浙江省杭州地区(含周边)重点中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学答案
2017-2018年浙江省杭州市地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试卷及答案
2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．＞D．a2＞b22．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．4．（4分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（）A．B． C． D．5．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，则S5=（）A．81 B．80 C．121 D．1206．（4分）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2 D．27．（4分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．68．（4分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）9．（4分）设点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，若i（a i+b i）=c i（i=1，2），且恒成立，则c+c2的值（）A．2 B．4 C．6 D．810．（4分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．6πD．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中的横线上．11．（6分）已知直线l1：mx+3y=2﹣m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m=；若l1⊥l2，则实数m=．12．（6分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=，数列{a n}的前n项和S n的最小值是．13．（6分）若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为14．（6分）若实数x，y满足，不等式组所表示的平面区域面积为；若z=ax+y在点处取到最大值，则实数a的取值范围．15．（6分）m∈R，动直线l 1：x+my﹣1=0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为．16．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最小值是．17．（6分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）如图，在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，G是线段BE的中点，AB=2，（Ⅰ）若F是线段CD上的中点，求证：GF∥平面ADE（Ⅱ）若F是线段CD上的动点，求三棱锥F﹣ABE的体积．19．（12分）已知直线l经过点P（6，4），斜率为k（Ⅰ）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；（Ⅱ）若k=﹣1，一条光线从点M（6，0）出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．20．（14分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣1（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；（Ⅱ）当x∈（0，1]时，恒成立，求实数a的取值范围．21．（15分）如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合（Ⅰ）求证：AB⊥CF；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．22．（15分）已知数列{a n}，{b n}，．（Ⅰ）记P n=b1•b2•…•b n，求P n的取值范围；（Ⅱ）记S n=b1+b2+…+b n，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．＞D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴a＜a﹣b＜0，∴．因此B不正确．故选：B．2．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．3．（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，设正四面体的棱长为a，则OF∥CD，OE∥AB，且OF=OE=，∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，取CD中点G，连结BG、AG，则AG⊥CD，BG⊥CD，∵BG∩AG=G，∴CD⊥平面ABG，∵AB⊂平面ABG，∴CD⊥AB，∴OF⊥OE，∴∠EFO=．∴异面直线EF与CD所成的角为．故选：B．4．（4分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（）A．B． C． D．【解答】解：tanα==tan，α∈[0，π），可得α=．故选：C．5．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，则S5=（）A．81 B．80 C．121 D．120【解答】解：∵，﹣S n=2S n，即S n+1=3S n．∴S n+1∴数列{S n}是等比数列，公比为3，首项为1．则S5=1×34=81．故选：A．6．（4分）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：联立，解得x=1，y=2．把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．∴m=﹣5﹣2n．∴点（m，n）到原点的距离d===，当n=﹣2，m=﹣1时，取等号．∴点（m，n）到原点的距离的最小值为．故选：A．7．（4分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．6【解答】解：∵正实数a，b满足+=3，∴3=+≥2，当且仅当a=，b=取等号，∴≥，∴ab≥，∵+=3，∴2a+b=3ab，∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×+2=，∴（a+1）（b+2）的最小值是，故选：B．8．（4分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|=|x﹣1|﹣|2﹣x|≤|x﹣1﹣x+2|=1，若不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则|x﹣1|﹣|x﹣2|＜a2+a﹣1恒成立，即a2+a﹣1＞1，解得a＜﹣2或a＞1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣，2）∪（1，+∞），故选：D．9．（4分）设点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，若i（a i+b i）=c i（i=1，2），且+c2的值（）恒成立，则cA．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，a i+b i=ic i（i=1，2），∴l1过定点M（1，1），l2过定点N（2，2），又|P1P2|≥恒成立，∴l1∥l2，∵|MN|==，∴MN⊥l i（i=1，2）．又k MN=1．∴直线l1，l2的方程分别为：x+y=2，x+y=4，∴c1+c2=6，故选：C．10．（4分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．6πD．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，所以，OD=，所以BO===OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中的横线上．11．（6分）已知直线l1：mx+3y=2﹣m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m=﹣3；若l1⊥l2，则实数m=﹣．【解答】解：当l1∥l2时m（m+2）﹣3×1=0，解得m=﹣3或m=1，当m=1时，两直线重合，故l1∥l2，则实数m=﹣3，当l1⊥l2，则m+3（2+m）=0，解得m=﹣，故答案为：．12．（6分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=﹣6，数列{a n}的前n项和S n的最小值是﹣20．【解答】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，即有（a1+2d）2=a1（a1+3d），化为a1d=﹣4d2，解得a1=﹣8，a2=﹣8+2=﹣6；数列{a n}的前n项和S n=na1+n（n﹣1）d=﹣8n+n（n﹣1）=n2﹣9n=（n﹣）2﹣，当n=4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．13．（6分）若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为30+6【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中：侧面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，AD=2，DC=3，CB=4，PD=4．则该几何体的体积V==．表面积S=×3+×=30+6．故答案为：，30+6．14．（6分）若实数x，y满足，不等式组所表示的平面区域面积为；若z=ax+y在点处取到最大值，则实数a的取值范围3．【解答】解：作出不等式表示的平面区域如图，联立方程组解得：A（﹣1，﹣2），B（，﹣），C（0，1），则|AB|=，C到直线x﹣y﹣1=0的距离d=，∴；化目标函数z=ax+y为y=﹣ax+z，∵z=ax+y在点处取到最大值，∴a≤﹣3，即a≥3．故答案为：．15．（6分）m∈R，动直线l 1：x+my﹣1=0过定点A，动直线过定点B，若直线l 1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2+2．【解答】解：直线l1：x+my﹣1=0过定点A（1，0），直线l2：mx﹣y﹣2m+=0即m（x﹣2）=y﹣，可得过定点B（2，），由于1•m+m•（﹣1）=0，则l1与l2始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=4．由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|≤=2，当且仅当|PA|=|PB|=时，上式取得等号，则△PAB周长的最大值为2+2．故答案为：2+2．16．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最小值是2．【解答】解：设H，I分别为CC1、C1D1边上的中点，∵则平面A1BE∥平面B1HI又∵B1F∥面A1BE，∴F落在线段HI上，且∠B1FC1即为B1F与平面CDD1C1所成角，当F与H或I重合时，B1F与平面CDD1C1所成角的正切值有最小值2；故答案为：217．（6分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，∴a n+4﹣a n+2≤2n+2，∴5×2n≤a n+4﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，∴a n+4﹣a n=5×2n，∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+...+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+ (2)+=5×+=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）如图，在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，G是线段BE的中点，AB=2，（Ⅰ）若F是线段CD上的中点，求证：GF∥平面ADE（Ⅱ）若F是线段CD上的动点，求三棱锥F﹣ABE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：法一、取AE的中点H，连接HG，DH，∵G是线段BE的中点，∴HG∥AB，且HG=，∵四边形ABCD为正方形，F是线段CD上的中点，∴DF∥AB，且DF=，∴HG∥DF且HG=DF，∴四边形DFGH是平行四边形，得GF∥DH，∵GF⊄平面ADE，DH⊂平面ADE，∴GF∥平面ADE；解法二、取CE的中点H，连接FH，GH，∵G是线段BE的中点，∴GH∥BC，∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥AD，则GH∥AD，∵GH⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴GH∥平面ADE，又∵F是线段CD上的中点，∴HF∥DE，∵HF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴HG∥平面ADE，∵GH∩/HF=H，∴平面FHG∥平面ADE，∵FG⊂平面FHG，∴GF∥平面ADE；（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∵CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴CD∥平面ABE，∴点F到平面ABE的距离=点C到平面ABE的距离，∴V F=V C﹣ABE=V A﹣BCE=．﹣ABE19．（12分）已知直线l经过点P（6，4），斜率为k（Ⅰ）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；（Ⅱ）若k=﹣1，一条光线从点M（6，0）出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．【解答】解：（Ⅰ）若直线l的纵、横截距为0，可得k=，直线l的方程为y=x；若截距不为0，由题意设直线方程是：+=1，代入P（6，4）得：+=1，解得：a=8，故l为：2x+y﹣16=0，则直线l的方程为2x﹣3y=0或2x+y﹣16=0；（Ⅱ）k=﹣1时，l的方程是：y﹣4=﹣（x﹣6），即x+y﹣10=0，M（6，0）关于y轴的对称点M''为（﹣6，0），M关于直线x+y=10的对称点为M'（a，b），由解得a=10，b=4，即有M'（10，4），由如图可得光线所经过的路程为MK+KN+NM=M'K+KN+NM''=M'M''==4．20．（14分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣1（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；（Ⅱ）当x∈（0，1]时，恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x|x﹣1|﹣1=，当x≥1时，x2﹣x﹣1＜x﹣1，解得：1≤x＜2；当x＜1时，﹣x2+x﹣1＜x﹣1，解得x＜1且x≠0．∴不等式f（x）＜x﹣1的解集是{x|x＜0或0＜x＜2}．（II）由恒成立得：恒成立，∵x∈（0，1]，∴恒成立，即在x∈（0，1]恒成立．又当x=1时，x﹣取得最大值﹣，≥2=，当且仅当即x=时取等号，∴．21．（15分）如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合（Ⅰ）求证：AB⊥CF；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．【解答】解：（1）面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，∠BCD=90°⇒CF⊥BC，⇒FC⊥面ABC，⇒AB⊥CF…（5分）（2）设，设BE=t，则ED=EA=2﹣t，取BC的中点H，连接HE，AH，又…（7分）又AH⊥面BCD，AE2=AH2+EH2，∴（2﹣t）2=+t2﹣t+，∴，∴点E是BD的中点，…（10分）HE∥BC，∴HE⊥面ABC，∠BEA为所求角的线面角…（12分）…（14分）∴所以直线AE与平面ABC所成角为…（15分）．22．（15分）已知数列{a n}，{b n}，．（Ⅰ）记P n=b1•b2•…•b n，求P n的取值范围；（Ⅱ）记S n=b1+b2+…+b n，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．【解答】解：（I）∵，∴，∵，∴{a n}单调递增趋向正无穷，∴．（II），∴，∴==，为定值．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
浙江省2017_2018学年高二数学上学期考试试题
浙江省2017-2018学年高二数学上学期考试试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x = ▲ ） .A (,0]-∞.B (,0)-∞.C [0,)+∞.D (0,)+∞2．下列函数既是奇函数，又在()0,+∞上为增函数的是（ ▲ ）.A 1y x = .B y x = .C 122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ().log 1D y x =+3．等比数列{}n a 的公比为q ，312,,2a a a 成等差数列，则q 值为（ ▲ ）.A 2.B 2.C 22+.D 1或124．计算：()()4839log 3log 3log 2log 2++=（ ▲ ）5.4A 5.2B .5C .15D5．y =[)0,+∞，则a 的取值范围是（ ▲ ）.A ()2,+∞ ()().,12,B -∞-+∞ .C []1,2- [].0,2D6．为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，可将函数sin y x =的图像向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（,m n 均为正数），则m n -的最小值是（ ▲ ）.3A π 2.3B π 4.3C π 5.3D π7．以方程012=++px x 的两根为三角形两边之长，第三边长为2，则实数p 的取值范围是（ ▲ ）.A 2-<p .B 2-≤p 或2≥p .C 2222<<-p .D 222-<<-p8．已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足()()1,3,3,1AC BD ==-，那么AB CD ⋅的取值范围是（ ▲ ）(.A - (].1,2B - [).2,0C - [].0,2D9．函数8sin 2,0()1(),022x x f x f x x π-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则函数4()()log h x f x x =-的零点个数为（ ▲ ） .A 2个 .B 3个 .C 4个 .D 5个 10．如图，在AOB∆中,90AOB ∠=︒，1,OA OB = 等边EFG ∆三个顶点分别在AOB ∆的三边上运动，则EFG ∆面积的最小值为（ ▲ ） .A 4 .B 9 .C 25.D 28第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知tan 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan α= ▲ ，cos 2α= ▲ 12．不等式组2031x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域M 面积为 ▲ ，若点(),x y M ∈，则3x y -的最大值为 ▲13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1480,a S S >=，则12S = ▲ ；满足0n a >的n 最大整数是 ▲ ．14．已知扇形AOB半径为1，60AOB ∠=︒，弧AB 上的点P 满足(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的最大值是 ▲ ； PA PB 最小值是 ▲ ；15．已知0,0x y >>，且241x y xy ++=，则2x y +的最小值是 ▲ ．16．若不等式组⎩⎨⎧<-≥-.08,09b x a x 的整数解的解集为{}1,2,3，则适合这个不等式组的整数a 、b 的所有有序数对),(b a 的个数是___▲____17．已知函数2()21f x ax x =++，若对任意,[()]0x R f f x ∈≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(含精品解析)
杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器；2.所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只符—项是符合做目要求的）：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.“是”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，必要，若，则或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要条件，故选A.3.已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标后再利用点到直线的距离求解即可.【详解】，故，所以，故点到直线的距离为，故选C.【点睛】从椭圆的标准方程中可以得到一些几何量，如长半轴长、短半轴长、焦点坐标等，注意求焦点坐标时要先确定焦点的位置.4.若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为，再求出其斜率为，利用斜截式可得直线的一般方程.【详解】圆心为，直线的斜率为，故直线即，故选D.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线和过原点的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.5.已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A. 若，且，则B. 若，，，，则C. 若，且，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中考虑各选项中的线面关系可得正确选项.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，，但平面平面，故A错；平面，平面，，，平面，故B错；平面平面，平面，平面，但与所成的角为，故C错；因同垂直于一条直线的两个平面互相平行，故D正确.综上，选D.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.6.函数的值域是（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】A【解析】试题分析：，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．考点：函数的值域．7.设满足约束条件则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8.如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A. 与是异面直线B.C. ，为异面直线，且D.【答案】C【解析】【分析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.【详解】是共面直线，故A错；若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面，平面，，故是异面直线，故C正确；若平面，因平面，故.因平面，平面，故，而，故平面，又平面，故，这与矛盾，故D错；综上，选C.【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.9.已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，则为直角三角形且，故可得的长，再利用双曲线的定义可得的关系从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，设与渐近线的交点为，则为的中点且，所以且，且.因为，，又，所以即，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10.已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 在大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】可证平面，从而利用可计算，它们分别是，根据可得的大小关系．【详解】因为平面，平面，故．又因为，，故平面，所以为与平面所成的角，故且．同理故为二面角的平面角，故由平面，平面，故，所以，因为，故，由都是锐角，故，故选C．【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11.已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】从标准方程得到基本量后可得双曲线的离心率和渐进线方程．【详解】因为，故，故离心率，渐近线方程为：．【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）．12.已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的四棱柱，利用公式可计算其体积和表面积．【详解】三视图对应的几何体如图所示，该几何体的底面为梯形，其面积为，高为，故体积为，侧面积为，故表面积为．故填，．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．13.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式______，如果，则______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以．又，故填．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题．14.已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..【答案】(1). (2).【解析】【分析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法、基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和倍角可求.【详解】由题设有，因，故，所以，也就是，故填.【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．【详解】由可知为直径，从而，设，则，，当时，的最大值为．填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.17.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则（）（，），可得k OM，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）；18.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助公式可得.（2）求出的范围后可得的值域.【详解】（1），令，则，故的单调递增区间为，（2）当时，，故.故值域为.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．19.已知正项数列的首项，前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，故，所以，整理得到，因为正项数列，故，所以，所以为等差数列且公差为．又，故，所以．（2）由题设有为等比数列，故，整理得到，所以．令，因为单调增数列，故对任意的，总有，所以，整理得到：，因，故，故．【点睛】（1）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）含参数的数列单调性应根据数列的单调性的定义来判断（即根据的符号来确定）.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.故，所以，整理得到：，而，，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。
2017-2018学年高二上期末数学试卷(含答案解析)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”形式的复合命题中，真命题有（）个．和“?p”A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”和“?p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为??{0}，所以命题p为真．因为：{1}?{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′＝；故①错误，﹣sinx；故②正确，②（cosx）′＝③（）′＝，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“ｐ或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．则b n﹣b n﹣1=，b1==1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）?2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。
(完整word)浙江省2018年第一学期期末杭州地区(含周边)重点中学高二年级数学学科试题(解析版)
浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版） 1 / 19 浙江省2018学年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 直线x -y -1=0的倾斜角是（ ）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 135∘2. 设点A （2，3，-4）在xOy 平面上的射影为B ，则|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（ ） A. √29 B. 5 C. 2√5 D. √133. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. m//α，n ⊂α⇒m//nB. m//α，m//β⇒α//βC. m ⊥α，n ⊂α⇒m ⊥nD. m ⊥n ，n ⊂α⇒m ⊥α5. 方程mx 2+（m +1）y 2=m （m +1）（m ∈R ）表示的曲线不可能是（ ）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线6. 如图，O 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是（ ）A. A 1DB. AA 1C. A 1D 1D. A 1C 17. 曲线C ：2x 2-3xy +2y 2=7（ ） A. 关于x 轴对称B. 关于直线y =x 对称，也关于直线y =−x 对称C. 关于y 轴对称D. 关于原点对称，关于直线y =−x 不对称8. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. √2C. 3D. √39. 已知圆心C 在直线y =2x -4上的圆的半径为1，点A （0，3），若圆C 上存在点M ，使得|MA |=2|MO |（O 为坐标原点），则圆心C 的横坐标a 的最大值是（ ）A. 45B. 85C. 125D. 16510. 记min{a ，b }={b,a >b a,a≤b，已知矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE沿DE 翻折至△A 'DE （A '∉平面BCD ），记二面角A '-BC -D 为α，二面角A '-CD -E 为β，二面角A '-DE -C 为γ，二面角A '-BE -D 为θ，则min{α，β，γ，θ}=（ ）A. αB. βC. γD. θ二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11. 已知命题“若x ＞1，则x 2＞1”的逆否命题为______，逆否命题是______命题（填“真”或“假”）．12. 半径为2√3的球内接正方体的表面积为______；体积为______．13. 已知双曲线E 与双曲线x 24−y 29=1共渐近线且经过点P （2，3√5），则双曲线E 的标准方程为______，顶点坐标为______．14. 已知直线l 1：ax +y +3a -4=0和l 2：2x +（a -1）y +a =0，则原点到l 1的距离的最大值是：______，若l 1∥l 2，则a =______．15. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，BB 1=√2，设点A 关于直线BD 1的对称点为P ，则点P 与点C 1之间的距离是______．16. 已知点A （-2，0），点P 是焦点为F 的抛物线y 2=8x 上任意一点，则|PA||PF|的取值范围是：______．17. 在三棱锥S -ABC 中，AB =AC =SB =SC =5，SA =4，BC =6，点M 在平面SBC 内，且AM =√13，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cosα的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 已知条件p ：“关于x ，y 的方程x 2+y 2-4mx +5m 2+m -2=0（m ∈R ）表示圆”，条件q ：“实数m 满足（m -a ）（m -a -4）＜0”．（Ⅰ）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB =AP =1，BC =√3．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）求二面角D -AE -C 的余弦值．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版） 3/ 1920. 已知直线2x +y -4=0与圆C ：x 2+y 2-2mx -4m y =0（m ＞0）相交于点M 、N ，且|OM |=ON |（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若A （0，2），点P 、Q 分别是直线x +y +2=0和圆C 上的动点，求|PA |+|PQ |的最小值及求得最小值时的点P 坐标．21. 如图（1）所示，平面多边形ABCDE 中，AE =ED =√2，AB =BD =√5，AD =2CD =2，且AD ⊥CD ，现沿直线AD 将△ADE 折起，得到四棱锥P -ABCD ，如图（2）所示． （Ⅰ）求证：PB ⊥AD ；（Ⅱ）在图（2）中，若直线BC 与平面PAD 所成角的正弦值为√64，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．22.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4，左、右焦点分别为F1、F2，且C1与抛物线C2：y2=x的交点所在的直线经过F2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）分别过F1、F2作平行直线m、n，若直线m与C1交于A，B两点，与抛物线C2无公共点，直线n与C1交于C，D两点，其中点A，D在x轴上方，求四边形AF1F2D的面积的取值范围．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版） 5 / 19答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线x-y-1=0的方程可化为y=x-1，可得直线的斜率为1，故tanθ=1，（θ为直线的倾斜角），又0°≤θ＜180°，故可得θ=45°故选：B ．化方程为斜截式，易得斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．本题考查直线的倾斜角，和由直线的方程得出直线的斜率，属基础题． 2.【答案】D【解析】解：∵点A （2，3，-4）在xOy 平面上的射影为B，∴B （2，3，0），∴||==．故选：D ．根据点B 是A （2，3，-4）在xOy 坐标平面内的射影，所以A 与B 的横坐标和竖坐标相同，纵坐标为0，得到B 的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果． 本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系．3.【答案】B【解析】 解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA 1-DCFD 1，截去的部分为三棱柱BB 1E-CC 1F ．故选：B．由三视图还原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，从而可知，截去的部分为三棱柱．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，m∥α，n⊂α⇒m与n平行或异面，故A错误；在B中，m∥α，m∥β⇒α与β相交或平行，故B错误；在C中，m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，m⊥n，n⊂α⇒m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．在A中，m与n平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，m⊥n，n⊂α⇒m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．5.【答案】A【解析】解：∵方程mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m∈R）中不含有x（或y）的一次项，∴方程mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m∈R）不可能表示抛物线，故选：A．根据方程mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m∈R）中不含有x（或y）的一次项，即可得出结论．本题考查圆锥曲线的共同特征，考查抛物线方程，比较基础．6.【答案】D【解析】浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）解：连接B1D1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体∴BB1⊥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1∵A1B1C1D1是正方形∴B1D1⊥A1C1∵B1D1、BB1是平面BB1D1D内的相交直线∴A1C1⊥平面BB1D1D∵B1O⊂平面BB1D1D∴A1C1⊥B1O故选：D．连接B1D1，根据正方体的性质，得到BB1⊥平面A1B1C1D1，从而有BB1⊥A1C1．再根据A1B1C1D1是正方形，得到B1D1⊥A1C1，结合B1D1、BB1是平面BB1D1D内的相交直线，得到A1C1⊥平面BB1D1D，可得A1C1⊥B1O，因此可得正确答案．本题给出正方体内的一条直线，让我们寻找与之垂直的直线，着重考查了空间中直线与直线之间的位置关系、线面垂直的判定与性质等知识点，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由曲线C：2x2-3xy+2y2=7，将x换为-x，y换为-y，方程为2x2-3xy+2y2=7，即不变，可得曲线C关于原点对称；将x换为y，y换为x，可得2y2-3xy+2x2=7，即不变，7/ 19可得曲线C关于直线y=x对称；将x换为-y，y换为-x，可得2y2-3xy+2x2=7，即不变，可得曲线C关于直线y=-x对称；故选：B．分别将x换为-x，y换为-y，或x换为y，y换为x；，或x换为-y，y换为-x；考虑方程是否不变，即可得到结论．本题考查曲线的对称性的判断，注意运用替换思想，考查运算能力和推理能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意，F1（-c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M 的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：A．求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）解：∵圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，∴圆C的方程设为：（x-a）2+（y-（2a-4））2=1，设M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得：=2，化简可得x2+（y+1）2=4，点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M（x，y）在圆上，∴圆C和圆D有公共点，则|2-1|≤|CD|≤2+1，∴1≤≤3，即5a2-12a+8≥0，可得a∈R，由5a2-12a≤0，可得0≤a≤，圆心C的横坐标a的取值范围为[0，]，故选：C．设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|=2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：当平面A′DE⊥平面ABCD时，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则平面BCD、BDE和平面CDE重合，它们的法向量为=（0，0，1），设AB=2AD=2，A′（，，），B （0，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0），E（0，1，0），=（-），=（，-，-），=（），=（-9/ 19，-），记二面角A'-BC-D为α，二面角A'-CD-E为β，二面角A'-DE-C为γ，二面角A'-BE-D为θ，设平面A′BC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，-3），∴cosα===．设平面A′CD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，0，1），∴cosβ===．设平面A′DE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），∴cosγ==0．设平面A′BE的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，0，-1），∴cosθ===．∴α＜β=θ＜γ．∴min{α，β，γ，θ}=α．故选：A．当平面A′DE⊥平面ABCD时，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出min{α，β，γ，θ}．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）11 / 19本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 11.【答案】若x 2≤1，则x ≤1 真【解析】解：若x ＞1，则x 2＞1，则原命题为真命题，则逆否命题也为真命题， 逆否命题为：若x 2≤1，则x≤1， 故答案为：若x 2≤1，则x≤1，真根据逆否命题的定义进行求解，结合原命题和逆否命题为等价命题进行判断即可．本题主要考查四种命题之间的关系，结合逆否命题的等价性是解决本题的关键．12.【答案】96 64【解析】解：设半径为的球内接正方体的棱长为a ， 则=，解得a=4，∴半径为的球内接正方体的表面积为：S=6a 2=6×42=96， 体积为V=a 3=43=64． 故答案为：96，64． 设半径为的球内接正方体的棱长为a ，则=，解得a=4，由此能求出结果．本题考查正方体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．13.【答案】y 236−x 216=1 （0，±6） 【解析】解：根据题意，要求双曲线与双曲线=1共渐近线， 设要求双曲线的方程为双曲线=λ，（λ≠0）又由双曲线经过点P（2，3），则有=λ，即λ=-4，即双曲线的方程为=-4，其标准方程为：=1；顶点坐标为：（0，±6）故答案为：=1；（0，±6）．根据题意，根据要，双曲线与双曲线=1共渐近线，设要求双曲线的方程为双曲线=λ，（λ≠0）将P的坐标代入双曲线方程，解可得λ的值，即可得双曲线的方程，变形即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意有共同渐近线的双曲线方程的特点以及形式．14.【答案】5 2【解析】解：直线l1：ax+y+3a-4=0等价为a（x+3）+y-4=0，则直线过定点A（-3，4），当原点到l1的距离的最大时，满足OA⊥l1，此时原点到l1的距离的最大值为|OA|==5，若a=0，则两直线方程为y-4=0和2x-y=0，不满足直线平行，若a=1，则两直线方程为x+y-1=0和2x+1=0，不满足直线平行，当a≠0且a≠1时，若两直线平行，则=≠，由=得a2-a-2=0得a=2，或a=-1，当a=2时，≠，不成立，舍去，当a=2时，≠，成立，即a=2，故答案为：5，2直线l1过定点，利用点到直线的距离公式进行求解即可．根据直线平行的等价条件进行转化求解．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）本题主要考查直线平行的判断，以及点到直线距离的求解，根据含参直线过点求出定点坐标是解决本题的关键．15.【答案】1【解析】解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=，∴AD1=，D1C=2，∠AD1C1=90°，∵设点A关于直线BD1的对称点为P，∴在△AD1B中，∠AD1B=30°，∴∠PD1B=30°，AD1=PD1=，即∠PD1C1=30°，∵在△PD1C1中，D1C1=1，PD1=，∠PD1C1=30°，∴根据余弦定理得出：C1P==1，故答案为：1．根据几何体画出平面图形，根据边长得出角的大小，转化到△PD1C1中，D1C1=1，PD1=，∠PD1C1=30°根据条件运用余弦定理求解即可．本题考查了空间几何体的性质，几何体中的对称问题，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题．16.【答案】[1，√2]【解析】13/ 19解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，∵抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），点A（-2，0），∴=，设过A抛物线的切线方程为y=k（x+2），代入抛物线方程可得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0，∴△=（4k2-8））2-16k4=0，∴k=±1，则∠PAF∈[0，]，∴∠MAP∈[]，即∈[1，]．故答案为：[1，]．过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，可得=，求出过A抛物线的切线方程，即可得出结论．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】√1313【解析】解：取BC中点N，连结AN，SN，∵AB=AC=SB=SC=5，BC=6，∴AN=SN=4，∵SA=4，∴△SAN是等边三角形，∠ANS=60°．∵AN⊥BC，SN⊥BC，∴∠ANS为二面角A-BC-S的平面角．过A作AO⊥平面SBC，连结OM，则O为SN的中点，∴ON=SN=2，∵点M在平面SBC内，且AM=，∴AO==2，∴OM==1．∴M的轨迹是以O为圆心，以1为半径的圆．以平面PBC内过O点平行于BC的直线为x轴，以PN为y轴，以OA为z轴建立空间直角坐标系如图．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）15 / 19则A （0，0，2），B （-3，2，0），C （3，2，0），设M （x ，y ，0），则x 2+y 2=1． =（x ，y ，-2），=（6，0，0）．||=，||=6，=6x ．∴cosα===． ∴当x=1时，cosα取得最大值．故答案为：．取BC 中点N ，连结AN ，PN ，则可证△PAN 是等边三角形，过A 作平面PBC 的垂线AO ，则O 为PN 的中点，求出AO 的长，利用勾股定理可得出OM 的长，即M 的轨迹．以O 为坐标原点建立空间坐标系，设M 的坐标（x ，y ，0），求出的坐标，利用向量求出夹角，根据x ，y 的范围得出cosα的最大值．本题考查异面直线所成角的余弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）若p 为真命题，即：“关于x ，y 的方程x 2+y 2-4mx +5m 2+m -2=0（m ∈R ）表示圆”，又x 2+y 2-4mx +5m 2+m -2=0可化为：（x -2m ）2+y 2=-m 2-m +2，由“关于x ，y 的方程x 2+y 2-4mx +5m 2+m -2=0（m ∈R ）表示圆”， 则-m 2-m +2＞0， 解得：-2＜m ＜1，故答案为：（-2，1）；（Ⅱ）解不等式（m -a ）（m -a -4）＜0”． 得：a ＜m ＜a +4，由p 是q 的充分不必要条件，即：“-2＜m ＜1”是“a ＜m ＜a +4”的充分不必要条件， 可得：{a +4≥1a≤−2，即-3≤a ≤-2，即实数a 的取值范围为：-3≤a ≤-2， 故答案为：[-3，-2] 【解析】（Ⅰ）当p 为真命题时可得：-m 2-m+2＞0，解得：-2＜m ＜1，（Ⅱ）解不等式（m-a ）（m-a-4）＜0”．得：a ＜m ＜a+4，由p 是q 的充分不必要条件，可得：，即-3≤a≤-2，得解．本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题． 19.【答案】证明：（Ⅰ）在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的中点． 连结BD ，交AC 于O ，由底面ABCD 为矩形，得O 为BD 中点， 连结OE ，则OE ∥PB ，∵PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC ．解：（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，√3，0），A （0，0，0），P （0，0，1），E （0，√32，12），C （1，√3，0），平面ADE 的法向量n⃗ =（1，0，0）， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√32，12），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，√3，0）， 设平面ACE 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y =0，取y =1，得m⃗⃗⃗ =（-√3，1，-√3）， 设二面角D -AE -C 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7=√217． ∴二面角D -AE -C 的余弦值为√217．【解析】（Ⅰ）连结BD ，交AC 于O ，连结OE ，则OE ∥PB ，由此能证明PB ∥平面AEC ． （Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AE-C 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）化圆C ：x 2+y 2-2mx -4m y =0（m ＞0）为(x −m)2+(y −2m )2=m 2+4m 2． 则圆心坐标为C （m ，2m ），浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）17 / 19∵|OM |=|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线， 则直线OC 的斜率k =2mm=2m 2=12， ∴m =2或m =-2．∴圆心为C （2，1）或C （-2，-1），∴圆C 的方程为（x -2）2+（y -1）2=5或（x +2）2+（y +1）2=5，由于当圆方程为（x +2）2+（y +1）2=5时，直线2x +y -4=0到圆心的距离d ＞r ， 此时不满足直线与圆相交，故舍去， ∴圆C 的方程为（x -2）2+（y -1）2=5；（Ⅱ）点A （0，2）关于直线x +y +2=0的对称点为A ′（-4，-2）， 则|PA |+|PQ |=|PA ′|+|PQ |≥|A ′Q |， 又A ′到圆上点Q 的最短距离为|A ′C |-r =√(−6)2+32-√5=3√5-√5=2√5．∴|PA |+|PQ |的最小值为2√5，直线A ′C 的方程为y =12x ， 则直线A ′C 与直线x +y +2=0的交点P 的坐标为（-43，-23）． 【解析】（Ⅰ）根据直线2x+y-4=0与圆C 交于点M ，N ，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可求得圆C 的方程；（Ⅱ）求出点A （0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为A′（-4，-2），根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．本题考查直线和圆的方程的综合应用，考查计算能力，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，是中档题． 21.【答案】证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，∵BA =BD ，EA =ED ，即PA =PD ， ∴OB ⊥AD 且OP ⊥AD ， ∴AD ⊥平面BOP ， ∴PB ⊥AD ．解：（2）以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，B （2，0，0），C （1，1，0），A （0，-1，0），D （0，1，0），设P （a ，0，c ），则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，1，0），AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0），AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（a ，1，c ）， 设平面PAD 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +y +cz =0，得n⃗ =（1，0，-ac ）， ∵直线BC 与平面PAD 所成角的正弦值为√64，∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√1+c2=√64， 解得a c=√33，∴tan ∠POB =60°，解得a =12，∴P （12，0，√32），AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，0），BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-32，0，32）， 设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x +√32z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =（1，1，√3）， 设直线AB 与平面PBC 所成角为θ，则直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值sinθ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5⋅√5=35．【解析】（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，证明OB ⊥AD 且OP ⊥AD ，推出AD ⊥平面BOP ，即可证明PB ⊥AD ．（Ⅱ）以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解PD 与平面PBC 所成角的正弦值即可．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）依题意得2c =4，则F 1（2，0）F 2（-2，0）；椭圆C 1与抛物线C 2的交点与x 轴垂直，则椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为P(2，√2)， 于是2a =|PF 1|+|PF 2|=4√2，从而a =2√2． 又a 2=b 2+c 2，解得b =2 所以椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1．（Ⅱ）依题意，直线m 的斜率不为0，设直线m ：x =ty -2， 由{y 2=x x=ty−2，消去x 整理得y 2-ty +2=0，由△=（-t ）2-8＜0得t 2＜8． 由{x 2+2y 2=8x=ty−2，消去x 整理得（t 2+2）y 2-4ty -4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4tt 2+2，y 1y 2=−4t 2+2，浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版） 19 / 19所以|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|=√1+t 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√2(t 2+1)t 2+2， m 与n 间的距离d =4√t 2+1（即点F 2到m 的距离），由椭圆的对称性知，四边形ABCD 为平行四边形， 故S AF 1F 2D =12S ABCD =12⋅4√2(t 2+1)t 2+2⋅4√t 2+1=8√2√t 2+1t 2+2， 令√t 2+1=s ∈[1，3)，则S AF 1F 2D =8√2√t2+1t 2+2=8√2s s 2+1=8√2s+1s∈(12√25，4√2]， 所以四边形AF 1F 2D 的面积的取值范围为(12√25，4√2]． 【解析】（Ⅰ）依题意可得F 1F 2的坐标，由此可得椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为，由椭圆的定义可得a 的值，又由a 2=b 2+c 2，解得b 的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）依题意，分析直线的斜率不为0，可以设直线l ：x=ty-2，联立直线与抛物线的方程、直线与椭圆的方程可得关于t 的方程，进而设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系分析可得|AB|的长度以及F 2到直线l 距离d ，进而可以表示四边形AF 1F 2D 的面积，借助换元法分析可得答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．。
2017-2018学年第二学期浙江省杭州市高二年级期末教学质量检测数学答案
AB n
3
x
………………4 分
所以数列{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 即 a2n－1＝4n－3； 数列{a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 即 a2n＝4n－1， 所以 an＝2n－1，即 an＋1－an＝2． 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 23． （本题满分 11 分） 解 （Ⅰ）设抛物线 Γ 的焦点为( ，0)，
3 ，OC＝ 5 ， 2 OE 15 所以 sin∠OCE＝ ． OC 10
因为 OE＝ （等体积转换求高亦可）
………………5 分
解法二 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 PAD⊥平面 ABCD，取 AD 中点 O，连接 PO， 则 PO⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，－1，0)，B(2，0，0)， C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0， 3 )． 所以 AB 2,1,0 ，PD 0,1, 3 ， CD 2,0,0 ， 设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
＝sin2x－ 3 cos2x ＝2sin(2x－
π ) 3
………………5 分
π 所以 f ( ) ＝ 3 ； 3 （Ⅱ）所以函数 f (x)的最小正周期 T＝π，
因为 －
π π π ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 得 － ＋kπ＜x＜ ＋kπ， 12 12 π 5π 则函数的单调递增区间为(－ ＋kπ， ＋kπ)（k∈Z） ． 12 12 ………………4 分
21． （本题满分 10 分） 证明 （Ⅰ）因为 PC＝2 2 ，AD＝DC＝PD＝2， 所以 PD2＋DC2＝PC2， 所以 △PCD 是直角三角形． 所以 CD⊥PD， 又因为 CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 APD．
浙江省杭州高中2018学年高二数学上学期期末考试试题理
杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷(理科)注意事项：1.本卷考试时间90分，满分100分。
2.本卷所有答案必须答在答题卷上，否则无效。
不能使用计算器。
一．选择题1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p2．已知复数z a i =+(0,a i >是虚单位)，若||z =1z的虛部是（ ） A. 13- B. 13i - C. 15i - D. 15-3．当a ＞0时，设命题P ：函数()=+af x x x在区间（1，2）上单调递增；命题Q ：不等式210x ax ++>对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ． 01<≤aB ．12≤<aC ． 02≤≤aD ．012<<≥或a a4．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题：①若;,//m l ⊥则βα②若;//,βα则m l ⊥③若;//,m l 则βα⊥④若.,//βα⊥则m l 其中正确的命题是（ ）A ．①④B ． ②④C ．①③④D ．①②④5．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形， 且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形； 俯视图为一直角梯形，且1==BC AB ,则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）。
.A 1 .B .C.D 126．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于(球的表面积为24R S π=)（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π7．直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃8．若圆221x y +=和224470x y x y ++-+=关于直线l对称，则l的方程是（ ）.0A x y += .20B x y +-= .20C x y --= .20D x y -+=9. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．2 D ．[210．双曲线)0,(12222>=-b a a x b y 的一条渐近线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 交于点M 、N ，则MN = （ ）A.)(222b a - B. )(222b a + C.a 2 D. a +b二．填空题 11．若复数()12im R m i-∈-在复平面上对应的点位于第一象限，则m 的取值范围是 。
2017-2018学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．圆台D．球2．（4分）抛物线y＝x2的准线方程是（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝D．y＝3．（4分）直线x+3y+4＝0的倾斜角大小是（）A．﹣B．C．D．4．（4分）已知平面α与两条直线l，m，l⊥α，则“m∥l”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要5．（4分）两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是（）A．两条平行直线B．两条相交的直线C．一条直线与直线外一个点D．一条直线6．（4分）l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A．3B．C．2D．7．（4分）一个结晶体的形状是平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以A顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是（）A．B．2C．D．8．（4分）已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在点（a＞0，b＞0），使∠F1AF2＝60°，且线段AF1的中点在y轴上，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．29．（4分）已知直线l：x cosα+y sinα﹣1＝0（a∈R）与圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4相切，则满足条件的直线l有（）条A．1B．2C．3D．410．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段A1B1，CC1上两个动点且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．存在某个位置E，F，使BE⊥DFB．存在某个位置E，F，使EF∥平面A1BCD1C．三棱锥B1﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．（6分）双曲线x2﹣＝1的焦距是；渐近线方程是．12．（6分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为；最长边的大小是．13．（6分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，则异面直线AA1与BD1所成角的大小是；BD1与平面ADD1A1所成角的大小是．14．（6分）点P是抛物线x2＝4y上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2距离的最小值是；距离最小时点P的坐标是．15．（4分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），＝（x，﹣1，2），若，，是共面向量，则x＝．16．（4分）矩形ABCD与ABEF所在平面相互垂直，AD＝AF＝AB，现将△ACD绕着直线AC旋转一周，则在旋转过程中，直线AD与BE所成角的取值范围是．17．（4分）若椭圆+＝1（t＞15）与双曲线﹣＝1在第一象限内有交点A，且双曲线左、右焦点分别是F1，F2，∠F1F2A＝120°，点P是椭圆上任意一点，则△PF1F2面积的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（14分）已知直线l：ax﹣2y+1＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于A，B两个点．（1）求圆C的圆心与半径；（2）若|AB|＝2，求实数a的值．19．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，AA1⊥平面ABC，E，F分别是BB1，A1C1的中点．（1）求证：AF⊥CE；（2）求平面AEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．（14分）平面上的动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与到直线x＝﹣1的距离相等．（1）求点P的轨迹方程C；（2）过点F作直线l与点P的轨迹交于A，B两个不同的点，若＝3，求直线l的方程．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，AB＝5，BC＝7，AC＝P A ＝8，∠P AC＝，G是△ABC重心，E是边PC上点，且＝λ．（1）当λ＝时，求证：EG∥平面P AB；（2）若PC与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2＝r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．2017-2018学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由圆锥的结构特征可知，直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是圆锥．故选：A．2．【解答】解：抛物线y＝x2即x2＝y，即有2p＝1，即p＝，可得准线方程为y＝﹣即y＝﹣．故选：B．3．【解答】解：直线x+3y+4＝0的斜率为﹣，∵tan＝﹣，∴直线x+3y+4＝0的倾斜角大小是，故选：C．4．【解答】解：l⊥α，∵m∥l⇒m⊥α，m⊥α⇒m∥l，∴“m∥l”是“m⊥α”的充要条件．故选：C．5．【解答】解：在A中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，两条平行的棱A1B1和D1C1在底面ABCD上的射影是两条平行线，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是两条平行线，故A错误；在B中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面的两条相交的对角线A1C1，B1D1在底面ABCD上的射影是两条相交的直线，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是两条相交的直线，故B错误；在C中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱A1B1和CC1在底面ABCD上的射影是一条直线与直线外一个点，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是一条直线与直线外一个点，故C错误；在D中，当两直线在同一个平面上的射影是一条直线时，这两个直线平行或相交，∴两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是一条直线，故D正确．故选：D．6．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0即（x+2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为（﹣2，1），半径r＝2；若l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则直线l经过圆心（﹣2，1），则有﹣2a+2b﹣4＝0，即b＝a+2，则a2+b2＝a2+（a+2）2＝2（a+1）2+2≥2，即a2+b2的最小值是2；故选：C．7．【解答】解：∵＝++∴＝（++）2＝+++2•+2•+2•＝1+1+1+2×＝6，∴|AC1|＝＝．故选：D．8．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由AF1的中点在y轴上，可得A的横坐标为c，即有AF2⊥x轴，如图所示；令x＝c，可得y＝±b＝±，在直角三角形AF1F2中，∠F1AF2＝60°，可得tan∠F1AF2＝＝＝，即为，即e2﹣2e﹣＝0，e＞1，解得e＝，或e＝（不合题意，舍去）；∴双曲线的离心率是．故选：B．9．【解答】解：由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点（2，）的距离为2，满足条件的直线l即为圆x2+y2＝1和圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4的公切线，∵圆x2+y2＝1和圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4外切，∴这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，∴满足条件的直线l有3条．故选：C．10．【解答】解：可设EB1＝m，CF＝n，可得m2+1+（1﹣n）2＝，即m2+（1﹣n）2＝，过C作CH∥BE，交C1D1于H，若BE⊥DF，可得CH⊥DF，即有mn＝1，这与m，n小于1矛盾，故A不成立；连接EH，可得EH∥A1D1，连接FH，若FH∥CD1，即有C1H＝C1F，即m＝1﹣n，可得m＝＜1成立，此时平面EFHEF∥平面A1BCD1，可推出EF∥平面A1BCD1，故B成立；由V＝V＝h＝h••1•1＝h，h为E到平面BC1的距离，h在变化，可得三棱锥B1﹣BEF的体积在变化，故C错误；由A到直线EF的距离和B到直线EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．【解答】解：双曲线x2﹣＝1，可知a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线的焦距是4，渐近线方程为：y＝x．故答案为：4；y＝x．12．【解答】解：由题意，几何体的直观图如图：是长方体的一部分，是三棱锥P﹣ABC，几何体的体积为：＝，最长的棱长为PC＝＝，故答案为：；．13．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，∵AA1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线AA1与BD1所成角（或所成角的补角），BD1＝＝2，AD1＝＝＝，∴cos∠B1BD1＝＝，∴∠B1BD1＝45°，∴异面直线AA1与BD1所成角的大小是45°；∵AB⊥平面ADD1A1，∴∠BD1A是BD1与平面ADD1A1所成角，cos∠BD1A＝＝，∴∠BD1A＝30°，∴BD1与平面ADD1A1所成角的大小是30°．故答案为：45°，30°．14．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标（0，1）如右图，设点P（a，b）；则由图象可知，以点P为切点的直线与y＝x﹣2平行时，P到直线距离取得最小值，此时P到直线距离d＝＝，点P到直线y＝x﹣2距离的最小值是：．由y′＝x＝1可得，x＝2，故点P（2，1）；故答案为：；（2，1）．15．【解答】解：∵，，是共面向量，∴存在实数m，n，使得＝m+n，∴，解得m＝﹣1，n＝1，x＝﹣2．故答案为：﹣2．16．【解答】解：∵AF∥BE∴∠F AD（或其补角）即为异面直线AD与BE所成的角，在初始位置，直线AD与BE所成角为，如图，当△ADC旋转至△AD′C的位置，即平面AD′C⊥平面ABCD时，AD与BE所成角最小，即∠F AD′，在矩形ABCD中，∵，∴∠DAC＝，即∠D′AC＝，∴∠F AD′＝，∴直线AD与BE所成角的取值范围为[]，故答案为：[]．17．【解答】解：由t+10＞t﹣15知椭圆的焦点在x轴上，又t+10﹣t+15＝25＝16+9，所以椭圆与双曲线有相同的焦点，c＝5．由于，所以．又|AF1|2＝+|AF2|2﹣2|F1F2||AF2|cos∠F1F2A，所以＝100+﹣2×10×（﹣4）×（﹣），所以＝10，所以t＝90，故椭圆的方程为：＝1．当P是椭圆的短轴端点时，△PF1F2的面积最大，且最大值为×10×5＝25．故答案为：25．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．【解答】解：（1）圆C的圆心为（1，0），半径r＝2，（2）令C到直l：ax﹣2y+1＝0的距离为d，则|AB|＝2，∴（）2＝4﹣（）2解得a＝．19．【解答】解：（1）由题知可以B为原点，分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建系如图所示则有A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E（0，0，1），F（1，1，2）故有：．由：知：CE⊥AF．（2）假设平面AEF的法向量为由，可得又平面ABC的法向量∴＝．即平面AEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．【解答】解：（1）由抛物线定义知，点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，且p＝2，则其轨迹方程为C：y2＝4x；（2）设AB的方程：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得y2﹣4ty﹣4＝0．y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，①，，由＝3，得（1﹣x1，﹣y1）＝3（x2﹣1，y2），则y1＝﹣3y2，②由①②，得，解得t＝．故所求直线l的方程是x＝，即y＝±（x﹣1）．21．【解答】解：（1）证明：由λ＝时，＝，又G是△ABC的重心，取AB边中点M，则M、G、C三点共线；且有＝＝，∴EG∥PM，又EG⊄平面P AB，PM⊂平面P AB，∴EG∥平面P AB；（2）△ABC中，由余弦定理知cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝；故由题意可以A为原点，AC为y轴，平面ABC为xoy平面建系如图所示；则A（0，0，0），B（，，0），C（0，8，0），P（0，﹣4，4）；∴＝（0，12，﹣4）；设E（x，y，z），＝λ，∴（x，y+4，z﹣4）＝λ（0，12，﹣4），∴E（0，12λ﹣4，（1﹣λ）4）；设平面ABE的法向量为＝（x，y，z），由，得；不妨设x＝1，得y＝﹣，z＝，∴＝（1，﹣，）；设PC与平面ABE所成的角为θ，则sinθ＝＝|cos＜，＞|＝||＝||，令t＝，化简得：11t2﹣30t+19＝0，解得t＝1或t＝；由t＝1求得λ＝，由t＝求得λ＝；综上，λ＝或λ＝．22．【解答】解：（1）∵椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．∴，解得a＝2，b＝，∴椭圆E的方程为＝1．（2）由题意：切线P A，PB斜率相反，且不为0，令P A的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．P A的方程：y﹣1＝k（x﹣），即y＝kx+（1﹣），联立，∴（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有＝﹣，解得x 1＝，代入y＝kx+（1﹣），得y1＝，同理，y2＝，∴AB的斜率k AB＝＝＝，故AB的斜率为定值．。
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2017-2018学年第一学期期末杭州地区(含周边)重点中学
高二年级数学学科参考答案
考试学校：余杭高级中学严州中学余杭高中萧山中学等
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
二、填空题（共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共
36分）
11．4，y=12．
1
3
13．45,30
14
．
2
（2，1）
15．-2，16．[]
32
ππ
，17．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分，本参考答案只提供一种，其它答案请酌情给分.）
18. 解：
（1）圆C的圆心为（1，0），半径2
r=，……………………………………6分
（2）令C到直线:210
l ax y
-+=的距离为d，
则22
())
A B=∴=
……………………………10分解得：
3
2
a=…………………………14分
19. 解：
（1）由题知可以B为原点，分别以BC,BA,BB1
为x,y,z轴建系如图所示……………1分
则有A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),E(0,0,1),
F(1,1
,2)…………………………3分
故有：(2,0,1),(1,1,2)
CE AF
=-=-
……………5分
由：
(2,0,1)(1,1,2)2020
CE AF
⋅=-⋅-=-++=
知：;
CE AF AF CE
⊥⊥
即
……………………………………7分
（2）假设平面AEF的法向量为(,,)
n x y z
=
由0(,,)(0,2,1)20(,,)(1,1,2)200n AE x y z y z x y z x y z n AF ⎧⋅=⋅-=-+=⎧⎪⇒⎨⎨⋅-=-+=⋅=⎩
⎪⎩
不妨假设1,3,2(3,1,2)y x z n ==-=∴=-
得 …………………………11分
又平面ABC 的法向量 (0,0,1)m =
…………………………………12分
cos ,m n m n m n
⋅∴===⋅
……………………………14分 即AEF ABC 平面与平面………………………15分 20. 解：
（1）由抛物线定义知，点P 在以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线上，其轨迹方程为：
24y x = ………………………5分
（2）AB 的斜率显然存在且不为0,
故可设AB 的方程：11221,(,),(,)ty x A x y B x y =-， ……………………7分
由241y x ty x ⎧=⎨=-⎩ 得21212440,4,4y ty y y t y y --=∴+==- （1） ……9分 由1233AF FB y y =⇒=-
（2） ……11分
由（1）（2）得212222
2122224,43343y t
y y y t t y y y y =
-⎧+=-=⎧⎪
⇒⇒=±⎨⎨==
-=-⎩⎪⎩
……14分 故所求直线l 的方程是13
y x ±=-，即1)y x =-……………………15分
21. 解：
（1）11
=33PE PC λ⇒
= 又G ABC ∆是重心，
取AB 边中点M ，则M 、G 、C 三点共线 且有
13MG PE
MC PC
== …………4分 ;
EG PM EG PAB PM PAB EG PAB
∴⊄⊂∴ 平面，平面平面 ……………………………6分 （2）ABC ∆中：由余弦定理知
2564491cos 2582BAC +-∠=
⨯⨯=，
所以3BAC π
∠=，
……………………8分
故由题意可以A 为原点， AC 为y 轴, 平面ABC 为xoy 平面建系如图所示
则5
(0,0,0),,0),(0,8,0)(0,4,2
A B C P -， ………………………9分
(0,12,PC ∴=-
假设(,,)E x y z
(,4,(0,12,(0,124,(1PE PC x y z E λλλλ=⇒+-=-⇒--
………………………11分
假设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =
由(,,)(0,124,(100(31))05
(,,),0)0002
x y z n AE y z x y z n AB y λλλλ⎧⋅--=⎧⎧⋅=--=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=⋅=+=⎪⎪⎩⎩
不妨假设3131
1,(1,)11x y z n λλλλ
--===
∴=-- 得 …………………12分 PC ABE θ令与平面所成角,
cos ,PC n
PC n PC n θ⋅===
⋅
则sin =5
…14分
311t λλ-=
-令化简得：2
1911301901,11
t t t t -+=⇒== 由11915
1;21126t t λλ=⇒==
⇒= 所求115
;226λλ==
…………………………15分
22. 解； （1
）2222c e a b a =
=⇒= ………………2分 22211a b +=
……3分
解得：22
2
2
4, 2.1
42x y a b E ==∴+=所求方程为
………………………5分
（2）由题意：切线PA,PB 斜率相反，且不为0，令PA 的斜率为
K ，则PB 的斜率为-K 。
……………………7分
PA
的方程：1((1)y k x y kx -==+即
222
22(1)(12)4(1)2(1)40142
y kx k x k x x y ⎧=+⎪⇒+++-=⎨+
=⎪⎩ …………9分 假设 1122(,),(,)A x y B x y ，
21122
4(1)41212k k x x k k --=-⇒=++
………………………11分
22
21
(1)12k y kx k --+=++1代入得y =
同理：222222
421
1212k k x k k
+-++=++y = ………………………13分
所以AB
的斜率2121AB
y y K
x x -===-AB 的斜率为定值。
………………15分
x。