2013年湖南常德中考数学试卷及答案解析
【真题】湖南省常德市中考数学试卷含答案解析()
湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．2﹣1D．﹣【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣2的相反数是：2．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．3．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0 D．﹣a＞b【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误，ab＜0，故选项C错误，﹣a＞b，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0【分析】根据一次函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得k﹣2＞0，解得k＞2，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．5．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲的成绩最稳定，∴派甲去参赛更好，故选：A．【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．7．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，D x=，D y=．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）A．D==﹣7 B．D x=﹣14C．D y=27 D．方程组的解为【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．【解答】解：A、D==﹣7，正确；B、D x==﹣2﹣1×12=﹣14，正确；C、D y==2×12﹣1×3=21，不正确；D、方程组的解：x===2，y===﹣3，正确；故选：C．【点评】本题是阅读理解问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，理解题意，直接运用公式计算是本题的关键．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）﹣8的立方根是﹣2．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．10．（3分）分式方程﹣=0的解为x=﹣1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣2﹣3x=0，解得：x=﹣1，经检验x=1是分式方程的解．故答案为：﹣1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为 1.5×108千米．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，故答案为：1.5×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是1．【分析】将数据按照从小到大重新排列，根据中位数的定义即可得出答案．【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，所以这组数据的中位数为1，故答案为：1．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b 的值可能是6（只写一个）．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2．故答案可以为：6．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为0.35．视力x频数4.0≤x＜4.3204.3≤x＜4.6404.6≤x＜4.9704.9≤x≤5.2605.2≤x＜5.510【分析】直接利用频数÷总数=频率进而得出答案．【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为：=0.35．故答案为：0.35．【点评】此题主要考查了频率求法，正确把握频率的定义是解题关键．15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C 落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是9．【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，所以有x﹣12+x=2×3，解得x=9．故答案为9．【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．本题还可以根据报2的人心想的数可以是6﹣x，从而列出方程x﹣12=6﹣x求解．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，=1﹣2+1+2﹣4，=﹣2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（5分）求不等式组的正整数解．【分析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．【解答】解：，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤，不等式组的解集是﹣2＜x≤，不等式组的正整数解是1，2，3，4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组的解集的表示方法是解题关键．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=[+]×（x﹣3）2=×（x﹣3）2=x﹣3，把x=代入得：原式=﹣3=﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．20．（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出y1＜y2时x的取值范围．【解答】解：（1）∵反比例函数y2=（k2≠0）的图象过点A（4，1），∴k2=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y2=．∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上，∴n=4÷（﹣2）=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，，解得：，∴一次函数的解析式为y=x﹣1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式y1＜y2的解集．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得：，解得：．答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3（120﹣a），解得：a≤90．∵k=﹣10＜0，∴w随a值的增大而减小，∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【分析】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；（2）用500乘以样本中喜欢排球的百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的写生数；（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=×100%=28%，补全条形统计图如下：（2）500×12%=60，所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x ﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（t，t），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM 得到S △AMN =•4•t ﹣•t•t ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q （m ，m 2﹣m ），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO ∽△COA ，则|m 2﹣m |=2|m |；当=时，△PQO ∽△CAO ，则|m 2﹣m |=|m |，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，∴抛物线解析式为y=x （x ﹣6），即y=x 2﹣x ；（2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y=x ，设直线AB 的解析式为y=kx +b ，把B （6，0），A （8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （t ，t ），∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =•4•t ﹣•t•t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣3）2+3，当t=3时，S有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；△AMN（3）设Q（m，m2﹣m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当=时，△PQO∽△COA，即=，∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC•AC．【分析】（1）先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；（2）先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠AMB=67.5°，即可得出结论；（3）设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN=a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根据勾股定理得，AC=（a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出△DEN∽△ADE，得出，进而得出a=b，即可表示出CN=b，AC=b，AN=AC﹣CN=b，即可得出结论．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠ANH=∠OND，∴∠ANH+∠ODN=90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，∴∠ANH+∠OAM=90°，∴∠ODN=∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM=ON；（2）连接MN，∵EN∥BD，∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，∵OD=OD，∴DM=CN=EN，∵EN∥DM，∴四边形DENM是平行四边形，∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE=EN，∴∠EDN=∠END，∵EN∥BD，∴∠END=∠BDN，∴∠EDN=∠BDN，∵∠BDC=45°，∴∠BDN=22.5°，∵∠AHD=90°，∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，∵∠ABM=45°，∴∠BAM=67.5°=∠AMB，∴BM=AB；（3）设CE=a（a＞0）∵EN⊥CD，∴∠CEN=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CNE=45°=∠ACD，∴EN=CE=a，∴CN=a，设DE=b（b＞0），∴AD=CD=DE+CE=a+b，根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，∵∠OAD=∠ODC=45°，∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，∴△DEN∽△ADE，∴，∴，∴a=b（已舍去不符合题意的）∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，∴AN=AC﹣CN=b，∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2∴AN2=AC•CN．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．21 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2013常德中考卷
2013常德中考卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪种物质是植物进行光合作用的主要原料？（）A. 水B. 二氧化碳C. 氧气D. 糖类2. 在我国，下列哪个城市被称为“日光城”？（）A. 杭州B. 拉萨C. 成都D. 昆明3. 下列哪个朝代实行了科举制度？（）A. 秦朝B. 汉朝C. 唐朝D. 宋朝A. 《诗经》B. 《楚辞》C. 《乐府诗集》D. 《全唐诗》5. 下列哪个是计算机的输出设备？（）A. 键盘B. 鼠标C. 显示器D. 打印机二、判断题（每题1分，共5分）1. 水的化学式为H2O，其中氢元素和氧元素的质量比为1：8。
（）2. 地球自转的方向是自西向东。
（）3. “大禹治水”的故事讲述的是大禹成功治理了黄河的洪水。
（）4. 《红楼梦》是我国四大名著之一，作者是曹雪芹。
（）5. 在Excel中，函数“SUM”用于求平均值。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 我国古代著名的“四大发明”包括：____、____、____、____。
2. 在平面几何中，若两条直线平行，则它们的斜率____。
3. 《论语》是记录孔子及其弟子言行的著作，其中“仁者爱人”是孔子的____。
4. 世界上面积最大的国家是____，面积最小的国家是____。
5. 在计算机硬件中，____是负责存储程序和数据的设备。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述质量守恒定律的内容。
2. 请简要介绍我国传统节日“端午节”的习俗。
3. 请列举出三种常见的岩石类型。
4. 请简述达尔文自然选择学说的主要内容。
5. 请解释计算机病毒的危害。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明家的花园长10米，宽6米，他想在花园四周种树，每隔2米种一棵，问他需要种多少棵树？2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶了2小时后，求汽车行驶的距离。
3. 已知一个正方形的边长为5cm，求其面积。
4. 某商店进行打折促销，原价为200元的商品，打8折后，顾客实际支付多少元？5. 在一次数学竞赛中，共有10道题，每道题答对得10分，答错或不答不得分。
2013年湖南常德中考数学试卷及答案(word解析版)
2013年湖南省常德市中考数学试卷一．填空题 （本大题8个小题 ，每小题3分满分24分） 1.(2013湖南常德，1，3)-4的相反数是 . 【答案】42. (2013湖南常德，2，3)打开百度搜索栏，输入“数学学习方法”，百度为你找到的相关信息有12 000 000条.请用科学记数法表示12 000 000= . 【答案】71.210⨯3. (2013湖南常德，3，3)因式分解2x x +=_______. 【答案】()1x x +4. (2013湖南常德，4，3)如图1，已知a ∥b 分别相交于点E 、F ，若∠1=30，则∠2=_______. 【答案】30°图121F Eb a5. (2013湖南常德，5，3)请写一个图象在第二，第四象限的反比例函数解析式：_________. 【答案】答案不唯一，如1y x-=6. (2013湖南常德，6，3)如图2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=___图2O CBA【答案】50°7. (2013湖南常德，7，3)分式方程312x x=+的解为_________. 【答案】1x =8. (2013湖南常德，8，3)小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：321876541514131211109242322212019181716-=+--=++---=+++----=根据以上规律可知第100行左起第一个数是_________. 【答案】10200二．选择题（本大题8个小题，每个小题3分，满分24分）9. (2013湖南常德，9，3)在图3中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）【答案】B10. (2013湖南常德，10，3)函数1y x =-中自变量的取值范围是（ ） A. 3x ≥- B. 3x ≥ C. 0,1x x ≥≠且 D. 3,1x x ≥-≠且【答案】D11. (2013湖南常德，11，3)小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16，18，20，18，18，对此成绩描述错误的是（ ）A. 平均数为18B. 众数为18C. 方差为0D. 极差为4 【答案】C12. (2013湖南常德，12，3)下面计算正确的是（ ）A. 330x x ÷= B. 32x x x -= C. 236x x x = D. 32x x x ÷= 【答案】D13. (2013湖南常德，13，3)下列一元二次方程中无实数解的方程是( )A. 2210x x ++= B. 210x += C. 221x x =- D. 2450x x --= 【答案】B14. (2013湖南常德，14，3)的结果为（ ） A. -1 B. 1 C.4- D. 7【答案】B15. (2013湖南常德，15，3)如图4，将方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在D ′ 处，若AB =3，AD =4,则ED 的长为（ ）A.32 B. 3 C. 1 D. 43【答案】A16. (2013湖南常德，16，3)连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图5（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径” 最小的是（）【答案】C 三．（本大题2个小题，每个小题5分，满分10分） 17. (2013湖南常德，17，5)计算：()()220131212π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】1214 =2=+---解：原式18. (2013湖南常德，18，5)求不等式组21025x x x +>⎧⎨>-⎩的正整数解.【答案】解：由不等式①得12x >-由不等式②得5x < 则不等式组的解集为152x -<< ∴此不等式组的正整数解为1，2，3，4.四．（本大题2个小题，每个小题6分，满分12分） 19. (2013湖南常德，19，6)先化简再求值：222222322a bb b a a ab b a b a b -+⎛⎫+÷⎪-+--⎝⎭，其中5, 2.a b ==【答案】()()()()()()()()()()()223223223321a b ba b a b a b b aa b a b b a b a b a b a b a b b a a b a b a b a b b aa b ⎡⎤--=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤+-=+⎢⎥+-+-+⎣⎦+-=+-+=+解：原式当5,2a b ==时，原式=17五．（本大题2个小题，每个小题7分，满分14分）20. (2013湖南常德，20，6)某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A ，B 两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励，。
2013年湖南常德中考数学试题及答案(解析版)
2013年湖南省常德市中考数学试卷一．填空题 （本大题8个小题 ，每小题3分满分24分） 1.(2013湖南常德，1，3)-4的相反数是 . 【答案】4 2. (2013湖南常德，2，3)打开百度搜索栏，输入“数学学习方法”，百度为你找到的相关信息有12 000 000条.请用科学记数法表示12 000 000= . 【答案】71.210⨯3. (2013湖南常德，3，3)因式分解2x x +=_______. 【答案】()1x x +4. (2013湖南常德，4，3)如图1，已知a∥b 分别相交于点E 、F ，若∠1=30，则∠2=_______. 【答案】30°图121F Eb a5. (2013湖南常德，5，3)请写一个图象在第二，第四象限的反比例函数解析式：_________. 【答案】答案不唯一，如1y x-=6. (2013湖南常德，6，3)如图2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=___图2O CBA【答案】50°7. (2013湖南常德，7，3)分式方程312x x=+的解为_________. 【答案】1x =8. (2013湖南常德，8，3)小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：321876541514131211109242322212019181716-=+--=++---=+++----= 根据以上规律可知第100行左起第一个数是_________. 【答案】10200二．选择题（本大题8个小题，每个小题3分，满分24分）9. (2013湖南常德，9，3)在图3中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）【答案】B10. (2013湖南常德，10，3)函数31x y x +=-中自变量的取值范围是（ ） A. 3x ≥- B. 3x ≥ C. 0,1x x ≥≠且 D. 3,1x x ≥-≠且【答案】D 11. (2013湖南常德，11，3)小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16，18，20，18，18，对此成绩描述错误的是（ ）A. 平均数为18B. 众数为18C. 方差为0D. 极差为4 【答案】C12. (2013湖南常德，12，3)下面计算正确的是（ ）A. 330x x ÷= B. 32x x x -= C. 236x x x = D. 32x x x ÷= 【答案】D13. (2013湖南常德，13，3)下列一元二次方程中无实数解的方程是( ) A. 2210x x ++= B. 210x += C. 221x x =- D. 2450x x --= 【答案】B14. (2013湖南常德，14，3)计算32827⨯+-的结果为（ ）A. -1B. 1C. 433-D. 7 【答案】B 15. (2013湖南常德，15，3)如图4，将方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在D ′ 处，若AB =3，AD =4,则ED 的长为（ ）A.32 B. 3 C. 1 D. 43【答案】A16. (2013湖南常德，16，3)连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图5（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径” 最小的是（ ）【答案】C 三．（本大题2个小题，每个小题5分，满分10分）17. (2013湖南常德，17，5)计算：()()2020131212π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】1214 =2=+---解：原式18. (2013湖南常德，18，5)求不等式组21025x x x +>⎧⎨>-⎩的正整数解.【答案】解：由不等式①得12x >-由不等式②得5x <则不等式组的解集为152x -<<∴此不等式组的正整数解为1，2，3，4.四．（本大题2个小题，每个小题6分，满分12分）19. (2013湖南常德，19，6)先化简再求值：222222322a bb b a a ab b a b a b-+⎛⎫+÷⎪-+--⎝⎭，其中5, 2.a b == 【答案】()()()()()()()()()()()223223223321a b ba b a b a b b aa b a b b a b a b a b a b a b b a a b a b a b a b b aa b ⎡⎤--=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤+-=+⎢⎥+-+-+⎣⎦+-=+-+=+解：原式 当5,2a b ==时，原式=17五．（本大题2个小题，每个小题7分，满分14分）20. (2013湖南常德，20，6)某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A ，B 两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励，。
2013年湖南省常德市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2013年湖南省常德市中考数学试题及参考答案与解析一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．﹣4的相反数为．2．打开百度搜索栏，输入“数学学习法”，百度为你找到的相关信息有12000000条，请用科学记数法表示12000000=．3．因式分解：x2+x=．4．如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别相交于点E、F．若∠1=30°，则∠2=．5．请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．6．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=．7．分式方程312x x=+的解为．8．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3﹣2=18+7﹣6﹣5=415+14+13﹣12﹣11﹣10=924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16…根据以上规律可知第100行左起第一个数是．二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．在图中，既是中心对称图形有是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≥3C．x≥0且x≠1D．x≥﹣3且x≠111．小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16、18、20、18、18，对此成绩描述错误的是（ ）A ．平均数为18B ．众数为18C ．方差为0D ．极差为412．下面计算正确的是（ ）A ．x 3÷x 3=0B ．x 3﹣x 2=xC ．x 2•x 3=x 6D ．x 3÷x 2=x13．下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ）A ．x 2+2x+1=0B ．x 2+1=0C ．x 2=2x ﹣1D ．x 2﹣4x ﹣5=014）A ．﹣1B ．1 C．4- D ．715．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED 的长为（ ）A ．32B ．3C ．1D ．43 16．连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共2小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：()()2020131212π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． 18．（5分）求不等式组21025x x x +⎧⎨-⎩＞＞的正整数解．四、解答题（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简再求值：222222322a b b b a a ab b a b a b -+⎛⎫+÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a=5，b=2． 20．（6分）某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A ，B 两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励．某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字2，5，6不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲获A 名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获得A 名著，你认为此规则合理吗？为什么？五、解答题（本大题共2小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某地为改善生态环境，积极开展植树造林，甲、乙两人从近几年的统计数据中有如下发现：（1）求y2与x之间的函数关系式？（2）若上述关系不变，试计算哪一年该地公益林面积可达防护林面积的2倍？这时该地公益林的面积为多少万亩？22．（7分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．六、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）网络购物发展十分迅速，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和对网上购物所持态度情况进行了调查，并将调查结果绘成了条形图1和扇形图2．（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？（2）如果把对网络购物所持态度中的“经常（购物）”和“偶尔（购物）”统称为“参与购物”，那么这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是多少？（3）这次调查中，“25﹣35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的有22人，它占“25﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分之几？（4）请估计该企业“从不（网购）”的人数是多少？24．（8分）如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H．求证：（1）AC是⊙O的切线．（2）HC=2AH．七、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B对称轴为直线12x=-，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=13MP，MD=13OM，OE=13ON，NF=13NP．（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．参考答案与解析一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．﹣4的相反数为．【知识考点】相反数．【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0即可求解．【解答过程】解：﹣4的相反数是4．故答案为：4．【总结归纳】此题主要考查相反数的意义，较简单．2．打开百度搜索栏，输入“数学学习法”，百度为你找到的相关信息有12000000条，请用科学记数法表示12000000=．【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：将12000000用科学记数法表示为1.2×107．故答案为：1.2×107．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．因式分解：x2+x=．【知识考点】因式分解-提公因式法．【思路分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．【解答过程】解：x2+x=x（x+1）．【总结归纳】本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，结合观察法是解此类题目的常用的方法．4．如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别相交于点E、F．若∠1=30°，则∠2=．【知识考点】平行线的性质．。
湖南省常德市中考数学试卷(含答案)
相关资料湖南省常德市2013 年中考数学试卷一、填空题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）1．（3 分）（2013•常德）﹣4 的相反数为 4 ．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是0 即可求解．解答：解：﹣4 的相反数是4．故答案为：4．点评：此题主要考查相反数的意义，较简单．2．（3 分）（2013•常德）打开百度搜索栏，输入“数学学习法”，百度为你找到的相关信息有12000000 条，请用科学记数法表示12000000= 1.2×107 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将12000000 用科学记数法表示为1.2×107．故答案为：1.2×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（3 分）（2013•大连）因式分解：x2+x= x（x+1）．考点：因式分解-提公因式法．分析：根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．解答：解：x2+x=x（x+1）．点评：本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，结合观察法是解此类题目的常用的方法．4．（3 分）（2013•常德）如图，已知直线a∥b，直线c 与a，b 分别相交于点E、F．若∠1=30°，则∠2= 30°．考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同位角相等解答．解答：解：∵a∥b，∠1=30°，∴∠2=∠1=30°．故答案为：30°．点评：本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．5．（3 分）（2013•常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： y=﹣．考点：反比例函数的性质．专题：开放型．分析：根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0 的反比例函数即可．解答：解：∵图象在第二、四象限，∴y=﹣，故答案为：y=﹣．点评：此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．6．（3 分）（2013•常德）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC= 50°．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，进而可得答案．解答：解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC=100°，∴∠BAC= ∠BOC=×100°=50°．故答案为：50°．点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．7．（3 分）（2013•常德）分式方程=的解为 x=2．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x=x+2，解得：x=2，经检验x=2 是分式方程的解．故答案为：x=2点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8．（3 分）（2013•常德）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3﹣2=18+7﹣6﹣5=415+14+13﹣12﹣11﹣10=924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16…根据以上规律可知第100 行左起第一个数是10200 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：2根据3，8，15，24 的变化规律得出第100 行左起第一个数为101 ﹣1 求出即可．解答：2解：∵3=2 ﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，24=52﹣1，…∴第100 行左起第一个数是：1012﹣1=10200．故答案为：10200．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键．二、选择题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）9．（3 分）（2013•常德）在图中，既是中心对称图形有是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．解答：解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项正确；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选B．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴10．（3 分）（2013•常德）函数y=中自变量x 的取值范围是（）A.B．x≥3 C．x≥0 且x≠1 D．x≥﹣3 x≥﹣3 且x≠1考点：函数自变量的取值范围分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0 列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x+3≥0 且x﹣1≠0，解得x≥﹣3 且x≠1．故选D．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．（3 分）（2013•常德）小伟5 次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16、18、20、18、18，对此成绩描述错误的是（）A．平均数为18 B．众数为18 C．方差为0 D．极差为4考点：方差；加权平均数；众数；极差．÷ 3 2 • ÷ 2 2 分析：根据方差、平均数、众数和极差的定义分别进行计算即可得出答案． 解答：解：16、18、20、18、18 的平均数是（16+18=20+18+18）÷5=18；18 出现了三次，出现的次数最多，则众数为 18；方差=[（16﹣18）2+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2]=；极差为：20﹣16=4；故选 C ．点评：此题考查了方差、平均数、众数和极差，掌握方差、平均数、众数和极差的定义是解题关键，一般地设 n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为 ，则方差 S 2=[（x 1﹣ ）2+（x 2﹣ ）2+…+（x n ﹣）2]，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．12．（3 分）（2013•常德）下面计算正确的是（ ） A ．x 3 x 3=0 B ． C ．x 2 x 3=x 6D ．x 3 x 2=xx ﹣x =x考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判断得出即可．解答：解：A 、x 3÷x 3=1，故此选项错误；B 、x 3﹣x 2 无法计算，故此选项错误；C 、x 2•x 3=x 5，故此选项错误；D 、x 3÷x 2=x ，故此选项正确． 故选：D ．点评：本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则．13．（3 分）（2013•常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+1=0 C ． D ．x =2x ﹣1 x ﹣4x ﹣5=0考点：根的判别式． 专题：计算题．分析：找出各项方程中 a ，b 及 c 的值，进而计算出根的判别式的值，找出根的判别式的值小于 0 时的方程即可． 解答：解：A 、这里 a=1，b=2，c=1，∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=0，c=1，∵△=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项符合题意；C、这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣4，c=﹣5，∵△=16+20=36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意，故选B点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．14．（3 分）（2013•常德）计算+ 的结果为（）A．﹣1 B．1 C．4﹣3D．7考点：实数的运算．专题：计算题．分析：先算乘法，再算加法即可．解答：解：原式=+=4﹣3=1．故选B．点评：本题考查的是实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．15．（3 分）（2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE，且D 点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED 的长为（）A．B．3 C．1 D．考点：翻折变换（折叠问题）分析：首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可．解答：解：∵AB=3，AD=4，∴DC=3，∴AC= =5，根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C=DC=3，DE=D′E，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，在Rt△AED′ 中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，22+x2=（4﹣x）2，解得：x=，故选：A．点评：此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（3 分）（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．考点：菱形的性质；勾股定理；直角梯形．分析：先找出每个图形的“直径”，再根据所学的定理求出其长度，最后进行比较即可．解答：解：连接BC，则BC 为这个几何图形的直径，过O 作OM⊥BC 于M ∵OB=OC，∴∠BOM= ∠BOC=60°，∴∠OBM=30°，∵OB=2，OM⊥BC，∴OM= OB=1，由勾股定理得：BM= ，∴由垂径定理得：BC=2；连接AC、BD，则BD 为这个图形的直径，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，BD 平分∠ABC，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴AO= AB=1，由勾股定理得：BO= ，∴BD=2BO=2；连接BD，则BD 为这个图形的直径，由勾股定理得：BD==2；连接BD，则BD 为这个图形的直径，由勾股定理得：BD= =，﹣ ∵2＞＞2，∴选项 A 、B 、D 错误，选项 C 正确； 故选 C ．点评：本题考查了菱形性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质，扇形性质等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力．三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分） 17．（5 分）（2013•常德）计算；（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣（）﹣2．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：分别进行零指数幂、负整数指数幂及二次根式的化简，然后合并可得出答案． 解答：解：原式=1+2﹣1﹣4=﹣2． 点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂的运算，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．18．（5 分）（2013•常德）求不等式组的正整数解．考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出适合条件的正整数即可． 解答：解：解不等式 2x+1＞0，得：x ＞ ，解不等式 x ＞2x ﹣5 得：x ＜5， ∴不等式组的解集为﹣ ＜x ＜5，∵x 是正整数，∴x=1、2、3、4、5．点评：此题主要考查了求不等式组的正整数解，正确解不等式组，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质，同学们要注意在不等式两边同时除以同一个负数时，不等号一定要改变．四、解答题（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．（6 分）（2013•常德）先化简再求值：（+）÷，其中 a=5，b=2．考点：分式的化简求值． 专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=[ +]•= •= •=，当a=5，b=2 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．20．（6 分）（2013•常德）某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A，B 两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励．某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字2，5，6 不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取2 张，若牌面数字之和为偶数，则甲获A 名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获得A 名著，你认为此规则合理吗？为什么？考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为奇数与偶数情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有6 种等可能的结果，两数之和是偶数的有2 种情况；∴甲获胜的概率为：=；∴P（甲获胜）=，∴P（甲）≠P（乙），∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．五、解答题（本大题共2 小题，每小题7 分，满分14 分）21．（7 分）（2013•常德）某地为改善生态环境，积极开展植树造林，甲、乙两人从近几年的统计数据中有如下发现：（1）求y2 与x 之间的函数关系式？（2）若上述关系不变，试计算哪一年该地公益林面积可达防护林面积的2 倍？这时该地公益林的面积为多少万亩？考点：一次函数的应用．分析：（1）设y2 与x 之间的函数关系式为y2=kx+b，由待定系数法直接求出其解析式即可；（2）由条件可以得出y1=y2 建立方程求出其x 的值即可，然后代入y1 的解析式就可以求出结论．解答：解：设y2 与x 之间的函数关系式为y2=kx+b，由题意，得，故y2 与x 之间的函数关系式为y2=15x﹣25950；（2）由题意当y1=2y2 时，5x﹣1250=2（15x﹣25950），解得：x=2026．故y1=5×2026﹣1250=8880．答：在2026 年公益林面积可达防护林面积的2 倍，这时该地公益林的面积为8880 万亩．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程解实际问题的运用解答时根据条件求出函数的解析式是关键．22．（7 分）（2013•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB= ，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．，解得：﹣ ﹣考点：解直角三角形．分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解 Rt △ADC ，得出 DC=1；解 Rt △ADB ，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2，然后根据 BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DE=CE ﹣CD ，然后在 Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．解答：解：（1）在△ABC 中，∵AD 是 BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1， ∴AB= =3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE 是 BC 边上的中线， ∴CE= BC=+ ，∴DE=CE ﹣CD=，∴tan ∠DAE==．点评：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt △ADC 与 Rt △ADB ，得出 DC=1，AB=3 是解题的关键．六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 23．（8 分）（2013•常德）网络购物发展十分迅速，某企业有 4000 名职工，从中随机抽取 350人，按年龄分布和对网上购物所持态度情况进行了调查，并将调查结果绘成了条形图 1 和扇形图 2．（1） 这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？ （2） 如果把对网络购物所持态度中的“经常（购物）”和“偶尔（购物）”统称为“参与购物”，那么这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是多少？（3）这次调查中，“25﹣35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的有22 人，它占“25﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分之几？（4）请估计该企业“从不（网购）”的人数是多少？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：计算题．分析：（1）根据样本的容量为350，得到中位数应为第175 与第176 两个年龄的平均数，根据条形统计图即可得到中位数所在的年龄区间；（2）找出“经常（购物）”和“偶尔（购物）”共占的百分比，乘以350 即可得到结果；（3）“25﹣35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的人数除以350，即可得到结果；（4）由扇形统计图求出“从不（网购）”所占的百分比，乘以4000 即可得到结果．解答：解：（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是25﹣35 之间；（2）“经常（购物）”和“偶尔（购物）”共占的百分比为40%+22%=62%，则这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是350×62%=217（人）；（3）根据题意得：“从不（网购）”的占“25﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分比为×100%=20%；（4）根据题意得：4000×（1﹣40%﹣22%）=1520（人），则该企业“从不（网购）”的人数是1520 人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．24．（8 分）（2013•常德）如图，已知⊙O 是等腰直角三角形ADE 的外接圆，∠ADE=90°，延长ED 到C 使DC=AD，以AD，DC 为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE 交AC 于点H．求证：（1）AC 是⊙O 的切线．（2）HC=2AH．考点：切线的判定；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE 为⊙O 的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB∥CD 得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2．解答：证明：（1）∵∠ADE=90°，∴AE 为⊙O 的直径，∵△ADE 为等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠DAC=45°，∴∠EAC=45°+45°=90°，∴AC⊥AE，∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB∥CD，∴△ABH∽△CEH，∴AH：CH=AB：ED，∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AD=ED，而AD=AB=DC，∴EC=2AB，∴AH：CH=1：2，即HC=2AH．点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质．七、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）25．（10 分）（2013•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x=﹣，点P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作PM⊥x 轴于点M，PN⊥y 轴于点N，在四边形PMON 上分别截取PC=MP，MD= OM，OE= ON，NF= NP．（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF 两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF 是平行四边形；（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON 是正方形．这样点P 就是抛物线y=x2+x﹣3 与坐标象限角平分线y=x 或y=﹣x 的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P 的坐标．符合题意的点P 有四个，在四个坐标象限内各一个．解答：2（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+ ）+k，∵点A（0，﹣3），B（，）在抛物线上，∴，解得：a=1，k= ．∴抛物线的解析式为：y=（x+ ）2 =x2+x﹣3．（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．∵PM⊥x 轴于点M，PN⊥y 轴于点N，∴四边形PMON 为矩形，∴PM=ON，PN=OM．∵PC= MP，OE= ON，∴PC=OE；∵MD= OM，NF= NP，∴MD=NF，∴PF=OD．在△PCF 与△OED 中，∴△PCF≌△OED（SAS），∴CF=DE．同理可证：△CDM≌△FEN，∴CD=EF．∵CF=DE，CD=EF，∴四边形CDEF 是平行四边形．（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF 为矩形．设矩形PMON 的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC= m，MD= n，PF= n．若四边形CDEF 为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，∴，即，化简得：m2=n2，∴m=n，即矩形PMON 为正方形．∴点P 为抛物线y=x2+x﹣3 与坐标象限角平分线y=x 或y=﹣x 的交点．联立，解得，，∴P1（，），P2（﹣，﹣）；联立，解得，，∴P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF 为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，），P2（﹣，﹣），P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（2）问的要点是全等三角形的证明，第（3）问的要点是判定四边形PMON 必须是正方形，然后列方程组求解．26．（10 分）（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF 的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）证法一：如答图1a 所示，延长AB 交CF 于点D，证明BM 为△ADF 的中位线即可；证法二：如答图1b 所示，延长BM 交EF 于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM 和△FDM 全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF 即可，（2）解法一：如答图2a 所示，作辅助线，推出BM、ME 是两条中位线；解法二：先求出BE 的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a 所示，作辅助线，推出BM、ME 是两条中位线：BM=DF，ME= AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b 所示，延长BM 交CF 于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM 和△FDM 全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE 和△DFE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．解答：（1）证法一：如答图1a，延长AB 交CF 于点D，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴点B 为线段AD 的中点，又∵点M 为线段AF 的中点，∴BM 为△ADF 的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM 交EF 于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M 是AF 的中点，∴AM=MF，∵在△ABM 和△FDM 中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF 中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a 所示，延长AB 交CF 于点D，则易知△BCD 与△ABC 为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=AD= a，∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，∴BM= DF．分别延长FE 与CA 交于点G，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF= a，∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，∴ME= AG．∵CG=CF= a，CA=CD=a，∴AG=DF= a，∴BM=ME=× a=a．解法二：∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED 是等腰直角三角形，∴△BEM 是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB 交CE 于点D，连接DF，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，∴BM= DF．延长FE 与CB 交于点G，连接AG，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，∴ME=AG．在△ACG 与△DCF 中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图3b，延长BM 交CF 于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∴M 是AF 的中点，∴AM=FM，在△ABM 和△FDM 中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，∵在△BCE 和△DFE 中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE 是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．点评：本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．。
湖南省常德市中考数学真题试卷(含解析)
湖南省常德市中考数学真题试卷一、选择题（共8小题）.1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣4 2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．计算：﹣+＝．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE 交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．解：4的倒数为．故选：A．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．计算：﹣+＝3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝﹣12 ．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12 ．【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE 交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC ∽△ECF，可得，可求解．解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB （SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。
湖南常德市中考数学考试及答案(Word解析版)
湖南常德市中考数学考试及答案(Ｗｏrd解析版)————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:ﻩ湖南省常德市2013年中考数学试卷一、填空题（本大题8个小题,每小题3分，满分2４分)1.(3分)（20１3•常德）﹣4的相反数为4 ．考点: 相反数．分析:根据只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0即可求解.解答:解:﹣4的相反数是4．故答案为:4．点评:此题主要考查相反数的意义，较简单．2.(3分)(2013•常德）打开百度搜索栏,输入“数学学习法”，百度为你找到的相关信息有12000000条,请用科学记数法表示12０00000=1．2×10７.考点：科学记数法—表示较大的数.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a｜<1０,n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数;当原数的绝对值＜1时，ｎ是负数．解答:解：将1200000０用科学记数法表示为１．２×10７．故答案为:1.２×107.点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a｜＜1０,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.(3分）(２013•大连）因式分解:x2＋x＝x(x+1) ．考点：因式分解-提公因式法．分析:根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得.解答：解：ｘ2＋x=x(x＋１)．点评:本题考查了提公因式法分解因式,通过观察可直接得出公因式,结合观察法是解此类题目的常用的方法.4.(３分）（2０13•常德）如图,已知直线a∥ｂ，直线ｃ与ａ，b分别相交于点E、F．若∠1＝30°，则∠２=３0° .考点：平行线的性质.分析：根据两直线平行，同位角相等解答．解答：解:∵a∥b，∠1=３0°,∴∠2＝∠1＝３０°.故答案为：30°.点评:本题考查了平行线的性质,是基础题，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．5.（3分)(2013•常德)请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式:y=﹣．考点: 反比例函数的性质.专题：开放型.分析：根据反比例函数的性质可得ｋ＜0,写一个k＜0的反比例函数即可．解答：解：∵图象在第二、四象限,∴y=﹣,故答案为:ｙ=﹣.点评：此题主要考查了反比例函数(k≠0）,(1）ｋ>0,反比例函数图象在一、三象限;(2)k ＜０，反比例函数图象在第二、四象限内．６．(3分)(201３•常德）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆,若∠BOＣ=１００°,则∠BAC＝5０°.考点: 圆周角定理.分析：根据圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BＯC＝2∠ＢAＣ,进而可得答案．解答：解:∵⊙O是△ＡBＣ的外接圆,∠BOC=１00°，∴∠BAC＝∠ＢOC=×1００°=50°.故答案为：５0°．点评:此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．７．(3分）(2013•常德)分式方程=的解为x=2.考点：解分式方程．专题: 计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．解答:解：去分母得:3x=x+2，解得:ｘ=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为:ｘ=２点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.８．(3分）(２013•常德)小明在做数学题时,发现下面有趣的结果：3﹣2=18+７﹣6﹣5=４1５+14+13﹣12﹣１１﹣１0=924+23+２２+2１﹣20﹣19﹣18﹣1７=１6…根据以上规律可知第１00行左起第一个数是1０200．考点：规律型：数字的变化类．分析:根据3，８，15，2４的变化规律得出第１０0行左起第一个数为1０１2﹣１求出即可. 解答:解:∵3=2２﹣1，8＝3２﹣1,15＝42﹣1，24=52﹣1，…∴第100行左起第一个数是:1012﹣１=102０0.故答案为:１0200．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键．二、选择题（本大题8个小题,每小题3分,满分２4分)9．(3分)（201３•常德)在图中,既是中心对称图形有是轴对称图形的是(）A．Ｂ. C．D．考点: 中心对称图形；轴对称图形.分析：根据中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转１８0°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.以及轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,即可判断出答案．解答：解：Ａ、此图形是中心对称图形,不是轴对称图形，故此选项错误;B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确;C、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形,故此选项正确;D、此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误.故选B.点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴.1０．（3分）（2０13•常德)函数ｙ=中自变量x的取值范围是（）Ａ. x≥﹣3 Ｂ．ｘ≥3 C．x≥0且x≠1 D. x≥﹣3且x≠１考点：函数自变量的取值范围分析:根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解.解答：解:根据题意得,ｘ＋3≥0且x﹣１≠０,解得x≥﹣３且x≠１.故选D．点评:本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑：（１）当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.１1.（3分）(２０1３•常德）小伟5次引体向上的测试成绩（单位:个）分别为:16、１8、20、18、18,对此成绩描述错误的是（)A. 平均数为18 B．众数为18 C．方差为0 D．极差为4考点：方差;加权平均数；众数;极差.分析：根据方差、平均数、众数和极差的定义分别进行计算即可得出答案．解答：解:1６、18、２0、18、18的平均数是（1６＋１8=20+18+１8)÷５=18；１８出现了三次，出现的次数最多,则众数为１８;方差＝［（16﹣1８）２＋(1８﹣１8）2+(20﹣１8)２+（１８﹣18)2＋(1８﹣18)２]=;极差为：２0﹣１6=4；故选C.点评:此题考查了方差、平均数、众数和极差,掌握方差、平均数、众数和极差的定义是解题关键，一般地设n个数据，x1,ｘ2，…x n的平均数为,则方差S２=[（x1﹣)2+（x２﹣）2+…＋（x n﹣)2]，平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数).１2．（3分）(２0１3•常德）下面计算正确的是（）A. x3÷x３=0B. x3﹣x2=xC. x2•x３=x６D．x3÷x2=x考点：同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法．分析：分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判断得出即可.解答:解:A、x３÷x3＝1,故此选项错误；B、ｘ3﹣x2无法计算,故此选项错误;Ｃ、ｘ2•x3＝ｘ5，故此选项错误;D、ｘ3÷x2＝x,故此选项正确．故选：D．点评:本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方,解题的关键是掌握相关运算的法则．13．(３分）(201３•常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是(）A．x２+2x+１＝0 B．x2+1=0 C. x２＝2ｘ﹣1 Ｄ. x2﹣4ｘ﹣5＝0考点：根的判别式．专题: 计算题．分析：找出各项方程中a，ｂ及c的值,进而计算出根的判别式的值,找出根的判别式的值小于0时的方程即可.解答:解:Ａ、这里a＝1，b=2,c=1,∵△=4﹣4=0,∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；B、这里a=1,ｂ=0，ｃ=１，∵△=﹣４<0，∴方程没有实数根,本选项符合题意；C、这里a=1,b=﹣2，c=1，∵△＝4﹣4=0,∴方程有两个相等的实数根,本选项不合题意；Ｄ、这里a=1，b=﹣４,c=﹣5,∵△=1６+20=36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意,故选B点评:此题考查了根的判别式,根的判别式的值大于０，方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0,方程没有实数根.14．(3分)（2013•常德)计算+的结果为（)A．﹣1 B．1C．4﹣3D．7考点: 实数的运算.专题: 计算题．分析：先算乘法,再算加法即可．解答:解:原式=＋=4﹣3＝1.故选B.点评:本题考查的是实数的运算,在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行．15．（3分）（2０13•常德）如图,将长方形纸片ＡＢＣD折叠，使边DC落在对角线AC上,折痕为ＣＥ,且D点落在对角线D′处.若AB=３，AＤ=４,则EＤ的长为(）Ａ． B. 3Ｃ. 1 D.考点: 翻折变换(折叠问题）分析:首先利用勾股定理计算出AＣ的长,再根据折叠可得△DEC≌△Ｄ′EＣ,设ED=ｘ，则Ｄ′E=x,ＡＤ′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x,再根据勾股定理可得方程2２＋x2=(4﹣x）2,再解方程即可．解答:解:∵AB=３，AＤ＝4,∴ＤC=3，∴AC=＝5，根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C=DC=3，ＤＥ=D′Ｅ,设EＤ＝x，则D′E=ｘ,AＤ′=AC﹣CD′＝2,AＥ=4﹣x，在Rt△ＡED′中:(AD′）2+(ED′）２=AE2，22+x2=（4﹣x)2,解得:x=，故选：Ａ.点评:此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用,关键是掌握折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化，对应边和对应角相等．16.（3分)（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径,根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是() Ａ. B．C．Ｄ．考点：菱形的性质;勾股定理；直角梯形．分析:先找出每个图形的“直径”,再根据所学的定理求出其长度,最后进行比较即可.解答：解：连接ＢC,则BC为这个几何图形的直径，过O作OM⊥BC于M∵OB=OＣ，∴∠BOM=∠ＢOC=6０°,∴∠OBM=30°，∵OB=2，OM⊥BC，∴OM=OB＝1,由勾股定理得：BM=，∴由垂径定理得:ＢC=2；连接ＡC、BD，则BＤ为这个图形的直径，∵四边形ＡBCD是菱形,∴AＣ⊥ＢD,BD平分∠ABC，∵∠ＡBC=60°,∴∠ABO=30°，∴AO=AB=1,由勾股定理得:ＢＯ＝，∴BD＝2BO=2;连接BＤ,则BD为这个图形的直径，由勾股定理得:ＢD==2;连接BD，则BＤ为这个图形的直径，由勾股定理得：BＤ==,∵2>>2，∴选项A、B、D错误，选项Ｃ正确;故选C．点评：本题考查了菱形性质,勾股定理,含３0度角的直角三角形性质,扇形性质等知识点的应用,主要考查学生的理解能力和推理能力.三、解答题(本大题共2小题，每小题5分,满分10分）１7.(5分)（2０13•常德)计算;(π﹣2）0++(﹣１）２013﹣(）﹣2.考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂．分析：分别进行零指数幂、负整数指数幂及二次根式的化简，然后合并可得出答案．解答：解：原式=1+2﹣1﹣4=﹣2．点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂的运算，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．１８．(５分)(2013•常德）求不等式组的正整数解．考点：一元一次不等式组的整数解．分析:先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出适合条件的正整数即可.解答：解：解不等式2x+1>0,得：ｘ＞﹣，解不等式x>2x﹣5得:ｘ＜5,∴不等式组的解集为﹣<x＜5，∵ｘ是正整数，∴x=１、2、3、4、5.点评:此题主要考查了求不等式组的正整数解,正确解不等式组,求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质,同学们要注意在不等式两边同时除以同一个负数时，不等号一定要改变.四、解答题（本大题2个小题,每小题6分,满分12分)19．（6分）(201３•常德）先化简再求值:(+）÷，其中a=５,b=2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分得到最简结果，将a与ｂ的值代入计算即可求出值.解答:解：原式=[+］•=•=•=，当ａ=5，b=2时,原式=．点评：此题考查了分式的化简求值,分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．20.（6分）(201３•常德）某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A，Ｂ两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者,以资鼓励.某班决定采用游戏方式发放，其规则如下:将三张除了数字2，5，6不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面,从中任取2张,若牌面数字之和为偶数，则甲获A名著;若牌面数字之和为奇数，则乙获得A名著，你认为此规则合理吗？为什么?考点：游戏公平性;列表法与树状图法.分析:首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为奇数与偶数情况，再利用概率公式即可求得答案.解答:解：画树状图得：∵共有６种等可能的结果,两数之和是偶数的有2种情况;∴甲获胜的概率为：＝;∴P(甲获胜)＝,∴P（甲)≠Ｐ(乙)，∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平，否则就不公平.五、解答题(本大题共2小题,每小题7分，满分14分）2１．（7分)(2013•常德)某地为改善生态环境,积极开展植树造林，甲、乙两人从近几年的统计数据中有如下发现：(1)求ｙ２与x之间的函数关系式?（2）若上述关系不变，试计算哪一年该地公益林面积可达防护林面积的2倍?这时该地公益林的面积为多少万亩?考点: 一次函数的应用．分析：（１)设y2与ｘ之间的函数关系式为y2＝kx+ｂ,由待定系数法直接求出其解析式即可；(2）由条件可以得出ｙ1＝ｙ2建立方程求出其ｘ的值即可,然后代入y１的解析式就可以求出结论.解答：解:设y2与x之间的函数关系式为ｙ2=kx+b，由题意,得,解得：,故y2与x之间的函数关系式为y2=１5x﹣2５９50;（２）由题意当y1＝2y2时,5x﹣1２50=2（15x﹣25９50），解得：x=2026.故y1=５×20２６﹣1250=8８８0．答：在2026年公益林面积可达防护林面积的2倍，这时该地公益林的面积为88８0万亩.点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据条件求出函数的解析式是关键.2２．(7分）(２013•常德）如图,在△ABC中，AD是ＢC边上的高,ＡE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinＢ=，AD=1.(1)求ＢＣ的长；（2)求ｔaｎ∠ＤＡE的值.考点: 解直角三角形.分析：（1)先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=9０°,再解Ｒt△ＡDＣ，得出DＣ=１;解Rt△ADＢ，得出ＡB=3,根据勾股定理求出ＢD=２,然后根据BC=ＢD+DＣ即可求解；(2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则ＤE＝ＣＥ﹣CD，然后在Rｔ△AＤE 中根据正切函数的定义即可求解．解答:解：（1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠AＤＢ=∠ＡDＣ=９０°.在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,ＡD=1，∴DC=AD=１.在△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB＝，AＤ=１,∴ＡB＝=３,∴ＢD＝=2,∴BC=BD＋DＣ=2＋1；（2)∵AE是ＢＣ边上的中线，∴CＥ=BC=＋，∴DE=ＣE﹣CＤ=﹣，∴ｔaｎ∠ＤＡE==﹣.点评:本题考查了三角形的高、中线的定义,勾股定理,解直角三角形，难度中等,分别解Rｔ△ADC与Ｒｔ△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键.六、解答题（本大题共2小题，每小题8分,满分１6分）2３.（8分)(20１3•常德)网络购物发展十分迅速，某企业有４00０名职工,从中随机抽取350人,按年龄分布和对网上购物所持态度情况进行了调查，并将调查结果绘成了条形图1和扇形图2．（1)这次调查中,如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？（2）如果把对网络购物所持态度中的“经常（购物)”和“偶尔(购物)”统称为“参与购物”，那么这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是多少？(3）这次调查中，“25﹣３5”岁年龄段的职工“从不（网购）”的有2２人，它占“25﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分之几？(4)请估计该企业“从不（网购)”的人数是多少?考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图．专题: 计算题．分析:（1）根据样本的容量为３５0,得到中位数应为第１75与第1７6两个年龄的平均数，根据条形统计图即可得到中位数所在的年龄区间;（2）找出“经常(购物）”和“偶尔(购物）”共占的百分比,乘以３50即可得到结果；（3)“2５﹣35”岁年龄段的职工“从不(网购)”的人数除以35０，即可得到结果;（4）由扇形统计图求出“从不（网购）”所占的百分比，乘以400０即可得到结果.解答：解：(1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数,那么这个中位数所在的年龄段是２５﹣3５之间;(２）“经常(购物）”和“偶尔(购物）”共占的百分比为40%+22％＝62%,则这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是35０×62%=217（人）;（３)根据题意得:“从不(网购)”的占“２５﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分比为×100%=２0%；(4)根据题意得:４000×(1﹣４0%﹣2２%)=152０（人)，则该企业“从不(网购）”的人数是1５20人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．2４．（８分）（2０13•常德）如图,已知⊙O是等腰直角三角形ＡＤE的外接圆,∠AＤE=90°，延长ＥD到C使DC=AD，以AD,DC为邻边作正方形ＡＢCＤ，连接AC，连接BＥ交AC 于点H.求证:（1）AＣ是⊙O的切线.（2）ＨC=２AH.考点: 切线的判定;等腰直角三角形;正方形的性质.专题：证明题．分析：(1）根据圆周角定理由∠ＡＤE=90°得ＡE为⊙Ｏ的直径,再根据等腰直角三角形得到∠EAＤ=４５°,根据正方形得到∠DAＣ=４５°,则∠ＥAC＝９0°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;（2）由ＡB∥CＤ得△ABH∽△CEH,则AH:CH＝AB：ED,根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC＝2AB，则AH:CH=1：2．解答:证明:（１)∵∠ＡＤＥ=９0°,∴AE为⊙O的直径，∵△AＤE为等腰直角三角形，∴∠ＥＡD＝45°,∵四边形ABＣＤ为正方形,∴∠ＤAC＝45°，∴∠EAC=45°+４5°=9０°，∴AＣ⊥AE，∴AC是⊙O的切线;(2)∵四边形ABＣD为正方形,∴AB∥CＤ，∴△ABＨ∽△CＥH，∴AH:CH=AＢ:ED,∵△ADE为等腰直角三角形，∴AＤ=ＥD，而AＤ=AＢ=DC,∴ＥＣ=２AＢ，∴ＡH：ＣH=1：２,即ＨC＝2AH.点评：本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质．七、解答题（本大题共2小题,每小题１０分,满分２０分)２5.(１0分)(２013•常德）如图，已知二次函数的图象过点Ａ(０，﹣3)，B(，),对称轴为直线x=﹣,点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥ｘ轴于点M,ＰN⊥ｙ轴于点N，在四边形PMOＮ上分别截取PC=MP，MD＝OM,OE=ON，NＦ=NP.(1)求此二次函数的解析式；(2）求证：以Ｃ、D、E、F为顶点的四边形CDＥF是平行四边形;(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在,请求出所有符合条件的Ｐ点坐标;若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题.分析：（１)利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；(2）证明△ＰCF≌△OＥD,得CF=DＥ；证明△CDＭ≌△FEN，得ＣD=EＦ．这样四边形CDEＦ两组对边分别对应相等,所以四边形CDEF是平行四边形；(３)根据已知条件，利用相似三角形△PＣF∽△ＭDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点Ｐ就是抛物线y＝x2+x﹣3与坐标象限角平分线ｙ=x或y=﹣x的交点,联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个．解答：（1)解:设抛物线的解析式为：y＝a（ｘ+)2+k，∵点A（0,﹣3),B(,)在抛物线上,∴,解得：a=1，k＝.∴抛物线的解析式为：y=(x+)2＝ｘ2+ｘ﹣3.(2）证明：如右图,连接CD、ＤE、EF、FC.∵ＰM⊥x轴于点M,PN⊥ｙ轴于点N,∴四边形PMON为矩形,∴ＰM=ＯN,PN=OM．∵PＣ＝MP,ＯE=ON，∴PＣ=OＥ；∵MD＝ＯM,ＮF=NP,∴MＤ=NF,∴ＰF=OD.在△PＣF与△OED中,∴△PCF≌△OED(SAS），∴CF=DE.同理可证:△ＣDＭ≌△ＦEN，∴CD＝EF.∵CF=DＥ，CD=EＦ,∴四边形ＣＤEF是平行四边形．（3）解：假设存在这样的点Ｐ，使四边形CDEＦ为矩形．设矩形PMON的边长ＰM=OＮ=m,ＰＮ=ＯM=ｎ，则ＰＣ＝m，MC＝m,ＭD=n，PF=ｎ．若四边形CＤEF为矩形，则∠DＣF=90°，易证△PＣF∽△ＭDC，∴,即，化简得:m2＝n2,∴m=n，即矩形ＰMＯＮ为正方形．∴点P为抛物线y=x2＋x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．联立,解得,,∴P１(,),P2(﹣,﹣）;联立，解得,,∴P3（﹣3，3)，P4(﹣１，1）．∴抛物线上存在点Ｐ，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为:P1(，),P2（﹣,﹣）,P3(﹣3，３），P4（﹣1，1）.点评:本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点,所涉及的考点较多，但难度均匀,是一道好题.第（2）问的要点是全等三角形的证明，第(３）问的要点是判定四边形PＭON 必须是正方形,然后列方程组求解.26.(10分)（20１3•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABＣ,Rt△CEF,∠ABC=∠ＣEＦ＝90°，连接AF,Ｍ是ＡＦ的中点，连接MB、MＥ.（1）如图１，当ＣB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；(2)如图1,若CＢ=a,ＣE=2ａ，求BM，ME的长；（3）如图2,当∠BCＥ=45°时，求证:ＢM=ME．考点：三角形中位线定理;全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.分析：（1)证法一:如答图１a所示，延长AB交CF于点D,证明ＢＭ为△AＤF的中位线即可;证法二:如答图1b所示,延长BM交ＥＦ于D,根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行,内错角相等可得∠BAM=∠DFＭ，根据中点定义可得AM=MF,然后利用“角边角”证明△ABM和△FDＭ全等,再根据全等三角形对应边相等可得AB=ＤＦ,然后求出BE＝DＥ,从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°,从而得到∠EBM=∠ECF,再根据同位角相等，两直线平行证明ＭB∥CF即可，（2）解法一：如答图2a所示,作辅助线，推出BM、ＭE是两条中位线；解法二：先求出BE的长,再根据全等三角形对应边相等可得ＢM＝ＤM,根据等腰三角形三线合一的性质可得EＭ⊥BD,求出△BEM是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求解即可;(3)证法一:如答图３a所示，作辅助线，推出ＢM、ＭE是两条中位线:ＢM=DＦ，MＥ=ＡG；然后证明△ACG≌△ＤＣＦ，得到DF=AG,从而证明BM=ＭE；证法二：如答图3ｂ所示，延长BM交ＣF于D，连接ＢE、DE，利用同旁内角互补,两直线平行求出AB∥CＦ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ＢAM=∠ＤFＭ，根据中点定义可得AM=ＭＦ,然后利用“角边角”证明△AＢM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM,再根据“边角边”证明△ＢＣＥ和△DFE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DＥ,全等三角形对应角相等可得∠BEC＝∠DEF，然后求出∠BED＝∠CEＦ=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．解答：(１)证法一:如答图1a，延长AB交CＦ于点Ｄ，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形, ∴AＢ=BC=BＤ,∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴ＢＭ为△ADF的中位线，∴ＢM∥ＣＦ．证法二:如答图1b，延长BM交ＥＦ于D，∵∠AＢC＝∠ＣEF=９0°，∴AB⊥CＥ,ＥF⊥CＥ，∴ＡB∥EＦ，∴∠BAＭ=∠DFＭ,∵M是AF的中点,∴AM=MＦ,∵在△ABM和△FDM中,,∴△ABM≌△FDＭ（AＳA）,∴AB=DF，∵ＢE＝CE﹣BＣ,DE=EF﹣DF，∴ＢE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形,∴∠EＢM＝45°，∵在等腰直角△CEＦ中,∠ECF＝4５°，∴∠ＥBM=∠EＣF,∴MＢ∥CＦ；(２）解法一：如答图2a所示,延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ＡBC为等腰直角三角形, ∴AＢ=BC＝BD=a,AC＝ＡD=a,∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF.分别延长ＦE与CA交于点G,则易知△CＥF与△CＥG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GＥ=2a,ＣＧ=CF=ａ,∴点E为ＦＧ中点,又点M为AF中点，∴MＥ=AG.∵CG=CF=a，CA＝CD=a，∴AG=ＤＦ=a,∴BＭ＝ME=×a=ａ．解法二：∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣ＣB=２a﹣a＝a，∵△ＡBM≌△FDM,∴BM＝DM,又∵△ＢＥD是等腰直角三角形,∴△BEＭ是等腰直角三角形,∴BM=MＥ=ＢE＝a;(３)证法一:如答图3a,延长AB交CE于点D,连接DＦ，则易知△AＢＣ与△BＣD均为等腰直角三角形，∴ＡB=BＣ=ＢD,AＣ=CD,∴点Ｂ为AD中点，又点M为AF中点,∴BM=ＤF.延长FＥ与CＢ交于点G,连接ＡG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG,CF=CG，∴点Ｅ为FG中点,又点M为ＡＦ中点，∴ME=AG．在△ＡCＧ与△DCF中,,∴△AＣG≌△DCＦ(SＡＳ),∴ＤF＝AG，∴BM=ME.证法二：如答图3ｂ，延长BM交ＣF于Ｄ，连接BＥ、DE，∵∠BCＥ＝4５°，∴∠AＣD=4５°×2＋4５°=１３５°∴∠BＡＣ+∠AＣF=45°+1３5°=１8０°，∴AB∥CF,∴∠BAM=∠ＤFM，∴M是ＡF的中点,∴AM=FM，在△ABM和△ＦDM中，,∴△ABM≌△FDM(ＡＳA)，∴AB=ＤF,BM=DM，∴ＡB＝BC=DF，∵在△ＢＣE和△DＦＥ中，，∴△BCE≌△ＤFE（ＳAＳ),∴BＥ=DE,∠BEC=∠DEF,∴∠BED=∠BＥC＋∠ＣED=∠ＤＥＦ+∠CEＤ=∠CＥF=90°，∴△BＤE是等腰直角三角形，又∵BＭ=DM，∴BM=MＥ=BD,故BM=ＭE．点评:本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．。
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3. ( 3，3)因式分解 x2 x =_______.
【答案】 x x 1
4. ( 4，3)如图 1，已知 a∥b 分别相交于点 E、F，若∠1=30，则∠2=_______. 【答案】30°
5. ( 5，3)请写一个图象在第二，第四象限的反比例函数解析式：_________.
【答案】答案不唯一，如 y 1 x
B. x 3
C. x 0, 且x 1 D. x 3, 且x 1
【答案】D
11. ( 11，3)小伟 5 次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16，18，20，18，18，对此成
绩描述错误的是（ ）
A. 平均数为 18
B. 众数为 18
C. 方差为 0
D. 极差为 4
【答案】C
12. ( 12，3)下面计算正确的是（ ）
）
A. -1
B. 1
C. 4 3 3
D. 7
【答案】B 15. ( 15，3)如图 4，将方形纸片 ABCD 折叠，使边 DC 落在对角线 AC 上，折痕为 CE，且 D 点 落在 D′ 处，若 AB=3，AD=4,则 ED 的长为（ ）
3
A.
B. 3
2
【答案】A
C. 1
4
D.
3
16. ( 16，3)连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，
【答案】解：我认为此规则不合理，因为依题意可知
P甲获A名著
1 3
，P乙获A名著
2 3
，则乙获得
A
名著的概率大些，所以此规则不合理。
21. ( 21，7)某地为改善生态环境，积极开展植树造林，甲、乙两人从近几年的统计数据中有如 下发现：
该地公益林的面积 y1(万亩)与年 份 x（x≥2010）满足 y1=5x-1250.
24. ( 24，8)如图 9，已知⊙O 是等腰直角三角形 ADE 的外接圆，∠ADE=90°，延长 ED 到 C， 使 DC=AD，以 AD，DC 为邻边作正方形 ABCD，连接 AC，连接 BE 交 AC 于点 H.
求证:（1）AC 是⊙O 的切线； （2）HC=2AH.
【答案】证明：（1）∵在等腰直角三角形 ADE 中， ∠EAD=45°，
(1)
求 BC 的长；
(2)
求 tan∠DAE 的值.
【答案】解：（1）∵AD 是 BC 边上的高，
∴AD⊥BC,
在 Rt△ABD 中，
∵ sin B AD 1 ,又 AD=1， AB 3
∴AB=3，
∴ BD 32 12 2 2
在 Rt△ADC 中， ∵∠C=45°， ∴CD=AD=1
∴ BC 2 2 1
面积为多少万亩？
【答案】解：(1)设 y2 与 x 之间的函数关系式为 y2=kx+b,依题意得
4200 2010k b
k 15
4230 2012k b ，解得 b 25950
∴y2 与 x 之间的函数关系式为 y2=15x-25950 (2)依题意可得 5x-1250=2（15x-25950）
20. ( 20，6)某书店参加某校读书活动，并为每班准备了 A，B 两套名著，赠予各班甲、乙两名
优秀读者，以资鼓励，。某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字为了 2，5，6 不
同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取 2 张，若牌面数字之和为偶数，则甲
获 A 名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获 A 名著。你认为此规则合理吗？为什么？
(2)∵AE 是 BC 边上的中线，
∴ DE 2 2 1 1 2 1
2
2
∴ tan DAE
21 2
2 1
1
2
六．（本大题 2 个小题，每个小题 8 分，满分 16 分）
23. ( 23，8)网络购物发展十分迅速，某企业有 4000 名职工，从中随机抽取 350 人，按年龄分布
和对网上购物所持态度情况进行了调查，并将调查结果分别绘成了条形图 7 和扇形图 8
（2）350×（40％+22％）=217（人） ∴这次接受调查的职工中“参与网购”的有 217 人. (3)22÷110=20％ ∴这次调查中，“25－35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的占 20％
（4）4000×（1-40％-22％）=1520（人） ∴估计该企业“从不（网购）”的有 1520 人
2013 年湖南省常德市中考数学试卷
一．填空题 （本大题 8 个小题 ，每小题 3 分满分 24 分）
1.( 1，3)-4 的相反数是
.
到的相关信息有 12 000 000 条.请
用科学记数法表示 12 000 000=
.
【答案】1.2 107
根据此定义，图 5（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径” 最小的是（
）
【答案】C
三．（本大题 2 个小题，每个小题 5 分，满分 10 分）
17. (
17，5)计算： 20
4
1 2013
1 2
2
【答案】 解：原式1 21 4 =2
2x 1 0
18. (
18，5)求不等式组
x
2x
别截取 PC 1 MP, MD 1 OM ,OE 1 ON , NF 1 NP.
3
3
3
3
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以 C，D，E，F 为顶点的四边形 CDEF 是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点 P，使四边形 CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件
的 P 点坐标；若不存在，请说明理由.
A. x3 x3 0
B. x3 x2 x
C. x2 x3 x6
D. x3 x2 x
【答案】D
13. ( 13，3)下列一元二次方程中无实数解的方程是( )
A. x2 2x 1 0
B. x2 1 0
C. x2 2x 1
D. x2 4x 5 0
【答案】B
14. ( 14，3)计算 2 8 3 27 的结果为（
6. ( 6，3)如图 2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=___
【答案】50°
7. ( 7，3)分式方程 3 1 的解为_________. x2 x
【答案】 x 1
8. ( 8，3)小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
32 1 8765 4 15 14 13 12 1110 9 24 23 22 21 20 19 18 17 16
（1） 这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一 段？ （2） 如果把对网络购物所持态度中的“经常（网购）”和“偶尔（网购）”统称为“参与网购”， 那么这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是多少？ （3） 这次调查中，“25－35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的有 22 人，它占“25－35”岁 年龄段接受调查人数的百分之几？ （4） 请估计该企业“从不（网购）”的人数是多少？ 【答案】解：（1）职工年龄的中位数在“25－35”岁年龄段；
则 QN PC OE 1 MP. 3
∴ EQ 1 x2 x 3 3
∴在 Rt△ECQ 中，
CE 2 EQ2 CQ2
1 x2 x 3 2 x2 9
当 CD⊥DE，时
DE 2 OD2 OE 2
2 3
x
2
1 3
x2
x
3
2
4 x2 1 x2 x 3 2 99 CD2 DM 2 CM 2
∴ HC EC =2 AH AB
∴HC=2AH
七．（本大题 2 个小题，每个小题 10 分，满分 20 分）
25. ( 25，10)如图 10，已知二次函数的图象过点 A(0，-3)，B（ 3, 3 ），对称轴为直线 x 1 ， 2
点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 分别作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，在四边形 PMON 上分
26. ( 26，10)已知两个共顶点的等腰三角形 Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接
AF，M 是 AF 的中点，连接 MB，ME.
⑴如图 11，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证 MB∥CF；
⑵在图 11 中，若 AB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长；
⑶如图 12，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME.
9
99
4 x2 4 x2 x 3 2
99
x2 x 3 x
当x2 x 3 x 时,x1 3,x2 3,
此时，y1 3,y2 3, 当x2 x 3 x 时,x1 3，x2 1 此时，y1 3，y2 1 综上可知符合条件的P点有四个，
分别是 3， 3 ， 3，- 3 ，-3，3，1，-1
解得，x =2026
当 x =2026 时，y1=8880 答：2026 年该地公益林面积可达防护林面积的 2 倍，这时候该地公益林的面积为 8880 万
亩.
22. ( 22，7)如图 6，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，∠C=45°，
sin B 1 ,AD=1. 3
又 ∵AC 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠DAC =45°， ∴∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+45°=90°，
又点 A 在⊙O 上， ∴AC 是⊙O 的切线. （2）∵在正方形 ABCD 中，AD=DC=AB, 在等腰直角三角形 ADE 中，AD=ED ∴EC=2AB ∵AB∥DC ∴△ABH∽△CEH
3b 2a ab
，其中 a
5,b
2.
2
a
b
b
a