双曲线的简单几何性质总结归纳(人教版)
数学人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质
3 2
x y
横坐标 xM 以及它到直线 0 的距离 d .沿曲线向
3 2
右上方拖动点 M ，视察 xM 与 d 的大小关系，你发现
了什么？
4．渐近线
经过1 , 2 作轴的平行线 = ± ，经过1 , 2 作 轴的平
3.2.2 双曲线的简单几何性质
双曲线定义
图
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹．
形
焦点坐标
标准方程
a、b、c 的关系
F1 c ，0，F2 c ，0．F1 0 ，
c ，F2 0 ，c ．
x2
y2
2 1
2
a
b
y2
例4 双曲线冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲
面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m，试
建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的
平面直角坐标系Oxy,使小圆的直径AA’在x轴上，圆心与原点重合.
x2
2 1
2
a
b
c2＝a2＋b2
思考：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
的哪些几何性质？如何研究这些性质？
范围、对称性、顶点、离心率…
利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质
2
2
x
y
以 2 2 1 (a＞0，b＞0)为例
a
b
1．范围
2
由双曲线的标准方程可知， 2
选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
2. 求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,e 5；
4 (2) 焦点在y轴上,焦距是16,e 4 .
3 解：(2)由题意知,2c 16,e 4 ,∴c 8,a 6,b 2 7.
3 又双曲线的焦点在y轴上，
∴所求双曲线的标准方程为 y2 x2 1. 36 28
线段A1A2叫实轴, 长度为2a
线段A1A2叫实轴 , 长度为2a
线段B1B2叫虚轴, 长度为2b
线段B1B2叫虚轴 , 长度为2b
e c (e 1)
a
x y 0,即y b x
ab
a
y x 0,即y a x
ab
b
例3 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐
有相同的渐近线的双曲线方程
可设为
x2 a2
y2 b2
(
0).
练习1 求以椭圆 x2 y2 1的焦点为焦点,以直线 y 1 x 为渐近线的双曲线方程.
13 3
2
解： 由题意知,所求双曲线的渐近线方程为 x y 0.
2
故可设所求双曲线方程为 x2 y2 ,即 x2 y2 1( 0).
(2) 9x2 y2 81;
(3) x2 y2 4;
x2 y2 (4) 1.
49 25
解：(2)原方程变形为 x2 y2 1. ∴a 3,b 9,c a2 b2 9 81 3 10. 9 81
∴实轴长为 2a 6，虚轴长为 2b 18 .
顶点坐标为( 3, 0),焦点坐标为(3 10 ，0).
(3) x2 y2 4;
x2 y2 (4) 1.
49 25
解：(4)原方程变形为 y2 x2 1. ∴a 5,b 7,c a2 b2 25 49 74. 25 49
人教版高中数学选修课件：双曲线的简单几何性质
y
几何意义
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
B2
c2 b2 a2
cb
A1
A2
0a
x
B1
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
8.等轴双曲线
①定义：实轴与虚轴等长的双曲线
探究新知
4.对于双曲线
y2 a2
x2 b2
1a
0,b
0
顶点分别是什么？
其范围、对称性、
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x 顶点（0，±a）
F1
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
4.双曲线的渐近线 人教版高中数学选修2-1课件：2.3.2双曲线的简单几何性质(共54张PPT)
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
形成结论
(1)线段A1A2叫做双曲线的实轴；
(2)由于点B1(0，－b)，B2(0，b)不在双曲线上，线
段B1B2叫做双曲线的虚轴；
(3)实轴长和虚轴的长.
双曲线的简单几何性质总结归纳人教
一．基本概念1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212cot2PF F F PF S b ∆∠= ⑺离心率：121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中222b a c +=a PF PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x 渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x a b y ±=0=±bya x 双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e 两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短，当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
2.2.2双曲线的简单几何性质
b y=±－ ax
a y=±－ bx
半轴长
离心率 a,b,c的关系
半实轴长为a, 半虚轴长为b. c e a c2=b2+a2
例3 求双曲线9y2–16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、 离心率及渐进线方程.
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线 的方程。
4.渐近线:
b 0 ，即y=±－ ax
y
B2 A1
O
当a=b时，双曲线叫做等轴双曲线。 5.离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，
c 用e表示，即 e a
a
B1
A2
b
x
[1]离心率的取值范围：e>1
[2]离心率对双曲线形状的影响：
渐近线与双曲 线永不相交
e越大，c就越大，从而b就越大，双曲线就开口越阔。
(3)焦点为(0, 6)，(0, -6)，且过点(0, 4)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
x y - 2 =1 2 a b
1.范围： 两直线x=±a的外侧 2.对称性：
A1
O
2
2
y
B2
a
B1
A2
b
x
双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。坐 标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。 双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: A1(-a，0)，A2(a，0)叫做双曲线的顶点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，ห้องสมุดไป่ตู้B1B2 叫做双曲线 的虚轴。它们的长分别为2a和2b。
F(±c，0)
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的简单几何性质》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学双曲线的几何性质1.双曲线的范围、对称性及顶点（1）双曲线在不等式x≥a 与x≤-a 所表示的区域内. 如果双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的范围是y≥a 与y≤-a.（2）双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.判断曲线关于原点，关于x 轴、关于y 轴对称的依据：若把方程中的x 换成-x ，y 换成-y ，方程不变，则曲线关于原点对称；若把方程中的y 换成-x ，方程不变，则曲线关于x 轴对称；若把方程中的x 换成-y ，方程不变，则曲线关于y 轴对称.（3）双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(-a,0)、A 2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点.线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.疑点突破 如果双曲线的中心不在原点，是不是还是对称图形？答案是肯定的，椭圆的对称性与选择的坐标系没有关系. 2.双曲线的渐近线及离心率（1）把两条直线y=±x ab 叫做双曲线的渐近线.与双曲线2222b y a x -=1共渐近线的双曲线系方程可表示为2222by a x -=λ(λ≠0且λ为待定常数)；与椭圆2222by a x +(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λλ---2222b y a x =1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线）.（2）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. （3）双曲线的焦距与实轴长的比e=ac，叫双曲线的离心率. 深化升华 ①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.③焦半经:已知F 1(-c,0)、F 2(c,0))，点p(x 0,y 0)在双曲线2222by a x -=1的右支上时，|PF 1|=ex 0+a,|PF 2|=ex 0-a;P 在左支上时，则|PF 1|=-（ex 0+a ）,|PF 2|=-（ex 0-a ）.问题·探究问题1 学习双曲线的简单几何性质时应注意什么？探究:（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意： ①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； ②已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2-a 2y 2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上.（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.问题2 给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，是不是可以直接求出双曲线方程？探究:给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是bya x ±=0，则可把双曲线方程表示为2222b y a x -=λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程. 典题·热题例1 求以曲线2x 2+y 2-4x-10=0和y 2=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．思路分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．解：∵⎪⎩⎪⎨⎧==+2,-2x y 0,10-4x -y 2x 222∴⎩⎨⎧==2y 3,x 或⎩⎨⎧==-2.y 3,x∴渐近线方程为y=±x 32. 当焦点在x 轴上时，由32=a b 且a=6，得b=4． ∴所求双曲线方程为163622y y -=1. 当焦点在y 轴上时，由32=b a ，且a=6,得b=9． ∴所求双曲线方程为813622x y -=1. 方法归纳 （1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握. （2）为避免上述的“定位”讨论，可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解．例2 求证:双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值.思路分析：可以在双曲线上任意找一点，把这点到两条渐近线的距离表示出来，化简即可看出.证明:设双曲线上任一点P(asecθ,btanθ),∵双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0, ∴点P 到直线bx+ay=0的距离d 1=2222|tan sec ||tan sec |ba ab ba ab ab ++=++θθθθ;点P 到直线bx-ay=0的距离d 2=2222|tan sec |tan sec ba ab ba ab ab +-=+-θθθθ.∴d 1·d 2=22222222222222|tan sec ||tan sec |tan sec |ba b a b a b a b a ab ba ab +=+-=+-=++θθθθθθ. ∴双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为定值.方法归纳 (1)所谓定值,是与P 点在曲线上的位置无关的,为了达到目标明确,可先通过特殊的情况,求出一个常数,猜想其定值.(2)双曲线2222b y a x -=1(a>0,b>0)的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan ,sec b y a x (θ为参数),不作过高要求,在解题中灵活应用,类似于换元法解题,将可达到一元化的目的.例3 在双曲线131222x y -=1的一支上有三个点A （x 1，y 1）、B （x 2,6）、C(x 3,y 3)与焦点F （0,5）的距离成等差数列． (1)求y 1+y 3；(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．思路分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)． (1)解：依题意，得B 在双曲线上支上，故A 、B 、C 三点都在双曲线的上支，且上准线的方程为y=512． |AF|，|BF|，|CF|成等差数列，根据双曲线的第二定义，得)512(1)512(1)5126(231-+-=-y e y e e .故y 1+y 3=12． (2)证明:由点A 、C 在双曲线上，故113122121=-x y ,13122323x y -=1． 两式相减，得13))((12))((31313131x x x x y y y y -+--+=0．∴13)(13)(123131313131x x y y x x x x y y +=++=--． ∴AC 的垂直平分线的斜率为3113x x +-．又AC 的中点坐标为（231x x +,6），故AC 的垂直平分线方程为 y-6=)2(133131x x x x x +-+-.当x=0时，y=225，故AC 的垂直平分线过定点（0,225）． 误区警示 本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．方法归纳 关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．例4 已知双曲线b y a x 222-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°思路分析：可以利用△OAF 的面积为22a ，求出a 点的坐标，判断a 、b 的关系可以求出两条渐近线的夹角.2222b y a x -=1（a>0,b>0）的焦点F （c,0）,右准线方程x=c a 2,渐近线y=x a b ，则A(c ab c a ,2),所以S △OAF =21×c×22a c ab =.求得a=b,所以双曲线为等轴双曲线,则两条渐近线夹角为90°.答案：D。
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双曲线的简单几何性质一．基本概念1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2、双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c =⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122122PF F F PF S b ∆∠=⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中22b a c +=a PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22by =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ）4、双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a b y ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短， 当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x 轴的弦长）为22ab 。
⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。
⑿注意两类特殊的双曲线一类是等轴双曲线：其主要性质有：a b =，离心率e =一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。
二．例题选讲【例1】若00(,)M x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右支上时，证明：10||MF ex a =+，20||MF ex a =-变式1：若00(,)M x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左支上时，证明：10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--变式2：（2010江西理）点00()A x y ，在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = 解：a==6,re d=3r d ⇒=,200023()2a x x x c =-⇒=变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3， 则M 到双曲线右焦点的距离是__________ 解：422MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4。
变式3：（09全国Ⅱ理）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 的直线交C于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( ) A ．65 B. 75C. 58D. 95 解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB ,知直线AB 的倾斜角16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+. 又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= .【例2】双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点，12F PF θ∠=，求证：（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co θ∆=.变式：（2010全国1文）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8解1：由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()()2222121212121212222221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =4解2：由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot 1cot 3sin 6022222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====，12||||PF PF =4 变式2：（2010全国1理）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则P 到x 轴的距离为 (A)32 (B)62(C) 3 (D) 6【例3】设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，证明：sin (sin sin )ce aαγβ==±-.【例4】证明：与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ变式1：证明：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x变式2：根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）分析：设双曲线方程为22a x －22by =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22b y =1，由题意得243(3)19b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得a 2=49，b 2=4 所以双曲线的方程为492x －42y =1（2）设双曲线方程为22a x －22b y =1，由题意易求c32，2），∴22)23(a －24b=1 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8，故所求双曲线的方程为122x －82y =1解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y 41（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系， 并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）【例5】在等轴双曲线中，证明：（1）其离心率e =（2）两条渐近线互相垂直；（3）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
变式：双曲线12222=-by a x 与双曲线12222=-a x b y 互为共轭双曲线，证明：（1）共轭双曲线有共同的渐近线； （2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.。