概率论与数理统计 (54学时) - 南京大学计算机科学与技 …
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概率论与数理统计
2.和（并）：
3.互斥（互不相容）：对立：
事件的运算：
伯努利大数定律：当试验次数n足够大时，事件发生的频率就约等于事件发生的概率。
全概率公式、贝叶斯公式
定义：
引入随机变量后，可用随机变量的
等式或不等式来表达随机事件；
随机变量的函数一般也是随机变量
0-1分布是n=1时的二项分布
定义：性质：
定义：
F(x)是X的分布函数，X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称概率密度
性质：
均匀分布：
标准正态分布N(0,1)
标准正态分布的分位数
举例：
期望反映了随机变量取值的平均，又称均值。
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。
其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。
电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。
⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
【免费下载】南大级概率论与数理统计试题A答案实际使用的
n
Sn
(B)2(2) 1
(D)1 2(2).
3.设E则( X ) 1, E(Y ) 2, D( X ) 1, D(Y ) 4, XY 0.6. E(2X Y 1)2 ( )
( A)2.1
答案：C
(B) 3.2
(C) 4.2
(D) 4.8
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
概率论与数理统计 南京大学 1 第一章概率论的基本概念 (1.3.1) 条件概率与乘法公式
卜里耶罐子模型常常被用作描述传染病的数学模型.
条件概率P(•|B)满足概率的三条公理： （1）非负性 P(A|B)0，AF （2）正规性 P(Ω|B)=1 （3）可列可加性 若AnF，n=1,2,…，且两两
互斥，则
P( An Байду номын сангаас B) P An | B
n1
n1
• 例：盒中10个元件(4只次品6只正品)，从中 不放回地任取2只，已知第一只是正品，求 第二只也是正品的概率。
• 解：设事件A表示第二只是正品，事件B表示 第一只是正品。求P(A|B)。显然
P(B) 6 , P(AB) 10
C62 C120
1 ,因此 3
P(A | B) P(AB) 1/ 3 5 . P(B) 6 /10 9
例: 已知一罐子中盛有k个白球，r个红球.每次随机地取出
一个，记下它的颜色立即放回，同时加进与被取球的同色 球c个.试求如接连取球三次，三次均为红球的概率. 解 设A={三次取出的均为红球}
Ai={第i次取出的是红球} ，i=1，2，3,则P(A)=?
A A1A2 A3 P( A) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
r r c r 2c r k r k c r k 2c
概率论与数理统计
条件概率与乘法公式
条件概率
例：一个家庭有两个小孩，假定男、女出生 率一样，令A={这两个小孩一男一女}， 所以 P(A)=1/2。
令B={两个小孩中至少有一女孩}。若已知B发 生了，即该家庭至少有一女孩，再考虑A发 生的概率时，样本空间就缩减为Ω={（男， 女），（女，男），（女，女）}，总数=3， 而有利基本事件数=2，从而P(A|B)=2/3。
条件概率P(•|B)满足概率的三条公理： （1）非负性 P(A|B)0，AF （2）正规性 P(Ω|B)=1 （3）可列可加性 若AnF，n=1,2,…，且两两
互斥，则
P( An Байду номын сангаас B) P An | B
n1
n1
• 例：盒中10个元件(4只次品6只正品)，从中 不放回地任取2只，已知第一只是正品，求 第二只也是正品的概率。
• 解：设事件A表示第二只是正品，事件B表示 第一只是正品。求P(A|B)。显然
P(B) 6 , P(AB) 10
C62 C120
1 ,因此 3
P(A | B) P(AB) 1/ 3 5 . P(B) 6 /10 9
例: 已知一罐子中盛有k个白球，r个红球.每次随机地取出
一个，记下它的颜色立即放回，同时加进与被取球的同色 球c个.试求如接连取球三次，三次均为红球的概率. 解 设A={三次取出的均为红球}
Ai={第i次取出的是红球} ，i=1，2，3,则P(A)=?
A A1A2 A3 P( A) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
r r c r 2c r k r k c r k 2c
概率论与数理统计
条件概率与乘法公式
条件概率
例：一个家庭有两个小孩，假定男、女出生 率一样，令A={这两个小孩一男一女}， 所以 P(A)=1/2。
令B={两个小孩中至少有一女孩}。若已知B发 生了，即该家庭至少有一女孩，再考虑A发 生的概率时，样本空间就缩减为Ω={（男， 女），（女，男），（女，女）}，总数=3， 而有利基本事件数=2，从而P(A|B)=2/3。
概率论与数理统计(南理工)
2
2 /2
( n 1)
,
0 . 0127 , 0 . 0265 2 1 /2 ( n 1) ( n 1) s
2
这里
s
2
0 . 05 , 2 0 .025 (15 ) 27 . 488 0 . 00029 , n 16 ,
2 0 . 975
n
~ N ( 0 ,1 )
U a n
} 1
可取
b n
z b
2
n
z
2
1-
z
2
z
2
a n
z a
2
n
z
2
4
的置信度为1的置信区间为
z , X n 2
X
n
z
2
(1-)
U ( 1
(X 令
n
z ,
2
X
n
z )
2
2 0 .2 n
z 0 .0 2 5 0 .1
2
解得
2 0 .2 n 1 .9 6 6 1 .4 6 6 2 0 .1
23
iid
1 . 若 X 1 , , X n ~ N ( , ), 则 U
P { L U } 1 *
则称随机区间 L , U 为的置信度为1的置信区间
L , 和 U 分别称为置信度为 1 的置信下限和置信上限
。
2
正态总体参数的区间估计
iid
2 /2
( n 1)
,
0 . 0127 , 0 . 0265 2 1 /2 ( n 1) ( n 1) s
2
这里
s
2
0 . 05 , 2 0 .025 (15 ) 27 . 488 0 . 00029 , n 16 ,
2 0 . 975
n
~ N ( 0 ,1 )
U a n
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可取
b n
z b
2
n
z
2
1-
z
2
z
2
a n
z a
2
n
z
2
4
的置信度为1的置信区间为
z , X n 2
X
n
z
2
(1-)
U ( 1
(X 令
n
z ,
2
X
n
z )
2
2 0 .2 n
z 0 .0 2 5 0 .1
2
解得
2 0 .2 n 1 .9 6 6 1 .4 6 6 2 0 .1
23
iid
1 . 若 X 1 , , X n ~ N ( , ), 则 U
P { L U } 1 *
则称随机区间 L , U 为的置信度为1的置信区间
L , 和 U 分别称为置信度为 1 的置信下限和置信上限
。
2
正态总体参数的区间估计
iid
概率论与数理统计 南京大学 1 第一章概率论的基本概念 (1.5.1) 事件的独立性
P(A)=P(B)=P(C)=2/4=1/2，
P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4
从而A、B、C两两相互ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ立.
但 P(ABC)=1/4≠1/8= P(A)P(B)P(C)
所以
A、B、C不相互独立.
定义: 设A1, A2, …, An为n个事件，若对任意的k （2≤k≤n）及 1≤i1<i2<…<ik≤n，有 P(Ai1 Ai2 … Aik)= P(Ai1 )P(Ai2 ) …P(Aik )
概率论与数理统计
事件的独立性
1．两事件的独立性
直观解释：设A、B为试验E的二事件，若A、 B 的发生互不影响，则称事件A、 B相互独立。
定义：设A、B是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的.
若事件A、B相互独立，则
P(A | B) P(AB) P(A)P(B) P(A) P(B) P(B)
则称事件A、B、C是相互独立的. 由这个定义知道，若A、B、C相互独立，则A、
B、C两两相互独立，但反之不然.
伯恩斯坦反例
例2： 设袋中有4个乒乓球，一个涂有白色，一个 涂有红色，一个涂有蓝色，另一个涂有白、红、 蓝三种颜色.今从袋中随机地取一球，以A、B、C 分别记事件“出现白色”、“出现红色”、“出 现蓝色”，则
则称事件A1, A2, …, An是相互独立的.
解 设C={目标被击中}，A={甲击中目标}，B={乙击 中目标} 。
P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.92+0.870.92*0.87=0.9896。
2．多个事件的独立性
定义: 若A、B、C同时满足
P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4
从而A、B、C两两相互ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ立.
但 P(ABC)=1/4≠1/8= P(A)P(B)P(C)
所以
A、B、C不相互独立.
定义: 设A1, A2, …, An为n个事件，若对任意的k （2≤k≤n）及 1≤i1<i2<…<ik≤n，有 P(Ai1 Ai2 … Aik)= P(Ai1 )P(Ai2 ) …P(Aik )
概率论与数理统计
事件的独立性
1．两事件的独立性
直观解释：设A、B为试验E的二事件，若A、 B 的发生互不影响，则称事件A、 B相互独立。
定义：设A、B是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的.
若事件A、B相互独立，则
P(A | B) P(AB) P(A)P(B) P(A) P(B) P(B)
则称事件A、B、C是相互独立的. 由这个定义知道，若A、B、C相互独立，则A、
B、C两两相互独立，但反之不然.
伯恩斯坦反例
例2： 设袋中有4个乒乓球，一个涂有白色，一个 涂有红色，一个涂有蓝色，另一个涂有白、红、 蓝三种颜色.今从袋中随机地取一球，以A、B、C 分别记事件“出现白色”、“出现红色”、“出 现蓝色”，则
则称事件A1, A2, …, An是相互独立的.
解 设C={目标被击中}，A={甲击中目标}，B={乙击 中目标} 。
P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.92+0.870.92*0.87=0.9896。
2．多个事件的独立性
定义: 若A、B、C同时满足
概率论与数理统计(54学时)-南京大学计算机科学与技术系
不可能事件 : 空集。 例如，在抛骰子试验中， “ 抛出点数小于8”是必然事件;
“ 抛出点数8 ”则是不可能事件.
整理课件
24
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件
三 、 事件的关系与运算
I. 关系
1) 包含关系 B A
表示A发生必导致B发生，
AB
Ω
例: 抛骰子, A：抛出点数不超过3，B表示点数
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间 随机事件
§2 样本空间，随机事件
一 样本空间
二 随机事件
三 事件的关系与运算
整理课件
20
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间 随机事件
一. 样本空间 (sample space)
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 样本空间，记为 Ω 。样本空间的元素，
整理课件
22
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件
二 随 机 事 件 (random occurrence)
基本事件 : 一个样本点组成的单点集，不可再分. 随机事件 : 称试验 E 的样本空间 Ω 的子集为 E 的
随机事件，记作 A, B, C 等等；
例. 抛一只骰子，观察点数。 Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A B
A AB Ω
A
B
Ω
ABAA BAB
整理课件
32
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间 随机事件
考察下列事件间的包含关系：
AB A B A B
AB AA B
AB BA B A
B
Ω
A AB AB
记住：AB(AB) AB(BA)
AB AB AB
“ 抛出点数8 ”则是不可能事件.
整理课件
24
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件
三 、 事件的关系与运算
I. 关系
1) 包含关系 B A
表示A发生必导致B发生，
AB
Ω
例: 抛骰子, A：抛出点数不超过3，B表示点数
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间 随机事件
§2 样本空间，随机事件
一 样本空间
二 随机事件
三 事件的关系与运算
整理课件
20
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间 随机事件
一. 样本空间 (sample space)
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 样本空间，记为 Ω 。样本空间的元素，
整理课件
22
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件
二 随 机 事 件 (random occurrence)
基本事件 : 一个样本点组成的单点集，不可再分. 随机事件 : 称试验 E 的样本空间 Ω 的子集为 E 的
随机事件，记作 A, B, C 等等；
例. 抛一只骰子，观察点数。 Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A B
A AB Ω
A
B
Ω
ABAA BAB
整理课件
32
第一章 概率论的基本概念 §2 样本空间 随机事件
考察下列事件间的包含关系：
AB A B A B
AB AA B
AB BA B A
B
Ω
A AB AB
记住：AB(AB) AB(BA)
AB AB AB
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29
第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
三、全概率公式和贝叶斯公式
定义 设 Ω为试验 E 的样本空间，A1 , A2 , An 为 E 的一组事件。若满足
1
A1 , A2 , , An 两两互不相容；
(2) A1
A2
An .
…...
Ω
30
则称 A1 , A2 , An 为样 本空间 Ω 的一个划分
xy=1/4
1
() 11 1
1 1 1 1 1 ( A) 1 dx ln 2 1/ 4 4 x 4 4 2
A
1/4 1
( A) 1 1 P( A) ln 2 ( ) 4 2
6
第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
例4.(Buffon投针问题)
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B) 为事件B发生条件下,事件A的条件概率.
设B已发生, 若A也发生 , 则试 验结果必属于AB. 由于B发生条 件下考虑A发生, 可把B看成新的 样本空间, 称缩减的样本空间.
18
第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
(1) 非负性：对任意事件 A，有 PA B 0
3.条件概率的性质：
(2) 规范性： P B 1；
(3 ) 可列可加性：如果随机事件A1 ，A 2 ， ， A n， 两两互不相容， 则
P A n B P A B n n 1到正确钥匙的概率1/n.
26
第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
例. 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进 一个白球，直至取出黑球为止．求取了n 次都未 取出黑球的概率． 解：
设 B 取了n 次都未取出黑球
B A1 A2 An
§5 几何概率
特点：
1．样本空间无限——无限性；
2．每个样本点发生的可能性相同 ——等可能性。
3
例1．（约会问题）甲乙约定在6到7点间随机到达某地 会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟, 过时离去，求两人能会面的概率。
解：
y 60
以x, y分别表示甲乙两人的到达时间， 设A=两人能会面，则 两人能会面的充要条件是：|x－y|≤15. 则（x, y）的所有可能结果是边 长为60的正方形，图中阴影表示 可会面的时间。
1 2 3 n 1 2 3 4 n1 n1
28
第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
例 . 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打 破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落 下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三 次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未 打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打 破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 有：
2维或3维区域)，向Ω内任意投点M， M落于Ω内任一点等可能，且落在Ω内 任何子区域A上的可能性与A的度量成 正比，而与A的位置和形状无关
则这个试验称为几何概型试验 定义M落在A中的概率P(A)为：
A 的几何度量 （A ） P( A) 的几何度量 （）
2
第一章 概率论的基本概念
P AB P B A P A
P AB P B P A B
这就是两事件A, B的乘法公式．
P AB P A P B A ,
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
2）多个事件的乘法公式
设A1, A2, A3为三个随机事件, 且P(A1A2)>0, 则
第一章 概率论的基本概念
§5.
几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
1
第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
一.定义: 设有一个可度量区域Ω (Ω可以是1维、
P A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
推导：
P A1 A2 A3 P A1 A2 P A3 A1 A2
P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
一般 P(A|B) ≠ P(A)
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出6点}， B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？ 已知事件B发生，此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B， B中有3个元素，它们是等可能的， 只有1个在A中， 于是P(A|B)= 1/3.
2l
2a
针与最近的一条平行线 相交的充要条件是
M
x
x l sin
8
第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
{0 x a , 0 }
A { x l sin }
所求概率为
x a
x l sin
x l sin
( A) 0 l sin d 2l p= P( A) () a a
15
( A) 60 45 7 P( A) 2 () 60 16
2 2
0 15
60
x
4
例2．甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公 共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别 为1：15，1：30，1：45，2：00。如果规定见车就 上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。 解： 设甲,乙到达车站时刻为x, y, 则Ω ={1≤x, y ≤2, } y 2 设A=两人乘同一辆车，则 A发生的充要条件是： 1.5 1 0 1 1.5 2 x 两人到达时间x, y在同一 发车区间，即阴影部分。
试验者
针长l 投掷次数N
2lN an
相交次数n
π近似值
Wolf 1850年
Smith 1855年 De Morgan 1860年
0.8
0.6 1.0
5000
3204 600
2532
1219 383
3.1596
3.1554 3.137
Lazzerini 1901年
0.83
3408
1808
3.141592
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P ( AB) 3 36 1 P ( A | B) P ( B) 6 36 2 3 1 解法2: P ( A | B) 6 2
缩减样本空间 中计算
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
例 3 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有一个男孩的概率． 解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 } 所求概率为
蒙特卡罗方法
11
第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
§6
一 二 三
条 件 概 率
条 件 概 率 乘 法 定 理 全概率公式和贝叶斯公式
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
一、条件概率 1. 条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在某 些附加条件下考虑.
如在事件B发生的条件下求A发生的概率， 将此概率记作P(A|B). 称条件概率.
推广：设 A1， A2， ， An 为n个随机事件，且
P A1 A2 An1 0, 则有
PAn A1 A2 An1
P A1 A2 An P A1 PA A P A A A 2 1 3 1 2
为n个事件的乘法公式．
25
例. 一串钥匙 n把，只有一把能开门，任取一把开门， 用后分开，求第k次才打开门的概率。 解. 由乘法公式.
k 1 k 1
P BAk P Ak P B Ak .
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第一章
概率论的基本概念
§6.条件概率
全概率公式的使用：
我们把事件B 看作某一过程的结果，
把A1 , A2 ,
, An 看作该过程的若干个原因，
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4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P ( AB) P ( A | B) , P ( B)
P(B)>0
2)直接法：缩减的样本空间法
缩减的样本空间中
k P(A|B) = m
A所含样本点数
缩减的样本空间 所含样本点总数
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例2 两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
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第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
如果 l 和 a 已知, 则以π值代入上式就可 以求出 p 。
反之，也可用上式去求π的近似值，若投 针N次，其中针与平行线相交n次，以频率 值n/N 作为概率p的近似值, 代入上式有:
2lN an
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第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
历史上有一些学者曾做过 这个实验, 得到π的近似值:
故 P（A）=4/16=1/4。
5
第一章 概率论的基本概念
§5 几何概率
例3.在区间[ 0，1]内任取两个数，求事件A：两 数乘积小于1/4的概率。 解：设 x, y 表示从区间 [ 0, 1 ]中任取的两数，则 1 {( x, y) | 0 x 1, 0 y 1}, A {( x, y ) | xy } 4