集合的表示方法
集合的三种表示法
集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。
例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。
图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。
一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。
3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。
集合之间的表示法
1.1.2 集合的表示法
例6 分别用列举法和描述法表示方程x²-9=0的解集. 解 解方程x²-9=0,得x1=-3, x2=3.故方程的解组成的集合 用列举法表示为 {-3，3} ， 用描述法表示为 {x|x=-3或 x=3} .
1.1.2 集合的表示法
解 (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合用列举法表示为 ｛《水浒传》,《三国演义》,《西游记》,《红楼梦》｝ (2)大于-3且小于10的所有偶数为-2,0,2,4,6,8它们组成的 集合用列举法表示为{-2,0,2,4,6,8}.
1.1.2 集合的表示法
比3大的实数组成的集合能用列举法表示出来么？
小于6的正整数组成集合如何用列举法表示？ 四大发明组成的集合如何用列举法表示？ 太阳系八大行星组成的集合如何用列举法表示？ 由 “study”和“student”中的字母组成的集合如何用列举法表示？ 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合么？
1.1.2 集合的表示法
例3 用列举法表示下列集合. (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合； (2) 大于-3且小于10的所有偶数组成的集合．
有些集合只能用列举法或描述法 表示,有些集合两种方法都适用,要根 据需要具体问题进行具体分析.
1.1.2 集合的表示法
练习 1. 用列举法表示下列集合：
(1)大于-5且小于9的所有奇数组成的集合；
(2)方程x²-2x-3=0的解集. 解：（1）用列举法表示为 {-3，-1，1，3，5，7}
（2）用列举法表示为 {--1，3} 2. 用描述法表示下列集合．
1.1.2
集合的表示法
1.1.2 集合的表示法
小于6的正整数组成一个集合, 大于3的实 数也组成一个集合.那么, 除了用这种自然语言 表示集合, 还可以用数学语言表示集合呢？
集合的概念与表示方法
集合的概念与表示方法集合是数学中一个基本概念，它是将具有共同特征的对象组合在一起形成的整体。
在实际生活中，我们经常会接触到各种各样的集合，比如家庭成员的集合、学生的集合、数字的集合等等。
本文将介绍集合的概念以及常见的表示方法。
一、集合的概念集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号或者其他对象。
集合中的元素没有顺序之分，每个元素只能出现一次。
集合可以用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由数字1、2、3、4、5组成的集合。
集合的表示还可以使用描述法或特征法。
描述法是通过描述集合的元素属性或条件来表示集合。
例如，表示由奇数组成的集合可以写为{ x | x∈N, x是奇数 }，其中符号“|”表示“属于”，“∈”表示“是集合”的元素，N表示自然数集。
特征法是通过列举出集合的元素来表示集合。
例如，表示由元音字母组成的集合可以写为{ a, e, i, o, u }。
二、集合的表示方法在数学中，常见的集合表示方法包括列表法、描述法、数学公式表示法等。
1. 列表法列表法是一种简单直观的表示方法，在其中直接列举出集合的元素。
例如，表示所有人的集合可以写为{ 张三, 李四, 王五 }，表示由自然数组成的集合可以写为{ 1, 2, 3, ... }。
2. 描述法描述法是通过描述集合中元素的特征或满足的条件来表示集合。
例如，表示大于0且小于10的整数集合可以写为{ x | 0 < x < 10 }，表示由英文字母组成的集合可以写为{ x | x 是英文字母 }。
3. 数学公式表示法数学公式表示法是一种更具抽象性的表示方法，可以用数学符号和公式来表示集合。
例如，表示由数字1和2组成的集合可以写为{ x ∈N | x ≤ 2 }，表示由正整数构成的集合可以写为{ x ∈ Z+ | x > 0 }。
三、集合的运算在集合论中，还存在着一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单 1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法． 2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法： ①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合； ②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合： (1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合； (5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合． [解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z xN x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
集合的表示方法
1.1.2集合的表示方法学习目标：1、掌握集合的表示方法，集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）2、用列举法、描述法表示一个集合.知识要点:集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（5）能不能表示无限集？（只能表示存在规律的集合）{0,2,4,6,8,}A n =3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.① {(,)x y y =中的元素是点。
满足条件的二元方程的解集，是成对出现的。
② {x y = {y y = {y 表示单元素集合，方程的解。
4、维恩(Venn)图（文氏图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.学习中应注意的问题：①注意a 与{}a 的区别，②注意Φ与{0}的区别， {0}是含有0一个元素的集合。
集合的表示方法
(3) 小于 8 的素数组成的集合 ；
(4) 一次函数 = + 3 与 = −2 + 6 的图象的交点组成的集合 。
9. 用描述法表示下列集合：
(1) 函数 = −22 + 图象上的所有点组成的集合；
(2) 不等式 2 − 3 < 5 的解组成的集合；
讲义模板
C. { = 2, = 3}
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共2页
D. (2, 3)
(3) 方程组 {
2 + = 8
− = 1
的解组成的集合；
(4) 15 的正约数组成的集合 .
8. 用列举法表示下列集合：
(1) 大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 ；
(2) 方程 2 − 9 = 0 的实数根组成的集合 ；
讲义模板
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共2页
D. {1, 2, 3, 4, 5}
D. = {2, 3} , = {(2, 3)}
15. 已知集合 = {4, }, = {2, }, 若 和 的元素相同, 则 + =
16. 将集合 { (, ) ∣ {
A. {2, 3}
+ = 5
2 3)}
取值范围;
(2) 已知集合 = { ∈ |2 − 2 + 3 = 0, ∈ } , 若 中元素恰有一个, 求 的取值
范围;
(3) 已知集合 = { ∈ |2 − 2 + 3 = 0, ∈ } , 若 中元素至少有一个, 求 的取
值范围。
四. 跟踪训练, 巩固双基
(1) 一个集合可以表示为 {, , , }
(
)
(2) 集合 { 5, 8} 和 {( 5, 8)} 表示同一个集合
集合关系的表示形式
集合关系的表示形式
集合关系通常有以下几种表示形式：
1. 包含关系：表示一个集合是另一个集合的子集，或者两个集合相等。
符号表示为“⊆”或“=”。
例如，A ⊆ B 表示A是B的子集，A = B表示两个集合相等。
2. 互斥关系：表示两个集合没有共同元素，即它们互不包含任何相同的元素。
符号表示为“Φ”，表示空集。
例如，A ∩B = Φ表示A和B没有共同元素。
3. 子集关系：表示一个集合是另一个集合的真子集，或者两个集合相等。
符号表示为“⊂”或“=”。
例如，A ⊆ B 表示A是B的真子集，A = B表示两个集合相等。
4. 元素与集合的关系：表示一个元素属于一个集合，或者不属于一个集合。
符号表示为“∈”或“∉”。
例如，a ∈A 表示a是A中的元素，a ∉A 表示a 不属于A。
这些符号和表示方法可以用来表示各种集合关系，包括子集、相等、互斥、真子集、元素与集合的关系等。
常见集合的字母表示方法
常见集合的字母表示方法常见集合的字母表示方法在数学中，集合是由一组具有共同性质的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。
为了方便表示和描述集合，人们使用了一种字母表示方法。
本文将介绍常见集合的字母表示方法，并探讨一些与之相关的概念和应用。
一、整数集合（Z）整数集合是所有整数的集合。
通常用大写字母Z表示整数集合，其中Z的定义如下：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}其中"..."表示整数集合的无穷延伸。
整数集合是一个无限集合，包括负整数、零和正整数。
二、自然数集合（N）自然数集合是所有正整数的集合。
通常用大写字母N表示自然数集合，其中N的定义如下：N = {1, 2, 3, ...}自然数集合是一个无穷集合，包括所有大于等于1的整数。
三、实数集合（R）实数集合是包括有理数和无理数的集合。
通常用大写字母R表示实数集合，其中R的定义如下：R = {x | x是一个实数}实数集合是一个连续的集合，包括所有实数，无论是有理数还是无理数。
四、有理数集合（Q）有理数集合是可以表示为两个整数之比的数的集合。
通常用大写字母Q表示有理数集合，其中Q的定义如下：Q = {p/q | p和q是整数，且q≠0}有理数集合包括所有整数和所有可以表示为两个整数之比的数，如分数等。
五、正整数集合（Z+）正整数集合是所有大于零的整数的集合。
通常用大写字母Z+表示正整数集合，其中Z+的定义如下：Z+ = {1, 2, 3, ...}正整数集合是一个无穷集合，只包括大于零的整数。
在数学中，集合的字母表示方法不仅能够方便地表示和描述集合，还能够帮助我们更好地理解和应用集合的概念。
通过对常见集合的字母表示方法的介绍，我们可以更清楚地了解整数、自然数、实数、有理数和正整数等集合之间的关系和特点。
总结回顾：- 整数集合Z是包括负整数、零和正整数的集合。
- 自然数集合N是所有大于等于1的整数的集合。
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1.1.2 集合的表示方法自主学习学习目标1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合． 2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究 意识和自学能力．自学导引1．列举法把集合的元素 _________________ 出来，并用 ____________ 括起来表示集合的方法．2．描述法I 中，属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x) ，而不属于集 p(x)的所有元素构成的.般地，如果在集合合 A 的元素都不具有性质 p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个 于是，合A 可以用它的特征性质 p(x)描述为 ____________，它表示集合 A 是由集合 I 中具有性质对点讲练知识点一■用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：6⑴已知集合M= x€ N|齐X Z，求M ;x+y=2,(2)方程组的解集；x—y= 0⑶由^+訥，b€ R)所确定的实数集合.规律方法(1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.⑵列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.变式迁移1用列举法表示下列集合：(1)A = {x|XS2, x€ Z}；(2)B = {x|(x—1)2(x—2) = 0}；* 十*(3)M = {(x, y)|x+ y = 4, x€ N , y€ N }；6⑷已知集合C =祐€Z|x€ N，求C.知识点—二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合；⑵方程x2+ 2= 0的解的集合；⑶不等式4x —6<5的解集；⑷函数y= 2x+ 3的图象上的点集规律方法用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么同时要注意代表元素所具有的性质.变式迁移2用描述法表示下列集合：(1)函数y= ax2+ bx+ c (a丰0)的图象上所有点的集合；⑵一次函数y= x+ 3与y =—2x+ 6的图象的交点组成的集合;(3)不等式x—3>2的解集.知识点三列举法和描述法的灵活运用例3用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数；⑵方程x2+ y2—4x+ 6y+ 13= 0的解集；⑶二次函数y= x2—10图象上的所有点组成的集合.规律方法用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.变式迁移3用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；⑵由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；y= x,(4)二元二次方程组2的解集.y= x21.在用列举法表示集合时应注意以下四点:⑴元素间用“，”分隔；⑵元素不重复；⑶不考虑元素顺序；(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号.2.使用描述法时应注意以下四点：(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号);(2)说明该集合中元素的特征；(3)不能出现未被说明的字母；⑷用于描述的语句力求简明、确切•课时作业一、选择题1•集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )A . {x|x是不大于9的非负奇数}B.{x|xw 9, x€ N}C.{x|1< xw 9, x€ N}D.{x|0< x<9, x€ Z}2.在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )A. {(x, y)|x= 0, yz0} B . {(x, y)|xz 0, y= 0}C. {(x, y)|xy= 0} D . {(x, y)|x= 0, y= 0}3.下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x —1)2(x—2)2= 0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.正确的是( )A. 只有①和④B. .只有②和③C. 只有② D .以上语句都不对4. 6 *已知集合A= a 5—a€ N则A为( )A. {2,3}B. {1,2,3,4}C. {1,2,3,6} D .{—1,2,3,4}5. 下列集合中表示冋一集合的是( )A. M= {(3,2)} , N = {(2,3)}B. M = {3,2} , N= {2,3}C. M = {(x, y)|x+ y= 1}, N={y|x + y= 1}D. M= {1,2} , N= {(1,2)}二、填空题x+ y= 3,6.下列可以作为方程组__ 的解集的是(填序号).x —y=— 1①{x= 1, y= 2}；②{1,2}；③{(1,2)}；④{(x, y)|x= 1 或y= 2}；⑤{(x, y)|x= 1 且y= 2}；⑥{(x, y)|(x—1)2+ (y—2)2= 0}.7.已知 a € Z, A= {(x, y)|ax—yw 3}且(2,1) € A, (1, —4)?A，则满足条件的 a 的值为&已知集合M = {x€ N|8—x€ N}，贝U M中的元素最多有________ 个.三、解答题9.用另一种方法表示下列集合.(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除，且小于10的正数};(3){ x|x= |x|, x<5 且x € Z};* *(4){( x, y)|x+ y= 6, x€ N , y€ N };(5){ —3,—1,1,3,5}.10.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合.【探究驿站】11.对于a, b € N +,现规定：a +b a与b的奇偶性相同a* b=a xb a与b的奇偶性不同集合M = {(a, b)|a*b= 36, a, b€ N +}(1)用列举法表示a, b奇偶性不同时的集合M;⑵当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素1 . 集合的表示方法答案自学导引1.一一列举花括号“ { } ”2.特征性质{x€ l|p(x)}对点讲练例 1 解(1) N，且€ Z ,1 + x•'•1 + x= 1,2,3,6,•'x= 0,1,2,5,「.M = {0,1,2,5}.x+ y= 2 x= 1⑵由，得，x—y= 0 y= 1故方程组的解集为{(1,1)}.(3)要分a>0且b>0, a>0且b<0, a<0且b>0, a<0且b<0四种情况考虑，故用列举法表示为{ —2,0,2}.变式迁移1 解(1) v|x|< 2, x€ Z ,•—2W x< 2, x€ Z ,•*x =—2, —1,0,1,2.••A = { —2, —1,0,1,2}.(2)V1 和 2 是方程(x—1)2(x —2) = 0 的根，••B = {1,2}.(3)Tx+ y= 4, x€ N*, y € N*,x=1, x= 2, x= 3,•或或y = 3, y= 2, y= 1.••M = {(1,3) , (2,2), (3,1)}.6⑷结合例1(1)知，=6,3,2,1,1 + x••C = {6,3,2,1}.例2解(1)文字描述法：{x|x是正偶数}.符号描述法：{x|x= 2n, n€ N*}.(2){x|x2+ 2 = 0, x€ R}.(3){x|4x—6<5, x € R}.(4){( x, y)|y= 2x+ 3, x€ R, y€ R}.变式迁移 2 解(1){( x, y)|y= ax2+ bx+ c, x€ R , 0}.y= x+ 3 x= 1(2)x, y | = x, y | .y=—2x + 6 y= 4(3){x € R|x—3>2}.例3解(1)比5大3的数显然是8,故可表示为{8}.(2)方程x2+ y2- 4x+ 6y+ 13= 0 可化为(x- 2)2+ (y+ 3)2= 0,x = 2… ,y =-3•••方程的解集为{(2 , - 3)}.(3)“二次函数y= x2- 10的图象上的点”用描述法表示为{(x, y)|y= x2- 10}. 变式迁移3解⑴列举法：{3,5,7}.⑵描述法：{周长为10 cm的三角形}.(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,23,31,32,123,132,213,231,312,321}.⑷列举法：{(0,0) , (1,1)}.课时作业I. A6 *4. D [由€ N可知，5- a为6的正因数，所以5 —a可以等于1,2,3,6，相应的a5- a分别等于4,3,2,—1,即A= { —1,2,3,4}.]5. B6.③⑤⑥7.0,1,2解析•••(2,1) € A 且(1 , - 4)?A ,「.2a — 1 < 3 且 a + 4>3 ,•••—1<aw2, 又a€ Z,「・a 的取值为0,1,2.8.99.解(1){ —2,- 1,0,1,2}(2){3,6,9}(3)Tx= |x|,-x> 0，又• x€ Z 且x<5,••x= 0或1或2或3或4.•••集合可以表示为{0,1,2,3,4}.(4){(1,5) , (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}.(5){x|x= 2k-1, - 1 < kw3, k€ Z}.10.解用描述法表示为(即用符号语言表示)：3 1 口x, y —1w xw 2, - y w X 且xy》0 .II.解(1)当a, b奇偶性不同时，a*b= ax b= 36,则满足条件的(a, b)有(1,36), (3,12), (4,9), (9,4) , (12,3), (36,1)，故集合M 可表示为：M = {(1,36) , (3,12), (4,9) , (9,4), (12,3), (36,1)}.(2)当a与b的奇偶性相同时a*b = a+ b = 36 ,由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36= 1 + 35= 2 + 34= 3 + 33=- = 17+ 19= 18 + 18= 19+ 17= -= 35 + 1, 所以当a , b奇偶性相同时这样的元素共有35个.。