几何辅助线之中点辅助线

中点辅助线
教学目标：
1.掌握等腰三角形的中线，三角形的中位线
2.掌握倍长中线或类中线的方法
3.建立关于中点的条件反射，当遇到中点时可以考虑的辅助线做法
知识梳理：
1.掌握倍长中线或类中线构造全等三角形方法
E
D
A
B C
N
D
C
B
A
M
2.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一”
3.已知三角形一边的中点，可以考虑三角形的中位线
4.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
5.有些题目中的中点不直接给出，此时需要找出隐藏的中点，例如等腰三角形底边的中点，直角三角形斜边的中点等，然后添加辅助线△ABC中AD是BC边中线
典型例题：
例1：△ABC中，AB=20，AC=12，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF
B
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且AF=EF，延长BE交AC 于F，求证：BE=AC
B
例4：已知：如图，在ABC
∆中，AC
AB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA
DF//
交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠
BAC
A
B
F
D E C
例5：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD，试判断线段BE、EF、FC的数量关系.
例6：已知AD 为△ABC 的中线，∠ADB ，∠ADC 的平分线分别交AB 于点E ，交AC 于点F 。

求证：BE ＋CF ＞EF 。

例
7：在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=
1
4
（AB2+AC2）.
例8：已知△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD＝AB ，求证：CD ＝2CE
例9已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
F C
A D
例10 问题1：如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：∠BME=∠CNE．
问题二：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题三：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
当堂练习：
1：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF∥AB.
E
A
B C
D
F
2：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
E D
A
B C
3：如图，在△ABC 中，BC ＝18 ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别是BC 、DE 的中点，若ED ＝10 ，则FG 的长为_____ 。

4：如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.
5：在四边形ABCD
中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交
于点
F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.
F
E
A
B C
D
6：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1
2
BC，以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，求
证： AE⊥EB且AE=BE
7：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD
8：如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 交于O ，∠ACD＝60 °，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。

求证：△PQS是等边三角形。

9：已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．
⑴ 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；
⑵ 如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
图1
A
B
C
D
E
M
图2
M
E
D
C
B
A
课后练习：
1：已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
2：已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
3：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为多少.
4：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：∠AEF=∠EAF
5：如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线.
6：如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，F为CD的中点．求证：BF=EF
7：在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。

8：△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP=∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．
（1）如图1，当AB=AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB ≠ AC ，其它条件不变时，（ 1）中的结论是否发生改变？请说明理由．
C
E B
A
D F P
A
E
F
P
D C
9：在正方形ABCD 中,点E 、F 分别为BC 和AB 的中点求证：AM=AD
A
B
C
D
E
F
M
10：如图甲，操作：把正方形CGEF的对∠线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG ＞BC），取线段AE的中点M．
（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；
（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；
（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF 的位置及数量关系，并加以证明．。