高中数学计算题六审批稿
高中数学计算题六 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】2014年高中数学计算题六2014年高中数学计算题六一．解答题（共30小题）1．（2010?上海）已知tanθ=a，（a＞1），求的值．2．（2008?上海）已知，求的值．3．（2005?福建）已知﹣＜x＜0，则sinx+cosx=．（I）求sinx﹣cosx的值；（Ⅱ）求的值．4．（2004?陕西）已知α为锐角，且tanα=，求的值．5．（2004?天津）已知．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．6．（2004?湖南）已知tan（+α）=2，求的值．7．（2004?湖南）已知sin（+2α）sin（﹣2α）=，α∈（，），求2sin2α+tanα﹣cotα﹣1的值．8．（2002?天津）已知sin22α+sin2αcosα﹣cos2α=1，α∈（0，），求sinα、tanα的值．9．（1977黑龙江）cos78°cos3°+cos12°sin3°（不查表求值）．10．求tan20°+4sin20°的值．11．求sin的值．12．已知，求的值．13．已知的值．14．不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．15．解方程sin3x﹣sinx+cos2x=0．16．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．17．（2014?漳州二模）求证：=sin2α．18．（2014?碑林区一模）已知sin﹣2cos=0．（I）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．19．（2011?德阳二模）已知cos（α﹣）=，α∈（，π）．求：（1）cosα﹣sinα的值．（2）cos（2α+）的值．20．（2010?南京三模）已知A为锐角，，求cos2A及tanB的值．21．（2008?临沂二模）已知α为第二象限角，且sinα=的值．22．（2008?朝阳区二模）已知（）．（Ⅰ）求cosx的值；（Ⅱ）求的值．23．（2007?海淀区二模）已知α为钝角，且求：（Ⅰ）tanα；（Ⅱ）．24．（2007?广州一模）已知，，求tanθ和cos2θ的值．25．（2007?广州一模）已知tanθ=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．26．（2006?西城区一模）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．27．（2003?东城区二模）已知，求tg2x的值．28．已知，求：（1）的值；（2）的值．29．已知，求下列各式的值：（1）tanα；（2）．30．（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知α为第二象限角，化简cosα+sinα．2014年高中数学计算题六参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2010?上海）已知tanθ=a，（a＞1），求的值．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ=a，求出结果即可．解答：解：原式===．即：=．点评：本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．2．（2008?上海）已知，求的值．考点：二倍角的正弦；三角函数中的恒等变换应用．分析：利用二倍角公式把二倍角变成单角，多项式一般要通分整理，看出公分母是2sinθcosθ，约分化简，得到最简形式，再由余弦值和角的范围求出正弦值，代入求解．解答：解：原式=又，∴，∴点评：化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数；在化简三角函数时，若给出的多项分式，一般要通分整理，能约分的要约分．3．（2005?福建）已知﹣＜x＜0，则sinx+cosx=．（I）求sinx﹣cosx的值；（Ⅱ）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）把sinx+cosx=两边平方求得sinxcosx的值，进而根据∵（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx求得（sinx ﹣cosx）2=，进而根据﹣＜x＜0确定sinx﹣cosx的正负，求得答案．（Ⅱ）先把原式中的正切转换成弦，进而根据倍角公式化简整理，把（1）中求得的sinxcosx和sinx﹣cosx 代入即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即2sinxcosx=﹣．∵（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=．又∵﹣＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx﹣cosx＜0，故sinx﹣cosx=﹣．（Ⅱ）==sinxcosx（2﹣cosx﹣sinx）=（﹣）×（2﹣）=﹣点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．要特别注意函数值的正负号的判定．4．（2004?陕西）已知α为锐角，且tanα=，求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：由1+tan2α=sec2α=解得cosα的值，化简代入即可．解答：解：∵，α为锐角∴∴．点评：考查学生运用同角三角函数基本关系的能力，以及运用诱导公式化简求值的能力．5．（2004?天津）已知．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（Ⅰ）求tanα的值可有变换出关于tanα的方程，解方程求值．（II）方法一：求的值可以将其变成由角的正切表示的形式，将（Ⅰ）中求出的正切值代入求值．方法二：利用同角三角函数的基本关系求出角α的正弦值与余弦值，解答：解：（Ⅰ）解：，由，有，解得；（Ⅱ）解法一：=．解法二：由（1），，得∴，∴于是，代入得．点评：考查三角函数的同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，两角和的正切公式．公式较多，知识性较强．6．（2004?湖南）已知tan（+α）=2，求的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的正切公式将tan（+α）=2求出tanα的值，然后将中的1变化为sin2α+cos2α后分子分母同时除以cos2α，最后将tanα的值代入即可得到答案．解答：解：由，得于是点评：本题主要考查两角和与差的正切公式和同角三角函数的基本关系．考查计算能力．7．（2004?湖南）已知sin（+2α）sin（﹣2α）=，α∈（，），求2sin2α+tanα﹣cotα﹣1的值．考点：二倍角的正弦；弦切互化；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：利用诱导公式和二倍角公式化简sin（+2α）sin（﹣2α）=为cos4α=．求出α值，代入化简2sin2α+tanα﹣cotα﹣1后的表达式，求解即可．解答：解：由sin（+2α）sin（﹣2α）=sin（+2α）cos（+2α）=sin（+4α）=cos4α=，得cos4α=．又α∈（，），所以α=．于是2sin2α+tanα﹣cotα﹣1=﹣cos2α+=﹣cos2α+=﹣（cos2α+2cot2α）=﹣（cos+2cot）=﹣（﹣﹣2）=．点评：本题考查二倍角的正弦，弦切互化，考查计算能力，是基础题．8．（2002?天津）已知sin22α+sin2αcosα﹣cos2α=1，α∈（0，），求sinα、tanα的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：利用平方关系直接化简sin22α+sin2αcosα﹣cos2α=1，根据正弦函数的有界性，求出sinα=，然后求出tanα的值即可．解答：解：由sin22α+sin2αcosα﹣cos2α=1，得4sin2αcos2α+2sinαcos2α﹣2cos2α=02cos2α（2sin2α+sinα﹣1）=02cos2α（2sinα﹣1）（sinα+1）=0．因为α∈（0，），所以sinα+1≠0，且cosα≠0，所以2sinα﹣1=0，即sinα=，所以α=，即tanα=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题．9．（1977黑龙江）cos78°cos3°+cos12°sin3°（不查表求值）．考点：两角和与差的正弦函数．分析：先根据诱导公式将cos78°化为sin12°，再根据两角和与差的正弦公式可得答案．解答：解：原式=sin12°cos3°+cos12°sin3°=sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式，属基础题．10．求tan20°+4sin20°的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．解答：解：tan20°+4sin20°=======2sin60°=．点评：本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力．11．求sin的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：先利用诱导公式把sin转换才cos进而用倍角公式化简整理，利用特殊角的三角函数值求得结果．解答：解：=．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值和倍角公式的应用．在运用诱导公式的时候要注意三角函数值的正负．12．已知，求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：对分子分母同时除以cosθ即得答案．解答：解：∵，∴cosθ≠0，将原式分子与分母除以cosθ，则．点评：本题主要考查tanθ=，这种题型在考试中经常遇到，要引起注意．13．已知的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先对sinθ﹣cosθ=两边平方得到sinθcosθ=，再由sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）可得答案．解答：解：∵sinθ﹣cosθ=，∴∴sinθcosθ=sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）=×（1+）=点评：本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题．这里要注意三角函数的变形应用．14．不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．解答：解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=点评：本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．15．解方程sin3x﹣sinx+cos2x=0．考点：两角和与差的正弦函数．专题：常规题型．分析：先由3x=x+2x根据两角和与差的正弦公式化简得到cos2x（2sinx+1）=0，再分别令cos2x=0、2sinx+1=0可得答案．解答：解：sin3x﹣sinx+cos2x=0，2cos2x?sinx+cos2x=0，cos2x（2sinx+1）=0，由cos2x=0，2x=2kπ+，x=kπ±．（k为整数）由2sinx+1=0，sinx=﹣，x=kπ+（﹣1）k（﹣）=kπ+（﹣1）k+1．（k为整数）点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多不容易记，要给予重视，16．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．专题：计算题；压轴题．分析：本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解．解答：解：cos2x﹣sin2x=cosx+sinx，（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣（cosx+sinx）=0，（cosx+sinx）（cosx﹣sinx﹣1）=0．如果cosx+sinx=0则得1+tgx=0，tgx=﹣1，∴如果cosx+sinx﹣1=0则得cosx﹣sinx=1，∴，∴点评：本题是一个三角恒等变换问题，与初中学习锐角三角函数一样，高中也要研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．17．（2014?漳州二模）求证：=sin2α．考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：要证等式左边分母利用同角三角函数间的基本关系及万能公式变形，约分后利用二倍角的正弦函数公式化简得到结果与右边相等，得证．解答：证明：左边===sinαcosα=sin2α=右边，则原式成立．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（2014?碑林区一模）已知sin﹣2cos=0．（I）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．同角三角函数基本关系的运用；角的变换、收缩变换．考点：专三角函数的求值．题：分（I）已知等式变形，利用同角三角函数间的基本关系求出tan的值，利用二倍角的正切函数公式化简求出tanx 析：的值；（Ⅱ）原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后分子分母除以cos2x，利用同角三角函数间的基本关系变形后，将tanx的值代入计算即可求出值．解解：（I）由sin﹣2cos=0，得到tan=2，答：则tanx===﹣；（Ⅱ）由（I）知tanx=﹣，∴cosx≠0，∴=====﹣．点此题考查了同角三角函数基本关系的应用，以及二倍角的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．评：19．（2011?德阳二模）已知cos（α﹣）=，α∈（，π）．求：（1）cosα﹣sinα的值．（2）cos（2α+）的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式展开可得cosα+sinα=，平方化简可得 sin2α=﹣，根据α∈（，π），cosα﹣sinα=﹣=﹣求得cosα﹣sinα的值．（2）把上述结论代入 cos（2α+）=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）﹣sin2α可求得结果．解答：解：（1）∵cos（α﹣）=，α∈（，π），∴（cosα+sinα）=，cosα+sinα=，平方化简可得 sin2α=﹣．又α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，cosα﹣sinα=﹣=﹣=﹣．（2）cos（2α+）=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）﹣sin2α=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用．20．（2010?南京三模）已知A为锐角，，求cos2A及tanB的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式，利用sinA求得cos2A．利用同角三角函数基本关系，利用sinA求得tanA，进而根据tanB=tan[A﹣（A﹣B）]利用正切的两角和公式求得答案．解答：解：cos2A=1﹣2sin2A=1﹣×2=∵A为锐角，sinA=∴tanA==∴tanB=tan[A﹣（A﹣B）]===2点评：本题主要考查同角三角函数基本关系，正切的两角和公式，及二倍角的余弦．三角函数基本关系多，复杂，平时应注意多积累．21．（2008?临沂二模）已知α为第二象限角，且sinα=的值．考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由α为第二象限角及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式分子利用两角和与差的余弦函数公式化简，分母利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后约分得到最简结果，将cosα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，则原式=====﹣．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．22．（2008?朝阳区二模）已知（）．（Ⅰ）求cosx的值；（Ⅱ）求的值．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）由，求出tanx，然后求cosx的值；（Ⅱ）先求sinx，sin2x，再求cos2x．然后求的值，或者直接化简，再用tanx求出表达式的值．解答：解：（Ⅰ）因为，所以，则tanx=7．（4分）又，所以．（6分）（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）得，又，所以，．（8分）又，所以，．（10分）则===．（13分）方法2：=（10分）===．（13分）点评：本题考查两角和与差的正切函数，任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦、余弦，是中档题．23．（2007?海淀区二模）已知α为钝角，且求：（Ⅰ）tanα；（Ⅱ）．考点：两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）由化简，直接求出tanα；（Ⅱ）化简为关于tanα的表达式，利用（Ⅰ）的结果求解即可．解答：解：（Ⅰ）由已知：（2分）得（5分）（Ⅱ）==（8分）∵且∴（10分）∴==（12分）点评：本题考查两角和与差的正切函数，两角和与差的余弦函数，二倍角的正弦，二倍角的余弦，考查学生计算能力是基础题．24．（2007?广州一模）已知，，求tanθ和cos2θ的值．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由sinθ的值及θ的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而求出tanθ的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos2θ的值．解答：解：∵sinθ=，θ∈（0，），∴cosθ===，∴tanθ==，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．25．（2007?广州一模）已知tanθ=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：（Ⅰ）所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，将tanθ的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）由tanθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos2θ的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，将cos2θ的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵tanθ=2，∴tan（+θ）===﹣3；（Ⅱ）∵tanθ=2，∴=2，即sinθ=2cosθ，∴sin2θ=4cos2θ，∴1﹣cos2θ=4cos2θ，即cos2θ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．26．（2006?西城区一模）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．考点：两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由同角三角关系式得到，进而得到的值；（Ⅱ）利用二倍角公式将原式化简即可．解答：解：（Ⅰ）因为所以…（2分）所以，…（5分）（Ⅱ）=…（9分）=…（11分）=…（13分）点评：本题主要考查而来三角函数的化简求值，同角三角函数基本关系以及二倍角公式的应用．解题的关键是灵活利用三角函数中的平方关系．27．（2003?东城区二模）已知，求tg2x的值．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用二倍角的正弦与余弦公式可将已知转化为2sin2x（2cosx﹣1）（cosx+1）=0，利用条件x∈（0，）可求得x，从而可求tg2x的值．解答：解：根据倍角公式sin2x=2sinxcosx，cos2x=1﹣2sin2x得：4sin2xcos2x+2sin2xcosx﹣2sin2x=02sin2x（2cos2x+cosx﹣1）=0（4分）2sin2x（2cosx﹣1）（cosx+1）=0（7分）∵x∈（0，），∴cosx+1≠0，sin2x≠0，∴2cosx﹣1=0，即cosx=（11分）∴x=（12分）∴tan2x=tan=﹣（13分）点评：抱团考查二倍角的正弦与余弦，考查同角三角函数间的基本关系，考查因式分解，属于中档题．28．已知，求：（1）的值；（2）的值．考点： 同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题．分析： （1）利用两角和的正切公式，直接求出表达式的值．（2）分子、分母同除cos α，化为tan α的表达式，然后代入求值即可．解答：解：（1）…（5分）（2）由已知，∴…（10分）点评： 本题是基础题，考查三角函数的公式的应用，考查齐次式的应用，考查计算能力． 29．已知，求下列各式的值：（1）tan α； （2）．考点： 同角三角函数间的基本关系． 专题： 三角函数的求值．分析： （1）已知等式变形即可求出tan α的值；（2）原式分子分母除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan α的值代入计算即可求出值．解答： 解：（1）∵=3，∴tan α+1=3（tan α﹣1）=3tan α﹣3，整理得：tan α=2； （2）∵tan α=2， ∴原式===．点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．30．（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知α为第二象限角，化简cos α+sin α．考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）根号下利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用二次根式的化简公式化简，约分即可得到结果； （Ⅱ）根号中的式子分子分母乘以分子，利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式计算，约分后计算即可得到结果．解解：（Ⅰ）∵0＜20°＜45°，答：∴cos20°＞0，sin20°﹣cos20°＜0，则原式====﹣1；（Ⅱ）∵α为第二象限角，∴cosα＜0，sinα＞0，则原式=cosα+sinα=cosα+sinα=cosα+sinα=﹣1+sinα+1﹣cosα=sinα﹣cosα．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．点评：。
高三模拟数学试题审批稿
高三模拟数学试题 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】2013年普通高考理科数学仿真试题本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.函数12y x =-的定义域为集合A ，函数()121y n x =+的定义域为集合B ，则A B ⋂=A.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2.已知a R ∈，则“a ＞2”j “112a ＜”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量()()1,,1,2a n b n ==--，若a 与b 共线，则n 等于 A.24.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于B.20πC.25πD.100π5.若方程()()()211,1n x k k k Z x+=+∈的根在区间上，则k 的值为或2或16.在等差数列{}10121S S 2013,=1210n n a a n S =，中，其前项和为若—2-，则2013S 的值等于 A. -2012B.2013D. -20137.正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为 A.20πB.25πC.100πD.200π8.已知50,,3,0,x y x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩满足则24z x y =+的最小值为B.5- D.6-9.如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数和2y x =图象下方的点构成的区域，在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为A.15B.14C.13D.1210.设()6212f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是展开式的中间项，若()f x mx ≤在区间2,22⎡⎤⎢⎥⎣上恒成立，则实数m 的取值范围是 A.(),5-∞B.(],5-∞C.()5,+∞D.[)5,+∞11.已知双曲线()22122:10,x y C a b a b-=＞＞0的离心率为2，若抛物线()222C x py p =：＞0的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A.23x y =B.23x y = C.28x y =D.216x y =12.已知函数()()21,2,03,,1x x f x x a x x ⎧-⎪=-=⎨≥⎪-⎩＜若方程f 有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 A.()0,3B.()0,2C.()0,1D.()1,3第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z=_________. 14.已知a,b,c 分别是ABC ∆的三个内角A,B,C所对的边，若11,2a b B ===，则sin =A ________. 15.已知如下等式:()22134=347--， ()223313344=347-⨯+-,()3224413343443=347-⨯+⨯-⨯-,()42223455133434344=347-⨯+⨯-⨯+-，则由上述等式可归纳得到12233434n n n ---⨯+⨯-…+()14nn -=_______()*n N ∈ 16.下列说法：①“,23x x R ∃∈使＞”的否定是“x R ∀∈，使23x ≤”； ②把函数sin 2y x =图象上所有点向右平移3π个单位得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象③命题“函数()0f x x x =在处有极值，则()00f x '=”的否命题是真命题； ④()()()00f x -∞⋃+∞是，，上的奇函数，0x ＞时的解析式是()2,0x f x x =则＜时的解析式为()2x f x =-.其中所有正确的说法的序号是_______. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图所示.（I ）求()f x 的最小正周期及解析式；（II ）设()()cos2g x f x x =-，求函数()02g x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在区间，上的值域.18.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为11,,,2n n n S a a S 首项为且，成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若21,2nbn n n n b a c a ⎛⎫== ⎪⎝⎭设，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm ）.跳高成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队. （I ）求甲队队员跳高成绩的中位数；（II ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？（III ）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会20.（本小题满分12分）已知在四棱锥PAB P ABCD -中，侧面⊥底面ABCD ，O 为AB 中点，//,AD BC AB ⊥BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3. （I ）求证：CD ⊥平面POC ；（II ）求二面角O －PD ——C 的余弦值．21.（本小题满分12分）点A 为圆O ：224x y +=上一动点，AB ⊥x 轴于B 点，记线段AB 的中点D 的运动轨迹为曲线C 。
高中数学试卷讲评课教案
高中数学试卷讲评课教案
一、试卷内容概览
本次试卷包含了选择题、填空题、计算题和证明题，涵盖了高中数学常见的知识点和题型。
试卷难度适中，具有较好的代表性。
二、选择题部分
1. 选择题部分为单项选择题，考察学生对知识点的掌握程度和解题能力。
其中，要注意设
计一些较为复杂的题目，考察学生的综合运用能力。
三、填空题部分
2. 填空题部分主要考察学生对概念的理解和运用能力。
设计一些细节问题，可以帮助学生
巩固知识点。
四、计算题部分
3. 计算题部分为运算题，考察学生的计算能力和应用能力。
可以设计一些实际问题，增加
题目的趣味性和实用性。
五、证明题部分
4. 证明题部分考察学生的推理和证明能力。
设计一些具有一定难度的证明题，可以激发学
生的思维和创造力。
六、试卷讲评
5. 在试卷讲评中，要重点介绍选择题和证明题的解题思路和方法。
可以通过举例讲解，帮
助学生理解和掌握解题技巧。
七、课后作业
6. 课后作业可以是一些拓展题，让学生进一步巩固和拓展知识。
也可以设计一些应用题，
让学生将所学知识应用到实际问题中。
通过设计合理的试卷和讲评教案，可以有效提高学生的学习兴趣和学习效果，帮助他们更
好地掌握数学知识，提高解题能力。
【结束】。
届高三理科数学测试题审批稿
9、数列 的前 项和为 ，且 ，则 的通项公式 _____．
10、由曲线 所围成图形的面积是________。
11、已知实数x，y满足 ，若 ，则 的最大值为_______.
12、使得 .
13、把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行、从左往右数第 个数，如 ．若 ，则 ．
∴ ．∴ …………9分
又∵f（x）=m?n＝2 ，∴f（A）=2
故f（A）的取值范围是（2,3）…………12分
17．（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为 ,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
届高三理科数学测试题
2014届高三测试题
数学（理科）
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、 为虚数单位，若 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
2、已知集合 ， ，则 的充要条件是
A. B. C. D.
3、已知 ，那么下列不等式成立的是( )
（1）求证：平面A DE⊥平面A AE；
（2）求异面直线A E、CD所成的角；
（3）设△A DE的重心为G，问是否存在实数 ，
使得 = ，且MG⊥平面A ED同时成立？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
解：如图建立空间直角坐标系，则
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 ,求 的概率;
数学算术练习题及讲解推荐高中
数学算术练习题及讲解推荐高中## 数学算术练习题及讲解推荐高中### 引言数学是高中阶段学生必须掌握的一门基础学科，而算术则是数学学习中不可或缺的一部分。
算术练习题能够帮助学生巩固基础知识，提高解题技巧。
本文将推荐一些适合高中生的数学算术练习题，并提供相应的解题思路和方法。
### 一、基础算术练习题题目1：计算下列表达式的值：(1) \( 2^3 + 5 \times 2^2 \)(2) \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \)解题思路：(1) 首先计算幂次方，然后进行乘法和加法运算。
(2) 除法可以转换为乘法，即将除数取倒数后进行乘法运算。
答案：(1) \( 8 + 20 = 28 \)(2) \( \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2} \)题目2：简化下列分数：(1) \( \frac{2x^2 + 4x}{x} \)(2) \( \frac{3x^2 - 9x}{3x} \)解题思路：(1) 对分子进行因式分解，提取公因式 \( x \)。
(2) 同样提取公因式 \( 3x \) 并简化。
答案：(1) \( 2x + 4 \)(2) \( x - 3 \)### 二、进阶算术练习题题目3：解下列方程：(1) \( 3x + 2 = 11 \)(2) \( 5x - 3 = 2x + 14 \)解题思路：(1) 将方程中的常数项移至等号的一侧，然后解出 \( x \)。
(2) 将含 \( x \) 的项移至等号的一侧，解出 \( x \)。
答案：(1) \( 3x = 9 \)，\( x = 3 \)(2) \( 3x = 17 \)，\( x = \frac{17}{3} \)题目4：计算下列表达式的值：(1) \( \sqrt{25} + \sqrt{144} \)(2) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} \)解题思路：(1) 计算每个根号内的值，然后进行加法运算。
河北省衡水中学2016届高三上学期六调考试数学(文)试题 Word版含答案
2015-2016学年度上学期高三年级六调考试文数试卷命题人:吴树勋本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共60分）―、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1.已知全集U=R ，集合A={x|x 2－2x －3>0}，B={x|2＜x ＜4}，那么集合（C U A) B=( )A. {x|－l ≤x ≤4}B. {x|2＜X ≤3}C. {x|2≤x ＜3}D.{x|－l ＜x ＜4}2.若复数z=l-i ，i 为虚数单位，则2zz- ( ) A. －I B. i C. －1 D.1 3.函数 y =2cos 2(x －4π)－1 是 A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π 的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 4.下列四个命题中，真命题的个数是（ ）①“x=1”是“x 2－3x ＋2 = 0”的充分不必要条件②命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,sin x R x ∃∈>1”③命题p ：[)1,,x ∀∈+∞ lgx ≥0，命题2000:,10,q x R x x ∃∈++< p ∨q 为真命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.已知z=2x+y ；，其中实数x 、y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是A. 211B. 14C.4D.1126. 6在 ABC 中，点D 满足BD =34BC ,当E 点在线段AD 上移动时，若AE = AB λ +AC μ，则t=22(1)λμ-+的最小值是C 910 D 4187已知椭圆22221(x y a b a b +=>>0))的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点 (2a c ，0)的直线与椭圆相交于A ，B 两点, 且与其中一条渐近线垂直，若AF =4 FB则该双曲线的离心率是，5D. 58.如图，在直四棱柱ABCD — A 1B 1C 1D 1,中，底面ABCD 为正方形，AA 1= 2AB,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 （） A. 15 B 25 C, 35 D. 459. 设Sn 是等比数列{}n a 的前n 项和，S m-1 =45 ，S m=93 S m+1=189，，则m ＝（） A. 6 B5 C4 D310.已知函数f （x ）＝222,0423,46x x x x -⎧--≤⎪⎨-≤≤⎪⎩< 若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜4≤x 2≤ 6时，f （x 1）＝f （x 2），则x 1. f （x 2）的取值范围是A [)0,1B []1,4C []1,6D []0,1[]3,811.已知F 1,F 2是椭圆C: 225X ＋29Y = 1的左，右焦点，点P 在椭圆C 上，且到左焦点F 1的距离为6，过F 1做12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为 （ ） A. 1 B. 2 C.3 D.412. 关于曲线C ：23x +23y =1,给出下四个列命题：① 曲线C 关于原点对称; ② 曲线C 有且仅有两条对称轴；③曲线C 的周长l 满足l ＞；④曲线C 上的点到原点距离的最小值为12，上述命题中，真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D.4第II 卷(非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的 2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_______.14.已知抛物线C:：y 2=2px(p ＞0)的准线为l ，过点M(1，0)l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM =MB则p 等于_________.15.巳知直线:x ＋y ＋l=0与曲线C:：y=:x 3－3px 2相交于点A ，B ，且曲线C 在A ，B 处的切线平行，则实数P 的值为______。
高三数学题解析审批稿
高三数学题解析YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】1. 某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.分析：利润=（零售价—进货单价）*销售量 故有：设利润为 y 元，零售价上涨x 元 y=（50+x-40）*（50-x ） （其中 0〈x 〈50） 即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元.2.已知三点P （5，2）、1F （-6，0）、2F （6，0） （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ，其半焦距6=c||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53， 93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； （II ）点P （5，2）、1F （-6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 3. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点， 焦点12,F F 在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 在直线l 上运动，求∠F 1PF 2的最大值．解：解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c =-=-()2222224a a a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴===221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ)()004,,0P y y -≠设00112212110021122120000121212350,22215tan.1152151515tan15arctan.y yPF k PF kF PF PF MF PFy yk kF PFk k y yy y F PF F PFF PFπ=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率为锐角。
高中数学试卷分析
高中数学试卷分析每次考试过后老师都会做一份试卷分析以总结学生在本次考试中的表现，方便查漏补缺，建立新的教学方法，下面是店铺为大家搜索整理的高中数学试卷分析范文，希望能给大家带来帮助!高中数学试卷分析篇1xx年普通高考山东数学卷，继承了以往山东试卷的特点。
试题在具有了连续性和稳定性的基础上，更具有了山东特色，适合山东中学教学实际，对山东省平稳推进素质教育起到很好的导向作用。
不仅如此，试卷还体现新课程改革中对情感、态度、价值观和探究能力考查的理念，丰富了数学试卷的内涵品质，在有利于高校选拔人才的同时，具备了一定的评价功能，同时还有利于课程改革的纵深推进。
试卷形式保持稳定，主要体现在大纲理念、试卷结构、题目数量以及题型等方面与20xx年基本相同，保证了试题年度间的连续稳定。
另外在全国20xx年全面推进新课程标准的大背景下，作为首批进入课程改革的实验省，20xx年的试卷在保持“稳定”的基调下，进一步加深对课程改革的渗透，既体现了知识运用的灵活性和创造性，又兼顾了试题的连续和谐与稳定发展。
一、遵循考试说明，注重基础试卷紧扣我省的考试说明，体现了新课程理念，贴近教学实际，从考生熟悉的基础知识入手，无论是必修内容，还是选修内容，许多试题都属于常规题。
部分题目“源于教材，高于教材”，做足教材文章。
如文、理科的选择、填空以及解答题的入手题（17）和（18）题，均侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，这对正确地引导中学数学教学都起到良好的促进作用。
二、考查全面，注重知识交汇点20xx年山东省高考数学文理两科试卷全面考查了《20xx年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》中要求的内容，具有较为合理的覆盖面。
集合、复数、常用逻辑、线性规划、向量、算法与框图、排列组合等内容在选择、填空题中得到了有效的考查；三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数、数列等主干知识在解答题中得到考查，构成试卷的主体内容。
江苏高考数学试卷审批稿
江苏高考数学试卷 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B= ．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．4．（5分）已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是．5．（5分）函数y=的定义域是．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．8．（5分）已知{an }是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S 5=10，则a9的值是．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，?=4，?=﹣1，则?的值是．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC 中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB 的长； （2）求cos （A ﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1．求证： （1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1（如图所示），并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍． （1）若AB=6m ，PO 1=2m ，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f （2x ）≥mf （x ）﹣6恒成立，求实数m 的最大值；（2）若0＜a ＜1，b ＞1，函数g （x ）=f （x ）﹣2有且只有1个零点，求ab 的值．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n }（n ∈N *）和U 的子集T ，若T=?，定义S T =0；若T={t 1，t 2，…，t k }，定义S T =++…+．例如：T={1，3，66}时，S T =a 1+a 3+a 66．现设{a n }（n∈N *）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T =30． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）对任意正整数k （1≤k ≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：S T ＜a k+1；（3）设C?U ，D?U ，S C ≥S D ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．附加题【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．【选修4—1几何证明选讲】 21．（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD ．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2016?江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B= {﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}2．（5分）（2016?江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是 5 ．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．3．（5分）（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．4．（5分）（2016?江苏）已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是．【分析】先求出数据，，，，的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据，，，，的平均数为：=（++++）=，∴该组数据的方差：S2=[（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2]=．故答案为：．5．（5分）（2016?江苏）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]6．（5分）（2016?江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9 ．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：97．（5分）（2016?江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．8．（5分）（2016?江苏）已知{an }是等差数列，Sn是其前n项和，若a 1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20 ．【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 9的值．【解答】解：∵{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1+a 22=﹣3，S 5=10，∴，解得a 1=﹣4，d=3， ∴a 9=﹣4+8×3=20． 故答案为：20．9．（5分）（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 7 ．【分析】画出函数y=sin2x 与y=cosx 在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x 与y=cosx 在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．10．（5分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得kBF ?kCF=﹣1，即有?=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，故答案为：．11．（5分）（2016?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a 值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣12．（5分）（2016?江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，13] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．13．（5分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，?=4，?=﹣1，则?的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴?=2﹣2=﹣1，?=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴?=42﹣2=，故答案为：14．（5分）（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8 ．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A 为三角形的内角， ∴sinA=，∴cos （A ﹣）=cosA+sinA=．16．（14分）（2016?江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1．求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．【分析】（1）通过证明DE ∥AC ，进而DE ∥A 1C 1，据此可得直线DE ∥平面A 1C 1F 1；（2）通过证明A 1F ⊥DE 结合题目已知条件A 1F ⊥B 1D ，进而可得平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．【解答】解：（1）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AC ，∵ABC ﹣A 1B 1C 1为棱柱， ∴AC ∥A 1C 1， ∴DE ∥A 1C 1，∵A 1C 1?平面A 1C 1F ，且DE?平面A 1C 1F ， ∴DE ∥A 1C 1F ；（2）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直棱柱， ∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥A 1C 1，又∵A 1C 1⊥A 1B 1，且AA 1∩A 1B 1=A 1，AA 1、A 1B 1?平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵DE ∥A 1C 1， ∴DE ⊥平面AA 1B 1B ，又∵A 1F?平面AA 1B 1B ， ∴DE ⊥A 1F ，又∵A 1F ⊥B 1D ，DE ∩B 1D=D ，且DE 、B 1D?平面B 1DE ， ∴A 1F ⊥平面B 1DE ， 又∵A 1F?平面A 1C 1F ， ∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．17．（14分）（2016?江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1（如图所示），并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．（1）若AB=6m ，PO 1=2m ，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，可得PO 1=2m 时，O 1O=8m ，进而可得仓库的容积； （2）设PO 1=xm ，则O 1O=4xm ，A 1O 1=m ，A 1B 1=?m ，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO 1=2m ，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍． ∴O 1O=8m ，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m 3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ， 设PO 1=xm ， 则O 1O=4xm ，A 1O 1=m ，A 1B 1=?m ， 则仓库的容积V=×（?）2?x+（?）2?4x=x 3+312x ，（0＜x ＜6），∴V′=﹣26x 2+312，（0＜x ＜6）， 当0＜x ＜2时，V′＞0，V （x ）单调递增；当2＜x ＜6时，V′＜0，V （x ）单调递减；故当x=2时，V （x ）取最大值；即当PO=2m时，仓库的容积最大．118．（16分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M 为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距OA离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．=2，设l：y=2x+b，（2）由题意得OA=2，kOA则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．19．（16分）（2016?江苏）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m 的最大值为：4．（2）g （x ）=f （x ）﹣2=a x+b x﹣2， g′（x ）=a x lna+b x lnb=a x [+]lnb ，0＜a ＜1，b ＞1可得，令h （x ）=+，则h （x ）是递增函数，而，lna ＜0，lnb ＞0，因此，x 0=时，h （x 0）=0，因此x ∈（﹣∞，x 0）时，h （x ）＜0，a x lnb ＞0，则g′（x ）＜0． x ∈（x 0，+∞）时，h （x ）＞0，a x lnb ＞0，则g′（x ）＞0，则g （x ）在（﹣∞，x 0）递减，（x 0，+∞）递增，因此g （x ）的最小值为：g （x 0）．①若g （x 0）＜0，x ＜log a 2时，a x ＞=2，b x ＞0，则g （x ）＞0，因此x 1＜log a 2，且x 1＜x 0时，g （x 1）＞0，因此g （x ）在（x 1，x 0）有零点，则g （x ）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g （x 0）＞0，函数g （x ）=f （x ）﹣2有且只有1个零点，g （x ）的最小值为g （x 0），可得g （x 0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．20．（16分）（2016?江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定义ST =0；若T={t1，t2，…，tk}，定义S T =++…+．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；（3）设C?U，D?U，SC ≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．【分析】（1）根据题意，由ST 的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由ST 的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=?C （C ∩D ），B=?D （C ∩D ），则A ∩B=?，进而分析可以将原命题转化为证明S C ≥2S B ，分2种情况进行讨论：①、若B=?，②、若B ≠?，可以证明得到S A ≥2S B ，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30， 因此a 2=3，从而a 1==1，故a n =3n ﹣1，（2）S T ≤a 1+a 2+…a k =1+3+32+…+3k ﹣1=＜3k =a k+1，（3）设A=?C （C ∩D ），B=?D （C ∩D ），则A ∩B=?， 分析可得S C =S A +S C ∩D ，S D =S B +S C ∩D ，则S C +S C ∩D ﹣2S D =S A ﹣2S B ， 因此原命题的等价于证明S C ≥2S B ， 由条件S C ≥S D ，可得S A ≥S B ， ①、若B=?，则S B =0，故S A ≥2S B ，②、若B ≠?，由S A ≥S B 可得A ≠?，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ，若m ≥l+1，则其与S A ＜a i+1≤a m ≤S B 相矛盾， 因为A ∩B=?，所以l ≠m ，则l ≥m+1，S B ≤a 1+a 2+…a m =1+3+32+…+3m ﹣1=≤=，即S A ≥2S B ，综上所述，S A ≥2S B ， 故S C +S C ∩D ≥2S D ．附加题【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．【选修4—1几何证明选讲】 21．（10分）（2016?江苏）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD ．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C ，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C ，从而可证得结论． 【解答】解：由BD ⊥AC 可得∠BDC =90°， 因为E 为BC 的中点，所以DE=CE=BC ，则：∠EDC=∠C ，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）（2016?江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．24．（2016?江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．附加题【必做题】25．（10分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解kPQ，通过P，Q关于直线l对称，点的kPQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，kPQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ =﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．26．（10分）（2016?江苏）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C +…+nC+（n+1）C=（m+1）C．。
高三数学第六次阶段考试题 理含解析 试题
实验中学2021届高三数学第六次阶段考试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本套试卷分第一卷和第二卷两局部.本套试卷满分是150分，考试时间是是120分钟.试卷Ⅰ一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合{|124}x P x =≤<，{1,2,3}Q =，那么P Q =〔 〕A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}【答案】A 【解析】集合{}02P x x =≤<,那么P Q ⋂＝{}1,应选A.点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.此题利用了指数函数的单调性求解不等式.在求交集时注意区间端点的取舍. 纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =-+的最大值是〔 〕A. -1B. -2C. -5D. 1【答案】A 【解析】由不等式组表示的平面区域如图阴影局部，当直线y=2x+z 经过A 时使得z 最大，由1y y x =⎧⎨=⎩得到A 〔1，1〕，所以z 的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故答案为：A．3.执行如下图的程序框图，那么输出S 〔〕A. 26B. 57C. 120D. 247【答案】B【解析】试题分析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：应选B.考点：程序框图.【方法点睛】根据流程图〔或者伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，难度不大；分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量的值，并输出时，变量的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进展分析，不难得到输出结果.,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，那么“l m ⊥〞是“//l α〞的〔 〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】假设l m ⊥，因为m 垂直于平面α，那么//l α或者l α⊂；假设//l α，又m 垂直于平面α，那么l m ⊥，所以“l m ⊥〞是“//l α的必要不充分条件，应选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】5.〔10〕设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=〔a ＞0，b ＞0〕的焦点，假设在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F 7a ,那么该双曲线的渐近线方程为 33 2y ="0" 2x ±y=0【答案】D 【解析】不妨设12(,0),(,0)F c F c -，那么11221222OF F P OF F P F P F POP ++++==因为1260F PF ∠=，所以121212cos602F P F PF P F P F P F P ⋅⋅=⋅=，22212121212||||1cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅ 所以2221212||4PF PF PF PF c +=⋅+因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=那么2222212121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅= 所以221244PF PF c a ⋅=-，故122212222F P F PF P F P c a ⋅⋅==-222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-因为OP =，所以1272F P F POP +==故22121212||274F P F P F P F Pa ++⋅=，即222327c a a -=故22237b a a +=，解得b =所以双曲线的渐近线方程为0x a ±=0y ±=，应选D 【此处有视频，请去附件查看】6.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，那么有〔 〕A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案.【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选A.【点睛】此题考察利用函数的单调性、奇偶性比拟函数值的大小，考察利用知识解决问题的才能.7.函数sin()(0,0,)2y A x b A πωϕωϕ=++>><的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为,318π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,09π⎛⎫⎪⎝⎭，那么函数()f x 的单调增区间为〔 〕 A. 222,3939k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ B. 242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ C. 227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ D. 252,+318318k k ππππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出()f x 的解析式，利用三角函数的性质得出其单调增区间可得答案. 【详解】解：由题意得：对称中心为2,09π⎛⎫⎪⎝⎭，可得b=0，图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为,318π⎛⎫⎪⎝⎭，2,09π⎛⎫⎪⎝⎭， 124918T ππ∴=-可得23T π=，23Tπω∴==，3A ∴=， 可得3sin(3)y x ϕ=+将2,09π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得2sin 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得2,3k k Z ϕππ+=∈，且2πϕ<， 3πϕ∴=，可得()3sin 3+3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令23++2,232k x k k Z πππππ-+≤≤+∈，可得252+318318k x k ππππ-≤≤， 应选D.【点睛】此题主要考察三角函数的单调性及sin()y A x ωϕ=+的性质，得出函数的解析式是解题的关键.8.定义在(1,)+∞上的函数()f x 满足以下两个条件：〔1〕对任意的(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；〔2〕当(1,2]x ∈时，()2f x x =-；记函数()()(1)g x f x k x =--，假设函数()g x 恰有两个零点，那么实数k 的取值范围是〔 〕 A. [1,2) B. 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件可得()f x 的解析式，又y=(1)k x -的函数图像过点〔1，0〕点直线，结合函数的图像，根据题意可得参数的范围.【详解】解：因为(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立，所以*(2)2()()k k f x f x k N =∈.所以当1*22()k k x k N +<≤∈时，有122k x<≤，从而 ()22k kxf x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭222k kx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12k x +=-.画出()f x 的图象如下图.从图中可以看出，要使()g x 有两个零点，只要函数(1)y k x =-的图象与()y f x =的图象有两个交点，当函数(1)y k x =-的图象经过点(4,4)时，这时43k =，函数()g x 恰有两个零点，当函数(1)y k x =-的图象经过点(2,2)时，2k =，函数()g x 只有一个零点，当43k <时，或者2k >时，都不符合题意，故实数k 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】此题主要考察函数零点的断定定理，解決此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学是解决数学问题的必备的解题工具，属于根底题.试卷Ⅱ二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在题中横线上. 9.假设复数z 满足3iz i =〔i 为虚数单位〕，那么z =______. 【答案】2 【解析】 由题意可得：3iz -=， 那么：33221i iz ii--====.10.正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，那么这个球的外表积是______. 【答案】2a π【解析】 【分析】由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的外表积.【详解】解：根据正方体的外表积可以求得正方体的边长为l=体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径r==，可得外接球外表积为242aS rππ==，故答案：2aπ.【点睛】此题主要考察空间几何体的外表积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键.xOy中，直线l的参数方程是112xy t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cosρθ=-，那么圆C的圆心到直线l的间隔为______.【答案】12．【解析】直线l的参数方程为12{12xy t=-+=〔t为参数〕，普通方程为x，圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x2+y2+4x=0，即〔x+2〕2+y2=4，表示以〔﹣2，0〕为圆心，半径等于2的圆．∴圆C的圆心到直线l的间隔=12，故答案为：12．12.假设0a>，0b>，且11121a b b=+++，那么2+a b的最小值为______.【答案】2312+ 【解析】试题分析：由11121a b b =+++可得，即，所以〔当且仅当时取等号〕，即2+a b 的最小值为.考点：根本不等式及灵敏运用.11121a b b =+++进展合理变形得到，再根据该等式中变量的关系，解出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用根本不等式使其获解.这里要强调的是 “一正、二定、三相等〞是根本不等式的运用情境，也是学会运用根本不等式的精华，这是运用好根本不等式的关键之所在.13.A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，5233OC OA OB =-.假设M 是线段AB 的中点，那么OC OM ⋅的值是__. 【答案】3 【解析】 【分析】 易得1OM (OA OB)2=+，可得152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭，结合A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，计算可得答案.【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 那么11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，1212,22x x y y OM ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以1212525252,,333333OC OA OB x x y y ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 由2AB =，得()()2221214x x y y -+-=， ① 又A ，B 在圆O 上，所以22114x y +=，22224x y +=， ② 联立①②得12122x x y y +=， 所以121212125252,,333322x x y y OC OM x x y y ++⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简并整理，得()()()222211221212511632x y x y x x y y +-+++ 511442632=⨯-⨯+⨯ 3=.优解由条件易知OAB ∆为正三角形. 又由M 为AB 的中点， 那么1OM (OA OB)2=+， 所以152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22152||||233OA OA OB OB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭3=.【点睛】此题主要考察平面向量的应用及平面向量数量积运算，由得出1OM (OA OB)2=+代入计算是解题的关键.14.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数一共有______. 【答案】324 【解析】分两大类：(1)四位数中假如有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时一共有C 32A 33C 41＋C 32A 33C 41＝144(种)．(2)四位数中假如没0，这时后三位可以全是偶数，或者两奇一偶．此时一共有A 33C 31＋C 32C 31A 33C 31＝180(种)．故符合题意的四位数一共有144＋180＝324(种)． 【此处有视频，请去附件查看】三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.函数21()2cos 2f x x x =--. 〔1〕求()f x 的最小正周期；〔2〕设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =()0f C =，假设sin 2sin B A =，求a ，b 的值.【答案】〔1〕函数()f x 的最小正周期为π.〔2〕1a =，2b = 【解析】 【分析】〔1〕将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出()f x 的最小正周期; 〔2〕由()0f C =可得C 的范围,可得C 的值，由sin 2sin B A =，由正弦定理得2ba=，由余弦定理可得223a b ab +-=，联立可得a 、b 的值.【详解】〔1〕21()2cos 2f x x x =--1cos 21sin 2222x x +=--12cos 2122x x =-- sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期为π. 〔2〕由()0f C =，得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，3C π=，又sin 2sin B A =，由正弦定理得2ba=. ①由余弦定理，得2222cos3ca b ab π=+-，即223a b ab +-=. ② 由①②解得1a =，2b =.【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，纯熟掌握定理及公式是解此题的关键.16. 〔10分〕盒中一共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全一样. 〔1〕从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色一样的概率；〔2〕从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X .【答案】〔1〕518；〔2〕20()9E X =. 【解析】试题分析：〔1〕先求出取2个球的所有可能，再求出颜色一样的所有可能，最后利用概率公式计算即可；〔2〕先判断X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．试题解析：解：224329163153618C C P C ++++=== 〔2〕X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()198********1261269E x ++===考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.古典概型及其概率计算公式． 【此处有视频，请去附件查看】17.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AB AD ⊥，AB PA ⊥，224BC AB AD BE ===，平面PAB ⊥平面ABCD .〔1〕求证：平面PED ⊥平面PAC ；〔2〕假设直线PE 与平面PAC 5，求二面角A PC D --的平面角的余弦值. 【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕155【解析】试题分析：〔1〕证明面面垂直的根本思路，是在其中一个面内，找一条直线垂直于另一个平面内两条相交直线，此题只需证明ED⊥PA，ED⊥AC 即可；〔2〕重点是找二面角的平面角，即在两个面内分别找垂直于交线的直线，然后构造三角形求解。
届高三理科数学肇庆一模试卷审批稿
届高三理科数学肇庆一模试卷YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】肇庆市中小学教学质量评估 2015届高中毕业班第一次统一检测题数 学（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.球的表面积公式24R S π=，其中R 为球的半径.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合M ={1，3，5}，则=M C UA ．?B ．{1，3，5}C ．{2，4，6}D ．{1，2，3，4，5，6}2．设条件p ：0≥a ；条件q ：02≥+a a ，那么p 是q 的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．=+-ii131 A ．i 21+ B ．i 21+- C ．i 21- D ．i 21--4．设c b a ,,是非零向量，已知命题p ：若0=⋅，0=⋅，则0=⋅；命题q ：若b a //，c b //，则c a //. 则下列命题中真命题是A ．q p ∧B ．q p ∨C ．()(p ⌝∧⌝D ．)(q p ⌝∨5．执行如图所示的程序框图输出的结果是 A ．55 B ．65 C ．78 D ．896．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何 体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π37．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且绿色卡片至多1张. 不同取法的种数为A ．484B ．472C ．252D ．2328．设，为非零向量，||2||a b =，两组向量4321,,,x x x x 和4321,,,y y y y 均由2个a 和2个b排列而成. 若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为2||4，则a 与b 的夹角为侧视图俯视A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9．已知)2,1(=，),4(k =，若b a ⊥，则=k ▲ .10．若复数i a a a )2()23(2-++-是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ .11．6)2(-x 的展开式中2x 的系数为 ▲ .12．不等式5|1||2|≤++-x x 为 ▲ .13．若0>a ，0>b ，且ab ba =+11，则33b a +的最小值为 ▲ .14．（几何证明选讲）如图，点P 为圆O 的弦AB 上的一点，连接PO ，过点P 作PC ?OP ，且PC 交圆O 于C . 若AP =4，PC =2，则PB = ▲ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：（1）求小李这5天的平均投篮命中率；（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率.16．（本小题满分12分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC ，6=PA ，22=PC ，10=PB ，E 是PC 的中点，F.（1）求证：EF17．（本小题满分14分）布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）估计日销售量的众数； （2）求在未来连续3天里，有连续2日销售量都不低于100个且另1天的日销售于50个的概率；（3）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列， 期望E （X ）及方差D （X ）. 18．（本小题满分14分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台. 已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：PAB个问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）19．（本小题满分14分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 1AB A C 1-A DC A --120．（本小题满分14分）设a 为常数，且1<a .（1）解关于x 的不等式1)1(2>--x a a ；（2）解关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤≤>++-1006)1(322x a x a x .肇庆市2015届高中毕业班第一次统测 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题ABCDEA 1B 1C 1D 1二、填空题9．-2 10．1 11．240 12．[-2，3] 13．24 14．1 三、解答题15．（本小题满分12分）证明：（1）小李这5天的平均投篮命中率为5.054.06.06.05.04.0=++++=y .（4分）（2）小李这5天打篮球的平均时间3554321=++++=x （小时） （5分）01.0210)1()2()1.0(21.011.000)1()1.0()2()())((ˆ22222121=+++-+--⨯+⨯+⨯+⨯-+-⨯-=---=∑∑==ni ini i ix xy y x xb（7分）47.0301.05.0ˆˆ=⨯-=-=x b y a（9分） 所以47.001.0ˆˆˆ+=+=x a x b y（10分） 当x =6时，53.0ˆ=y，故预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为. （12分）16．（本小题满分12分）证明：（1）在?PBC 中，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点，所以EF （1分） 又BC ?平面ABC ，EF ?平面ABC ，所以EF （3分） （2）因为AB 是⊙O 的直径，所以BC ?AC . （4分）PAB在Rt ?ABC 中，AB =2，AC =BC ，所以2==BC AC . （5分） 因为在?PCB 中，10=PB ，22=PC ，2=BC ， 所以222BC PC PB +=，所以BC ?PC . （6分） 又PC ∩AC =C ，所以BC ?平面PAC . （7分） 由（1）知EF （8分）（3）解：由（2）知BC ?平面PAC ，PA ?平面PAC ，所以PA ?BC . （9分） 因为在?PAC 中，22=PC ，6=PA ，2=AC ， 所以222AC PA PC +=，所以PA ?AC . （10分） 又AC ∩BC =C ，所以PA ?平面ABC .所以?PCA 为PC 与平面ABC 所成角. （11分） 在Rt PAC 中，3tan ==∠AC PA PAC ，所以?PCA =3π，即PC 与平面ABC 所成角的大小为3π. （12分）17．（本小题满分14分）解：（1）依据日销售量的频率分布直方图可得众数为1252150100=+. （3分） （2）记事件A 1：“日销售量不低于100个”， 事件A 2：“日销售量低于50个”，事件B ：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.则6.050)002.0004.0006.0()(1=⨯++=A P ， （4分）15.050003.0)(2=⨯=A P ， （5分）108.0215.06.06.0)(=⨯⨯⨯=B P . （7分）（3）X 的可能取值为0，1，2，3.064.0)6.01()0(303=-==C X P ， （8分）288.0)6.01(6.0)1(213=-⨯⨯==C X P ， （9分）432.0)6.01(6.0)2(223=-⨯⨯==C X P ， （10分）216.06.0)3(333=⨯==C X P ， （11分）分布列为因为X ?B （3，），所以期望8.16.03)(=⨯=X E ， （12分） 方差72.0)6.01(6.03)(=-⨯⨯=X D . （14分）18．（本小题满分14分）解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱y x --120台，产值为z 千元，则依题意得2402)120(234++=--++=y x y x y x z ， （4分）且x ，y 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥--≤--++.0,0,20120,40)120(413121y x y x y x y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,100,1203y x y x y x （8分）可行域如图所示. （10分）解方程组⎩⎨⎧=+=+,100,1203y x y x 得⎩⎨⎧==.90,10y x 即M （10，90）.（11分）让目标函数表示的直线z y x =++2402在可行域上平移， 可得2402++=y x z 在M （10，90）处取得最大值，且35024090102max =++⨯=z （千元）. （13分）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元. （14分）19．（本小题满分14分）（1）证明：因为1//AA BE ，D AA AA 11平面⊂，D AA BE 1平面⊄，所以D AA BE 1//平面. （1分）因为AD BC //，D AA AD 1平面⊂，D AA BC 1平面⊄，所以D AA BC 1//平面. （2分）又B BC BE = ，BCE BE 平面⊂，BCE BC 平面⊂，所以1//ADA BCE 平面平面. （3分）又EC BCE DCE A =平面平面 1，D A AD A DCE A 111=平面平面 ， 所以EC D A 16=ABCD S 梯形23121===∆∆ABCD ACD ABC S S S 梯形 （6分）所以38243131111=⨯⨯===∆--ABC ABC A AB A C AS A V V . （8分） （3）解法一：如图，在ADC ∆中，作CD AF ⊥于F ，连接F A 1. （9分） 因为A A 1?底面ABCD ，ABCD CD 底面⊂， 所以A A CD 1⊥.又A AF A A = 1，所以AF A CD 1面⊥.AD EA 1B 1C 1D 1FABCDEA 1B 1C 1D 1又AF A F A 11面⊂，所以F A CD 1⊥. （10分） 所以FA A 1∠为二面角A DC A --1的平面角. （11分） 由（2）得432==∆ABCD ACD S S 梯形，所以42==∆CD S AF ACD . （12分）所以1tan 11==∠AFAA FA A ， （13分） 所以41π=∠FA A ，即二面角A DC A --1的大小为4π. （14分） 解法二：如图，以D 为坐标原点，1,DD 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系.（9分） 设θ=∠CDA ，BC =a ，则AD =2a . 因为6sin 222=⋅+=θa a S ABCD 梯形，所以θsin 2=a .（10分）所以)0,sin 2,cos 2(θθC ，)4,0,sin 4(1θA ， 所以)0,sin 2,cos 2(θθ=DC ，)4,0,sin 4(1θ=DA . （11分）设平面DC A 1的一个法向量)1,,(y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DC x DA ，得⎩⎨⎧=-=θθcos sin y x ，所以)1,cos ,sin (θθ-=n .（12分）又平面ABCD 的一个法向量)01,0(=m ， （13分）所以22,cos =>=<m n ，所以二面角A DC A --1的大小为4π. （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）令012=--a a ，解得02511<-=a ，12512>+=a . （1分） ①当251-<a 时，解原不等式，得112-->a a x ，即其解集为}11|{2-->a a x x ；（2分） ②当251-=a 时，解原不等式，得无解，即其解集为? ； （3分） ③当1251<<-a 时，解原不等式，得112--<a a x ，即其解集为}11|{2--<a a x x . （4分）（2）依06)1(322>++-a x a x （*），令06)1(322=++-a x a x （**）， 可得)3)(13(348)1(92--=-+=∆a a a a . （5分）①当131<<a 时，0<∆，此时方程（**）无解，解不等式（*），得R x ∈，故原不等式组的解集为}10|{≤≤x x ； （6分） ②当31=a 时，0=∆， 此时方程（**）有两个相等的实根14)1(321=+==a x x ，解不等式（*），得1≠x ，故原不等式组的解集为}10|{<≤x x ； （7分）③当31<a 时，0>∆，此时方程（**）有两个不等的实根4)3)(13(3333---+=a a a x ，4)3)(13(3334--++=a a a x ，且43x x <，解不等式（*），得3x x <或4x x >.（8分）1431334)248()31(334)3)(13(33324=-++>-+-++=--++=aa a a a a a a x ，（9分）14334)3)(13(3333<+<---+=aa a a x ， （10分）且a a a a a a a a a x 24)53(33416)53(334)3)(13(333223=--+≥---+=---+=，（11分）所以当0>a ，可得03>x ；又当03>x ，可得0>a ，故003>⇔>a x ，（12分）所以ⅰ）当310<<a 时，原不等式组的解集为}4)3)(13(3330|{---+<≤a a a x x ；（13分）ⅱ）当0≤a 时，原不等式组的解集为? . （14分）综上，当0≤a 时，原不等式组的解集为? ；当310<<a 时，原不等式组的解集为}4)3)(13(3330|{---+<≤a a a x x ；当31=a 时，原不等式组的解集为}10|{<≤x x ；当131<<a 时，原不等式组的解集为}10|{≤≤x x .。