中考数学之平面几何总结经典习题
中考数学平面几何经典题
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABCP 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）D1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 200，求∠BED 的度数．1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
中考数学之平面几何最全总结+经典习题
平面几何知识要点（一）【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。
垂直平分线，简称“中垂线”。
定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
角1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。
3.对顶角相等。
角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。
【平行线】平行线性质1：两直线平行，同位角相等。
平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线判定1：同位角相等，两直线平行。
平行线判定2：内错角相等，两直线平行。
平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。
平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平面几何知识要点（二）【三角形】面积公式：1． 已知三角形底a ，高h ，12S ah =2． 正三角形面积 S=24(a 为边长正三角形)3．已知三角形三边a,b,c ，则S （海伦公式） 其中：()2a b c p ++= （周长的一半） 4．已知三角形两边a ，b 及这两边夹角C ，则1sin 2S ab C =。
[必刷题]2024九年级数学上册平面几何专项专题训练(含答案)
![[必刷题]2024九年级数学上册平面几何专项专题训练(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/c98a8998ba4cf7ec4afe04a1b0717fd5370cb244.png)
[必刷题]2024九年级数学上册平面几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在平行四边形ABCD中，若AB=6cm，BC=8cm，则平行四边形ABCD的周长是（）cm。
A. 14cmB. 28cmC. 48cmD. 56cm2. 已知等边三角形ABC的边长为3cm，点D是边AB上的一点，且AD=1cm，则CD的长度为（）cm。
A. 2cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm3. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰梯形B. 长方形C. 正方形D. 所有选项都是4. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）。
A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)5. 若一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，则这个三角形的周长为（）cm。
A. 26cmB. 32cmC. 42cmD. 46cm6. 下列哪个角是钝角？（）A. 30°B. 45°C. 120°D. 90°7. 在三角形ABC中，若AB=AC，∠BAC=40°，则∠ABC的度数是（）。
A. 40°B. 70°C.80°D. 100°8. 下列哪个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形？（）A. 正三角形B. 矩形C. 正方形D. 平行四边形9. 若一个圆的半径为5cm，则其直径的长度为（）cm。
A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm10. 在直角三角形ABC中，若∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，则AB 的长度为（）cm。
A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm二、判断题：1. 平行四边形的对角线互相平分。
（）2. 任意两个等边三角形的面积相等。
（）3. 两条平行线的距离处处相等。
（）4. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
（）5. 对角线互相垂直的四边形一定是矩形。
中招数学经典例题
中招数学经典例题中考数学经典例题在中考数学考试中占据重要地位，考生们应该掌握这些例题，才能够顺利应对中考数学考试。
下面我们来介绍一些经典例题。
一、平面向量1. 有两个平面向量 $\vec{a}=3\vec{i}-\vec{j}$，$\vec{b}=2\vec{i}+\vec{j}$，求它们的数量积。
2. 已知两个平面向量 $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$，$\vec{b}=-\vec{i}+5\vec{j}+2\vec{k}$，求它们的叉积。
3. 已知两个平面向量 $\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j}$，$\vec{b}=2\vec{i}-\vec{j}$，试求它们的夹角 $cos\alpha$。
二、三角函数1. 求证：$cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 已知 $\frac{sinx}{cosx}+tanx=1$，求 $x$ 的值。
3. 已知正弦函数 $y=a\sin\omega x$，求 $y$ 的最大值和最小值。
三、平面几何1. 已知四边形 $ABCD$，$E$、$F$ 分别为 $AB$、$BC$ 上的点，$EF$ 与 $AD$、$CD$ 的延长线交于 $P$、$Q$，试证明：四边形$APBQ$ 与 $EPFQ$ 的面积相等。
2. 在 $\triangle ABC$ 中，点 $E$、$F$ 分别在 $AC$、$AB$ 上，$BE$ 与 $CF$ 交于点 $O$，若 $\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{FA}$，则证明 $AO$ 是 $\triangle ABC$ 中的角平分线。
3. 已知圆 $O$ 的半径为 $r$，圆上分别取两点 $A$、$B$，则弦$AB$ 的中垂线长为多少？四、解析几何1. 已知点 $A$、$B$ 的坐标分别为 $A(-2,-1)$，$B(4,3)$，求点 $M$ 到$AB$ 的距离。
初中数学解平面几何题练习题及答案
初中数学解平面几何题练习题及答案解题方法1：平面几何的基本概念初中数学中的平面几何题目有很多，解答这些题目的方法也有很多种。
在解答平面几何题目之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1. 点、直线和射线：点是没有大小和形状的，用大写字母表示，如：A、B、C；直线是由有无数个点组成的，用小写字母表示，如：a、b、c；射线是由一个起点和无限延伸方向的线段组成的，用字母和一个箭头表示，如：AB→。
2. 线段和向量：线段是由两个点确定的，用两个字母表示，如：AB；向量是有大小和方向的，用一个字母和上面加一箭头表示，如：→AB。
3. 角度和角：角度是由两个射线或线段确定的，用一个小写字母表示，如：∠a；角是由三个点确定的，其中一个点是顶点，用大写字母表示，如：∠ABC。
解题方法2：平面几何的定理和公式在解答平面几何题目时，我们还需要运用一些定理和公式。
1. 相关定理：- 同位角定理：若两条直线被一条截线所交，则两条直线上的同位角互等。
- 垂直角定理：如果两条直线相交，且相交的四个角中有两个相互垂直，则这两个角是垂直角，垂直角互等。
2. 相关公式：- 两点之间的距离公式：设两点A(X₁, Y₁)和B(X₂, Y₂)，则AB 的距离为√[(X₂-X₁)²+(Y₂-Y₁)²]。
- 斜率公式：设点A(X₁, Y₁)和点B(X₂, Y₂)，则AB的斜率为k=ΔY/ΔX=(Y₂-Y₁)/(X₂-X₁)。
练习题1：已知点A(-3,4)，B(1,6)，C(5,2)，D(-1,0)，连接AD和BC，求证：AD与BC平行。
解答过程：首先，我们需要求出线段AD和BC的斜率，然后判断斜率是否相等，若相等，则可以证明AD与BC平行。
斜率公式：k=ΔY/ΔX=(Y₂-Y₁)/(X₂-X₁)线段AD的斜率：k₁=(0-4)/(-1+3)=-2/2=-1线段BC的斜率：k₂=(2-6)/(5-1)=-4/4=-1由上述计算可知，线段AD和BC的斜率相等，因此AD与BC平行。
中考数学分类解析平面几何的综合
平面几何的综合一、选择题1. （2012湖北鄂州3分）如图，四边形OABC 为菱形，点A 、B 在以O 为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE 的面积为【 】A.π34B.π35C.π2D.π3【答案】A 。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。
【分析】如图，连接OB ．∵OA=OB=OC=AB=BC，∴∠AOB+∠BOC=120°。
又∵∠1=∠2，∴∠DOE=120°。
又∵OA=2，∴扇形ODE 的面积为21202 43603ππ⋅⋅=。
故选A 。
2. （2012湖南岳阳3分）如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于D ，BC 与CD 相交于C ，连接OD 、OC ，对于下列结论：①OD 2=DE•CD； ②AD+BC=CD；③OD=OC；④S 梯形ABCD =CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是【 】A ．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 【答案】A 。
【考点】切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质。
1052629【分析】如图，连接OE ，∵AD 与圆O 相切，DC 与圆O 相切，BC 与圆O 相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE，CE=CB ，AD∥BC。
∴CD=DE+EC=AD+BC。
结论②正确。
在Rt△ADO 和Rt△EDO 中，OD=OD ，DA=DE ，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL ） ∴∠AOD=∠EOD。
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC。
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°。
结论⑤正确。
∴∠DOC=∠DEO=90°。
又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△O DC 。
初中平面几何经典题集锦
平面几何是初中数学至关重要的部分，无论是平时学习还是中考，对学生来讲都是难点。
平面几何的不在于知识，几何知识常常是一句话，一个公式，所有同学都可以看懂；然而，几何题目却是千变万化的，特别是辅助线相关的题型，对很多同学来讲非常头痛。
当然，若能快速提升的话同学们也就不会心痛了，几何能力提升并不如代数那样简单，更不是多做题可以达到效果的，常常题目做了很多，但效果并不明显。
很多同学确实找不到方法，题目也做了，也非常努力了，但就是提升不了。
其实，最好的方法在于做经典题，经典题不仅包含了各类辅助线的题型，还包含了各种几何知识，如三角形全等，相似，正方形的性质，平行的性质，比例，共圆，射影定理等；同时常常这类题方法不唯一，通过对不同方法的思考，可以加深对几何知识的理解。
所以对经典题进行反复训练，对学生的能力会有较大的提升。
中考· 平面几何复习压轴题(1)
原创精编试题集（难题、思考题）——增集——期末考试解答题压轴题型专项练习（上）1、图形的变换1、小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．（1）如图①所示△ABC，△DBE，两直角边交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是______；直线BF与直线AD的位置关系是______，并求证：FG+DC=AC；（2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使D、B、C三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连接AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是____________；（3）在（2）的条件下，若AG=27，DC=5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG=2，求线段MN的长．2、如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得满分；选取②完成证明得多半分；选取③完成证明得半分．①：DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②：将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③：在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．3、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是BC的中点，D为AB上一动点，延长DO到E，且OE=OD，连接CE．（1）如图2，若D为AB的中点，请判断四边形EDAC的形状，并说明理由；（2）如图3，若∠A=60°，∠BOD=30°，四边形EDAC是等腰梯形吗？请说明理由；（3）若AC=15，AB=25，请在图4中作出点D的位置使四边形的EDAC周长最小，请补全图形并求出四边形的EDAC的最小周长．4、（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF ⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．5、【2010·临沂市】如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角扳的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF=EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB=a ，BC=b ，求EGEF 的值．6、（1）如图1，以等腰直角△ABC 的直角边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，则DE 与AM 之间的数量关系为_________，位置关系为_________ ；（2）如图2，以任意直角△ABC 的直角边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，则DE 与AM 之间的数量关系为_________，位置关系为_________ ；（3）如图3，以任意非直角△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，试判断DE 与AM 之间的数量关系与位置关系，并说明理由；（4）如图4，若以△ABC 的边AB 、AC 为直角边，向内作等腰直角△ABE 和△ACD ，其它条件不变，请直接写出线段DE 与AM 之间的数量关系与位置关系．7、已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC 与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=________ ；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=________ ；（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）8、已知：△ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点．（1）如图1，当∠ACB=120°时，∠MPN的度数为________ ；（2）如图2，当∠ACB=α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？给出你的证明．9、如图1，四边形ABCD ，将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转，角的一条边与DC 的延长线交于点F ，角的另一边与CB 的延长线交于点E ，连接EF ．（1）如果四边形ABCD 为正方形，当∠EAF =45°时，有EF=DF-BE ．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC =90°，当∠EAF =21∠BAD 时，EF 、DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF =21 ∠BAD 时，EF 、DF 、BE 之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．10、已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC ，∠BAD=∠ADC ，点E 在CD 边上运动（点E 与点C 、D 两点不重合），△AEP 为直角三角形，∠AEP =90°，∠P =30°，过点E 作EM ∥BC 交AF 于点M ．（1）若∠BAD =120°（如图1），求证：BF+DE=EM ；（2）若∠BAD =90°（如图2），则线段BF 、DE 、EM 的数量关系为________ ；（3）在（1）的条件下，若AD ：BF=3：2，EM=7，求CE 的长．11、如图所示，△ABC是正三角形，△A1B1 C1的三条边A1B1、B l C1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3，A2、A3，B2、B3．已知A2C3=C2B3=B2A3，且C2C32+B2B32=A2A32．请你证明：A l B1⊥C1A1．12、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是__________ ．线段AM、BN、MN之间的数量关系是__________ ；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是__________ ．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是__________ ．（不要求证明）13、如图，G、H分别是两个有公共顶点B的等腰直角三角形斜边的中点，P是两直角顶点连线CE的中点．（1）如图1，当A、B、D在同一条直线上，探究PG、PH的关系，并说明理由；（2）如图2，当A、B、D不在同一条直线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．14、【2010·遵义市】如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．15、已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDF，其中D、G分别为斜边AB、EF的中点，连CE，又M为BC中点，N为CE的中点，连MN、MG。
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【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。
垂直平分线，简称“中垂线”。
定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
角1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。
3.对顶角相等。
角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。
【平行线】平行线性质1：两直线平行，同位角相等。
平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线判定1：同位角相等，两直线平行。
平行线判定2：内错角相等，两直线平行。
平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。
平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
【三角形】面积公式：1． 已知三角形底a ，高h ，12S ah =2． 正三角形面积 S=24(a 为边长正三角形)3．已知三角形三边a,b,c ，则S （海伦公式） 其中：()2a b c p ++= （周长的一半） 4．已知三角形两边a ，b 及这两边夹角C ，则1sin 2S ab C =。
5．设三角形三边分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则()2a b c r S ++= 6．设三角形三边分别为a 、b 、c ，外接圆半径为R ，则4abc S R =记住★：已知正三角形边长为a ，其外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有：R = ，r = ， 2R r = 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 ：直角三角形的两个锐角互余推论2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等。
其中对应边除了三角形的边长外，还包括对应高，对应中线，对角平分线。
全等三角形判定定理：边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS ）边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS ）角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA ）推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
相似三角形性质定理性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形判定定理判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA ）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ）判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 。
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 。
推论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。
（三线合一）推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形1．勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方（222a b c +=） 逆命题：如果三角形的三边长有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c 为最长边: 如果：222a b c +=，则△ABC 是直角三角形；如果222a b c +>，则△ABC 是锐角三角形；如果222a b c +<，则△ABC 是钝角三角形。
2．直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。
逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半，由此性质可推出：含30°的直角三角形三边之比为12。
4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
5.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半， 即2a b c r +-=也等于 ab r a b c =++6. 射影定理：①如果△ABC 是直角三角形,∠C=90°，CD ⊥AB ，则 2.AC AD AB =2.BC DB AB =2.CD AD DB = 22AC AD BC DB= ②如果△ABC ，CD ⊥AB ，2.CD AD DB =，则:△ADC ∽△CDB③对一般三角形的拓展：如图，如果△ADC ∽△ACB ，则： 2.AC ADAB =7．如果∠ADE=∠B 或 ∠AED=∠C ，或 ∠C+∠DEB=180°,或 ∠B+∠CDE=180°那么有：AD ·AC=AE ·AB8.如果DE ∥BC , 那么有：:::AD AC AE AB DE BC ==9．在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，那么：AB BD AC DC=A B CD a bc ha A BC D A B CD A A10．内、外角角平分线：DO 平分∠AOB ，EO 平分∠COB ，可以推出：∠DOE=90°,∠AOD+∠COE=90° 平面几何知识要点（三） 【四边形及多边形】面积公式：平行四边形面积=底×高 矩形面积=长×宽菱形面积=对角线乘积的一半 或 菱形面积=底×高梯形面积=()2+⨯上底下底高=中位线×高 对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半。
平行四边形：性质定理1：平行四边形两组对边分别平行性质定理2：平行四边形两组对角分别相等。
性质定理3：平行四边形两组对边分别相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等。
性质定理4：平行四边形的对角线互相平分。
是中心对称图形判定定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
判定定理3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
判定定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形性质定理1：矩形对边分别平行且相等；性质定理2：矩形的四个角都是直角。
性质定理3：矩形对角线互相平分且相等性质定理4：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形判定定理2：有一个直角的平行四边形；判定定理3：对角线相等的平行四边形是矩形菱形性质定理1：菱形对边平行，四条边都相等。
性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
性质定理3：菱形既是中心对称图形也是轴对称图形。
判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。
判定定理2：一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形性质定理1：正方形对边平行，四边相等；性质定理2：正方形的四个角都是直角；A性质定理3：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
性质定理3：正方形既是中心对称图形也是轴对称图形。
判定定理1：有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形；判定定理2：一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理3：一个角为直角的菱形是正方形。
等腰梯形性质定理1：等腰梯形两底互相平行，两腰相等；性质定理2：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。
性质定理3：等腰梯形的两条对角线相等。
性质定理4：等腰梯形是轴对称图形。
判定定理1：腰相等的梯形是等腰梯形；判定定理2：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。
判定定理3：对角线相等的梯形是等腰梯形。
如果等腰梯形对角线相互垂直，则高与中位线相等。
四边形四边中点连成的四边形图形：1．如果原四边形对角线相等且垂直，那么四边形中点连成的新四边形为正方形；2．如果原四边形对角线只相等不垂直，那么四边形中点连成的新四边形为菱形；3．如果原四边形对角线垂直但不相等，那么四边形中点连成的新四边形为矩形；4．如果原四边形对角线既不相等又非垂直，那么四边形中点连成的新四边形为平行四边形。
5．四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半.其它定理和公式1．定理：四边形的内角和等于360°，四边形的外角和等于360°。
2．多边形内角和定理: n边形的内角的和等于（n-2）×180°推论：任意多边的外角和等于360°3．n边形从一个顶点出发的对角线，共有(n－3)条，将n边形分成了(n－2)个三角形；n边形一共有n2(n－3)条对角线。
4．正n边形的每个内角都等于：(2)180 nn-⨯常用辅助线平面几何知识要点（四）【圆、弧、弦】圆及圆的相关量的定义圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。