线面、面面平行的判定、性质定理
线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理-武威第三中学-邵志光
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面平行判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。
线面定理性质
线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线面平行的判定及性质
线面平行的判定定理：
文字语言：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
符号语言：ααα////a b a b a ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊂⊄
线面平行的性质定理：
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言：b a b a a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⊂βαβα
面面平行的判定定理：
文字语言：一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行
符号语言：βαββαα////,//,⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⊂⊂b a A b a b a
面面平行的性质定理：
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言：b a b a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫==γβγαβα
线面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言：ααα⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l n l m l P n m n m ,,
线面垂直的性质定理：
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言：b a b a //⇒⎭
⎬⎫⊥⊥αα
面面垂直的判定定理：
文字语言：一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直 符号语言：
βααβ⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥a a
面面垂直的性质定理：
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另外一个平面垂直
符号语言：ββααβα⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫⊥=⊂⊥a b a b a。
面面平行的性质定理是什么
面面平行的性质定理是什么
面面平行的性质定理：
1、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
2、如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
扩展资料
一、线线平行
1、同位角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
3、同旁内角互补两直线平行。
二、线面平行
1、利用定义：证明直线与平面无公共点；
2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的'直线必平行于另一个平面。
平行平面间的距离处处相等。
已知：α∥β，AB⊥α，DC⊥α，且A、D∈α，B、C∈β求证：AB=CD证明：连接AD、BC由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，那么AB和CD构成了平面ABCD∵平面ABCD∩α=AD，平面ABCD∩β=BC，且α∥β∴AD∥BC（定理2）∴四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD。
线面平行的性质定理和判定定理
线面平行的性质定理和判定定理
面面平行的性质定理：
一、线线平行
1、同位角成正比两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所封盖，如果
内错角成正比，那么这两条直线平行。
2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么这两条直线平行。
3、同旁内角优势互补两直线平行。
二、线面平行
1、利用定义：证明直线与平面并无公共点；
2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的'直线必平行于另一个平面。
平行平面间的距离处处相等。
已知：α∥β，ab⊥α，dc⊥α，且a、d∈α，b、
c∈β求证：ab=cd证明：连接ad、bc由线面垂直的性质定理可知ab∥cd，那么ab和cd
构成了平面abcd∵平面abcd∩α=ad，平面abcd∩β=bc，且α∥β∴ad∥bc（定理2）
∴四边形abcd是平行四边形∴ab=cd。
线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理_武威三中
线面垂直判定及其性质 线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面 内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这 个平面垂直。 线面垂直的性质定理： 性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面， 那么该直线垂直于平面内的所有直线。 性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条 直线垂直已知平面。 性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条 直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂 直于这个平面。 性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行、线面垂直、面面平行、 面面垂直的性质定理
武威第三中学与平面平行的判定定理： 定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行。 定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与 此平面平行。 2、判断直线与平面平行的方法: （1）利用定义：证明直线与平面无公共点； （2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行； （3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的 直线必平行于另一个平面。 注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。 3、直线与平面平行的性质定理： 定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线平行。 定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的 垂线。
面面垂直判定及其性质 1、面面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相 互垂直。 推论1：如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂 直。 推论2：如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可 理解为法向量垂直的平面互相垂直） 2、面面垂直的性质定理 定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面。 定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第 二个平面的直线在第一个平面内。 定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于 第三个平面。 推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。 （判定定理推论1的逆定理） 推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也 互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线和平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面和该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面平行、面面平行的判定
1.如图 6，在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、 如图 ， 、 F、G 分别为棱 AA1、A1B1、A1D1 的中点． 、 的中点． 求证： 求证：平面 EFG∥平面 BC1D. ∥
图6
证明： 则有B 证明：如图 7，连接 B1D1， ， 则有 1D1∥BD. 的中点， ∵E、F、G 分别为 A1A、A1B1、A1D1 的中点， 、 、 、 ∴FG∥B1D1. 则FG∥BD， ∥ ∥ ， ∴FG∥平面 1D. ∥平面BC 同理 EF∥DC1.∴EF∥平面 1D. ∥ ∴ ∥平面BC 又∵EF∩FG＝F， ＝ ， ∴平面 EFG∥平面 ∥平面BC1D.
1．直线 l 与平面α内无数条直线平行，则 l 与α的位置关系 是( D ) A．平行 C．平行或相交 B．相交 D．以上答案都不对
2．下列说法中错误的个数是( C ) ①过平面外一点有一条直线和该平面平行 ②过平面外一点只有一条直线和该平面平行 ③过平面外有且只有一条直线和该平面平行 A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知 AB、BC、CD 是不在同一个平面内的三条线段，E、 已知 是不在同一个平面内的三条线段， 、 、 、 F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 、 的中点，求证： 、 、 平行， 平行． 平行，也和 BD 平行．
证明：如图 ， 证明：如图4， 在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点， 的中点， 、 、 ∴AC∥EF，AC ⊄平面 EFG， ∥ ， ， EF⊂平面 EFG. ⊂ 于是 AC∥平面 EFG. ∥ 同理可证， ∥ 同理可证，BD∥平面 EFG. 图4
错因剖析：没有考虑直线在平面内的情况． 正解：A
如图 9，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 为 PB 的中点，O 为 AC、BD 的交点． (1)求证：EO∥平面 PCD ; (2)图中 EO 还与哪个平面平行？ (1)证明：∵在平行四边形ABCD 中，O 为AC、BD 的交点， 证明： 在平行四边形 的交点， 证明 、 的中点． ∴O 为 BD 的中点． 的中点， 又∵在△PBD 中，E为PB 的中点， 为 ∴EO∥PD. ∥ ∵EO⊄平面 ⊄平面PCD，PD⊂平面 ， ⊂平面PCD， ， ∴EO∥平面 ∥平面PCD. (2)解：图中EO 还与平面 PAD 平行． 解 图中 平行． 图9
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线面、面面平行的判定、性质定理
1、已知： b ，a//， a//，则 a 与b的位置关系是（）
Ａ． a// bＢ． a b
Ｃ． a ，b相交但不垂直Ｄ． a ，b异面
2、已知： b ，a//，a//，则a与b的位置关系是（）．
Ａ． a// bＢ．a b
Ｃ． a 、b相交但不垂直Ｄ．a、b异面
3、过平面外的直线l ，作一组平面与相交，如果所得的交线为 a ， b ， c ，⋯，则这些交线的位置关系为（）
Ａ．都平行
Ｂ．都相交且一定交于同一点
Ｃ．都相交但不一定交于同一点
Ｄ．都平行或都交于同一点
4、 a ， b 是两条异面直线， A 是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（）
Ａ．过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在
Ｂ．过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b
Ｃ．过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b
Ｄ．过 A 有无数个平面平行于 a 和 b
5、如图，已知点P 是平行四边形AB C D 所在平面外的一点， E ， F 分别是 P A ， B D 上的点且 PE∶EA BF ∶FD ，求证：EF//平面PBC．
P
E
D C
F 6、如图，正方形 A BC D的边长为1 3，平面 A BC D 外一点 P 到正方形各顶点的距离都是13 ，M，N 分别是 PA ， DB 上的点，且 PM ∶M A BN∶ND 5∶8 ．
（ 1）求证：直线 MN // 平面PBC；
P
（ 2）求线段M N的长．
M
D C E
N
A B
7、如图，已知P 为平行四边形 A B C D 所在平面外一点，M 为 PB 的中点，
求证： PD //平面MAC ．P
M
B A
C D
8、如图，在正方体ABC D A1B1C 1D1中，E ，F 分别是棱 B C ，
C 1
D 1的中点，求证：EF //平面BB1D1D ．D1F C 1
A 1
B1
D C
A B
A B
E
9、如图，在正方体ABC D A1B 1C 1D 1中，试作出过 A C 且与直线 D 1 B 平行的截面，并说明理由．
D 1C
1
A 1
B1
D C
A B
10、如图，在正方体ABC D A1 B1C 1 D 1中，求证：平面 A1 BD //平面 C D1B1．
D1C1
A1
B1
D C
A B
11、如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且
A M ∶∶∶
MB CN NB CP P．D A
求证：（１） AC //平面 MNP ，BD //平面 MNP ；
（２）平面 M NP 与平面 AC D 的交线// AC．
M E
B D
N P
C 12、如图，在四棱锥P ABC D中，AB C D是平行四边形，M ，N 分别是 AB ，PC 的中点．
求证： MN // 平面PAD．
P
N
A
D
B M C
13、如图，已知点P 是平行四边形 A B C D 所在平面外的一点， E 、 F 分别是 P A 、 B D 上的点且PE: EA BF :FD ，求证：EF//平面PBC．
P
E
D
C
F
A
B。