3-2函数的单调性与最值
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
2022-2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义3-2-1 函数的单调性与最值 (解析版)
函数的单调性与最值1 1函数单调性的概念(1)增函数和减函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，区间D ∈I :如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递增(左图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递减(右图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.注 ① y =1x 在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数.② x 1 ,x 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x 1 ,x 2有三个特征：一是任意性，即任意取x 1 ,x 2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．【例】 若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f (1)<f (2)<f(3)，则函数f(x)在(0,+∞)上为 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不能确定解析 由于函数单调性的定义突出了x 1,x 2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选D ．1 (2) 单调性如果函数y =f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y =f(x)的单调区间．注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.② 有的函数无单调性．如函数y ={1, x 为有理数 0, x 为无理数，它的定义域是(−∞,+∞)，但无单调性可言．【例】说下函数y =x 2−2x −3的单调性.解析函数y=x2−2x−3在整个定义域(−∞,+∞)上不具有单调性，但是在(−∞,1]上是减函数，在(1,+∞)上是增函数；【练】函数y=1的单调递减区间是().xA．[0,+∞)B．(−∞,0)C．(−∞,0)和(0,+∞)D．(−∞,0)∪(0,+∞)解析y=1的减区间是(0,+∞),(−∞,0)，不是(0,+∞)∪(−∞,0).x在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上也是减函数，函数y=1x(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数．但不能说函数y=1x因为当x1=−1,x2=1时有f(x1)=−1<f(x2)=1，不满足减函数的定义．21单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x1，则f(x2)>f(x1).②若y=f(x)递增，f(x2)≥f(x1)，则x2≥x1.y=f(x)递减，有类似结论！【例】若y=f(x)递增，比较f(a2)与f(0)大小.答案f(a2)≥f(0).【例】若y=f(x)递增 ,f(1−m)≥f(n) , 比较m+n与1大小.答案m+n≤1.31判断函数单调性的方法①1定义法解题步骤(1) 任取x1 ,x2∈D，且x1<x2；(2) 作差f(x1)−f(x2)；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②1数形结合③1性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④1复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M) ,u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：F(x)=1x2+x (f(u)=1u和g(x)=x2+x的复合函数)；F(x)=√1−2x (f(u)=√u和g(x)= 1−2x的复合函数)；F(x)=21x(f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).(2) 同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ，若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；若y=f(u) ,u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.41函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) ∀x∈I，都有f(x)≤M；(2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【例1】下图为函数y=f(x)，x [−4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．解析1观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为(−1.5,−2)，所以当x=3时，函数y=f(x)取得最大值y max=3；当x=−1.5时，取得最小值y min=−2．【例2】求函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上递增，则f(3)≤f(x)≤f(6)，所以最大值f(x)max=f(6)=13，最小值f(x)min=f(3)=7.【练】求函数f(x)=2x在区间[1,2]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x在区间[1,2]上递减，则f(2)≤f(x)≤f(1)，所以最大值f(x)max=f(1)=2，最小值f(x)min=f(2)=1.【题型1】判断函数单调性的方法方法 1定义法【典题】判断f(x)=x+4x在(0 ,2) ,(2 ,+∞)的单调性.解析1设元1设0<x1<x2，作差则y1−y2=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)变形=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)(因式分解判断y1−y2正负)定号(1) 假如0<x1<x2<2 ，则0<x1 x2<4 ⇒4x1x2>1⇒1−4x1x2<0 ,又 x1−x2<0 , 所以y1−y2>0 ⇒y1>y2 , 故函数单调递减；(2) 假如2<x1<x2 , 则x1 x2>4⇒4x1x2<1 ⇒1−4x1x2>0 ,又x1−x2<0 ，所以y1−y2<0⇒y1<y2 , 故函数单调递增；下结论所以函数在(0 ,2)内单调递减，在(2 ,＋∞)内单调递增．点拨1利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.方法21数形结合【典题】求下列函数的单调区间．(1) f(x)=|x2+2x−3|；(2)f(x)=−x2+2|x|+3．解析(1)令g(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4．先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到函数f(x)= |x2+2x−3|的图象，如图所示．由图象易得：函数f(x)的递增区间是[ −3,−1]，[1,+∞)；函数f(x)的递减区间是( −∞,−3],[ −1,1]．(2)f(x)=−x2+2|x|+3={−x 2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0，图象如图所示．由图象可知，函数f(x)的单调区间为( −∞,−1],( −1,0],(0,1],(1,+∞)，其中单调减区间为( −1,0]和(1,+∞)，单调增区间为( −∞,−1]和(0,1]．点拨1.对于含绝对值的函数，画其图象，可以用|x|={x, x≥0−x,x<0把函数化为分段函数，或用函数的翻转或对称变换；2.利用数形结合易得函数的单调性.方法31复合函数的单调性【典题】函数f(x)=√x2+4 x−12 的单调减区间为.【解析】函数f(x)=√x2+4 x−12是由函数f(u)=√u和u(x)=x2+4 x−12组成的复合函数，∵x2+4 x−12≥0 ，∴函数y=f(x)的定义域是x≤−6或x≥2由二次函数图像易得u(x)=x2+4 x−12在(−∞ ,−6]单调递减，在[2 ,＋∞)单调递增，而f(u)=√u在u≥0是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．【点拨】①研究函数的基本性质，优先考虑定义域；②研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.【巩固练习】1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( )A．y=2x+1B．y=3x2+1C．y=2xD．y=2x2+x+1答案C2.函数f(x)=x|x−2|的递减区间为()A．( −∞,1)B．(0,1)C．(1,2)D．(0,2)答案C解析当x≥2时，f(x)=x(x －2)=x2－2x，对称轴为x= 1，此时f(x)为增函数，当x<2时，f(x)=－x(x －2)=－x2+2x，对称轴为x=1，抛物线开口向下，当1<x<2时，f(x)为减函数，即函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，故选：C．3.函数f(x)=x1−x的单调增区间是.答案( −∞,1)，(1,+∞)解析f(x)=−(1−x)+11−x =−1+11−x；∴f(x)的图象是由y =−1x的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到；而y =−1x 的单调增区间为( −∞,0)，(0,+∞)； ∴f(x)的单调增区间是( −∞,1)，(1,+∞)． 4.函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是 . 答案 [4,+∞).解析 令x 2−5x +4≥0，解得x ≥4或x ≤1，而函数y =x 2 －5x +4的对称轴是x =52， 故函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是[4,+∞). 5.试用函数单调性的定义判断函数f(x)=2x x−1在区间(0,1)上的单调性．解析 任取x 1,x 2∈(0,1)，且x 1<x 2． 则f (x 1)−f (x 2)=2x 1x 1−1−2x 2x 2−1=2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1)．由于0<x 1<x 2<1，x 1−1<0，x 2−1<0，x 2−x 1>0， 故f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以，函数f(x)=2xx−1在(0,1)上是减函数． 【题型2】函数的最值【典题 】函数f(x)=2x −√x −1的值域为 .解析1设t =√x −1≥0，则x =t 2+1，∴f (t )=2(t 2+1)−t =2t 2−t +2=2(t −14)2+158(t ≥0)∴值域为[158,∞)．点拨 本题采取换元法，注意新变量的取值范围.【典题2】若函数f (x )=x 2−2ax +1−a 在[0,2]上的最小值为−1．则a = . 解析1函数f (x )=x 2−2ax +1−a 图象的对称轴为x =a ，图象开口向上， (1)当a ≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增．则f (x )min =f(0)=1−a ， 由1−a =−1，得a =2，不符合a ≤0；(2)当0<a <2时．则f(x)min =f(a)=a 2−2a 2+1−a =−a 2−a +1， 由−a 2−a +1=−1，得a =−2或a =1，∵0<a <2，∴a =1符合； (3)当a ≥2时，函数f(x)=x 2－2ax +1−a 在[0,2]上单调递减， ∴f(x)min =f(2)=4－4a +1−a =5－5a ，由5−5a =−1，得a =65， ∵a ≥2，∴a =65不符合，综上可得a =1．点拨 本题属于“二次函数动轴定区间最值问题”，对对称轴与区间之间的相对位置进行分类讨论，结合图像求解. 【巩固练习】1.函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12,−14 B ．2,12 C ．42,−14 D ．最小值是−14，无最大值答案 C解析 y =x 2+3x +2=(x +32)2−14，抛物线的开口向上，对称轴为x =−32，∴在区间[ －5,5]上，当x =−32时，y 有最小值−14；x =5时，y 有最大值42， 函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是：42，−14．故选：C ．2.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最小值为 ．答案 12解析 ∵f (x )=xx+2=1−2x+2，∴f(x)在[2,4]上为增函数，∴当x =2时，f(x)=x x+2在区间[2,4]上的最小值为f(2)=12．3.已知函数f(x)=x 2+|x −a|+1,x ∈R,a ∈R ．(1)当a =1时，求函数f(x)的最小值；(2)求函数f(x)的最小值为g(a)． 答案 (1) 74 (2) [1,+∞)解析 (1)f(x)=x 2+|x −1|+1={x 2+x,x ≥1x 2−x +2,x <1，由f(x)=x 2+x ⇒f(x)=(x +12)2−14(x ≥1)，可知f(x)≥2; 由f(x)=x 2−x +2⇒f(x)=(x −12)2+74(x <1)，可知f(x)≥74.所以f(x)min =f (12)=74． (2) f(x)={x 2+x −a +1,x ≥ax 2−x +a +1,x <a，1)当a ≥12，f (x )min =f (12)=34+a ； 2)当−12<a <12，f (x )min =f(a)=a 2+1；3)当a ≤−12，f (x )min =f (−12)=34−a ； 所以g(a)={ 34+a,a ≥12a 2+1,−12<a <1234−a,a ≤−12．【题型3】参数范围【典题 】若f(x)={a x ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为 ．解析1若f(x)={ax ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，得则{a >0a 1≤−1+3a ，解得a ≥12，故答案为：[12,+∞)．【典题2】已知函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，则实数b 的值为 ．解析 f(x)=4x−6x−1=4(x−1)−2x−1=−2x−1+4，其图象如图，由图可知，函数f(x)=4x−6x−1在[2,b]上为增函数，又函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，∴f(b)=4b−6b−1=b ，解得b =3．【巩固练习】1.已知函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，则( )A ．a <0,b ≥3B ．a <0,b ≤3C ．a >0,b ≥3D ．a >0,b ≤3答案 D解析 ∵函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，∴a >0，且 0+3≥0+b ，故选：D ．2.已知函数f(x)={x 2+4x, x ≥04x −x 2, x <0，若f (2−a 2)>f(a)则实数a 的取值范围是( ) A (−∞,−1)∪(2,+∞) B (−1,2) C (−2,1) D (−∞,−2)∪(1,+∞) 答案 C解析 由题知f(x)在R 上是增函数，由题得2−a 2>a ，解得−2<a <1.3.函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，则a的范围为. 答案[0,1]解析根据题意，函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，分2种情况讨论：①若a=0，则f(x)=x，在R上为增函数，符合题意；②若a≠0，则有{a>03a−12a≤1，解可得0<a≤1，综合可得：a的取值范围为[0,1].4.若函数y=x2−5x−1的定义域[0,m]，值域为[−294,−1]，则m的取值范围是.。
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
高中数学的概念与性质3-2函数的基本性质3-2-1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课时作业新人教
第1课时 函数的单调性必备知识基础练1．函数y ＝3x的减区间是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0)，(0，＋∞)2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋43．若函数f (x )＝(2a －1)x (a 为实数)是R 上的减函数，则( ) A ．a ≥12 B ．a ≤12C ．a >12D ．a <124．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (2)，f (π)，f (3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (2)>f (3) B ．f (3)>f (π)>f (2) C ．f (2)>f (3)>f (π) D ．f (π)>f (3)>f (2)5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，且f (1－a )<f (a －3)，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(1，3)6．[2022·广东揭阳高一期末](多选)如图是函数y ＝f (x )的图象，则函数y ＝f (x )在下列区间单调递减的是( )A ．[－6，－4]B ．[－4，－1]C ．[－1，2]D ．[2，5]7．函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是________.8．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m 2＋2)>f (2m ＋5)，则实数m 的取值范围是________．关键能力综合练1．函数f (x )＝xx －1在( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数2．定义域为R 的函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R ，有(x 1－x 2)·(f (x 1)－f (x 2))>0，则有( )A ．f (－2)<f (1)<f (3)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (3)<f (－2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (－2)3．[2022·湖北武汉高一期末]已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2，3)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]∪[3，＋∞)B ．[2，3]C ．(－∞，－3]∪[－2，＋∞)D ．[－3，－2]4．若函数f (x )是R 上的减函数，a >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．f (a 2)<f (a ) B ．f (a )<f (1a)C ．f (a )<f (2a )D ．f (a 2)<f (a －1)5．已知f (x )是定义在[－1，1]上的减函数，且f (2a －3)<f (a －2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1，3]C ．(1，4]D ．(1，＋∞)6．[2022·江苏常州高一期末](多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－kx ＋10，x ≤1，k －1x，x >1是R 上的减函数，则实数k 的可能取值有( )A ．4B ．5C ．6D ．77．若函数f (x )在R 上为增函数，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________．8．[2022·湖北武汉高一期末]若函数f (x )＝ax 2＋2x －1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．9．[2022·福建福州高一期末]已知函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，且f (1)＝5.(1)求a 的值；(2)判断f (x )在区间(0，2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋5a ，x ≥2ax ＋5，x <2是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)解不等式f (2m 2－m －8)>f (m 2－3m －5).核心素养升级练1．(多选)函数f (x )满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有(a －b )[f (a )－f (b )]>0；②对定义域内任意两个实数x 1，x 2都有f (x 1＋x 22)≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则称为G 函数，下列函数为G 函数的是( )A ．f (x )＝2x －1B ．f (x )＝4xC ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x <1 D ．f (x )＝x 3，x >02．能说明“若函数f (x )和g (x )在R 上都是单调递增，则h (x )＝f (x )g (x )在R 上单调递增”为假命题的函数f (x )和g (x )的解析式分别是________，________．3．[2022·河北张家口高一期末]已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切m >0，n >0，都有f (mn)＝f (m )－f (n )＋2，当x >1时，总有f (x )<2.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )是定义域上的减函数；(3)若f (4)＝1，解不等式f (x －2)－f (8－2x )<－1.第1课时 函数的单调性必备知识基础练1．答案：D解析：易知函数y ＝3x 的图象如图所示，所以函数y ＝3x的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞).2．答案：A解析：对于A ，y ＝x 3在(0，＋∞)上是增函数，故A 正确． 对于B ，y ＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数，故B 错误．对于C ，y ＝1x在(0，＋∞)上是减函数，故C 错误．对于D ，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上是减函数，故D 错误． 3．答案：D解析：由题意知2a －1<0，解得a <12.4．答案：D解析：因为在区间[0，＋∞)上是增函数，并且π>3>2，所以f (π)>f (3)>f (2)， 所以D 选项是正确的． 5．答案：A解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，且f (1－a )<f (a －3)， ∴1－a <a －3，解得a >2，则a 的取值范围为(2，＋∞). 6．答案：BD解析：结合图象易知，函数f (x )在区间[－4，－1]，[2，5]上单调递减． 7．答案：(1，＋∞)解析：由题设，二次函数开口向下且对称轴为x ＝1， ∴y 在(－∞，1)上递增，(1，＋∞)上递减． 故函数的单调递减区间是(1，＋∞). 8．答案：(－1，3)解析：因为函数f (x )是R 上的减函数，则f (m 2＋2)>f (2m ＋5)等价于m 2＋2<2m ＋5，即m 2－2m －3<0，即(m ＋1)(m －3)<0，解得－1<m <3，即m ∈(－1，3).关键能力综合练1．答案：D 解析：因为f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，定义域为{x |x ≠1}， y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数，所以f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数． 2．答案：A解析：定义域在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R ，有(x 1－x 2)·(f (x 1)－f (x 2))>0， 可得函数f (x )是定义域在R 上的增函数， 所以f (－2)<f (1)<f (3). 3．答案：A解析：由题知，当－－2a 2≤2或－－2a2≥3，即a ≤2或a ≥3时，满足题意．4．答案：D解析：因为函数f (x )是R 上的减函数，a >0，A 选项，a 2－a ＝a (a －1)，当a >1时，a 2>a ，所以f (a 2)<f (a )；当0<a <1时，a 2<a ，所以f (a 2)>f (a )，即A 不一定成立；B 选项，当a >1时，a >1a ，所以f (a )<f (1a )；当0<a <1时，a <1a ，所以f (a )>f (1a)，即B不一定成立；C 选项，a >0时，2a >a ，则f (a )>f (2a )，所以C 不成立；D 选项，a 2－(a －1)＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，则a 2>a －1；所以f (a 2)<f (a －1)，即D一定成立．5．答案：A解析：∵f (x )是定义在[－1，1]上的减函数，且f (2a －3)<f (a －2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －3>a －2－1≤a －2≤1－1≤2a －3≤1，解得1<a ≤2. 6．答案：ABC解析：因为函数f (x )是R 上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥1k －1>01－k ＋10≥k －1⇒2≤k ≤6.7．答案：(－∞，5)解析：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x －2)<f (3)， 所以x －2<3，解得x <5.所以x 的取值范围为：(－∞，5). 8．答案：[－16，0]解析：当a ＝0时，函数f (x )＝2x －1在R 上单调递增，即f (x )在(－∞，6)上递增，则a ＝0成立，当a ≠0时，函数f (x )是二次函数，又f (x )在(－∞，6)上单调递增，由二次函数性质知，a <0成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥6a <0，解得－16≤a <0，所以实数a 的取值范围是[－16，0].9．解析：(1)由f (1)＝5得1＋a ＝5，解得a ＝4. (2)f (x )在区间(0，2)内单调递减，证明：由(1)得f (x )＝x 2＋4x ＝x ＋4x，对任意x 1，x 2∈(0，2)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，2)，得0<x 1x 2<4，x 1x 2－4<0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x ＋4x在区间(0，2)上单调递减．10．解析：(1)因为f (x )在R 上是增函数，所以f (x )在[2，＋∞)，(－∞，2)都单调递增．当a2≤2即a ≤4时，f (x )在[2，＋∞)单调递增； 当a >0时，f (x )在(－∞，2)单调递增； 在x ＝2处，22－2a ＋5a ≥2a ＋5，解得a ≥1. 综上所述，a 的取值范围为[1，4].(2)因为f (x )在R 上是增函数，所以f (2m 2－m －8)>f (m 2－3m －5)等价于2m 2－m －8>m 2－3m －5，化简为m 2＋2m －3>0，解得m <－3或m >1. 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞).核心素养升级练1．答案：ABC解析：因为对定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有(a －b )·[f (a )－f (b )]>0，所以f (x )是增函数，因为对定义域内任意两个实数x 1，x 2都有f (x 1＋x 22)≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，所以f (x )为上凸函数，对于A ，函数f (x )＝2x －1是增函数，且f (x 1＋x 22)＝f （x 1）＋f （x 2）2成立，所以该函数为G 函数，故选项A 正确；对于B ，函数f (x )＝4x 是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以该函数为G 函数，故选项B 正确；对于C ，函数f (x )＝－x 2＋4x －3，x <1是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以该函数为G 函数，故选项C 正确；对于D ，函数f (x )＝x 3，x >0是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以该函数不是G 函数，故选项D 错误．2．答案：f (x )＝x g (x )＝x (答案不唯一)解析：根据题意，“若函数f (x )和g (x )在R 上都是单调递增，则h (x )＝f (x )g (x )在R 上单调递增”为假命题，即函数f (x )、g (x )在R 上均为增函数，而函数h (x )＝f (x )·g (x )在R 上不是增函数， 可考虑f (x )、g (x )均为一次函数，可取f (x )＝x ，g (x )＝x ，则函数f (x )和g (x )在R 上都是单调递增， 但函数h (x )＝f (x )g (x )＝x 2在R 上不是增函数． 3．解析：(1)令m ＝n ＝1，则f (1)＝f (1)－f (1)＋2， 解得：f (1)＝2.(2)设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)－2，∵x 2x 1>1，∴f (x 2x 1)<2，f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )是定义域上的减函数．(3)由f (x －2)－f (8－2x )<－1得：f (x －28－2x )－2<－1，即f (x －28－2x )<1，又f (4)＝1，∴f (x －28－2x)<f (4)，∵f (x )是定义域上的减函数，∴x －28－2x >4，解得：349<x <4；又⎩⎪⎨⎪⎧x －2>08－2x >0，∴2<x <4， ∴f (x －2)－f (8－2x )<－1的解集为(349，4).。
高中数学必修一 《3 2 函数的基本性质》多媒体精品课件
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第2节 函数的单调性与最值 课件(35张)
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)对于函数 y＝f(x)，若 f(4)<f(5)，则 f(x)为增函数．( ) (2)函数 y＝f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[4，＋∞).( ) (3)函数 y＝3x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (4)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1, x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f (x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
【考点集训】
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
A．y＝－sin x
B．y＝x2－2x＋3
C．y＝ln (x＋1)
x
D．y＝2 022－2
解析：y＝－sin x 和 y＝x2－2x＋3 在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln (x＋1)在(0，
＋∞)上单增．故选 D．
答案：D
2．函数 y＝log1(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
－1<12，解得 1≤x<32，故选 D． 答案：D
4．(必修第一册 P81 例 5 改编)函数 f(x)＝2x－5 1在区间[2，4]上的最大值为________， 最小值为________.
解析：因为 f(x)在[1，5]上是减函数，所以最大值为 f(2)＝2×52－1＝53，最小值为 f(4)
第二章 函 数
[课标解读] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数单调性的定义
义域为 I，区间 D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时
3-2导数的应用(一)—— 单调性
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高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
由f′(x)>0，解得x>1＋ 2或x<1－ 2. 由f′(x)<0，解得1－ 2<x<1或1<x<1＋ 2. ∴f(x)的单调递增区间是(－∞，1－ 2)，(1＋ 2，＋∞)， f(x)的单调递减区间是(1－ 2，1)，(1，1＋ 2)．
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高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
x f′(x) f(x) (－∞，k) － k 0 0 (k，－k) ＋ －k 0 4k2e
－1
(－k，＋∞) －
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递 增区间是(k，－k)．
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【答案】 当k>0时，增区间(－∞，－k)和(k，＋∞)，减区 间(－k，k)；当k<0时，减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，增区 间是(k，－k)．
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答案 C 解析 根据题意f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在 函数f(x)的图像上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然 后随x的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选 项C满足题意．
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高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
1．(课本习题改编)函数y＝3x2－2lnx的单调递增区间为 ________，单调递减区间为__________．
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3 3 答案 ( ，＋∞)，(0， ) 3 3
2 2 6x －2 解析 y′＝6x－x＝ x .
3-2-1 单调性与最大(小)值(精练)(解析版)
3.2.1 单调性与最大（小）值（精练）【题组一 定义法判断或证明函数的单调性】1．（2020·上海高一专题练习）证明幂函数12()f x x =在[)0,+∞上是增函数 【答案】证明见解析 【解析】设120x x ≤<， 则11221212()()f x f x x x-=-121212x x x x x x -=-=+12x x <120x x ∴-<120x x ∴+>12()()0f x f x ∴-<即12()()f x f x <，此函数在[0,)+∞上是增函数.2．（2021·全国高一课时练习）已知函数f (x )=12x x ++，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【答案】证明见解析.【解析】证明：∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，且x 1>x 2>-2，f (x )=11122x x x +=-++ 则f (x 1)-f (x 2)=212x -+112x +=1212-(2)(2)x x x x ++， 因为x 1>x 2>-2，所以x 1-x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，所以1212-(2)(2)x x x x ++>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(-2，+∞)上单调递增.3．（2021·福建三明市·三明一中高一开学考试）已知函数()12x f x x -=+，[]3,5x ∈. （1）判断函数()f x 的单调性，并证明； （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）24,57⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()12331222x x f x x x x -+-===-+++在区间[]3,5上单调递增，证明如下：任取[]12,3,5x x ∈且12x x <，()()1212213333112222f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()12121212323232222x x x x x x x x +-+-==++++，因为1235x x ≤<≤，所以120x x -<，120x +>，220x +>， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在区间[]3,5上单调递增.（2）由（1）知：()f x 在区间[]3,5上单调递增， 所以()()min 3123325f x f -===+，()()max 5145527f x f -===+， 所以函数()f x 的值域是24,57⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 4．（2021·六安市裕安区新安中学高一期末）设函数1()f x x x=+，(1,)x ∈+∞.判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；【答案】在(1,)+∞上为增函数，证明见解析. 【解析】任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，()()12121211f x f x x x x x -=+-- ()()()()1212211212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->， 所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； 【题组二 性质法判断函数的单调性】1．（2020·巩义市第四高级中学高一月考）函数()2f x x=的单调递减区间为（ ） A ．(),-∞+∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()(),0,0,-∞+∞ D ．()0,∞+【答案】C 【解析】()2f x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 图象如图所示：所以()2f x x=的单调递减区间为()(),0,0,-∞+∞， 故选：C2（2020·台州市黄岩中学高一月考）函数f (x )＝1－11x -（ ） A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减 【答案】B【解析】f (x )图象可由y ＝－1x图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．故选：B3．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一开学考试）以下函数在其定义域上为增函数的是（ ） A ．1(0)x yx xB ．2(0)y x x xC ．1y x =-D ．2yx【答案】B【解析】对于A 选项，111(0)x yx xx，由于反比例函数()10y x x=>为减函数，故1(0)x yx x为减函数，A 选项错误； 对于B 选项，2(0)y x x x的对称轴为102x =-<，开口向上，故2(0)y x x x 为增函数，B选项正确；对于C 选项，由于()11y x x =-≤上是减函数，故由复合函数的单调性得1y x =-为定义域(],1-∞上的减函数，C 选项错误； 对于D 选项，2y x 为减函数，故D 选项错误.故选：B.4．（2021·深圳市皇御苑学校高一期末）函数23y x x =+的单调递减区间为A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥， 函数23y x x =+的定义域为(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y t =在[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增， 所以，函数23y x x =+的单调递减区间为(],3-∞-.故选：D.5．（2021·全国高一课时练习）下列函数中，在区间(1，+∞)上单调递增的是（ ） A ．y =-3x -1 B ．y =2xC ．y =x 2-4x +5 D ．y =|x -1|+2【答案】D【解析】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+∞)上单调递减，故A 错误； 由反比例函数的性质可知，y =2x在区间(1，+∞)上单调递减，故B 错误， 由二次函数的性质可知，y =x 2-4x +5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C 错误； 由一次函数的性质及图象的变换可知，y =|x -1|+2在(1，+∞)上单调递增. 故选：D.6．（2021·浙江高一期末）函数()254f x x x =-+的单调递减区间为________【答案】(],1-∞（或(),1-∞）【解析】对于函数()f x ，有2540x x -+≥，解得1x ≤或4x ≥. 所以，函数()f x 的定义域为(][),14,-∞+∞.内层函数254u x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，在区间[)4,+∞上为增函数， 外层函数y u =在[)0,+∞上为增函数，因此，函数()254f x x x =-+的单调递减区间为(],1-∞（或(),1-∞）.故答案为：(],1-∞（或(),1-∞）.7．（2021·贵溪市实验中学高二期末）函数2()26f x x x =+-的单调递增区间是____________；【答案】[)1,-+∞【解析】函数()226f x x x =+-的对称轴为1x =-，开口向上，所以函数()f x 的单调增区间为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2020·和平区·天津市第二南开中学高一期中）函数243y x x =-++，[]0,3x ∈的单调递增区间是_____．【答案】[]0,2【解析】243y x x =-++的图象开口向下，又243y x x =-++的对称轴为42(1)2x =-=-⨯，()f x ∴的单调递增区间是[]0,2.故答案为：[]0,2.【题组三 图像法判断函数的单调性】1．（2020·江苏）函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（ ） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【解析】()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--，()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．（2020·太原市·山西实验中学高一月考）函数()2f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.3．（2021·河南郑州市）函数f （x ）=|x 2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ） A ．[3，+∞） B ．（﹣∞，2），（4，+∞） C ．（2，3），（4，+∞） D ．（﹣∞，2]，[3，4]【答案】C【解析】画出2()68f x x x =-+的图象如图：由图象可知，函数的增区间为(2,3),(4,+∞），故选C.4．（2020·福建省南安市侨光中学高一月考）函数()11g x x x =⋅-+的单调减区间为（ ） A ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[)1+∞， D ．][112⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】()221,111=1,1x x x g x x x x x x ⎧-+≥=⋅-+⎨-++<⎩，画出函数图象，如图所示：根据图象知：函数的单调减区间为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故选：B.5．（2021·银川市）函数2()68f x x x =-+的单调递增区间为（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,2),(4,)-∞+∞ C ．(2,3),(4,)+∞D ．(,2],[3,4]-∞-【答案】C【解析】2226824()686824x x x x f x x x x x x ⎧-+≤≥=-+=⎨-+-<<⎩或，所以()f x 递增区间是(2,3),(4,)+∞. 故选:C.6．（2021·重庆北碚区）函数()|2|f x x x =-的增区间是 A ．(,1]-∞ B ．[2,)+∞C ．(,1],[2,)-∞+∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】222,2()22,2x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩由二次函数的图象可知()f x 在(,1],[2,)-∞+∞上是增函数故选：C7．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知函数()||2f x x x x =-，则有（ ） A ．()f x 是偶函数，递增区间为[0，)+∞ B ．()f x 是偶函数，递增区间为(-∞，1] C ．()f x 是奇函数，递减区间为[1-，1] D ．()f x 是奇函数，递增区间为(-∞，0] 【答案】C【解析】因为()||2f x x x x =-，所以()22()f x x x x x x x f x -=--+=-+=-，故()f x 为奇函数，因为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，结合二次函数性质可知，()f x 的单调递减区间为[1-，1]．故选：C ．8．（2020·龙岩市高级中学高一期中）（多选）函数2()68f x x x =-+在下列区间（ ）上单调递减． A ．(,2)-∞ B ．(,3)-∞C ．[]3,4D ．()2,3【答案】AC【解析】解：因为222268,4()6868,2468,2x x x f x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≤⎩，函数图象如下所示：由图可知函数的单调递增区间为()2,3和()4,+∞，单调递减区间为(),2-∞和()3,4 故选：AC9．（2021·江苏扬州市）函数()|2|3f x x x =--的单调递增区间为______ 【答案】()(,1),2,-∞+∞【解析】由题意2x ≥时，22()(2)323(1)4f x x x x x x =--=--=--，在[2,)+∞是是增函数，2x <时，22()(2)323(1)2f x x x x x x =--=-+-=---，在(,1)-∞是递增，在(1,2)上递减．∴增区间为(,1)-∞，(2,)+∞． 故答案为：(,1)-∞，(2,)+∞．10．（2021·江苏南京市）函数()21f x x =-的单调增区间为______.【答案】（-1，0）和（1，+ ∞） 【解析】()21f x x =-可画出函数图象如下所示：由函数图象可知，函数在()1,0-和()1,+∞上单调递增. 故答案为：()1,0-和()1,+∞ 【题组四 已知单调性求参数】1．（2021·新疆阿勒泰地区·高一期末）若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有（ ）A ．a ≥12 B ．a ≤12 C ．a >12D ．a <12【答案】D【解析】函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12. 故选：D.2．（2021·全国）若函数()|2|f x x a =+的单调递减区间是(,3]-∞，则a 的值为 A ．3- B ．3C ．6-D ．6【答案】C 【解析】当2a x ≤-时，()2f x a x =-，()f x ∴单调递减区间为,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，32a∴-=，解得：6a =-.故选：C . 3．（2021·广西桂林市·高一期末）如果函数2()2(1)2f x x a x =--+在[3,)+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围（ ） A ．3a ≤-B ．2a -C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】B【解析】函数2()2(1)2f x x a x =--+为二次函数，对称轴为1x a =-，故函数在(),1a -∞-单调递减，(1+)a -∞，单调递增，因此：132a a -≤∴≥-.故选：B4．（2021·江西宜春市·高安中学高一期末（理））已知函数f (x )=221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩，在(0,3)a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3，4] B ．[3，5]C ．(3，4]D ．(]3,5【答案】D【解析】函数221,1()43,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，画出函数()f x 的大致图象，如图所示：函数()f x 在(0,3)a -上单调递减，∴由图象可知：032a <-≤，解得：35a <≤，故实数a 的取值范围是：(]3,5. 故选：D.5．（2021·四川省遂宁市第二中学校高一月考（文））已知函数()2f x ax =-在[0,2]上单调递减，则a的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1)C ．(0,2]D ．[2,)+∞【答案】A【解析】因为函数()2f x ax =-在[0,2]上单调递减，所以0220a a >⎧⎨-≥⎩ ，解得01a <≤，所以a 的取值范围是(0,1]， 故选： A6．（2021·北京门头沟区·大峪中学高一期中）已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+-=()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a ≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ．7．（2021·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试）若()()31121a x a x f x ax x ⎧-+<=⎨-≥⎩，，是定义在(),-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()()31121a x a x f x ax x ⎧-+<=⎨-≥⎩，，是定义在(),-∞+∞上的减函数，所以(31)1231020a a aaa-⨯+≥-⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，即1613aaa⎧≥⎪⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1163a≤<，故选：A8．（2021·应城市第一高级中学高一期末）（多选）函数()21x af xx-=+在区间()b+∞，上单调递增，则下列说法正确的是（）A．2a>-B．1b>-C．1b≥-D．2a<-【答案】AC【解析】()22211x a af xx x-+==-++，()f x在区间()b+∞，上单调递增，20a∴+>，2a>-∴，由()f x在区间()1+∞-，上单调递增，1b.故选：AC9．（2021·江苏高一）（多选）已知函数()25,1,1x ax xf x axx⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R上的增函数，则实数a的取值可以是（）A．0B．2-C．1-D．3-【答案】BD【解析】由题意，函数25y x ax=---的图象开口朝下，对称轴为2ax=-，因为函数()25,1,1x ax xf x axx⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R上的增函数，所以1215aaa a⎧-≥⎪⎪⎨<⎪⎪---≤⎩，解得32a--≤≤.所以实数a 的取值可以是2-，3-. 故选：BD.10.（2021·浙江高一期末）已知函数()()()()()24312121xa x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+-+>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】[)1,1-【解析】要使()f x 在R 上是增函数，则431114352a a a a ->⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得11a -≤<.故答案为：[)1,1-.11．（2021·青海西宁市·高一期末）函数2()21f x x kx k =-++在区间[1,3]-上不单调．．．，则实数k 的取值范围是_________． 【答案】()4,12-【解析】二次函数2()21f x x kx k =-++在区间[1,3]-上不单调．．．则对称轴()1,34kx =∈-，即()4,12k ∈- 故答案为：()4,12-12．（2021·湖南高一期中）已知函数()()22212f x x k x k =+-++．（1）若不等式()0f x <的解集为{}3|1x x <<，求实数k 的值； （2）若函数()f x 在区间[]2,4上不单调，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1k =-；（2）()3,1--.【解析】（1）由已知得方程()222120x k x k +-++=的两根为1和3，故由()()2241420k k ∆=--+>，解得12k <-， 再由韦达定理有()22113213k k ⎧--=+⎨+=⨯⎩，得112k =-<-，符合要求， 故实数k 的值为1k =-；（2）∵函数()f x 在区间[]2,4上不单调，二次函数对称轴为()1x k =--， ∴()214k <--<，解得31k -<<-， 所以实数k 的取值范围为()3,1--．13．（2021·浙江高一期末）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+． （Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,-+∞ 【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知， 函数()f x 图象的对称轴为1x k =-. 因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性， 所以12k -≤或14k -≥， 解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞. （2） 因为()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立， 所以可得42(1)k x x->--对任意的[1,2]x ∈恒成立， 因为444()244y x x x x x=--=-+≤-⋅=-，当且仅当2x =时等号成立， 即max 4y =-，所以只需2(1)4k ->-， 解得1k -<，所以实数k 的取值范围为()1,-+∞. 【题组五 利用单调性解不等】1．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，2（2021·全国高一课时练习）函数()y f x =满足：对任意的12,x x R ∈总有1212()()0f x f x x x ->-．则不等式2(1)(2)f m f m +>的解集为________．【答案】{|1}m m ≠【解析】因为对任意的12,x x R ∈总有1212()()0f x f x x x ->-所以函数()y f x =是R 上的单调增函数，从而由2(1)(2)f m f m +>得212m m +>，解得1m ≠． 故答案为：{|1}m m ≠3．（2021·全国高一课时练习）已知f (x )是定义在(,0]-∞上的单调递增函数，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是_______.【答案】x ＜12【解析】因为(2)3f -=，所以(23)3f x -<和化为(23)(2)f x f -<-， 又因为f (x )是定义在(,0]-∞上的单调递增函数，所以232x -<-，解得12x <. 故答案为：12x <. 4（2021·江苏南通市·高一开学考试）设函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，实数a 使得()()212f ax x f a --<-对于任意[]0,1x ∈都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．[]2,0-C ．()222,222---+ D ．[]0,1【答案】A【解析】解：法一：由条件得1﹣ax ﹣x 2＜2﹣a 对于x ∈[0，1]恒成立 令g （x ）＝x 2+ax ﹣a +1，只需g （x ）在[0，1]上的最小值大于0即可．g （x ）＝x 2+ax ﹣a +1＝（x 2a +）224a --a +1．①当2a-＜0，即a ＞0时，g （x ）min ＝g （0）＝1﹣a ＞0，∴a ＜1，故0＜a ＜1；②当02a ≤-≤1，即﹣2≤a ≤0时，g （x ）min ＝g （2a -）24a =--a +1＞0，∴﹣2﹣22＜a ＜﹣2+22，故﹣2≤a ≤0；③当2a ＞-1，即a ＜﹣2时，g （x ）min ＝g （1）＝2＞0，满足，故a ＜﹣2． 综上a 的取值范围1a <，故选A.5．（2021·沂源县第二中学高一开学考试）若偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭ D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为()f x 为偶函数，所以(2)(2)f f =-， 又因为()f x 在(,0]-∞上是增函数，且3212<--<-， 所以3(2)(1)2f f f ⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，即3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭， 故选：D.6．（2021·长宁区·上海市延安中学高一期末）设2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()1 2f x f x +<的实数x的取值范围是__________. 【答案】(),0-∞【解析】作出函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩的图像如图，满足(1)(2)f x f x +<2021x x x <⎧∴⎨<+⎩，解得0x <.故答案为：(),0-∞.7．（2021·全国高一课时练习）已知函数37().2x f x x +=+ （1）判断并证明函数()f x 在()2,-+∞的单调性；（2）若函数()f x 的定义域为()2,2-且满足2(23)()f m f m -+>，求m 的范围. 【答案】（1）证明见解析，(2,)x ∈-+∞时，函数37()2x f x x +=+为减函数；（2）()1,2. 【解析】（1）371()322x f x x x +==+++，()f x 在(2,)-+∞上是减函数，证明如下： 设122x x >>-，则2112121211()()22(2)(2)x x f x f x x x x x --=-=++++， 122x x >>-，120x ∴+>，220x +>，210x x -<， 12()()f x f x ∴<，()f x ∴在(2,)-+∞上为减函数；（2）由（1）可知：当(2,2)x ∈-时，函数()f x 为减函数，∴由2(23)()f m f m -+>得，2222322223m m m m -<-+<⎧⎪-<<⎨⎪-+<⎩，解得12m <<，m ∴范围为(1,2)．【题组六 利用单调性求最值】1．（2021·广东汕头市·高一期末）设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当0m =时，()1f x =-，由1m ->-，得1m ，不符合题意； 当0m ≠时，函数()f x 的对称轴为12x =， 当0m >时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递增，此时函数min ()(1)1f x f ==-， 要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需1m ->-，解得1m ，所以1m ； 当0m <时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递减，此时函数min ()(3)61f x f m ==-， 要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需61m m ->-，解得17m >，不符合题意； 综上：实数m 的取值范围是(1,)+∞. 故选：B2．（2021·广东广州市·高一期末）已知函数()()221f x x ax a R =+-∈，若()1,2x ∀∈，()0f x ≤，则a 的取值范围是_________. 【答案】7,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】()1,2x ∀∈，()2021f x x ax =-≤+恒成立，即12,(1,2)a x x x≤-+∈恒成立，设1()2g x x x =-+在(1,2)单调递减，所以7()12g x -<<-， 所以72a ≤-. 故答案为：7,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 3．（2021·浙江高一期末）（多选）已知函数222y x x -=+的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）A ．[0,1]B ．[ 1,2]C ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,1-]【答案】ABC【解析】因为函数222y x x -=+的值域是[1，2]，由2y =可得0x =或2x =，由1y =可得1x = 所以其定义域可以为A 、B 、C 中的集合 故选：ABC4．（2021·全国高一课时练习）二次函数24y ax x a =++的最大值是3，则a =_______.【答案】1-【解析】根据题意，二次函数24y ax x a =++的最大值是3，则2041634a a a<⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =-.故答案为：1-.5．（2021·安徽省舒城中学高一开学考试）已知函数2()23f x x x =--在[]1m －，上的最大值为()f m ，则m 的取值范围是（ ）A ．(11]－， B ．(1,122]-+ C ．[122,)++∞ D ．(1,1][122,)-⋃++∞【答案】D【解析】()f x 的图象如下图：对称轴为1,(1)4x f ==，令2234x x --=，得122x =±. 因为(1)0f -=，所以数形结合可得11m -<或122m +.故选：D6（2021·云南文山壮族苗族自治州·砚山县第三高级中学高一期末）已知函数1()2f x x a =+，且1(2)5f =． （1）求a 的值；（2）试判断函数在(1,)+∞上的单调性，并给予证明；（3）求函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值．【答案】（1）1a =，（2）减函数，证明见解析，（3）最大值17，最小值111 【解析】（1）因为1()2f x x a =+，且1(2)5f =， 所以1145a =+，解得1a =， （2）函数1()21f x x =+在(1,)+∞上为减函数，证明如下： 任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则121211()()2121f x f x x x -=-++ 21122()(21)(21)x x x x -=++ 因为12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，所以210x x ->，12210,210x x +>+>， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数1()21f x x =+在(1,)+∞上为减函数， （3）由（2）可知1()21f x x =+在[3,5]上为减函数， 所以当3x =时，函数取得最大值，即max 11()2317f x ==⨯+， 当5x =时，函数取得最小值，即min 11()25111f x ==⨯+ 7．（2020·重庆市万州南京中学高一期中）已知函数()1=+x f x x （1）用定义法判断()f x 在区间()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]2,5上的最值.【答案】（1）证明见解析；（2）()()min max 25,36f x f x == 【解析】(1)证明：()1111111x x f x x x x +-===-+++ 任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <()()1212111111f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭211111x x =-++()()()()12121111x x x x +-+=++121211x x x x 121x x -<<，12120,10,10x x x x ∴-<+>+>()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <∴()f x 在()1,-+∞单调递增（2）由（1）知，()f x 在[]2,5单调递增，()()()()min max 252,536f x f f x f ∴==== 8．（2021·深圳第二外国语学校高一期末）已知函数1()2f x x x=+. （1）证明：证明函数()f x 在区间2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）若2()31f x a a ≥+-在[]1,3x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）41a -≤≤.【解析】（1）任取1222x x <<，∴1212121122f x f x x x x x ()12121221x x x x x x -=-， ∵1222x x <<，∴120x x -<，12210x x ->，120x x >， ∴()()120f x f x -<， 故函数()f x 在区间2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； （2）2()31f x a a ≥+-在[]1,3x ∈上恒成立，等价于2min 31()a a f x +-≤， 由（1）知()f x 在[]1,3x ∈单调递增，∴()min ()13f x f ==，∴2313a a +-≤，解得41a -≤≤.9．（2021·海南鑫源高级中学高一期末）一次函数()2(0)f x kx a =+≠且(1)5f =.（1）求k 的值；（2）证明()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）3k =；（2）证明见解析.【解析】（1）一次函数()2(0)f x kx a =+≠且(1)5f =.则25k +=，则3k =.（2）证明：由（1）得()32f x x =+，在R 上任取1x ，2x ，令12x x <，则()1212()()3232f x f x x x -=+-+()123x x =- 12x x <，12()()0f x f x ∴-<，()f x ∴在R 上是单调递增函数．10．（2021·安徽高一开学考试）已知函数22()x f x x-=.（1）判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义法证明；（2）已知()f x 在[]1,2上的最大值为m ，若正实数a ，b 满足ab m =，求11a b +最小值. 【答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递增，证明见解析；（2）2.【解析】（1）函数()f x 在(0,+)∞上单调递增. 证明如下： 令120x x >>，()()2212121212212222x x f x f x x x x x x x ---=-=-+- ()121221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为120x x >>，所以120x x ->，120x x >，所以12122()(1)0x x x x -+>， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）由（1）知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在[]1,2上的最大值为222(2)12f -==， 即1m =，所以1ab =，所以1122a b a b ab a b ab++==+≥=， 当且仅当1a b ==时等号成立. 11．（2021·福建三明市·高一期末）已知函数21()1x f x x -=+． （1）判断()f x 在[)0,+∞上单调递增还是单调递减，并证明你的判断；（2）若[]1,x m ∈，()f x 的最大值与最小值的差为12，求m 的值．【答案】（1）()f x 在[)0,+∞上单调递增，证明见解析；（2）2m =.【解析】（1）()f x 在[)0,+∞上单调递增，证明如下：设任意的120x x ≤<，则()()()()121212121232121()1111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 因为120x x ≤<，故120x x -<，()()12110x x ++>，故()12()0f x f x -<即()12()f x f x <，故()f x 在[)0,+∞上单调递增.（2）由（1）可知()f x 在[]1,m 上为增函数，故()()()()min max 1211,,21m f x f f x f m m -====+ 所以2111122m m --=+，故2m =，此时1m 符合， 故2m =.。
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2．导数法 f ′(x)≥0(x∈A)⇔f(x)在 A 上为增函数，(使 f ′(x)＝0 的 x 仅是个别值)； f ′(x)≤0(x∈A)⇔f(x)在 A 上为减函数，(使 f ′(x)＝0 的 x 仅是个别值)．
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(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ，则称 函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做 f(x)的单调区间．
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结 论
M为最大值
M为最小值
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问题探究 3：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图 象上有什么特征？
提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大 (小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．
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单调性是函数在一个区间上的“整体”性质，因此定义中 x1，x2 要有任意性，不能用两个特殊值的大小判断函数在区间 上的单调性．例如：对函数 f(x)＝－1x，由于 f(－1)>f(2)，所以 函数是单调递减函数，这是错误的说法．其实函数 f(x)＝－1x在 (－∞，0)上是单调递增，在(0，＋∞)上是单调递增．
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考纲要求
考情分析
理解函数 的单调 性、最大 值、最小 值及其几 何意义.
函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点， 常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，求参数的 取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等 问题．客观题主要考查函数的单调性，最值的灵活确定 与简单应用，如2019年广东卷4、上海卷7.主观题在考查 基本概念，重要方法的基础上常与导数结合考查函数方 程、等价转化数形结合、分类讨论的思想方法，如2019 年北京卷18、山东卷22等． 预测：2019年高考对本节内容的考查仍将以函数性质的 应用为主，题型延续选择题、填空题的形式，分值约为5 分．函数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质如周期 性、对称性相结合求函数值或参数的范围，在备考时应 加强这方面的训练.
问题探究 1：函数 f(x)＝1x的单调减区间是(－∞，0)∪(0， ＋∞)吗？
提示：函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数 在其定义域内的几个区间上都是增函数(，也不能将各个单调区 间用“∪”连接，而应写成(－∞，0)和(0，＋∞)．
【解】 (1)证明：任设 x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝x12＋x21－xx2＋2 2. ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
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已知 f(x)＝x－x a(x≠a)． (1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
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2．函数的最值
前 设函数y＝ f(x)的定义域为I，如果存在实数M满
提
足
①对于任意x∈I，都有 条 f(x)≤M ； 件 ②f(x存0)在＝xM0∈.I，使得
①对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ； ②f(x存0)＝在Mx0∈. I，使得
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(3)定号：根据给定的区间和 x2－x1 的符号，确定差 f(x2) － f(x1)(或 f(x1)－ f(x2))的符号．当符号不确定，可以进行 分类讨论．
(4)判断：根据定义得出结论．
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1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(对应学生用书 P26)
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内
某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
定 义 当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)
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问题探究 2：函数 f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数 f(x) 的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？
提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除 f(x)在其他区间单调递增，而 f(x)的单调递增区间为[a，b]意味 着 f(x)在其他区间不可能单调递增．
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(对应学生用书 P26)
1.定义法 用定义证明函数单调性的一般步骤 (1)取值：即设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1<x2. (2 作差：即 f(x2)－ f(x1)(或 f(x1)－ f(x2))，并通过通 分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变 形．
，那么就说函数 f(x)在区 ，那么就说函数 f(x)在
间D上是增函数
区间D上是减函数
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增函数
减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是
上升的
自左向右看图象是 下降的
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