无旋流动的速度势函数解读
第三节
无旋流动的速度势函数
在任意时 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 刻处处为零，即满足 V 0的流动为无旋流动，无旋流动也 称为有势流动。
一、速度势函数引入二Fra bibliotek速度势函数的性质
一、速度势函数引入
无旋流动的假定
由数学分析可知， V 0是 udx vdy wdz 成为某 一标量函数 ( x，y，z，t ) 全微分的充分必要条件。
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分
B B AB Vds (udx vdy wdz) d B A A A A B
这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。 对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单 值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于 AB 0 零，即 。 （3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
V ui vj wk i j k grad x y z
对于圆柱坐标系，则有 1 vr ，v ，v z r r z
d vr dr v rd vzdz
从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不 论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然 存在速度势函数。
函数φ称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函 数φ的流动为有势流动，简称势流。 根据全微分理论，势函数φ的全微分可写成
d dx dy dz x y z
u ，v ，w x y z
u
按矢量分析
，v ，w x y z
二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数φ满足拉普拉斯 方程，势函数φ是调和函数。
2 2 2 2 0 2 2 2 x y z
拉普拉斯（Laplace）方程
2 2 2 2 2 x y z 2
2
拉普拉斯算子
在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯 方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为 调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方 程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求 解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
无旋流动的速度势函数
在任意时 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 刻处处为零，即满足 V 0的流动为无旋流动，无旋流动也 称为有势流动。
一、速度势函数引入二Fra bibliotek速度势函数的性质
一、速度势函数引入
无旋流动的假定
由数学分析可知， V 0是 udx vdy wdz 成为某 一标量函数 ( x，y，z，t ) 全微分的充分必要条件。
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分
B B AB Vds (udx vdy wdz) d B A A A A B
这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。 对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单 值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于 AB 0 零，即 。 （3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
V ui vj wk i j k grad x y z
对于圆柱坐标系，则有 1 vr ，v ，v z r r z
d vr dr v rd vzdz
从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不 论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然 存在速度势函数。
函数φ称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函 数φ的流动为有势流动，简称势流。 根据全微分理论，势函数φ的全微分可写成
d dx dy dz x y z
u ，v ，w x y z
u
按矢量分析
，v ，w x y z
二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数φ满足拉普拉斯 方程，势函数φ是调和函数。
2 2 2 2 0 2 2 2 x y z
拉普拉斯（Laplace）方程
2 2 2 2 2 x y z 2
2
拉普拉斯算子
在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯 方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为 调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方 程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求 解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
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恒定平面势流 (平面无旋流动)
2
x2
2
y2
0
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤二：认识并填制出境货物通关单 要完成出境货物通关单的制作，李芳芳必须先弄清楚集货单上各项 内容的含义，通过查阅相关资料，了解到出境货物通关单各项内容含义 如下： 1.收货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中买方名称。 任务给出买方为PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.，所 以此栏应填PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.。 2.发货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中受益人名称。 任务给出发货人为厦门阳光贸易有限公司，此栏应填厦门阳光贸易有限 公司。 任务执行
任务执行
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤三：填制报关单 李芳芳通过查阅相关资料，了解到出口货物报关单各 项内容含义如下：
在整理完上述信息后，李芳芳完成的报关单如下： 任务执行
速度势的极坐标表达式
d urdr u rd
ur
r
,
u
1 r
上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
ux u y u z 0 x y z
特征2
2
x2
2
y 2
2
z 2
0
凡满足拉普拉斯方
程的函数是调和函
数，所以速度势
是调和函数
平面无旋流动或平面势流
∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y ux x y
d uxdx uydy
x
ux
，
y
第五章 液体三元流动基本原理w
解：
(ru r ) u 0 r
u (ru r ) A cos A (r ) 2 cos 2 r r r r A sin u C (r ) 2 r
水力学
5.4
液体微团运动的基本形式
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
速度 u 为平移速度 u 0 、旋转速度( dr ) 与变
形速度 (ε dr ) 之和。
流体的速度分解定理：流场中任一点处的
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
5.5
有旋运动简介
有旋流动（有涡流动）
旋转角速度
0 的流动称为有旋流动或 有涡流动 。
质量净流出
液 dM dM 体 三 元 流 [ x ( ux ) y ( u y ) z ( uz )]dxdydzdt t ( dxdydz )dt 动 基 [ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 本 t x y z 原 理 ( u ) 0 液体三元流动的连续性方程
液体三元流动基本原理
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
流线与迹线微分方程 液体三元流动的连续性方程 液体微团运动的基本形式
5.5
5.6 5.7
有旋运动简介
液体恒定平面势流 边界层简介
水力学
5.2 流线与迹线微分方程
1. 流线 （1）定义：流线是某 瞬时在流场中绘出的曲 线，曲线上各点的速度 矢量均与该曲线相切。
x
dt
u x u x dydt / dy dt y y
1 d d 1 u y ux ( ) 角变形率 xy yx 2 dt 2 x y
(ru r ) u 0 r
u (ru r ) A cos A (r ) 2 cos 2 r r r r A sin u C (r ) 2 r
水力学
5.4
液体微团运动的基本形式
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
速度 u 为平移速度 u 0 、旋转速度( dr ) 与变
形速度 (ε dr ) 之和。
流体的速度分解定理：流场中任一点处的
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
5.5
有旋运动简介
有旋流动（有涡流动）
旋转角速度
0 的流动称为有旋流动或 有涡流动 。
质量净流出
液 dM dM 体 三 元 流 [ x ( ux ) y ( u y ) z ( uz )]dxdydzdt t ( dxdydz )dt 动 基 [ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 本 t x y z 原 理 ( u ) 0 液体三元流动的连续性方程
液体三元流动基本原理
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
流线与迹线微分方程 液体三元流动的连续性方程 液体微团运动的基本形式
5.5
5.6 5.7
有旋运动简介
液体恒定平面势流 边界层简介
水力学
5.2 流线与迹线微分方程
1. 流线 （1）定义：流线是某 瞬时在流场中绘出的曲 线，曲线上各点的速度 矢量均与该曲线相切。
x
dt
u x u x dydt / dy dt y y
1 d d 1 u y ux ( ) 角变形率 xy yx 2 dt 2 x y
流体力学2.6 无旋运动的一般性质
流体力学第二章2.6 无旋运动的一般性质
流体力学第二章无旋必然有势，有势必然无旋。
故无旋流场又称为位势流场或简称位势流。
只要满足无旋条件，必有速度势存在，而不论流体是
否可压缩，也不论是定常流动还是不定常流动。
速度势函数的引入可把含有三个未知
数的速度问题化成单一变量Φ的问题
采用极坐标：V =0
22222()()C x y C
V V u v x y
流体力学第二章
在无旋流动中，无限接近的毗邻两点的速度势之差为d dr v dr
01p p P B P V dr
若沿P 0B 1PB 2P 0积分，可以得
到同一点上势函数的差值000120p p P B PB P V dr
2.6.2 速度势与环量如果上式的右侧为零，则 是单值函数，否则 为多值函数。
在单连通域中，由于任意曲线都是可缩曲线，所以根据斯托克斯定理，式（2-6-5）可写成
结论：在单连通域中，速度势是单值函数，而且沿任意封闭曲线的环量为零。
因此在单连通域的无旋流动中不可能存在封闭流线。
0001200p p P B PB P A
V dr V ndA 0
V 是单连通域里积分与积分路径无关的充要条件。
如图（2-6-3）所示，在两个无限长的柱面之间的双连通域中包围内边界L 0的封闭曲线L 1的速度环量为1L
V dr 120L A A
E A L L D L B
V dr V ndA V ndA V dr V dr V dr V dr V dr 而又。
第四章 流体动力学(无旋运动)
dx dy x y
d
ux dx u y dy u cos ds cos u sin ds sin
uds(cos sin ) uds
2 2
d u ds
d dq udn
d u dn
ds d dn d s n
水力学
2、流网的性质 3 对于曲边正方形网格，任意两条流线间的单宽流 量为常量。
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
s n
q C
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
3、求流网的方法 解析法 实验法（水电比拟法）
手描法
水力学
4.4.4 基本平面势流及势流叠加原理
ux u y K1 K 2 1 u y ux
水力学
2、速度势函数的性质
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
(2) 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
代入不可压连续性方程得
2 2 2 0 2 2 2 x y z
2
为调和函数
lab
2
1
的单位为m2 / s.
水力学
4.4.2 速度势函数
第 1、速度势函数定义 五 章 流动无旋 u y ux 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
z
x
y
=0
若令
ux ,uy . x y
( ) ( ) 0 x y y x
水力学
例3
第 五 章 试求:
平面速度场 ux x 4 y
(2). 求流函数
u y y 4x
(1). 是否为可能存在的流动
d
ux dx u y dy u cos ds cos u sin ds sin
uds(cos sin ) uds
2 2
d u ds
d dq udn
d u dn
ds d dn d s n
水力学
2、流网的性质 3 对于曲边正方形网格，任意两条流线间的单宽流 量为常量。
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
s n
q C
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
3、求流网的方法 解析法 实验法（水电比拟法）
手描法
水力学
4.4.4 基本平面势流及势流叠加原理
ux u y K1 K 2 1 u y ux
水力学
2、速度势函数的性质
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
(2) 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
代入不可压连续性方程得
2 2 2 0 2 2 2 x y z
2
为调和函数
lab
2
1
的单位为m2 / s.
水力学
4.4.2 速度势函数
第 1、速度势函数定义 五 章 流动无旋 u y ux 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
z
x
y
=0
若令
ux ,uy . x y
( ) ( ) 0 x y y x
水力学
例3
第 五 章 试求:
平面速度场 ux x 4 y
(2). 求流函数
u y y 4x
(1). 是否为可能存在的流动
《流体力学》第八章绕流运动解析
x y
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章
绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x
x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章
绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x
x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流体力学中的流函数可以用来描述流体的速度场。
速度场表示流体在空间中各点的速度分布情况。
对于无旋的流动，可以引入流函数，流函数可以唯一地确定流线。
流线是流体在给定时刻通过各点的轨迹线。
在无旋的流动中，速度场可以通过流函数的梯度得到。
流函数可以按照如下公式定义：ψ=ψ(x,y,z)其中，ψ是流函数，表示速度场在其中一截面上的流函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
流函数满足拉普拉斯方程：∇²ψ=0其中，∇²是拉普拉斯算子，表示流函数对坐标的二阶混合偏导数的和，等于零表示流函数满足拉普拉斯方程。
流函数的物理意义是流线沿着这个函数的等值线的方向运动。
通过给定流函数值，可以确定流线的轨迹。
势函数是流体力学中另一个重要的数学工具。
势函数用来描述无旋的流动场中的速度场。
对于无旋的流动，速度场可以通过势函数的梯度得到。
势函数可以按照如下公式定义：φ=φ(x,y,z)其中，φ是势函数，表示速度场在其中一截面上的势函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
势函数满足亥姆霍兹方程：∇²φ=0势函数的物理意义是速度场是势函数的梯度。
通过给定势函数值，可以确定速度场的分布情况。
流函数和势函数是流体力学中流动的描述工具。
通过流函数和势函数，可以方便地描述流体的流动和速度场。
流函数适用于无旋流动，通过流函数的梯度可以得到速度场。
势函数适用于无旋流动，通过势函数的梯度可以得到速度场。
流函数和势函数是相互对偶的工具，二者之间有一个互逆的关系。
在实际应用中，流函数和势函数在求解流体问题中起着重要的作用。
通过流函数和势函数，可以方便地计算速度场和流线，从而解决各种涉及流体流动的问题。
总结起来，流函数和势函数是流体力学中用来描述流动的两个重要的数学工具。
流函数用来描述无旋流动的速度场，势函数用来描述无旋流动场中的速度场。
二者分别满足拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。
流函数和势函数在解决流体流动问题中具有重要的作用。
《高等流体力学》第6章 不可压理想流体平面无旋流动
两者平行
ψ = const ，上式变为一个泊松方程，即沿 沿流线， 流线有 Ω =const ，沿流线的涡量为常数。 三、不可压理想流体平面无旋流动的流函数方程 2 Ω = −∇ ψ= 0 无旋时： 0 对定常与非定常都适用 故流函数方程： ∇ 2ψ =
四、流函数的物面边界条件 对应流函数方程，物面边界 条件也应以流函数的形式表 示出来。 物面上：
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2、等流函数线就是流线。 v × dr = 0 流线方程：
∇ψ × k × dr = v × dr = ( dr ⋅∇ψ ) ⋅ k − dr ⋅ k ⋅∇ψ = dψ k
故沿流线方向 dψ = 0 ，即 ψ = const 3、两点的流函数值之差等于过此两点连线的流量。
( )
(
)
这就是理想的不可压流体（或正压流体）质量力有 势条件下平面流动的流函数方程。
二、不可压理想流体定常平面流动的流函数方程
∂ 2 ∇ ψ ) k + ∇ ( ∇ 2ψ ) × ∇ψ = 0 ( ∂t
∇ ( ∇ 2ψ ) = − f ′ (ψ ) ∇ψ = −∇ 令： f (ψ ) 则： ∇ 2ψ = − f (ψ ) + const 无意义，可取0
x
4、流函数可以是多值函数。 过内边界L0的总流量不为零（如 水下爆炸、水下气泡运动等） = dl ×1 L域内无源无汇，视 dA 0 则沿封闭曲线积分： ∫ L ( n ⋅V ) dl =
L1
L0 P0
P
n ⋅ V dl = mQ0 于是： ∫ L1 n ⋅V dl = ∫ L0 P P 故 ψ P −ψ P0 = ∫ n ⋅V dl + ∫ n ⋅V dl = mQ0 + ∫ n ⋅V dl
高等流体力学—理想不可压缩流体无旋运动
N N N N0 N0 N0
N与N0分别为流场中任意两点
20
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
N N N0 N0
cos(n, x)ds dy cos(n, y)ds dx
ui vj i j x y u v x y
13
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：
M
(M ) (M 0 ) udx vdy
M0
M与M0分别为流场中任意两点 速度势函数 满足下列性质： 1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；
u iv
i V u iv V e 定义复速度：
V 是复速度的模， 是复速度的幅角
dw 其共轭复速度u iv V V e i dz
25
四、复位势与复速度
当已知共轭复速度，可求得复函数：
w( z) w( z0 ) V dz
z0
z
复位势的性质 1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
M与M0分别为流 场中任意两点
dx dy M 0 x y
M
M0
vdx udy
M0
M
18
流函数 满足下列性质： 1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) ( x, y) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合： 根据定义，流线方程为：
v(r, t0 ) v1 (r )
p(r, t0 ) p1 (r )
N与N0分别为流场中任意两点
20
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
N N N0 N0
cos(n, x)ds dy cos(n, y)ds dx
ui vj i j x y u v x y
13
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：
M
(M ) (M 0 ) udx vdy
M0
M与M0分别为流场中任意两点 速度势函数 满足下列性质： 1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；
u iv
i V u iv V e 定义复速度：
V 是复速度的模， 是复速度的幅角
dw 其共轭复速度u iv V V e i dz
25
四、复位势与复速度
当已知共轭复速度，可求得复函数：
w( z) w( z0 ) V dz
z0
z
复位势的性质 1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
M与M0分别为流 场中任意两点
dx dy M 0 x y
M
M0
vdx udy
M0
M
18
流函数 满足下列性质： 1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) ( x, y) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合： 根据定义，流线方程为：
v(r, t0 ) v1 (r )
p(r, t0 ) p1 (r )
速度势函数和流函数
l 这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数
-地球物理流体力学》2012.02-05
16
l 3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：
-地球物理流体力学》2012.02-05
17
拉普拉斯流动
l 满足以下条件的为【拉普拉斯流动】： ① 两维平面运动（u,v 不为零，w=0 ） ② 理想流体（不考虑粘性， 0 = μ） ③ 无辐散流（D=0 ）；无旋流
-地球物理流体力学》2012.02-05
18
拉普拉斯流的特点：
l 特点一: 势函数和流函数都是调和函数 l 特点二：等势线与等流函数线垂直
-地球物理流体力学》2012.02-05
19
证明：
l 因为：矢量与本身的叉乘恒为零，则： l 而拉普拉斯流动无旋无辐散，则速度矢：
l 因为是二维运动，则：
l 所以：
-地球物理流体力学》2012.02-05
20
10
注意：
① 流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。
② 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
-地球物理流体力学》2012.02-05
无旋运动与势函数
l 1 、势函数存在的条件 l 无旋运动： l 按照矢量运算，任何一个函数的梯度再取旋度必恒等于零，
l 负号表示流动和梯度方向相反。（梯度方向：低值向高值）
-地球物理流体力学》2012.02-05
1
梯度：
l 标量场的【梯度】( )是一个矢量场。标量场中某一点上的梯 度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
-地球物理流体力学》2012.02-05
16
l 3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：
-地球物理流体力学》2012.02-05
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拉普拉斯流动
l 满足以下条件的为【拉普拉斯流动】： ① 两维平面运动（u,v 不为零，w=0 ） ② 理想流体（不考虑粘性， 0 = μ） ③ 无辐散流（D=0 ）；无旋流
-地球物理流体力学》2012.02-05
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拉普拉斯流的特点：
l 特点一: 势函数和流函数都是调和函数 l 特点二：等势线与等流函数线垂直
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证明：
l 因为：矢量与本身的叉乘恒为零，则： l 而拉普拉斯流动无旋无辐散，则速度矢：
l 因为是二维运动，则：
l 所以：
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20
10
注意：
① 流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。
② 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
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无旋运动与势函数
l 1 、势函数存在的条件 l 无旋运动： l 按照矢量运算，任何一个函数的梯度再取旋度必恒等于零，
l 负号表示流动和梯度方向相反。（梯度方向：低值向高值）
-地球物理流体力学》2012.02-05
1
梯度：
l 标量场的【梯度】( )是一个矢量场。标量场中某一点上的梯 度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
《高等流体力学》第6章-势流
证明:
(
流函数与速度势函数这一关系，在数学上称 为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满 足这一条件的函数称为共轭函数。
i j)( i j) x y x y x x y y u x (u y ) u y u x 0
复势：
W ( z ) i Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q ln r i 2 2
z r (cos i sin ) z z ei re i
p
Z0处复势：
x x x0 y y y0
(ln r i ) (ln r ln ei ) ln re i ln z
Q Q d 2 2 Q Q d dr d dr 0d ln r r 2r 2
1 ur u r r d dr d r
5
2013-12-29
z x iy
B B B u dl ux dx u y dy uz dz d B A A A
AB
A
(2). 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
u i j k x y z
(4). 圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式
(4 xdx 4 ydy ) ( ydx xdy ) 2 x 2 xy 2 y 2 C
u x x 4 y u y 4 x y
6.4 平面势流的数学提法与一般解法
(3).
u z x 4 (4) 0 x y
ux x 4 y x 1 2 x 4 xy C ( y ) 2 C ( y ) u y 4 x y 4 x y y C ( y ) 1 y C ( y) y 2 y 2 1 1 x 2 4 xy y 2 2 2
(
流函数与速度势函数这一关系，在数学上称 为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满 足这一条件的函数称为共轭函数。
i j)( i j) x y x y x x y y u x (u y ) u y u x 0
复势：
W ( z ) i Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q ln r i 2 2
z r (cos i sin ) z z ei re i
p
Z0处复势：
x x x0 y y y0
(ln r i ) (ln r ln ei ) ln re i ln z
Q Q d 2 2 Q Q d dr d dr 0d ln r r 2r 2
1 ur u r r d dr d r
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z x iy
B B B u dl ux dx u y dy uz dz d B A A A
AB
A
(2). 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
u i j k x y z
(4). 圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式
(4 xdx 4 ydy ) ( ydx xdy ) 2 x 2 xy 2 y 2 C
u x x 4 y u y 4 x y
6.4 平面势流的数学提法与一般解法
(3).
u z x 4 (4) 0 x y
ux x 4 y x 1 2 x 4 xy C ( y ) 2 C ( y ) u y 4 x y 4 x y y C ( y ) 1 y C ( y) y 2 y 2 1 1 x 2 4 xy y 2 2 2