江苏省无锡市普通高中2019-2020学年高一下学期期末数学试题
江苏省无锡市普通高中2019-2020学年高一下学期期末数学试题
一、单选题
1. 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是（）
A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈
B．2位病人中一定有1位能治愈
C．每位病人治愈的可能性是50%
D．所有病人中一定有一半的人能治愈
3. 直线在y轴上的截距为（）
A ．B．3C ．D ．
4. 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据：
元24568
元3040605070
对上述数据进行分析，发现y与x之间具有线性相关关系，下列四个线性回归方程中正确的选项是（）
A．B．
C．D．
5. 在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，则的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
6. 某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（）
A．米B．米C．米D．米
7. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进若干米后到达D处，又测得山顶的仰角为，已知山的高度BC为1千米，则该登山队从A到D前进了（）
A．千米B．千米C．1千米D．1.5千米
8. 如图，矩形ABCD中，，，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，且.则AP长度的最小值为（）
A．B．C．4D．
二、多选题三、填空题9. 正方体中，下列叙述正确的有（ ）
A ．直线与所成角为
B ．直线与所成角为
C ．直线与平面ABCD
所成角为
D ．直线与平面所成角为
10.
已知一组数据，
，，，的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（ ）
A ．，，，，的平均数为3
B ．，，，，的方差为3
C ．，，，，的方差为4
D ．，，，，的方差为8
11. 下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C ．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D ．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
12. 在
中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，，则以下四个结论正确的有（ ）A ．
不可能是直角三角形B ．有可能是等边三角形C ．当时，的周长为15D ．当时，的面积为
四、解答题13. 下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：
选修物理选修历史男生
16040女生
80120
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调查，若在“选修物理的男生”中抽取了8人，则n 的值为________.14. 若两条直线
和互相垂直，则的值为________.
15.
已知直三棱柱
中，，，
，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为________.
16. 从A ，B ，C ，D ，E 五位条件类似的应聘者中征选2人担任秘书职位，则A 被录用的概率为________.
17. 为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位cm ），得到如下频数分布表和频率分布直方图： 分组
频数
27a b 2
（1）请求出频数分布表中a ，b 的值；
（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）从样本中底部周长在115cm以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm以上的概率.
18. 如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是上的中点，是
的中点，与交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
19. 已知圆C过三点，，.
（1）求圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程
20. 在中，已知，.
（1）若最小边的长为5，求最大边的长；
（2）若AC边上的中线BD长为，求的面积.
21. 如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的正切值.
22. 已知圆和圆，，为圆D上动点.
（1）过点A作一条直线l，若l被圆C和圆D截得的弦长相等，求直线l的方程；
（2）求证：当点P不在x轴上时，总存在圆C上点M和圆D上点N，使得四边形AMPN为平行四边形.。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
无锡市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
无锡市2022年秋学期高一期终教学质量调研测试数学一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{02},{11}A xx B x x =≤<=-<<∣∣，则A B ⋃=（）A .(1,0]- B.(1,2)- C.[0,1)D.(0,1)2.tan(420)- 的值为（）A.3-B.3C. D.3.已知对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则4log a =（）A.14B.12C.2D.44.函数()e e x xxf x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知0.412log 1.41,2,ln 2a b c ===，则（）A.a c b<< B.c a b << C.b a c<< D.a b c<<6.已知3sin(30),601505αα+=<<，则cos α的值为（）A.310 B.310-+ C.410-- D.410-7.图（1）是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象，图（2）（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（）A.图（1）中的点A 表示当乘客量为0时，亏损1.5个单位B.图（1）中的点B 表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利C.图（2）的建议为降低成本同时提高票价D.图（3）的建议为保持成本同时提高票价8.函数ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数是（）A.1B.5C.6D.7二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列说法错误的是（）A.命题“2R,230x x x ∃∈-+=”的否定为“2R,230x x x ∀∈-+≠”B.命题“1,x ∀>都有215x +>”的否定为“1,x ∃≤使得215x +≤”C.“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件D.“1122(1)(3)a a +<-”是“21a -<<”的充分不必要条件10.下列函数既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的是（）A.3y x =- B.1||y x =C.2ln(1)y x =+ D.221y x x =-11.若,(0,),1a b a b ∈+∞+=，则下列说法正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数21,()321,xx a f x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，则下列结论正确的是（）A.当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数三．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为________14.不等式4220x x --≤的解集是________．15.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型3()log ()K n n λλ=为常数来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出6,60Q T ==．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为________天．（结果保留一位小数．参考数据：ln 20.30,ln 30.48≈≈）16.已知函数3()1a f x ax x +=++对于任意121x x ≤<，都有1212()()12f x f x a x x ->-，则实数a 的取值范围是________．四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．（1）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；（2）若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．18.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的顶点均为坐标原点O ，始边均与x 轴的非负半轴重合，角β的终边过点(1,2)Q -，将OQ 绕原点O 按顺时针方向旋转π4后与角α的终边OP 重合．（1）写出角α与角β的关系，并求出tan α的值：（2）求π3πcos 2sin cos(π)22ααα⎛⎫⎛⎫+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．19.已知函数π()2cos()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式：（2）将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0,]π上的单调减区间．20.已知二次函数2()41f x ax x =--．（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立：（2）若()f x 在区间(1,1)-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围．21.某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为10万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将*(1032,N )x x x ≤≤∈个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5%x ，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为38m x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元．（1）当20m =时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，求x 的取值范围（2）当2223m <<22.定义在区间[4,4]-上的函数1()1(R,01xa f x ab b +=-∈>+且1)b ≠为奇函数．（1）求实数a 的值，并且根据定义研究函数()f x 的单调性：（2）不等式222(1)22cos )1b f m b θθ+++>- 对于任意的π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．无锡市2022年秋学期高一期终教学质量调研测试数学一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{02},{11}A xx B x x =≤<=-<<∣∣，则A B ⋃=（）A.(1,0]-B.(1,2)- C.[0,1)D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】直接根据集合运算求解即可.【详解】解：因为{02},{11}A x x B x x =≤<=-<<∣∣，所以A B ⋃={12}xx -<<∣，即A B ⋃=(1,2)-.故选：B2.tan(420)- 的值为（）A.3-B.3C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：()()tan(420)tan 300720tan 300tan 36060tan 60-=︒-︒=︒=︒-︒=-︒=-o故选：C.3.已知对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则4log a =（）A.14B.12C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合对数运算求解.【详解】由题意可得：1214log log log 2a a a a ===4=，解得16a =，则44log log 162a ==.故选：C.4.函数()e ex xxf x -=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，排除B ；再由0x >得()0f x >，排除C ，再取特殊点法推得()f x 在()0,∞+上并不单调递增，从而排除D ；再分析A 中的图像性质，满足()f x 的性质，从而得解.【详解】因为()e e x xxf x -=+，所以()f x 的定义域为R ，关于原点对称，又因为()()e e e e xx x xx xf x f x ----==-=-++，所以函数()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故B 错误；当0x >时，因为e 0,e 0x x ->>，所以()0e e x xxf x -=>+，故C 错误；因为()111e ef -=+，()2222212e e e e 22f --==++，又()2112e 2e e e 2e 12e 2e --=->⨯>>=，所以21e e e 2->+，则221e e e e 22--+>+，所以()()22111120e e e e22f f ---=->++，即()()12f f >，所以()f x 在()0,∞+上并不单调递增，故D 错误；由于排除了选项BCD ，而且选项A 中的图像满足上述()f x 的性质，故A 正确.故选：A.5.已知0.412log 1.41,2,ln 2a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b<< C.b a c<< D.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】找中间量12和1进行比较，根据指数函数、对数函数的单调性可得到答案.【详解】因为e 4<2<，则1ln 2ln e 12=<<=又22210log 1log 1.41log 2=<<=，0.410221>=，所以102a <<，1b >，112c <<，所以a c b <<.故选：A6.已知3sin(30),601505αα+=<<，则cos α的值为（）A.310 B.310-+ C.410-- D.【答案】B 【解析】【分析】根据平方关系式求出()cos 30α+，再根据()cos cos 3030αα=+-及两角差的余弦公式可求出结果.【详解】因为60150α<< ，所以9030180α<+< ，又因为()3sin 305α+=，所以()cos 30α+= 45==-，所以()cos cos 3030αα=+-()()cos 30cos30sin 30sin 30αα=+++4315252=-⨯+⨯310-=.7.图（1）是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象，图（2）（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（）A.图（1）中的点A 表示当乘客量为0时，亏损1.5个单位B.图（1）中的点B 表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利C.图（2）的建议为降低成本同时提高票价D.图（3）的建议为保持成本同时提高票价【答案】C 【解析】【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义(斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值，纵截距表示乘客人数为0时的支出)，分析图形即可得出结论.【详解】对于A ，当0x =时，15y =-.，所以图（1）中当乘客量为0时，亏损1.5个单位，故本选项说法正确；对于B ，当3x =时，0y =1）中点B 表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利本选项说法正确；对于C ，根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收支差额（负值)变大了，即支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，所以本选项不正确；对于D ，根据题意和图（3）知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即每增加一个乘客时收支差额的增加值变大，即票价提高了，但乘客人数为0时的收支差额(负值)没有变化，即说明此建议是提高票价而保持成本不变所以本选项说法正确.故选：C8.函数ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数是（）A.1B.5C.6D.7【答案】D【分析】令()0f x =，利用诱导公式化简可得(2π)sin cos 0x x x -+=，然后分类讨论，利用正切函数的图象和性质即可求解.【详解】令()0f x =，即ππ(2π)cos sin 022x x x ⎛⎫⎛⎫----=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(2π)sin cos 0x x x -+=，当3πππ3π5π,,,,22222x ≠--时，方程可化为tan π2x x =-，在同一直角坐标系中分别做出tan y x =与π2y x =-的图象，由图可知：当3πππ3π5π,,,,22222x ≠--时，函数tan y x =与π2y x =-的图象有6个交点，分别为,,,,,A B C D E F ,又因为π2x =，满足方程(2π)sin cos 0x x x -+=，所以π2也是函数()f x 的一个零点，综上，函数ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数是7，故选：D .二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列说法错误的是（）A.命题“2R,230x x x ∃∈-+=”的否定为“2R,230x x x ∀∈-+≠”B.命题“1,x ∀>都有215x +>”的否定为“1,x ∃≤使得215x +≤”C.“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件D.“1122(1)(3)a a +<-”是“21a -<<”的充分不必要条件【答案】BC 【解析】【分析】根据含有一个量词的否定的定义，可判断A ，B ；根据充分条件和必要条件的定义可判断C ，D .【详解】对于A ，命题“2R,230x x x ∃∈-+=”的否定为“2R,230x x x ∀∈-+≠”，故A 正确；对于B ，命题“1,x ∀>都有215x +>”的否定为“1,x ∃>使得215x +≤”，故B 不正确；对于C ，“a b >”推不出“ln ln a b >”，如12a b =>=-，“ln ln a b >”能推出“0a b >>”，所以“a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件，故C 不正确；对于D ，若1122(1)(3)a a +<-，则103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：11a -≤<，所以“1122(1)(3)a a +<-”是“21a -<<”的充分不必要条件，故D 正确.故选：BC .10.下列函数既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的是（）A.3y x =-B.1||y x =C.2ln(1)y x =+ D.221y x x=-【答案】BD 【解析】【分析】函数3y x =-为奇函数，故A 不正确；当0x <时，11||y x x==-为增函数，故B 正确；根据1-和2-的函数可知，C 不正确；根据偶函数的定义以及函数21y x=在(,0)-∞上为增函数，2y x =在(,0)-∞上为减函数，可知D 正确.【详解】因为33()--=x x ，所以函数3y x =-为奇函数，故A 不正确；因为11||||x x =-，所以函数1||y x =为偶函数，且当0x <时，11||y x x ==-为增函数，故B 正确；当=1x -时，2ln(1)ln 2y x =+=，当2x =-时，2ln(1)ln5y x =+=，因为12->-，ln 2ln 5<，所以函数2ln(1)y x =+在(,0)-∞上不是增函数，故C 不正确；因为222211()()x x x x --=--，所以函数221y x x =-为偶函数，因为21y x=在(,0)-∞上为增函数，2y x =在(,0)-∞上为减函数，所以函数221y x x=-在(,0)-∞上为增函数，故D 正确.故选：BD11.若,(0,),1a b a b ∈+∞+=，则下列说法正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可【详解】对于A ，因为1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，取等号，所以ab 的最大值为14，故正确；对于B ，因为,(0,),a b ∈+∞1a b +=，所以1,1,a b ≠≠所以12a a+>，（当且仅当1a a =即1a =时取等号，故等号不取）12b b +>，（当且仅当1b b=即1b =时取等号，故等号不取），所以114a b a b ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故错误；对于C ，因为1a b +=，所以1a b =-，所以144a b -=1144444244b b b b ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当144b b =即14b =时，取等号，故正确；对于D ，()1221233b a a b a a b b ⎛⎫++=+++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=即1,2a b =-=-时，取等号，故正确故选：ACD12.函数21,()321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，则下列结论正确的是（）A.当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，根据指数函数和二次函数的单调性可知A 正确；对于B ，根据指数函数与二次函数的图象可知B 正确；对于C ，根据函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与x 轴没有交点，当1a ≥+时，函数2()210(1f x x x x =-++=>+的图象与x 轴没有交点，可知C 不正确；对于D，当1a ≥判断出函数()f x 为R 上的减函数，可知D 正确.【详解】对于A ，当0a =时，函数21,0()321,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，当0x ≤时，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当0x >时，2()21f x x x =-++的单调递增区间为(0,1)，故A 正确；对于B ，当x a ≤时，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以不论a 为何值，当x 趋近于负无穷时，()f x 趋近于正无穷，即()f x 没有最大值；当x a >时，2()21f x x x =-++的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论a 为何值，当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于负无穷，即()f x 没有最小值；故B 正确；对于C ，当x a ≤时，函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与x 轴没有交点，当x a >时，由2210-++=x x 得1x =1x =-，所以当1a ≥+2()210(1f x x x x =-++=>+的图象与x 轴没有交点，故C 不正确；对于D ，当1a ≥+1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,]a -∞上为减函数，函数2()21f x x x =-++在(,)a +∞上为减函数，且103a⎛⎫> ⎪⎝⎭，2221(1)20a a a -++=--+≤，21213aa a ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭，所以此时函数()f x 为R 上的减函数，故D 正确.故选：ABD.三．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为________【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积为2结合扇形圆心角的弧度数是2，由211S==222lr r α=求得半径，再由弧长公式求解.【详解】设弧长为l ，半径为r ，弧度为α，因为扇形的面积为2，所以211S==222lr r α=，又因为扇形圆心角的弧度数是2，所以r =所以扇形的弧长为l r α==故答案为：【点睛】本题主要考查弧度制公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.不等式4220x x --≤的解集是________．【答案】(],1-∞【解析】【分析】结合换元法及指数函数单调性求解.【详解】令20x t =>，则可得(]22020,2xt t t --＾=，由指数函数单调性可得(],1x ∈-∞.故答案为：(],1-∞.15.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型3()log ()K n n λλ=为常数来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出6,60Q T ==．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为________天．（结果保留一位小数．参考数据：ln 20.30,ln 30.48≈≈）【答案】19.5【解析】【分析】根据已知数据可求得λ，设初始时间为1K ，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为2K ，利用21K K -，结合对数运算法则可求得结果．【详解】解： 1TQ λ=+，6Q =，60T =，∴6061λ=+，解得：12λ=．设初始时间为1K ，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为2K ，则21333ln 2ln 312log (6)12log 12log 612()19.5ln 3K K n n +-=-==≈（天)．故答案为：19.5．16.已知函数3()1a f x ax x +=++对于任意121x x ≤<，都有1212()()12f x f x a x x ->-，则实数a 的取值范围是________．【答案】3a ≥【解析】【分析】将不等式1212()()12f x f x a x x ->-化为12(1)(1)26a x x a ++>+，分类讨论a ，利用12(1)(1)4x x ++>可得答案.【详解】因为对于任意121x x ≤<，都有1212()()12f x f x a x x ->-，即121212331112a a ax ax x x a x x +++--++>-，即12121212(3)()()1(1)(1)2a x x a x x x x ax x +---++>-,即1231(1)(1)2a a a x x +->++，即12(1)(1)26a x x a ++>+恒成立，因为121x x ≤<，所以12(1)(1)4x x ++>，当a<0时，1226(1)(1)a x x a+++<不可能恒成立，当0a =时，12(1)(1)26a x x a ++>+化为06>不成立，当0a >时，1226(1)(1)a x x a +++>恒成立，则264a a+≥，得3a ≥，综上所述：实数a 的取值范围是3a ≥.故答案为：3a ≥.四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．（1）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；（2）若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．【答案】（1）(3,4]（2）()2,-+∞【解析】【分析】（1）首先求解集合B ，根据条件转化为集合的包含关系，列式求解；（2）根据条件转化为R A B ≠∅ ð，列式求a 的取值范围.【小问1详解】()2log 12x -≤，得014x <-≤，解得：15x <≤，即{}15B x x =<≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，所以BA ，则32131215a a a a -<-⎧⎪-≤⎨⎪->⎩，解得：34a <≤；【小问2详解】由条件可知，R A B ≠∅ ð，{1R B x x =≤ð或5}x >，所以31321a a a -<⎧⎨-<-⎩或215321a a a ->⎧⎨-<-⎩，解得：2a >-，所以a 的取值范围是()2,-+∞18.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的顶点均为坐标原点O ，始边均与x 轴的非负半轴重合，角β的终边过点(1,2)Q -，将OQ 绕原点O 按顺时针方向旋转π4后与角α的终边OP 重合．（1）写出角α与角β的关系，并求出tan α的值：（2）求π3πcos 2sin cos(π)22ααα⎛⎫⎛⎫+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）π2π(Z)4k k αβ=--∈；tan 3α=.（2）710-【解析】【分析】(1)根据题意可得：π2π(Z)4k k αβ=--∈，然后利用任意角三角函数的定义得到sin tan 2cos βββ==-，最后再利用两角差的正切公式即可求解；(2)利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简可得：2π3π2tan 1cos 2sin cos(π)221tan ααααα--⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，结合（1）的结论代入即可求解.【小问1详解】由题意可得：π2π(Z)4k k αβ=--∈，由任意角的三角函数可知：cos 5β==-，sin 5β==，所以sin tan 2cos βββ==-，则ππtan 1tan tan(2π)tan()3441tan k βαβββ-=--=-==+.【小问2详解】π3πcos 2sin cos(π)sin 2cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos cos ααα=--2222sin cos cos sin cos ααααα--=+22tan 11tan αα--=+23119-⨯-=+710=-19.已知函数π()2cos()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式：（2）将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0,]π上的单调减区间．【答案】（1）π()2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）由图象可得T ，则可得ω，再将点π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式中可求出ϕ的值，从而可求得函数()f x 的解析式;（2）利用函数图象变换求得()π2cos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出函数()g x 在R 上的单调递减区间，再与[0,]π取交集可得结果.【小问1详解】由图可得函数()f x 的最小正周期为5ππ2π63T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以，22Tπω==，π22cos 033f πϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则2πcos 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵π||2ϕ<即ππ22ϕ-<<，则π2π7π636ϕ<+<，2ππ32ϕ∴+=，则π6ϕ=-，所以π()2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意可得()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令π2π2π2π6k x k ≤+≤+，Z k ∈，得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，记()π5ππ,πZ 1212A k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎦=⎣，则[]5π11π0,π0,,π1212A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因此，函数()g x 在[]0,π上的减区间是5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20.已知二次函数2()41f x ax =--．（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立：（2）若()f x 在区间(1,1)-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(),4-∞-（2）{4}[3,0)(0,5]-- 【解析】【分析】（1）对a 分类讨论，结合二次函数图象及判别式法求解；（2）对零点个数分类讨论，结合判别式法及零点存在定理列式求解，另外需要注意讨论零点在1±的临界情况.【小问1详解】()f x 为二次函数，则0a≠，当0a >时，二次函数开口向上，不等式()0f x <不对一切实数x 都成立，不满足题意；当a<0时，则有1640a D =+<，解得4a <-.故当(),4a ∈-∞-时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；【小问2详解】i.当()f x 仅有一个零点时，由16404a a D =+=Þ=-，此时零点为4122x a -=-=-，符合题意；ii.当()f x 有两个零点时，16404a a D =+>Þ>-①当()105f a =Þ=，则由2()5410f x x x =--=解得另一个零点为15x =-，符合题意；②当()103f a -=Þ=-，则由2()3410f x x x =---=解得另一个零点为13x =-，符合题意；③当()()110f f -¹，由零点存在定理，则有()()()()11530f f a a -=-+<，解得(3,0)(0,5)a ∈-.综上，()f x 在区间(1,1)-内恰有一个零点时，实数a 的取值范围为{4}[3,0)(0,5]-- .21.某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为10万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将*(1032,N )x x x ≤≤∈个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5%x ，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为38m x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元．（1）当20m =时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，求x 的取值范围（2）当2223m <<【答案】（1）*1632,N x x ≤≤∈（2）887.530m +【解析】【分析】（1）当20m =时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为12,y y ，表示出12,y y ，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，即1210010140%y y +≥⨯⨯，解不等式结合*1032,N x x ≤≤∈，即可得出答案.（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为Z 万元，可得()()3100100.258Z x m x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质结合2223m <<，即可得出答案.【小问1详解】当20m =时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为12,y y ，则13208y x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，*(1032,N )x x ≤≤∈，()()()()210010100.025100100.25y x x x x =-+⨯=-+20.25151000x x =-++，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，则1210010140%y y +≥⨯⨯，所以23200.2515100014008x x x x ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭，化简得：2566400x x -+≤，即()()40160x x --≤，解得：1640x ≤≤，又因为*1032,N x x ≤≤∈，所以1632x ≤≤，*N x ∈.【小问2详解】设蔬菜种植大棚全年总收入为Z 万元，所以()()3100100.258Z x m x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭()()251510001032,N*8x m x x x =-+++≤≤∈，()()22542=151********x m m ⎡⎤--++++⎢⎥⎣⎦，当2223m <<时，()()41529.6,30.45x m =+∈，所以当()410,155x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时，函数在单调递增，当()415325x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，时，函数在单调递减，所以，当29x =时，129909.375Z m =+，当30x =时，230887.5Z m =+，当31x =时，331864.375Z m =+，所以当2223m <<时，2121.875Z Z m -=-，所以21Z Z >，3223.125Z Z m -=-，所以23Z Z >，所以2Z 最大，所以当30x =时，蔬菜种植大棚全年总收入最大为：30887.5m +万元.22.定义在区间[4,4]-上的函数1()1(R,01xa f x ab b +=-∈>+且1)b ≠为奇函数．（1）求实数a 的值，并且根据定义研究函数()f x 的单调性：（2）不等式222(1)22cos )1b f m b θθ+++>- 对于任意的π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1；答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用(0)0f =即可求出1a =，然后利用奇函数的定义进行检验；分01b <<和1b >结合单调性的定义进行讨论即可；（2）题意可得到()π(2sin 21)26f m f θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭，利用π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得到[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭，然后分01b <<和1b >两种情况进行讨论即可【小问1详解】因为1()11x a f x b +=-+是奇函数，所以1(0)1011a f +=-=+，解得1a =，所以2()11xf x b =-+，检验：22()()11011x x f x f x b b --+=-+-=++，满足题意；任取12,[4,4]x x ∈-，且12x x <，则()()2121221111x x f x f x b b ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()1212211x x x x b b b b -=++，因为12,[4,4]x x ∈-，12x x <，所以110x b +>，210x b +>，当01b <<时，12x x b b >，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，此时()f x 在[4,4]-上单调递增；当1b >时，12x x b b <，所以()()210f x f x -<即()()21f x f x <，此时()f x 在[4,4]-上单调递减；【小问2详解】2π22cos 2cos 212sin 216θθθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，由222(1)22cos )1b f m b θθ+++>- 可得()22π1(2sin 21)261b f m f b θ-⎛⎫+++>= ⎪+⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5π2π6π,66θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，所以1πs ,in 2126θ⎡⎤∈⎢⎥⎭⎣⎛⎫+ ⎝⎦⎪，所以[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭，所以2434m m +≥-⎧⎨+≤⎩，解得61m -≤≤，当01b <<时，由()f x 在[4,4]-上单调递增可得π2sin 2126m θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭恒成立，所以2261m m +>⎧⎨-≤≤⎩，解得01m <≤；当1b >时，由()f x 在[4,4]-上单调递减可得π2sin 2126m θ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭恒成立，所以3261m m +<⎧⎨-≤≤⎩，解得61m -≤<-；当01b <<时，实数m 的取值范围是{}01m m <≤；当1b >时，实数m 的取值范围是{}61m m -≤<-；【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①()()f x g a <存在解min ()()f x g a ⇔<；()()f x g a <恒成立max ()()f x g a ⇔<；②()()f x g a ≤存在解min ()()f x g a ⇔≤；()()f x g a ≤恒成立max ()()f x g a ⇔≤；③()()f x g a >存在解max ()()f x g a ⇔>；()()f x g a >恒成立min ()()f x g a ⇔>；④()()f x g a ≥存在解max ()()f x g a ⇔≥；()()f x g a ≥恒成立min ()()f xg a ⇔≥。
【期末冲刺】2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷——第十一章 立体几何初步(解析版)
2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。
(立体几何基础题)(原卷版)-2020-2021学年高一数学下学期期末考试考前必刷题
2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题（苏教版 2019）（立体几何基础题）一、单选题1．（2021·江苏高一课时练习）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（）A．相交B．平行C．异面D．不确定2．（2021·江苏高一课时练习）已知平面与平面平行，且直线，则下列说法正确的是（）A．与内所有直线平行B．与内的无数条直线平行C．与内的任何一条直线都不平行D．与内的任何一条直线平行3．（2021·江苏高一课时练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（）A．18＋6B．6＋C．24D．184．（2021·江苏高一课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（）A．B．C．D．5．（2021·江苏高一课时练习）已知一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补6．（2021·江苏高一课时练习）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）A．a2B．a2C．a2D．a27．（2021·江苏高一课时练习）已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是（）A．cm B．4 cm C．cm D．cm8．（2021·江苏高一课时练习）已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条9．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P∥α，PB∥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC∥AC ，则∥ABC 为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定10．（2021·江苏高一课时练习）过球面上任意两点A ，B 作大圆，可能的个数是 ( )A ．有且只有一个B ．一个或无穷多个C ．无数个D ．以上均不正确11．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，∥A′B′C′是水平放置的∥ABC 的直观图，则在∥ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是 ( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．AC12．（2021·江苏高一课时练习）将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．13．（2021·江苏高一课时练习）如图的正方体ABCD - A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB -D 的大小是A ．300B ．450C ．600D ．90014．（2021·江苏高一课时练习）已知S 为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则A ．//GH SAB ．//GH SDC ．//GH SCD ．以上均有可能15．（2021·江苏高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C 中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是A ．B ．C ．D ．16．（2021·江苏高一课时练习）下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行二、填空题17．（2021·江苏高一课时练习）已知三个球的表面积之比是，则这三个球的体积之比为________. 18．（2021·江苏高一课时练习）已知和是异面直线，且平面，平面，，，则平面与的位置关系是________.19．（2021·江苏高一课时练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.20．（2021·江苏高一课时练习）有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为________.21．（2021·江苏高一课时练习）如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________.22．（2021·江苏高一课时练习）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.23．（2021·江苏高一课时练习）下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.24．（2021·江苏高一课时练习）从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．25．（2021·江苏高一课时练习）水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.26．（2021·江苏高一课时练习）如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_______.27．（2021·江苏高一课时练习）已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.28．（2021·江苏高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．29．（2021·江苏高一课时练习）在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.30．（2021·江苏高一课时练习）已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是_______四边形.31．（2021·江苏高一课时练习）如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm．32．（2021·江苏高一课时练习）三棱锥S-ABC中，G为∥ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
江苏省无锡市第一中学2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案(苏教版)
无锡市第一中学2013－2014学年第二学期期末试卷高一数学 2014.6命题人：薛菁 审核: 唐从仁请将本试卷的答案写在答卷纸上.一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知经过点()1,1且与直线x y 21=垂直的直线方程为 ▲ ． 2．将400名学生随机地编号为1~400，现决定用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，按编号顺序平均分为20个组（1~20号，21~40号，，381~400号）。
若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第3组抽取的号码为 ▲ ． 3. 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围是 ▲ ．4. 一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，2，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ． 5．右图是一个算法流程图，则输出的s 的值为 ▲ ．6．一组数据9.8,9.9,10,,10.2a 的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ ． 7．设数列}n a 3log 是公差为1的等差数列，其前n 项和为n S ，且1155S =，则3a = ▲ ． 8 .记等比数列{}n a 的前n 项积为()n T n *∈N ，已知1120m m m a a a -+-=，且51212=-m T ，则m = ▲ ．9. 一只蚂蚁在边长分别为10,8,6的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为 ▲ ．10.在ABC △中，若34=+c a ，则ABC △面积的最大值是 ▲ ．11. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a c b C B 2,90=+=- ，则角C = ▲ ． 12.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *∈N ），且14=a ，312=a ，595=a ，则此数列{}n a 的前100项的和100S = ▲ ．13.设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则1a = ▲ ．14．已知实数,,a b c 满足2->c a 且cba+<+1333，则cb a 333-的取值范围是 ▲ ．二．解答题:本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（第5题）(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～ 190 cm 之间的概率．16.（本小题满分14分）已知函数,1)(2-+=mx x x f（1）若对于任意的]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，求实数m 的取值范围； （2）如果关于x 的不等式f （x ）≤54m 有解，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知54cos =B ，c a 5=． （1）求sin C 的值；（2）若△ABC 的面积C A S sin sin 23=，求b 的值．18.（本小题满分16分）如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口133海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，23tan =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东t （7>t ）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． （1）求S 关于t 的函数关系式)(t S ；（2）应征调t 为何值处的船只，补给最适宜．19.（本小题满分16分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*142N n S S n n ∈+=+，12a ,=(1)证明：数列{}n a 是等比数列； (2)设2n n ab =，{}n b 的前n 项和为n T ，试比较nn T S 2与3的大小；(3)证明：不存在正整数n 和大于4的正整数m 使得等式mS mS a n n m --=++11成立.20.（本小题满分16分）设数列{}n a 满足()()*2,0232N n R a n a n n n ∈∈=++-λλ；等比数列{}n b 的首项为21=b ，公比为q （q 为正整数），且满足33b 是18b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)试确定λ的值，使得数列{}n a 为等差数列；(3)当{}n a 为等差数列时，对每个正整数k ，在k b 与1+k b 之间插入k a 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .答案1．32+-=x y 2. 51 3. []3,3- 4.31 5. 27 6. 0.02 7. 9 8. 59. 48π 10. 6 11. 12π 12. 298 13. 4114. 25(,3)9-15.（4+5+5）解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥. 从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率p 2＝915＝35.16.（7+7）解：(1) ()()⎩⎨⎧<<-⇒<+<022010m m f m f (2)()14452min --=≥m x f m ，14-≥-≤∴m m 或 法二：04512≤--+m mx x ⇒≥∆014-≥-≤m m 或17.（7+7）解： （1）222218cos 2c B ac c a b =-+= ，c b 23=∴∵54cos =B ，π<<B 0，∴53sin =B ． ∵C c B b sin sin = ，∴C sin（2）∵c a 5=， ∴ C A sin 5sin =． ∴203sin 215sin sin 232==C C A ． 又∵1223sin 2122b c B ac S ===，∴203122=b ，∴553=b ．18.（9+7） 解 (1)如图建系 x y OZ 3:=6c o s 133,9sin 133====ββA A y x ()()0,,6,9t B A()0696:=---t y t x AB 联立直线AB OZ ,可得⎪⎭⎫⎝⎛--76,72t t t tC)7(7376212>-=-⨯=t t t t t t S(2) 令)0(7>=-m m t()()8414492314493732=+⨯≥⎪⎭⎫⎝⎛++=+=m m m m S当且仅当7=m 即14=t 时取等号答：应征调14=t 海里处的船只，补给最适宜．19.（5+5+6）解 (1) 421+=+n n S S 4221+=≥-n n S S nn n a a =+12 即()2211≥=+n a a n n 又计算得42=a ， 所以2112=a a{}n a ∴是以2为首项，21为公比的等比数列(2) 221-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114241-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b 0411316>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n T 令021>⎪⎭⎫⎝⎛=np()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-⨯=--=p p p p p T S n n 12131131316116222+∞→n 时，0→p ，32→nnT S∴32<nnT S 法二：也可作差比较大小（3）m S m S m S a n n n m -+--=+1 mn n a am S 1+=-mn n m -+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212114 化简得()12424-+=-m nm若存在正整数n 和大于4的正整数m ，则等式左边为负数，右边是正数，矛盾. 所以不存在正整数n 和大于4的正整数m 使得等式mS mS a n n m --=++11成立20.（4+5+7）解（1）由题意36b =18b +5b ，则2468q q =+，解得2242q q ==或（舍），则2q =， 又21=b ，所以n n b 2=.（2）分别代入3,2,1=n ，又2312a a a =+，得()λλλ416221242-=-+-得3=λ，而当3=λ时，n a n 2=，由21=-+n n a a （常数）知此时数列{}n a 为等差数列，故3=λ.（3）由（1），（2），知nn b 2=，k a k 2=.由题意知，1123425678932,2,4,2,8,c a c c c a c c c c c a ============⋅⋅⋅ 则当1m =时，122T c ≠，不合题意， 当2m =时，232T c =，适合题意. 当3m ≥时，若12m c +=，则12m m T c +≠一定不适合题意， 从而1m c +必是数列{}n b 中的某一项1+k b ， 则个个个个k a k a a a m b b b b b T 222222224321321+++++++++++++++++= ()()k k a a a a +++++++++= 3213222222 12(22)2(21)222222k k k kk k ++=⨯-+⨯=++-, 1112222+++⨯==k k m b C ，所以121222222k k k k ++++-=⨯，即2210k k k --+=, 所以221k k k +=+. *21()k k N +∈为奇数，而2(1)k k k k +=+为偶数，所以上式无解. 即当3m ≥时，12m m T c +≠.综上知，满足题意的正整数仅有2m =.。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题【含答案】
点 A, B 的距 离之比为定值 ( 1) 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称 为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 xOy 中， A(2, 0) ， B(4, 0) ，点
PA 1 P 满足 PB 2 ．设点 P 所构成的曲线为 C ，下列结论正确的是( )
（2（ 若 a 4 13 ， c 12 ，求 ABC 的面积 S ．
19. （本小题满分 12 分）
高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间
为：[80,90) , [90,100), [100,110), [110,120), [120,130), [130,140), [140,150]．其中 a,b, c 成等差数 列且 c 2a ．
AP, BP 与 y 轴 相交于 M , N 点，判断点 M 、 N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，
说明理由．
22. （本小题满分 12 分） “伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”， 该摩天轮
的半径为 6（单位：10m ），游客在乘坐舱 P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑 BC ，伦敦眼与建筑 之间的距离 AB 为 12（单位：10m ），游客在乘坐舱 P 看建筑 BC 的视角为 ．
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(3, 0) 在圆 C：(x m)2 ( y 2)2 40 内，动直
线过点 P 且交 圆 C 于 A, B 两点，若 ABC 的面积的最大值为 20，则实数 m 的取值范围是_____．
四、 解答题（本题共 6 小题，共 70 分）
江苏省无锡市市北高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省无锡市市北高级中学2023-2024学年高一下学期期中
考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
所以1l m lm =ìí
=î，解得1l m ==或1l m ==-.故选：C 4．D
【分析】过P ，Q ，R 三点的平面为六边形，可以根据平面的性质公理，先后证明其余三个顶点在P ，Q ，R 所确定的平面上.【详解】
如图，设过P ，Q ，R 三点的平面为平面a .分别取11A D ，1A A ，1CC 的中点F ，E ，M ，连接RF ，FE ，EP ，PQ ，QM ，MR ，EM ，QF ，RP .由正方体性质知//RF PQ ，所以F Î平面a .又//RP MQ ，所以M Î平面a .又//EF RP ，所以E Î平面a .
所以点六边形RFEPQM 为容器中水的上表面的形状.故选：D.5．D
【详解】试题分析：直线
不平行于
，包括两种情况：
或
，当时，内的所有直线都与直线共面，A 错；当
（3）若式子含有cos x的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C p
++=.。