立，即；则时，左边所以当时，不等式也成立．因此，当时，．显然，当时，，所以当时，．又当时，左边，不等式成立，故原不等式成立．(ⅱ)由(i)可得，．方法一：当时，将上面式子累加得，因为所以即故原不等式成立．方法二：且所以当时，令，则因为，所以因为所以当时，．。
高三数学不等式试题答案及解析
高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。
【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。
6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。
数列与不等式结合典型题
数列与不等式结合典型题1.已知数列}{n a 中，),3,2,1(0 =>n a n ，其前n 项和为n S ，满足*,)1(N n a p S p n n ∈-=-，10≠>p p 且. 数列}{n b 满足.log 1n p n a b -=（Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项n n b a 与； （Ⅱ）若n nn n T a b c p ,,21==记为数列}{n c 的前n 项和，求证：.40<<n T2．已知定义在（－1，1）上的函数)1,1(,,1)21()(-∈=y x f x f 且对满足时，有).1()()(xyyx f y f x f --=-（I ）判断)1,1()(-在x f 的奇偶性，并证明之； （II ）令)}({,12,21211n nn n x f x x x x 求数列+==+的通项公式； （III ）设T n 为数列})(1{n x f 的前n 项和，问是否存在正整数m ，使得对任意的34,-<∈*m T N n n 有成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由.3．（本小题满分14分）设函数)0()(22>-+=a a x x x f（Ⅰ）求)()(1x f x f -的反函数及定义域；（Ⅱ）若数列}{,),(,3}{111n n n n n n n b aa aa b a f a a a a 求设满足+-===-+的通项公式；（Ⅲ）S n 表示{b n }的前n 项和，试比较S n 与87的大小. 4.（本小题满分14分）已知数列.)11(2,2:}{211n n n a na a a +==+满足 （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n C Bn An b 2)(2⋅++=，试推断是否存在常数A ，B ，C ，使对一切*∈N n 都有n n n b b a -=+1成立？说明你的理由；（3）求证：.2)22(2221+⋅+-≥+++n n n n a a a5. 设函数f （x ）=22-ax x （a ∈N*）, 又存在非零自然数m, 使得f （m ）= m , f （– m ）< –m1成立.（1） 求函数f （x ）的表达式;（2） 设{a n }是各项非零的数列, 若)...(41)1(21n n a a a a f +++=对任意n ∈N*成立, 求数 列{a n }的一个通项公式;（3） 在（2）的条件下, 数列{a n }是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明6. 已知函数)3(1)(b ax f x-=的图象过点A （1，2）和B （2，5）. （1）求函数)(x f 的反函数)(1x f -的解析式；（2）记*)(,3)(1N n a n f n ∈=-，试推断是否存在正数k ，使得12)11()11)(11(21+≥+++n k a a a n对一切*N n ∈均成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由.卷二一、选择题：（每小题5分，共50分）1、数列95,74,53,32,1的一个通项公式n a 是（ ） A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、32+n n2、已知等比数列{}n a 的公比为正数，且24282a a a =，11=a 则=2a （ ）A 、2B 、2C 、22D 、213、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02564=-+a a a 则=9S （ ）A 、17B 、18C 、19D 、204、已知)1,0(,21∈a a ，记21a a M =，121-+=a a N 则M 与N 的大小关系（ ） A 、M<N B 、M>N C 、M=N D 、不确定5、若011<<b a ，则下列不等式：bc a c c b c a b a ab b a 22)4(,)3(,)2(,)1(<+>+><+中正确的是（ ）A 、（1）（2）B 、（2）（3）C 、（1）（3）D 、（3）（4）6、不等式1213≥--x x 的解集是 （ ） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243x x B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243x x C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432x x x 或 D 、{}2<x x7、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则（ ）A 、 1B 、 1-C 、 2D 、 128、在的条件下，，00>>b a 三个①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，其中正确的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A 、3,12min max ==z zB 、,12max =z z 无最小值C 、z z ,3min =无最大值D 、z 既无最大值，也无最小值10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A 、11<<-aB 、20<<aC 、2321<<-a D 、2123<<-a 二、填空题：（每小题5分，共25分）11、等比数列{}n a 公比,0>q 已知n n n a a a a 6,1122=+=++,则{}n a 的前4项和=4S ___________12、等比数列{}n a 的前n 项和n S ，又2132S S S +=，则公比=q ___________ 13、若0>x ,0>y 且12=+y x ，则xy 的最大值为___________14、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________15、关于x 的不等式211(1)0(0)x a x a a a a-++++<>的解集为 三、解答题：16、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知16,241==a a ，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和248n S n n =-(1) 求数列{}n a 的通项公式 ； (2) 求n S 的最大或最小值.18、（本小题满分12分）已知向量)sin ,2(cos θθn n a n =，),)(sin 2,1(*N n n b n ∈=θ若n n a C =·n n b 2+，（1）求数列{}n C 的通项公式； （2）求数列{}n C 的前n 项和n S .19、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+（1）设12-=n nn a b ，证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .20、（本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元． （Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1112,2--==n n a a a ， ,4,3,2=n ，(1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 为等差数列； (2) 求数列{}n a 的通项公式； （3）令∑=+=ni i i n a a T 11，求证：43+<n T n.答案卷一1．解：（I ）1=n 时，.10.0)1()1(1111=⇒>=-⇒-=-a p a p a p a p 由 1分 当,)1(2n n a p S p n -=-≥ ①,)1(11++-=-n n a p S p ②由②－①，有,)1(11++-=-n n n a a a p 2分从而，.111pa a a pa n n n n =⇒=++∴数列}{n a 是以1为首项，p1为公比的等比数列.∴1)1(-=n n pa .∴.)1(1)1(log 1log 11n n pa b n p n p n =--=-=-=-（II ）当21=p 时，.21-==n n n n n a b c 1分 ∵.0.0>∴>n n T c 12102232221-++++=n n n T ， ③ n n n nn T 221222121121+-+++=∴- . ④由③－④，得n n n nT 221212121211210-++++=-.22222122211)21(11n n n n nn n n +-=--=---=-.2241-+-=∴n n nT 1分.40.4,0221<<∴<∴>+∴-n n n T T n1分2．解：（I ）令0)0(,0===f y x 得。
专题2.4 提高复习之数列与不等式相结合问题-备战期末考试2015-2016学年高一下学期数学期
1．已知数列{n a }满足：11a =，2210,1n n n a a a +>-= ()*n N ∈，那么使n a ＜3成立的n 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．9 【答案】C 【解析】试题分析：由题知{}2n a 是等差数，221(1)1n a a n n =+-⨯=，3n a <，29n a ∴<，9n ∴<，则n 的最大值为8.故选C.2．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，第k 项满足1310<<k a ，则=k （ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，可求得通项公式210n a n =-，所以1021013k <-<，解得1011.5k <<，因为*k N ∈，所以11k =，故选C.3．已知数列{}n a 满足134()n n a a n N +++=∈且19a =，其前n 项和为n S ，则满足1|6|125n S n --<的最小正整数n 为（ ）A. 6B.7C.8D.9 【答案】B4．已知数列{}n a 满足712,83,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意n N *∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D5．已知数列{}n a 的通项公式为327n a n =-，记数列S n 的前n 项和为，则使S 0n ≤成立的n 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】C 【解析】 试题分析：123433333,1,3,32175227237247a a a a ==-==-==-==⨯-⨯-⨯-⨯-,531257a ==⨯-6332675a ==⨯-,7332777a ==⨯-,…，所以使0n S ≤成立的n 的最大值为6，故选C.6．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意*n N ∈都有2n a n bn =+成立，则实数b 的取值范围是（ ） A ．7(,)2-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(3,)-+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：因为*n N ∈，{}n a 递增，所以322b -<，3b >-．故选D ． 7．若，a ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则a 的值是（ ）A ．4或5B ．3或4C ．3或2D ．1或2 【答案】A8．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B 【解析】试题分析：由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=, 由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足515S =-，3172d <<，则当n S 取得最小值时n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列求和公式得251551522d d S a ⎛⎫=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭ ，整理得132a d =--，故22215323222222n d d d d d d S n a n n d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+---=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴35=2n d +，因为3172d <<，n Z ∈，故=9n 时取得最小值. 10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1 【答案】C11．在数列}{n a 中，12a =，11(1)(1)220()n n n n a a a a n N *++--+-=∈，若5150n a <，则n 的最小值为__________. 【答案】100 【解析】试题分析：令1n n a b -=，则∵11(1)(1)220()n n n n a a a a n N *++--+-=∈，∴11220n n n n b b b b +++-=，∴11112n n b b +-=，∵12a =，∴111b =，∴1111(1)22n n n b +=+-=，∴21n b n =+，∴211n a n -=+，∴211n a n =++，∵5150n a <，∴2511150n +<+，∴99n >，∴n 的最小值为100．所以答案应填：100． 12．数列{}n a 满足141,1211=+=+n n a a a ，记2232221n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=，若3012m S S n n ≤-+对任意*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为_______. 【答案】10 【解析】 试题分析：由1n a +=，得221114n n a a +-=，可知数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为4的等差数列，所以()2111443nn n a =+-⨯=-，则2143n a n =-，22212n nS a a a =+++，考查()()222212*********418589n n n n n n n S S S S a a a n n n ++++++---=--=--+++，又1111082858289n n n n ⎛⎫⎛⎫-+->⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，即()()212311*********n n n n S S S S n n n +++---=-->+++，则可知数列{}21n n S S +-是一个递减数列，所以数列{}21n n S S +-的最大项为22313211149545S S a a -=+=+=，又3012m S S n n ≤-+对任意*∈N n 恒成立，所以144530m ≤，即283m ≥，所以m 的最小值是10.13．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式222122n n S a ma n+≥对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为____________． 【答案】11014．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ,2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得不等式2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为_______.【答案】1(2,1][,1)2-- 【解析】试题分析：由2(1)n n S n a =+得，当2n ≥时有112n n S na --=，所以11222(1)n n n n n a S S n a na --=-=+-，即1(1)n n n a na --=，11n n a na n -=-，又11a =，所以121211n n nn n n a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅==，所以2220n n a ta t --≤等价于2220n tn t --≤，设22()2f n n tn t =--，由于2(0)20f t =-≤，所以由题意有2222(1)120(2)2220f t t f t t ⎧=--<⎪⎨=--≥⎪⎩，解之得21t -<≤-或112t ≤<，所以应填1(2,1][,1)2--. 15．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若23n nS S N ≤-≤M 对n *∈N 恒成立，则M -N 的最小值为 ． 【答案】251216．已知数列{}n a 通项为98.5n n a n -=-，若n a ≤M 恒成立，则M 的最小值为 ．【答案】2 【解析】试题分析：根据题意可知M 的最小值为数列的最小项，因为90.518.58.5n n a n n -==---，可知当8n =时取得最小值，而82a =，所以M 的最小值为2．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n T ,且点(,)n n T 在函数23122y x x =-上，且423log 0n n a b ++=（n N *∈）．（I ）求{}n b 的通项公式；（II ）数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（III ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n B ，设21n n nd b B =⋅，证明：1212n d d d +++<.【答案】（I ）n n b 41=；（II ）nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛+-=4132332；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）由点()n T n ,在函数x x y 21232-=上，得：n n T n 21232-= （ⅰ）当1=n 时，1212311=-==T a . （ⅱ）当2≥n 时，231-=-=-n T T a n n n ，∴23-=n a n ． 又∵0log 324=++n n b a ， ∴n n n b 414==- （II ）∵()nn n n n b a c ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=4123且n n c c c c S +++=321，∴()nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=4123417414411321 ……①()1432412341741441141+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n S …②由①-②得：()132412341414134143+⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n S()141412341141116134143+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛-+=n n n n S整理得：nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛+-=4132332.18．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <； （3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）12n a n =；（2）证明见解析；（3）29≥λ． 【解析】试题分析：（1）本小题是已知n S 与n a 的关系求通项公式的题型，方法是先由11a S =，求出1a ，然后利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-得到n a 与1n a -的关系，再求通项；（2）由已知得1n n b b n --=，已知前后项的差，因此可用累加法求得通项，即由121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-得(1)2n n n b +=，从而用裂项求和法求出1{}nb 的前n 项和n T ，并证得题设结论；（3）不等式2(4)1n λn n ≤++恒成立，可变形为2(1)(4)n λn n ≥++，为此只要求得2(1)(4)nn n ++的最大值即可，这可由基本不等式得到结论．试题解析：（1）1n =时，211111122a a a a =+∴= 21112211211121222n n n n n n nn n n n S a a a a a a a S a a+++--⎧=+⎪⎪⇒=-+-⎨⎪=+⎪⎩ 111()()02n n n n a a a a --⇒+--= 1102n n n a a a ->∴-=∴{}n a 是以12为首项，12为公差的等差数列 12n a n ∴=（3）由2(4)1n λn n ≤++得224(1)(4)5n n n n n λ≥=++++， 当且仅当2n =时，245n n++有最大值29，29λ∴≥19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()241n n S a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）已知()241n n S a =+，要求通项公式，可再写一式2n ≥时，()21141n n S a --=+，利用1n n n a S S -=-，把两式相减可得n a 的递推关系，本题可得{}n a 是等差数列，易得通项；（2）要证明题设不等式，必须求得和n T ，由于12211(21)(21)2121n n a a n n n n +==--+-+，即可用裂项相消法求得和n T 1121n =-+，注意到*n N ∈，不等式易得证． 试题解析：（1）1n =时，11a =；2n ≥时，()21141n n S a --=+，又()241n n S a =+，两式相减得()()1120n n n n a a a a --+--=,{}10,2,n n n n a a a a ->∴-=为是以1位首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n⎛⎫⎪⎝⎭在直线11122y x =+上. （1）求数列{}n a 的通项公式；[来 （2）设()()13211211n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求使不等式20n kT >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值．【答案】（1）5n a n =+；（2）max 19k =． 【解析】试题分析：（1）由题意，得11122n S n n =+，化为211122n S n n =+，利用递推关系即可得出；（2）利用“裂项求和”可得Tn ，再利用数列的单调性、不等式的性质即可得出． 试题解析：（1）由题意，得11122n S n n =+，即211122n S n n =+故当2n ≥时，()()2211111111152222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当n=1时，11615a S ===+, 所以5n a n =+.。
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数列与不等式测试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 不等式1x x>成立的一个充分不必要条件是（） A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0<x<12.在等比数列{}n a 中，121a a +=，349a a +=，那么45a a +等于（ ） A. 27 B.27- C. 8136-或 D. 2727-或3.数列1，0，2，0，3，…的通项公式为（ ）A. (1)2n n n n a --=B. (1)[1(1)]4n n n a +--=C. ()0()n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数D. (1)[1(1)]4n n n a ---=4.用数学归纳法证明3*03(,)n n n N n n >∈≥，则0n 等于（ ） A. 1 B.2 C. 3 D. 45.已知数列{}n a 中，1a b =(b 为任意正整数)，11(1,2,3,)1n n a n a +=-=+，能使n a b = 的n 的数值是（ ）A. 14B.15C. 16D. 17 6.在等比数列{}n a 中，7116,a a =4145a a +=，则2010a a 等于（ ） A.23 B.32 C. 23或32 D. -23或-327. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ).A.12 B. 12- C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n =-+，前n 项和为919，则项数n 为（ ）A. 7B.8C. 9D. 10 9. 在等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为( )A. 14B. 15C. 16D. 1710.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >并且110S =，若n k S S ≤对n N *∈恒成立，则正整数k 构成集合为 （ ）A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}11.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ）A.212-1212.若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为（）A.12 B.4 C.5 D.2第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = .14.如果关于x 的不等式1x a x x -<++的解集为R ，则a 的取值范围是 . 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15160,0S S ><,则11S a ，22Sa ，…，1515S a 中最大的是 。
16.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且存在正数t 使得对所有正整数n2nt a +=，通过归纳猜想可得到n S = .三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N *∈，有,,n n n a S 成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T18．（本题满分１２分）设0,1,a a >≠数列{}n a 的通项公式cos lg n n a n n a π=，前n 项和为n S ．试问是否存在常数p 、q 、r,使()22lg n S pn qn r a =++对所有n N +∈都成立？并证明你的结论． 19.（本题满分12分）已知01,01αβ<<<<，数列{}n x 与{}n y 由以下条件确定：11(,)(2,1)x y =，*11(,)(1,22),()n n n n x y x y n N ααββ++=+-+-∈回答下列问题：（1）求数列{}n x 与{}n y 的通项公式； （2）求lim n n x →∞，lim n n y →∞.20.（本题满分12分）设数列{}n a 满足111(1)2(1,2,3,)n n a na n a n +⎧=⎨=+-=⎩ 试求其通项. 21.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足1a p =,21a p =+,21220n n n a a a n ++-+=-,其中p 是给定的实数,n 是正整数,试求n 的值,使n a 的值最小. 22.（本题满分12分）已知点 ),,(,),,2(),,1(2211n n y n B y B y B (∈n N *)顺次为直线1214+=x y 上的点,点)0,(),0,(2211x A x A ),0,(,n n x A (∈n N *)顺次为x 轴上的点,其中)10(1<<=a a x ,对任意的∈n N *,点n A 、n B 、1+n A 构成以n B 为顶点的等腰三角形.(Ⅰ)证明:数列{}n y 是等差数列;(Ⅱ)求证:对任意的∈n N *,n n x x -+2是常数,并求数列{}n x 的通项公式;(Ⅲ)在上述等腰三角形1+n n n A B A 中,是否存在直角三角形,若存在,求出此时a 的值;若不存在,请说明理由.数列与不等式专题参考答案1.提示：这是一道含绝对值的分式不等式。
其基本解法是去掉绝对值，然后，转化成分式不等式。
去掉绝对值常用的方法有三个：1）利用定义，讨论去掉绝对值；2）平方，即22x x =；3）利用公式()()()x f x f x x f x <⇔-<<。
本题作为一道选择题利用上述三种解法有小题大做的嫌疑。
可以利用函数图象，作出y x =，及1y x =的图像，可立得1x x>的解集为{01}x x x <>或，从而可得C. 答案：C2.提示：本题属等差、等比数列常规问题，基本解法是：用基本元表示题中两条件得关于1a 和q 的方程组，解得1a 和q 值，进而得45a a +的值为2727-或.常用解法是首先考虑数列性质，利用性质：“12233445,,,a a a a a a a a ++++为等比数列”更为简单. 答案：D3.提示：本题可用特殊与一般的思想，将3n =代入选项排除A 、C 、D. 答案：B4.提示：由题意不难发现，当n 取3时，33n n =.当4n ≥时，才总有33n n >，故04n =. 答案：D5.提示：数列是特殊的函数，又叫整标函数。
本题的实质是()()111f x f x +=-+，进而推得()()121f x f x +=--，()()3f x f x +=，为周期函数。
用函数的观点来看数列是高屋建瓴。
本题中{}n a 是以3为周期的周期数列，几个选项中只有161a a b ==. 答案：C6.提示：由711414,a a a a =∴414,a a 是方程2560t t -+=的两根，23t t ∴==或 即4144142,33,2a a a a ====或，又20141043223a a a a ==或. 答案：C7.提示：19285223a a a a a π+=+==，故2821cos()cos()32a a π+==-. 答案：B8.提示：本题考查裂项法求和.通过裂项得99.2119n n S n n ===+，解得 答案：C9.提示：等差数列求和公式应该理解成()()1122n k n k n n a a n a a S -+++==。
由918S =得，即5918a = 得52a =又15423032n n a a a a -+=+=+= 所以1()240,2n n n a a S +==得15n =.答案：B10.提示：由 100S >并且110S =，知6110,0a a =<，所以0d <故56S S =且最大. 又n k S S ≤对n N *∈恒成立，所以正整数k 构成集合为{5,6}. 答案：C11.提示：由题意，0n a >，12n n n a a a ++=+，又212n n n a a a ++=可得，211()n n n n a a a a ++=-解此方程得1n na a +=12-. 答案：D12.提示：在近几年高考中，特别是2008年第17题、2009年全国Ⅰ卷理科第16题，对于均值不等式的考查几乎形成了一个固定模式：将形如函数2ax y bx cx d =++变形成ay d bx c x=++的形式，然后利用不等式或函数性质来求解。
这类问题的难点在于变形上，很多问题很隐蔽。
因为a 是12b +与12b -的等比中项，则2214a b =-，故22144a b ab =+≥，14ab ∴≤。
22ab a b +≤==。
11,44ab ab ≤∴≥，∴22aba b +≤4 答案：B13.提示：由. 23711220a a a -+=得27740a a -=， 所以74a =或70a =，又数列{}n b 是等比数列，且77b a =。
故70a ≠，只有74a =，2226877416b b b a ====. 答案：1614.提示:数形结合. 不等式1x a x x -<++的解集为R ,等价于函数y x a =-的图象全在函数1y x x =++图象的下方. 答案:10.a -<<15.提示：由158150S a =>，知80a >，再由89161602a a S +=⨯<知90a <． 所以，当915n ≤≤时，0n n S a <，当18n ≤≤时，0n nSa >。
且由1281280,a a a S S S >>>><<,知88S a 最大。
答案：88S a ． 16.关于递推数列考纲说的很清楚，“了解递推数列是给出数列的一种方式，会由数列的递推式求数列的前几项”，进而，数列的基本思想是归纳推理，得出数列前几项后，归纳得出数列的一个通项公式，这是考纲中的考试要求，也是这类问题的基本解法！提示：由11S a =，求得1S t =，由22a S t =-求得24S t =，由334a S t =-求得39S t =或3S t =.又因0,n a >所以313,9S S S t >∴=.由此猜想n S =2tn . 答案：2tn17提示：这道题有三个重点必须掌握，这三个重点都是高考必考的内容：①n a 与n S 的关系问题是数列中的一个重点，也是一个热点。