同济大学《数学建模》数学规划模型
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数学建模案例分析第四章 数学规划模型
x2 x6 4 50
原料 供应
劳动 时间
x1 x 5 3
加工能力 附加约束 非负约束
x 1 x 5 100
x 3 0 .8 x 5
4 ( x1 x 5 ) 2 ( x 2 x 6 ) 2 x 5 2 x 6 480
x 4 0 . 75 x 6
x1 , x 6 0
LINDO 6.1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 3360.000
2）x1+x2<50
3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
T
f(x)~目标函数
gi(x)0~约束条件 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得
重点在模型的建立和结果的分析
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
模型求解
约 束 12 x 1 8 x 2 条 3 x 1 100 件
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
原料 供应
劳动 时间
x1 x 5 3
加工能力 附加约束 非负约束
x 1 x 5 100
x 3 0 .8 x 5
4 ( x1 x 5 ) 2 ( x 2 x 6 ) 2 x 5 2 x 6 480
x 4 0 . 75 x 6
x1 , x 6 0
LINDO 6.1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 3360.000
2）x1+x2<50
3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
T
f(x)~目标函数
gi(x)0~约束条件 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得
重点在模型的建立和结果的分析
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
模型求解
约 束 12 x 1 8 x 2 条 3 x 1 100 件
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
数学规划模型
数学规划模型
数学规划模型是一种数学建模方法，它使用数学方法来解决决策问题。
数学规划模型可以用来优化资源的利用，最大化或最小化某个目标函数。
首先，数学规划模型需要明确目标函数和约束条件。
目标函数是我们希望优化的指标，约束条件则是限制我们优化的条件。
例如，如果我们要找到一种最佳的生产计划，那么目标函数可以是产量的最大化，约束条件可以是原料的限制、生产设备的限制等。
接下来，数学规划模型需要定义决策变量。
决策变量是我们可以调整的变量，通过调整决策变量的值，我们可以达到最优解。
例如，对于生产计划问题，决策变量可以是每种产品的生产数量。
然后，将目标函数和约束条件用数学公式表示出来。
例如，如果我们的目标是最大化产量，那么目标函数可以表示为一个关于决策变量的函数。
同时，约束条件也可以用一组不等式来表示。
接下来，我们需要使用数学方法来求解这个数学规划模型。
常用的数学方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
具体的求解方法取决于模型的特点和目标函数的形式。
最后，我们需要把数学模型的结果解释给决策者，帮助他们做出更明智的决策。
这个过程通常包括分析和解释模型的结果，
以及提供关于如何操作和调整决策变量的建议。
总结来说，数学规划模型是一种解决决策问题的数学方法。
通过明确目标函数和约束条件，定义决策变量，使用数学方法求解，并将结果解释给决策者，我们可以通过数学规划模型得到最优的决策方案。
这种方法在供应链管理、生产计划、资源分配等领域有着广泛的应用。
数学建模-数学规划模型
• 因为x1,x2当前均为非整数，故不满足整数要求，
任选一个进行分枝。设选x1进行分枝，把可行
集分成2个子集：
x1 [4.8] 4 x1 [4.8] 1 5
• ，因为4与5之间无整数，故这两个子集内的整
数解s.t. 必与原可行集合整数解一致。这一步称为
分枝。这两个子集的规划及求解如下：问题B1：
Max z 40x1 90x2
• 最优解为：
9 7
x1 x1
7x2 56 20x2 70
0 x1 4, x2 0
x1 4.0, x2 2.1, z1 349
• 问题B2
Max z 40x1 90x2
s.t.
9x1 7x2 56 7x1 20x2 70
x1 5, x2 0
由于xi只取值0或1
xi (1 xi ) 0, i 1,L , n.
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最 大的方案，所以这个最佳投资决策问题归 结为总资金以及决策变量（取0或1）的限 制条件下，极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为
n
bi xi
max Q
i 1 n
ai xi
i 1
非线性规划的Matlab解法 Matlab中非线性规划的数学模型形式
minf(x)
Ax B Aeq x Beq C(x) 0 Ceq(x) 0
其中是标量函数，是相应维数的矩阵和向量， 是非线性向量函数。Matlab中的命令是
X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB, NONLCON,OPTIONS)
• x j [bj ] xj [bj ] 1 进行迭代。
• 第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符 合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]表示小 于bj的最大整数。构造两个约束条件
数学建模培训之数学规划模型
线性规划的求解
例1 max z 5 x1 10x2 s.t. 5 x1 4 x2 24, 2 x1 5 x2 15, x1 x2 1 x1 0, x2 0
x2
Q3
Q4 x2-x1 =1
O
Q2
2x1+5x2=15
Q1 x1 5x1+4x2=24
数学建模
Mathematical Modelling
第一讲 数学规划模型
优化问题： 现实世界当中经常遇到的一类问题。
Байду номын сангаас
最优化方法：
解决优化问题的数学方法。 解决优化问题的基本步骤： 1)建立优化模型; 2)利用优化方法辅以计算机求解 优化模型。
优化模型：
1) 数学规划：线性规划
非线性规划
整数规划 动态规划 多目标规划 生产与服务业的运作管理：计划问题、调度问 题、运输问题、下料问题，… 经济与金融领域：经济均衡问题、投资组合问 题、市场营销问题， …
2)图与网络的优化模型
运输问题 指派问题 最大匹配问题 最小覆盖问题
最短路问题
最小树问题 行遍性问题(旅行商问题/中国邮递员问题) 网络流问题(最大流/最小费用流) 计划网络图优化问题
3)对策论（博弈论） 4)排队论 5)存贮论 参考书：
▲运筹学(第3版)，《运筹学》教材编写组编，清
华大学出版社,2005
2. 罚函数法：
利用目标函数 f (x)和约束函数 g (x) 构造带参数的“增广” 目标函数 ，将约束NLP 转化为一系列无约束NLP来求解： min F(x) = f (x) + Pk(x) 其中Pk(x)为由g (x)构成的“惩罚”函数。
数学建模-数学规划模型
建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
数学建模常用模型及代码
数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。
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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。
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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。
n个人指派n项工作的问题。
传送门
４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。
传送门
５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。
传送门
6.动态规划
运筹学的一个分支。
求解决策过程最优化的过程。
传送门
二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。
传送门
三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。
传送门。
《数学规划模型 》课件
。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
数学建模线性规划模型
引 言
• 历史悠久 • 理论成熟 • 应用广泛
1939
KOHTOPOBUZ “生产组织与计 生产组织与计 数学方法” 划中的 数学方法” 解乘数法” “解乘数法”
• 1947 •
DANTZIG 人员轮训 任务分配 单纯形法” 美国科学院院士 “单纯形法”
• 1960 “最佳资源利用的经济计算” 最佳资源利用的经济计算” 最佳资源利用的经济计算 康托洛维奇和库伯曼斯(Koopmans)因 康托洛维奇和库伯曼斯 因 对资源最优分配理论的贡献而获1975年 对资源最优分配理论的贡献而获 年 诺贝尔经济学奖。 诺贝尔经济学奖。 • 60-70年代 计算机 50约束 100变 年代 约束 变 30000约束 3000000变量 约束 变量
④根据 max（σj>0）=σk 确定xk为换入变 量；根据θ规则 θ＝min{b'i/a'ik｜1≤i≤m, a'ik>0}＝b'l/a'lk • 确定相应的换出变量，并得到中心元素 a'lk。转⑤。 • ⑤以a‘lk为枢轴元素进行转轴运算，得 到新的单纯形表。转②
不符合标准型的几个方面
：
⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2+L+cnxn 令z′=-z ,变为 max z′= -c1x1- c2x2- L -cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≤b1 加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≥b1 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn - xn+1=b1 ⑷变量xj无约束。 令xj= xj′ - xj″，对模型中的进行变量代换。
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s.t. a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
am1x1 am2 x2 amn xn bm .
非负性 xi 0,i 1, 2, , n.
注 线性规划的目标函数还可以用min来表示, 表示
追求目标函数的最小值. 而s.t.表示约束条件:
从分析中可以看出, 此问题的关键是确定每种方案下 的余料数.
设 xi i 1, 2, ,5 表示第i 种方案中使用的原料钢
筋数, 则余料数为
z 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5.
而相应的限制条件为
故原问题的数学关系式为
min z 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5.
假设在切割过程中, 我们不考虑钢筋的损耗, 并考虑各 种切割方案:
方案
2.9
2.1
1.5
余料
1
1
0
3
0
2
2
0
1
0.1
3
0
2
2
0.2
4
1
2
0
0.3
5
0
1
3
0.8
s.t.
2x1x3 2
x2 x4 100, 2x4 x5 100,
3x1 x2 2x3 3x5 100.
非负性 xi 0,i 1, 2, ,5.
s.t. x1 2x2 x4 100,
2x3 2x4 x5 100, 3x1 x2 2x3 3x5 100.
非负性 xi 0,i 1, 2, ,5.
在Lingo下得到该问题的解为
min 0.1* x2 0.2* x3 0.3* x4 0.8* x5; x1 2* x2 x4 100; 2* x3 2* x4 x5 100; 3* x1 x2 2* x3 3* x5 100;
输成本为cij ,则问题的目标函数为
z 21x11 25x12 7x13 15x14 51x21 51x22 37x23 15x24 ,
由于从第一个产地调出的物质的总和为第一个产地的产
量, 即有
x11 x12 x13 x14 2000,
同理, 有
x21 x22 x23 x24 1100.
End
保存完之后执行Lingo菜单下的Solve命令,得到相应的解.
Variable X1 X2 X3
Value 85.71429 71.42857 121.4286
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus 1 1592.857 2 0.000000 3 57.14286 4 0.000000 5 0.000000
x21
x22
x23
x24
1100.
x11 x12
x21 x22
1700, 1100,
分析
该问题的关键所在是确定每种产品的产量, 为此以 x1, x2 , x3 表示三种产品的产量, 则目标为
Max z 4.5x1 5x2 7x3.
在一个生产周期中, 每种设备所提供的工时为有限的, 故对四种设备而言还应该满足下列条件:
Max z 4.5x1 5x2 7x3.
s.t. 2x1 2x2 4x3 800,
End
运行后得到该问题的解为
X2 25.00000 X3 0.000000 X4 25.00000 X5 0.000000 X1 25.00000
0.000000 0.3666667 0.000000 1.283333 0.000000
线性规划的模型一般可表示为
max z c1x1 c2 x2 cn xn.
（Subject to）.
问题3 要从甲地调出物质2000吨, 从乙地调出物质
1100吨, 分别供给 A地1700吨, B 地11吨, C 地200吨和 D
100吨, 已知每吨运费如表所示, 试建立一个使运费达到 最小的调拨计划.
销地
产地
A
B
C
D
甲
21
25
7
15
乙
51
51
37
15
单位路程运费表
分析 设从第 i个产地到第 j个销地的运输量为 xij , 运
Dual Price 1.000000 1.357143 0.000000 0.2142857 0.4642857
问题2 某车间要制造100套钢筋架, 每套需要长为2.9
2.1 m, 1.5m 的钢筋各一根. 已知原料钢筋长度为7.4m.
问如何切割钢筋, 使得钢筋的利用率为最高?
分析 该问题的要点是如何切割钢筋, 使得每次切割之 后, 剩下的余料为最少?
4x1x122x2x233x3x368550,0, 2x1 4x2 2x3 700. 非负性 xi 0,i 1, 2,3.
用Lingo软件可以得到相应问题的解. 启动Lingo, 在窗 口下中输入下列程序:
max 4.5* x1 5* x2 7 * x3; 2 * x1 2 * x2 4x3 800; 1* x1 2 * x2 3x3 650; 4 * x1 2 * x2 4x3 850; 2 * x1 4 * x2 2x3 700;
对称地, 对销地而言, 有关系
x11 x21 1700, x12 x22 1100, x13 x23 200, x14 x41 100.
由此得到该问题的数学模型
min z 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24 ,
s.t. x11 x12 x13 x14 2000,
第四章 数学规划模型
一、数学规划模型
1.模型的建立
问题1 某厂利用甲,乙,丙,丁四种设备生产A,B,C三种 产品, 相关数据如表所示. 已知这三种产品的单件利润 分别是4.5, 5, 7（百元）,试问该厂应如何安排生产可获 得最大利润?
A
B
C 总工时
甲
2
2
4
800
乙
1
2
3
650
丙
4
2
3
850
丁
2
4
2
700
甲 2x1 2x2 4x3 800. 乙 x1 2x2 3x3 650. 丙 4x1 2x2 3x3 850. 丁 2x1 4x2 2x3 700. 注意到变量 x1, x2 , x3 代表的是产品的产量, 故有xi 0.
抽去所给问题的具体意义, 我们得到原问题的数学关系 为