集合及集合的表示方法
集合的概念及运算
注: 集合与集合的关系特例:
设集合A={1, 2, 3}, B={x | xA}, 则 AB, B. 亦可 B. (4)集合的运算
①交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集, 记作A∩B, 即 A∩B={x | x∈A, 且x∈B}. ②并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作A∪B, 即 A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}. ③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即 CsA={x | x∈S, 且 xA}.
2-x-1=0}, 得 a≥- 1. 由 A={ x | ax 13.解: 4 ∵对任一 x0∈A, 必有 x0B, ∴AB; 又 B 中元素为方程 a(ax2-1)2-1=x 即 a3x4-2a2x2-x+a-1=0 的实根, ∴由 AB 知 a3x4-2a2x2-x+a-1 含有因子 ax2-x-1. ∴a3x4-2a2x2-x+a-1=0 即为 (ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0. ∵A=B, ∴a2x2+ax-a+1=0 无实根或其实根为 ax2-x-1=0 的实根. 由 a2x2+ax-a+1=0 无实根得: a< 3 4;
10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x | f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.
1.集合及其表示
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
集合的概念与表示方法
一、集合的概念 一般地, 一定范围内某 些确定的,不同的对象的全 体构成一个集合. 集合中每个对象称为这 个集合的元素.
一、集合的概念
1.集合：用大写字母表示,如A,B 2.元素：用小写字母表示,如a,b 3.元素与集合关系：
…
…
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a A； 如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
（2）平行四边形，四边形；
（3）直角三角形，等边三角形； （4）-3, 2，6，|3|，-6 ；
（5）（2,3），（3,2），（-2,3）；
3)无序性：集合中的元素是无先后 顺序的．集合中的任何两个元素都 可以交换位置．
5.集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
(六）课堂小结： 1.集合的概念：一定范围内某些确定的、不同对象的 全体构成一个集合.集合通常用大写字母A.B.C……… 表示,如集合A.B集合中的对象称为元素,元素用小写 字母a.b.c表示。元素与集合的关系:从属关系 aA bA 2.集合中元素的性质：确定性 互异性 无序性 3.集合的表示方法 ：描述法、列举法、文恩图法 4.集合的分类：有限集、无限集、空集 5.特殊集合的表示：自然数集：Ｎ 整数集：Ｚ 有 理数集：Ｑ 实数集：Ｒ
例3.已知集合A={ a+2,(a+1)2 ,a2+3a+3}, 若1∈A,求实数a的值.
解：①a+2=1时即a=-1时 Ａ=｛１,０,１｝不满足元素的互异性 ②1=(a+1)2时即a=0或a=-2经检 验a=0符合条件 ③1=a2+3a+3时即a=-1或a=-2 经检验都不符合条件 综上：a=0
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示一、集合的相关概念元素集合一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素二、集合三大特性：思考：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1) 大于3小于11的偶数；(2) 我国的小河流。
三、重要数集：四、元素对于集合的关系五、集合的分类有限集：无限集：空集：六、集合的表示方法1、列举法：例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。
思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?2、描述法：3、Venn图：例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结集合间的基本关系观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1};③ A={四边形}, B={多边形};④ A={x | x是两边相等的三角形},B={x| x是等腰三角形} ．一、子集的定义：一般地,对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集。
记作：读作：Venn图表示：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )③A={0}, B={x x2+2=0} ( )④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )二、集合相等的定义：一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作三、真子集对于两个集合A与B,如果A B,但存素 ,则称集合A 是集合B的真子集．记作A B四、几个结论①空集是任何集合的子集Φ A②空集是任何非空集合的真子集Φ A （A ≠ Φ）③任何一个集合是它本身的子集，即 A A④对于集合A ，B ，C ，如果 A B,且B C ，则A C例3 设A={x,x 2,xy}, B={1,x,y},且A=B ，求实数x,y 的值．例4 已知集合 与集合 满足Q P ， 求a 的取值组成的集合A 作业布置1．教材P.12 A 组 5 B 组2.2. 若A={x |－3≤x≤4}, B={x | 2m －1≤x≤m+1},当B A 时,求实数m 的取值范围．3.已知}06|{2=-+=x x x P },01|{=+=ax x Q {}{}AC B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆1.1.3 集合的基本运算（1）观察集合A,B,C元素间的关系：(1) A={4，5，6，8}B={3，5，7，8} C={3，4，5，6，7，8}(2) A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数}一、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A∪B.例2.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A∪B性质1A∪A = A∪φ = A∪B B∪A二、交集观察集合A,B,C元素间的关系：A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，C={5，8}一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。
集合的概念及表示
第一节 集合相关概念集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ， {} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N +Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写练习、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（2）好心的人（3）1，2，2，3，4，5．第二节 集合的表示1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法： 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 }23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图（韦恩图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法 如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ； 集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合， 集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合2、 无限集：含有无限个元素的集合3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x练习题、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} ②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n ∈-=⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ ⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x。
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
集合及其表示方法
另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。
4.空集：空集不含元素。记作
5.集合的表示方法
（1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。
例如：不等式 的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。
注： 、 与 区别：它们都表示集合。但 只有一个元素0； 不含任何元素； 是以空集作为元素的集合。
例3.用适当的方法表示下列集合：
(1) 关于 的不等式 的整数的解集；
(2) 所有奇数构成的集合；
(3) 方程 的解的集合；
(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；
(5) 函数y=|x|-3 的所有函数值组成的集合。
14、集合{ }用列举法表示为_________________
(3)数轴上非常靠近原点的点；
(4)使 的值很小的 的值。
注意：元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）
集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
例2.用 或 填空：
(1) 0{0}； (2) 0 ； (3) 0 ；
(4) -1 ； (5) ； (6) 0 。
其中正确的命题的个数是（）
Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个
二、填空题
10、已知集合A={2，4， }，若 ，则x=________________
11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________
12、方程 的解集可表示为_____________________
13、方程 的解集中含有_________个元素。
数的集合简称数集。
集合的概念、表示方法和运算
特定的一些集合的表示符号
（1）自然数集 N={0，1，2，…}
（2）整数集合 I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）正整数集合 I＋={1,2,3,4…} （4）有理数集合 Q={xx=Pq，p,qI}
P（{{a,{b,c}}}）＝｛，{{a,{b,c}}}｝
一、集合的概念、表示方法及集合的运算
5、注意点：
• 和
• ，
例题：A={a, {b}, c} 则a A, b A, c A {a} A, {b}A, {c} A
• A= {},则有 A, A，{ }A, {} A
作业：P86
第二篇 集 合 论
集合论是现代各科数学的基础。在数学发展 中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另 一方面集合理论又为数学奠定了基础。
本章介绍集合论的基础知识如： 集合运算、性质、序偶、关系等。
第 三 章： 集合与关系
3－1、集合的概念、表示方法
1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。
= E， A A＝E
A A＝
(3) 集合的补集
定理3-2.4德∙摩根律 (AB)= AB (AB)= AB
例题：求证A-B=AB 证明： A-B={xxAx B}
=AB
定理： A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC)
证明： A(B-C) = A(B C) = A B C
•定理： A B＝A B
•定理：C(AB) = (CA)(CB)
注： C (A B) ≠ (C A)(C B) C (A B) ≠ (C A) (C B)
集合及其表示方法
集合及其表示方法
集合是由一组独立的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。
集合的表示方法有以
下几种：
1. 列举法：将集合的元素逐一列举出来，并用花括号{}括起来。
例如，集合{1, 2, 3}
表示由元素1、2和3组成的集合。
2. 描述法：用一个条件来描述集合中的元素。
描述法的一般形式为{ x | P(x) }，其中
x是集合中的元素，P(x)是关于x的性质。
例如，集合{ x | x是正整数，且x小于10}表示小于10的正整数组成的集合。
3. 空集：没有任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。
5. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前一个集合为后一个
集合的子集。
用符号A ⊆ B表示集合A是集合B的子集。
6. 幂集：对于一个集合A，包含A的所有子集的集合称为A的幂集，用符号P(A)表示。
以上是集合的一些常见表示方法，不同的表示方法适用于不同的情况。
第一章 集合1.1.1集合的概念
• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝
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教案背景：在小学和初中，数学课中使用的语言主要是自然语言，教学中经常要 把数学中的符号语言翻译为自然语言让学生理解，但自然语言有一定的歧义性，有 时也不够确切。
高中数学中使用集合语言，就能简洁准确地表达数学内容，发展学 生运用数学语言进行交流的能力。
教材分析：集合的初步知识是学生学习，掌握和使用数学语言的基础，是高中数 学学习的出发点。
集合语言也是现代数学的基本语言，通过学习，使用集合语言，有 利于学生简洁，准确的表达数学内容。
本章的主要内容是集合的概念，表示方法和集合之间的关系与运算。
本节首先通过实例，引入集合与集合元素的概念，然后学习集合的表示方法。
教学方法：学生通过阅读教材，自主学习，在教师的指导下思考，交流，讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
教学课题：集合及集合的表示方法。
集合及集合的表示方法
一． 学习目标
1．通过实例，了解集合的概念，会判断元素与集合的关系。
2．了解并记住集合中元素的性质，熟记常用的数集符号。
3．掌握集合的两种表示方法，能够运用集合的两种表示方法表示一些集合。
二． 重点难点：
重点：集合概念的形成，集合的表示方法。
难点：理解集合元素的确定性与互异性，运用集合的特征性质法正确的描述集合。
三．预习检测：
1. 集合的概念是什么？
2.元素与集合之间的关系有几种？如何判断？
3.集合中元素的性质有哪些？
4.常用的数集有哪些？写出各自的记号。
5.集合的两种表示方法是什么？表示集合时需要注意什么问题？
6.下列各项中，不能组成集合的是（ ）
A.所有正三角形
B.《数学必修1》中所有的习题
C.所有数学难题
D.所有无理数
7. 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是（ ）
A.0A ∈
B.a A ∉
C.a A ∈
D.a=A
8. 已知集合}31|{≤≤-∈=x N x A ，则集合A 还可以表示为（ ）
A. }31|{≤≤-=x x A
B.{-1，0，1}
C.{0，1}
D.{1，2}
四．典例分析
题型一：集合的判定
例1. 判断下列每组对象能否构成一个集合？
（1） 大于3小于11的偶数；
（2） 我国的小河流；
（3） 比较著名的科学家；
（4） 3近似值的全体
（5） 某班数学成绩好的同学
（6） 1，2，3，4，4，5
题型二 列举法与描述法的灵活应用
例2．用恰当地方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集。
（1） 比5大3的数
（2） 方程0652
=+-x x 的解的集合
（3） 二次函数102-=x y 图像上所有的点构成的集合
（4） 不等式23>-x 的解的集合
变式训练：用恰当地方法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数集
（2）由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合
（3）被3除余1的正整数集合
（4）由大于10且小于20的所有正整数组成的集合
（5）由所有周长等于10cm 的三角形组成的集合
题型三 集合中元素的特征及应用
例3.已知集合A 是由三个元素0，1，x 构成的，且∈2x A ，求实数x 的值。
变式训练：
1.下列说法正确的是（ ）
A.某班中年龄较小的同学构成一个集合
B.空集∅中含有元素0
C.参加奥运会的所有中国运动员构成一个集合
D.1，0.5，23，2
1构成的集合含有4个元素
题型四 元素与集合的关系
例4.已知集合}033|{>-=x x A ，则有（ ）
A.3A ∈
B. 2A ∉
C. 4A ∈
D. 0A ∉
变式训练：1.}1,12,3{32++-∈-a a a ，求实数a 的值。
2.设A 表示集合}3,2,32{2-+a a ，B 表示集合|}3|,2{+a ，已知,5A ∈且B ∉5,求a .
五．小结：
六．当堂检测
1.下列说法中，正确的个数是（ ）
①地球周围的行星能确定一个集合
②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合
③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合
A.0
B.1
C.2
D.3
2.设}{a A =，则下列各式正确的是（ ）
A. 0A ∈
B.A a ∉
C. A a ∈
D. A a =
3.已知A a a A a ∈-∈2,2,若集合A 不含其它元素且含2个元素，则下列说法中正确的是（ ）
A.a 取全体实数
B. a 取除去零以外的所有实数
C. a 取除去3以外的所有实数
D. a 取除去0和3以外的所有实数
4.下列集合为∅的是（ ）
A.{0}
B.}01|{2=+x x
C. }01|{2=-x x
D. }0|{<x x
课后巩固
1.用列举法表示下列集合},,3|),{(N y N x x y y x A ∈∈-==,
},,3|{N y N x x y x B ∈∈-==
2.设}12,52,2{2x x x A +-=，已知-3A ∈，求x.
3.集合},38|{Z x x y Z y M ∈+=
∈= ,用列举法表示=M ______________. 4.以实数2a ，a -2，4为元素组成一个集合A,A 中含有两个元素，a 的值为
________.
5.已知集合A 是方程0122
=++x ax 的解集
（1）若A=∅,求a 的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求a 的值。