人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第八章 立体几何初步 8.1 基本立体图形
一、解答题
人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第八章 立体几何初步 8.1 基本立体图形
1. 将下列各类几何体之间的关系用venn图表示出来：
多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
2. 观察图中的物体，说出它们的主要结构特征
.
3. 设计一个平面图形，使它能折成一个直三梭柱.
4. 如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构特征.
5. 观察图中的物体，说出它们的主要结构特征.
6. 说出图中物体的主要结构特征.
7. 如图，以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.
8. 如图所示的几何体中，四边形是边长为3的正方形，，，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱；若不是，
请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图形中画出截面.
9. 判断如图所示的多面体是不是棱台？
10. 如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.
二、双空题11. 描述如图所示的几何体的结构特征
.
12. 根据图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形
.
13. 有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，图中是从3个不同的角度看同一枚骰子的情形，请画出骰子的一个表面展开图，并根据展开图说明字母H 对面的字母是什么
.
14. 给出两块面积相同的正三角形纸片如图，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥（正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形）模型，另一块剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱上、下底面是正三角形，侧面是矩形）模型，使纸片正好用完，请设计一种剪拼方法，分别标示在图（1）（2）中，并作简要说明
.
15. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体.（________）
（2）四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体.（________）
17. 下列命题中正确的是________（填序号）.
①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周所得到的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体是圆锥；
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
18. 下列说法中正确的为________（填序号）.
（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.
19. 对如图所示的几何体描述正确的是_____（填序号）
.
①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.
20. 下列几何体中是棱台的有________（填序号）
.
（2）一个多面体最少有个_____面，此时这个多面体是______.
（1）一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是______.16.三、填空题
21. 图中平面图形从下往上依次由等腰梯形、矩形、半圆、圆、等腰三角形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，下面说法不正确的是________（填序号）
.
①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球；
②该组合体中的圆锥和球只有一个公共点；
③该组合体中的球和半球只有一个公共点.
22. 判断下列说法是否正确：
①棱锥的各侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的各侧棱长相等.
23. 两相邻边长分别为3cm和4cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为__________.
24. 正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为________.
25. 如图，在正方体中，，中点为，过、、三点的截面面积为
______.
四、单选题
26. 下列命题：
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线相互平行．
其中正确的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
27. 某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
A．B．C．D．
28. 设集合{正四棱柱}，{长方体}，{直四棱柱}，{正方体}，则这些集合间的关系是（）
A．B．C．D．
29. 下列说法中正确的个数是（）
①球的半径是球面上任意一点与对球心的连线；
②球面上任意两点的连线是球的直径；
③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面；
⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球；
⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.
A．0B．1C．2D．3
30. 观察四个选项中的几何体，其中判断正确的是（）
A．几何体是棱台B．几何体是圆台
C．几何体是棱锥D．几何体不是棱柱
31. 下列命题中不正确的是（）
A．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
B．以直角梯形的一腰为轴，另一腰旋转形成的面是圆台的侧面
C．圆柱、圆锥、圆台的底面相似
D．圆台的母线延长后交于一点
32. 某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（）
A．快、新、乐B．乐、新、快
C．新、乐、快D．乐、快、新
33. 如图，若是长方体ABCD-A 1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．是棱柱D．是棱台
34. 下列命题中正确的是( )
A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D．正方形的直观图是正方形
35. 如图，是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图上的散点，则在正方体盒子中（）
A．B．C．D．
36. 旋转后形成的几何体如图所示的平面图形是（）
A．B．C．D．
37. 用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )
A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形
38. 截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）
A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台
39. 我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺。
数学人教A版(2019)必修第二册8.1基本立体图形(共61张ppt)
2 学习内容
3 学习方法
如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素， 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中， 我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？
从整体入手 每个面的形状、面与面之间的关系
那部分多面体叫做棱台. 侧
棱
A'
D
顶点
C'
B'
侧 面
C
A
B
下底面
2.棱台的结构特征
（1）上下底面互相平行且是相似多边形 O
（2）各侧棱的延长线交于一点 （3）各侧面为梯形
3.棱台的表示方法
棱台ABCD-A′B′C′D′
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
4.棱台的分类
三棱台
四棱台
五棱台
建立联系，深入理解
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直 线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体 叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.
它的每个面都是平行四边形（矩形），并且相对的两个面， 给我们以平行的形象，如同教室里的地面和天花板一样.
1、棱柱的概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
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贝聿铭(I.M. Pei，1917-2019)
几何学！
整体概览，提出问题
你能说一说我们是按怎样的路径研究一个平面图形的？
【数学】高中数学人教A版(2019)必修第二册第八章立体几何初步知识梳理
第八章立体几何初步一、凸多面体的概念1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．1）分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；2）常见几何体平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体；2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．2）常见几何体正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．二、简单旋转体概念（圆柱、圆锥、圆台、球）1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．三、常见几何体的表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底=+S ch S2(斜棱柱底''=+S c l S c为直截面周长)2222()圆锥=+=+S r rl r r lπππ一、知识点明晰锥体12正棱锥底'=+S nah S2()圆锥=+=+S r rl r r l πππ台体1()2正棱台上下'=+++S n aa h S S22)圆台（''=+++S r r r l rl π球24=S R π体积公式体积柱体柱=V Sh锥体 13锥=V Sh台体1()3台''=++V S SS S h球343=V R π四、空间几何体的直观图1、斜二测画法（主要步骤如下）1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． 2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不Sh变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 2、常用结论：1）直观图和平面图形的面积比为22S S =原直。
高中数学必修二《第八章 立体几何初步》复习教案及练习
《第八章立体几何初步》复习教案8.1 基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征【基础知识拓展】1．几类特殊的四棱柱四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下．2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩小为一点时，转化为棱锥．如图所示．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．( )(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．( )(3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．以上都错(2)面数最少的多面体的面的个数是________．(3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．(4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．答案(1)B (2)4 (3)4 (4)8 6 12【核心素养形成】题型一对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1 下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有4个面．[解析] 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①正确．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②正确．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错误，④正确．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.[答案] ①②④⑤【解题技巧】关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【跟踪训练】下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥；④棱柱的侧棱与底面一定垂直．其中正确说法的序号是________．答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；④错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直.题型二对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2 如图长方体ABCD－A1B1C1D1，(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？[解] (1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1.[条件探究] 若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？解截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.【解题技巧】棱柱判断的方法判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．【跟踪训练】判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.题型三空间几何体的展开图问题例3 如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．【解题技巧】空间几何体的展开图(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．【跟踪训练】根据如下图所给的平面图形，画出立体图．解将各平面图折起来的空间图形如下图所示．【课堂达标训练】1．下列说法中，正确的是( )A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案 D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.2．下列三种叙述，正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是( )答案 C解析本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.4．①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．以上说法正确的序号有________．答案①③解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．5．已知M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？解若以BC或DC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离为13 cm，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1 cm，4 cm.故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从A到M的最短路程是13 cm.第2课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征【基础知识拓展】1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．空间几何体的轴截面(1)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一条边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，经过旋转而成的曲面所围成的几何体．(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题时，一般要画出轴截面．(3)画出轴截面图形，将立体几何的空间问题转化为平面问题来计算，这种把有关立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想方法是我们解决立体几何问题的重要思想方法．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．( )(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．( )(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)圆锥的母线有( )A．1条 B．2条C．3条 D．无数条(2)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(3)图②的组合体是由________和________构成．(4)图③中的几何体有________个面．答案(1)D (2)球球心半径直径(3)圆柱圆锥(4)3【核心素养形成】题型一旋转体的概念例1 下列命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故4个均不正确．[答案] A[条件探究] 若本例中(2)改为“以直角梯形的各边为轴旋转”，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？解①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．【解题技巧】平面图形旋转形成的几何体的结构特征圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．【跟踪训练】一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．题型二简单组合体的结构特征例2 描述下图几何体的结构特征．[解] 图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的组合体．图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的组合体．图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的组合体．图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体．【解题技巧】简单组合体的两种构成方法(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析．【跟踪训练】观察下列几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．解图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的.题型三旋转体的计算问题例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A ＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又腰长AB＝12 cm，所以圆台的高为AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，所以l＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.【解题技巧】旋转体中的计算问题及截面性质(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.(3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．【跟踪训练】圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2， 设上底面的面积为S 1，半径为r 1， 则S 1＝πr 21＝1，下底面的面积为S 2，半径为r 2，则S 2＝πr 22＝49， 截面的面积为S ＝S 1＋S 22＝25，半径为r 3，则S ＝πr 23.由三角形相似得⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎨⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.题型四 圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例4 如图所示，已知圆柱的高为80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且PA ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解] 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．【解题技巧】求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．【跟踪训练】国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为22米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？解把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示．这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为22米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120°，所以MM1＝33米，即彩绸最短要33米.【课堂达标训练】1．下列几何体中不是旋转体的是( )答案 D解析正方体不可能是旋转体．2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥的组合体答案 D解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转得到的几何体是圆锥．故选D.3．下列几何体中是旋转体的是( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④答案 D解析根据旋转体的概念知①④正确．4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．5．圆台的两底面圆的半径分别为2 cm,5 cm，母线长是310 cm，求其轴截面的面积．解如图，在轴截面内过点A作AB⊥O1A1，垂足为B.由已知OA＝2，O1A1＝5，AA1＝310，∴A1B＝3.∴AB＝AA21－A1B2＝90－9＝9.∴S轴截面＝12(2OA＋2O1A1)·AB＝12×(4＋10)×9＝63(cm2)．故圆台轴截面的面积为63 cm2.8.2 立体图形的直观图【基础知识拓展】1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：S 直S 原＝24.2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相等的角，在直观图中仍相等．( )(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．( )(3)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．( )答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的( )(2)在已知图形中平行于x轴的线段AB＝6 cm，则在直观图中线段A′B′＝______cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD＝4 cm，则在直观图中线段C′D′＝______cm.(3)在空间几何体中，平行于z轴的线段AB＝10 cm，则在直观图中对应的线段A′B′＝________cm.(4)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.答案(1)C (2)6 2 (3)10 (4)45°或135°【核心素养形成】题型一平面图形的直观图画法例1 画水平放置的正五边形的直观图．[解] (1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝12OA，O′F′＝12OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD，C′F′＝F′D′.(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝12GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝12HE.连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的直观图．【解题技巧】画平面图形直观图的技巧(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．【跟踪训练】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．题型二空间几何体的直观图画法例2 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解] 画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.【解题技巧】画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．【跟踪训练】已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．解(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.题型三直观图还原平面图形例 3 (1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．[解] (1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.②在题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．(2)∵B′D′∥y′，∴BD⊥AC.又|B′D′|＝1.5且|A′C′|＝2，∴|BD|＝3，|AC|＝2.∴S△ABC＝12·|BD|·|AC|＝3.[结论探究] 若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积S′为多少？解设原图形的高为h，则直观图的高为24h.又平行于x轴的线段长度不变，∴S′＝24 S.【解题技巧】直观图还原平面图形的策略还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．【跟踪训练】如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是( )A．14 B．10 2 C．28 D．14 2答案 C解析∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝12×(2＋5)×8＝28.题型四直观图与原图间的计算问题例4 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2[解析] 如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a，所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.[答案] D【解题技巧】1.利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．(2)画图时要紧紧把握一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半2．若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝24S原．【跟踪训练】如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则四边形OABC的形状是________．答案菱形解析如图，在四边形OABC中，有OD＝2O′D′＝2×22＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6 cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．【课堂达标训练】1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案 C解析∠x′O′y′也可以是135°.2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．AB B．ACC．BC D．AD答案 B解析由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．③④答案D解析根据平面图形直观图的斜二测画法知③④可能是△ABC的直观图．4．如图，一个三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，则原△AOB的面积是________．答案 2解析由题意得O′B′＝B′A′＝1，∴O′A′＝2，且∠B′O′A′＝45°，∴△AOB是以∠O为直角的三角形，且OB＝1，OA＝22，∴S△AOB ＝12OB·OA＝12×1×22＝ 2.5．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．解(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示．(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．。
新教材人教A版高中数学必修第二册 第八章 立体几何初步 精品教学课件(共541页)
(1)定义：如果只考虑物体的__形__状__和_大___小__，而不考虑其他因 素，那么由这些物体抽象出来的__空__间__图__形____就叫做空间几何
体． (2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
2．空间几何体
类别
定义
由若干个___平___面__多__边__形______围
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图 1 所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图 2 所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图 3 所示．
4．一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每 条侧棱长为__________cm. 解析：因为棱柱有 10 个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧 棱，所以侧棱长为650＝12(cm)． 答案：12
5．画一个三棱台，再把它分成： (1)一个三棱柱和另一个多面体． (2)三个三棱锥，并用字母表示．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
解析：选 B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一 个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由 四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底 面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可 以不相等，故④错．
【解】 (1)选 B.由题意，将正方体的展开图还原成 正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0” 与“快”相对，所以下面是“9”．
(2)题图①中，有 5 个平行四边形，而且还有两个全等的五边形， 符合棱柱的特点；题图②中，有 5 个三角形，且具有共同的顶 点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有 3 个梯 形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合 棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
基本立体图形(第2课时)(人教A版2019必修二)
【探究4】把圆台的各母线延长，交于一点吗？
【提示】 因为圆台是由圆锥截得的，所以圆台中各母线延长后必相交于一点，否则不是圆台.
【探究5】圆台的轴截面是什么图形？
【提示】等腰梯形，上下底分别是底面圆的直径，腰是圆台的母线。
（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
6.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
【辩一辩】 1.圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.( √ )
(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本
图形．
(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．
（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
【巩固练习2】已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，
DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程
核心素养培 通过空间几何体概念的学习，培养直观想 通过学习有关旋转体的结构特征，培养直观想象、
养
象、逻辑推理的核心素养。
逻辑推理、数学运算的数学素养.
教学主线
空间几何体的结构
学习目标
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，培养直观想象的核心素养；
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，培养数学抽象的核心素养；
解析：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．
(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所
示．
(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去
一个小圆锥，如图③所示．
(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图
人教A版（2019）数学必修（第二册）：8.1基本立体图形教案
⼈教A版（2019）数学必修（第⼆册）：8.1基本⽴体图形教案基本⽴体图形【第1课时】【教学过程】⼀、问题导⼊预习教材内容，思考以下问题：1．空间⼏何体的定义是什么？2．空间⼏何体分为哪⼏类？3．常见的多⾯体有哪些？4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？⼆、新知探究棱柱的结构特征例1：下列关于棱柱的说法：①所有的⾯都是平⾏四边形；②每⼀个⾯都不会是三⾓形；③两底⾯平⾏，并且各侧棱也平⾏；④被平⾯截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底⾯不⼀定是平⾏四边形；②错误，棱柱的底⾯可以是三⾓形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平⾏于底⾯的平⾯截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④[规律⽅法]棱柱结构特征的辨析技巧（1）扣定义：判定⼀个⼏何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“⾯”，即观察这个多⾯体是否有两个互相平⾏的⾯，其余各⾯都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平⾏．（2）举反例：通过举反例，如与常见⼏何体或实物模型、图⽚等不吻合，给予排除．棱锥、棱台的结构特征例2：下列关于棱锥、棱台的说法：①⽤⼀个平⾯去截棱锥，底⾯和截⾯之间的部分组成的⼏何体叫棱台；②棱台的侧⾯⼀定不会是平⾏四边形；③棱锥的侧⾯只能是三⾓形；④由四个⾯围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平⾯截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平⾯不与棱锥底⾯平⾏，⽤这个平⾯去截棱锥，棱锥底⾯和截⾯之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧⾯⼀定是梯形，⽽不是平⾏四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧⾯只能是三⾓形．④正确，由四个⾯围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所⽰四棱锥被平⾯截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④ [规律⽅法]判断棱锥、棱台形状的两种⽅法（1）举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．空间⼏何体的平⾯展开图例3：（1）⽔平放置的正⽅体的六个⾯分别⽤“前⾯、后⾯、上⾯、下⾯、左⾯、右⾯”表⽰，如图是⼀个正⽅体的平⾯展开图（图中数字写在正⽅体的外表⾯上），若图中的“2”在正⽅体的上⾯，则这个正⽅体的下⾯是（）A ．1B ．9C ．快D ．乐（2）如图是三个⼏何体的侧⾯展开图，请问各是什么⼏何体？【解】（1）选B.由题意，将正⽅体的展开图还原成正⽅体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下⾯是“9”．（2）题图①中，有5个平⾏四边形，⽽且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三⾓形，且具有共同的顶点，还有⼀个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于⼀点，还有两个相似的三⾓形，符合棱台的特点，把侧⾯展开图还原为原⼏何体，如图所⽰：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． [求解策略]多⾯体展开图问题的解题策略（1）绘制展开图：绘制多⾯体的平⾯展开图要结合多⾯体的⼏何特征，发挥空间想象能⼒或者是亲⼿制作多⾯体模型．在解题过程中，常常给多⾯体的顶点标上字母，先把多⾯体的底⾯画出来，然后依次画出各侧⾯，便可得到其平⾯展开图．（2）由展开图复原⼏何体：若是给出多⾯体的平⾯展开图，来判断是由哪⼀个多⾯体展开的，则可把上述过程逆推，同⼀个⼏何体的平⾯展开图可能是不⼀样的，也就是说，⼀个多⾯体可有多个平⾯展开图．【课堂总结】1．空间⼏何体的定义及分类（1）定义：如果只考虑物体的形状和⼤⼩，⽽不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间⼏何体．（2）分类：常见的空间⼏何体有多⾯体与旋转体两类．图⽰由若⼲个平⾯多边形围成的⼏何体叫做多⾯体．围成多⾯体的各个多边形叫做多⾯体的⾯；两个⾯的公共边叫做多⾯体的棱；棱与棱的公共点叫做多⾯体的⼀条平⾯曲线（包括直线）绕它所在平⾯内的这条定直线旋转所形成的曲⾯叫做旋转⾯，封闭的旋转⾯围成的⼏何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征图形及记法记作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′图形及记法）有⼀个⾯（底⾯）是多边形）其余各⾯（侧⾯）都是有⼀记作棱锥S-ABCD按底⾯多边形的边数分为三棱锥、）上下底⾯互相平⾏，且是相底⾯与截⾯之间那部记作棱台ABCD-A′B′C′D′截得的棱台分别为三棱台、四棱台、[名师点拨]（1）棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以⽤下图表⽰出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）．（2）各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱?直棱柱??正棱柱（底⾯为正多边形）⼀般的直棱柱斜棱柱②常见的⼏种四棱柱之间的转化关系【课堂检测】1．下⾯的⼏何体中是棱柱的有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选 C.棱柱有三个特征：（1）有两个⾯相互平⾏．（2）其余各⾯是四边形．（3）侧棱相互平⾏．本题所给⼏何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，⽽①②③④⑤符合，故选C.2．下⾯图形中，为棱锥的是（）A ．①③B ．③④C ．①②④D ．①②解析：选 C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．有⼀个多⾯体，共有四个⾯围成，每⼀个⾯都是三⾓形，则这个⼏何体为（）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱锥解析：选D.根据棱锥的定义可知该⼏何体是三棱锥．4．⼀个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为__________cm.解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12（cm ）．答案：125．画⼀个三棱台，再把它分成：（1）⼀个三棱柱和另⼀个多⾯体．（2）三个三棱锥，并⽤字母表⽰．解：画三棱台⼀定要利⽤三棱锥．（1）如图①所⽰，三棱柱是棱柱A ′B ′C ′-AB ″C ″，另⼀个多⾯体是B ′C ′C ″B ″BC . （2）如图②所⽰，三个三棱锥分别是A ′-ABC ，B ′-A ′BC ，C ′-A ′B ′C . 第2课时【教学过程】⼀、问题导⼊预习教材内容，思考以下问题：1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3．这些旋转体的侧⾯展开图和轴截⾯分别是什么图形？⼆、新知探究圆柱、圆锥、圆台、球的概念例1：（1）给出下列说法：①圆柱的底⾯是圆⾯；②经过圆柱任意两条母线的截⾯是⼀个矩形⾯；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截⾯间的⼏何体还是⼀个旋转体．其中说法正确的是________．（2）给出以下说法：①球的半径是球⾯上任意⼀点与球⼼所连线段的长；②球的直径是球⾯上任意两点间所连线段的长；③⽤⼀个平⾯截⼀个球，得到的截⾯可以是⼀个正⽅形；④过圆柱轴的平⾯截圆柱所得截⾯形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】（1）①正确，圆柱的底⾯是圆⾯；②正确，如图所⽰，经过圆柱任意两条母线的截⾯是⼀个矩形⾯；③不正确，圆台的母线延长相交于⼀点；④不正确，圆柱夹在两个平⾏于底⾯的截⾯间的⼏何体才是旋转体．（2）根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球⼼；③不正确，因为球的任何截⾯都是圆⾯；④正确．【答案】（1）①②（2）①④[规律⽅法]（1）判断简单旋转体结构特征的⽅法①明确由哪个平⾯图形旋转⽽成；②明确旋转轴是哪条直线．（2）简单旋转体的轴截⾯及其应⽤①简单旋转体的轴截⾯中有底⾯半径、母线、⾼等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截⾯中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平⾯图形的转化思想．简单组合体的结构特征例2：如图所⽰的⼏何体是由下⾯哪⼀个平⾯图形旋转⽽形成的（）【解析】该⼏何体⾃上⽽下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合⽽成，故应选A.【答案】A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平⾯图形旋转⼀周，试说出它形成的⼏何体的结构特征．解：①是直⾓三⾓形，旋转后形成圆锥；②是直⾓梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的⼏何体如图所⽰．通过观察可知，该⼏何体是由⼀个圆锥、⼀个圆台和⼀个圆柱⾃上⽽下拼接⽽成的．[求解策略]不规则平⾯图形旋转形成⼏何体的结构特征的分析策略（1）分割：⾸先要对原平⾯图形适当分割，⼀般分割成矩形、梯形、三⾓形或圆（半圆或四分之⼀圆）等基本图形．（2）定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进⾏分析．旋转体中的计算问题例3：如图所⽰，⽤⼀个平⾏于圆锥SO 底⾯的平⾯截这个圆锥，截得圆台上、下底⾯的⾯积之⽐为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底⾯⾯积之⽐为1∶16，可设截得的圆台的上、下底⾯的半径分别为r cm ，4r cm.过轴SO 作截⾯，如图所⽰，则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm.所以SA ′SA ＝O ′A ′OA ，所以33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台O ′O 的母线长为9 cm. [规律⽅法]解决旋转体中计算问题的⽅法⽤平⾏于底⾯的平⾯去截柱、锥、台等⼏何体，注意抓住截⾯的性质（与底⾯全等或相似），同时结合旋转体中的轴截⾯（经过旋转轴的截⾯）的⼏何性质，利⽤相似三⾓形中的相似⽐，列出相关⼏何变量的⽅程（组）⽽解得．[注意]在研究与截⾯有关的问题时，要注意截⾯与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截⾯的形状也会随之发⽣变化．【课堂总结】1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征图⽰及相轴：旋转轴叫做圆柱的轴底⾯：垂直于轴的边旋转⽽成的圆⾯侧⾯：平⾏于轴的边旋转⽽成的曲⾯母线：⽆论旋转到什么位置，平⾏于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体周形成的⾯所围成的旋转体图⽰及相关轴：旋转轴叫做圆锥的轴底⾯：垂直于轴的边旋转⽽成的圆⾯侧⾯：直⾓三⾓形的斜边旋转⽽成的曲⾯母线：锥体：圆锥和棱锥统称为锥体⽤平⾏于圆锥底⾯的平⾯去截圆锥，底⾯与截⾯之间的部分图⽰及相轴：圆锥的轴底⾯：圆锥的底⾯和截⾯侧⾯：圆锥的侧⾯在底⾯和截⾯之间的部分母线：圆锥的母线在底⾯与截⾯之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体球⾯所围成的旋转体叫做球体，简称球图⽰及相球⼼：半圆的圆⼼半径：半圆的半径直径：半圆的直径[名师点拨]（1）球⼼和截⾯圆⼼的连线垂直于截⾯．（2）球⼼到截⾯的距离d与球的半径R及截⾯圆的半径r有如下关系：r ＝R2－d2.2．简单组合体（1）概念由简单⼏何体组合⽽成的⼏何体叫做简单组合体．（2）两种构成形式①由简单⼏何体拼接⽽成；②由简单⼏何体截去或挖去⼀部分⽽成．【课堂检测】1．如图所⽰的图形中有（）A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B.根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台，故应选B.2．⽤⼀个平⾯去截⼀个⼏何体，得到的截⾯是圆⾯，则这个⼏何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱答案：D3．下列说法中正确的是________．①连接圆柱上、下底⾯圆周上两点的线段是圆柱的母线；②圆锥截去⼀个⼩圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧⾯上⼀点，有⽆数条母线．解析：①错误，连接圆柱上、下底⾯圆周上两点的线段不⼀定与圆柱的轴平⾏，所以①不正确．③错误，通过圆台侧⾯上⼀点，只有⼀条母线．答案：②4．⼀个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹⾓为30°，则圆锥的⾼h为________cm.解析：h＝20cos 30°＝20×32＝103（cm）．答案：10 35．如图所⽰，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转⼀周，可得到怎样的空间⼏何体？该⼏何体有什么特点？解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转⼀周，所得⼏何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的⼏何体，如图（1）所⽰．若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转⼀周，所得⼏何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的⼏何体，如图（2）所⽰．。
人教A版高中数学必修第二册第8章教学课件8.1基本立体图形(第1课时)
三、认识棱柱、棱锥、棱台
棱锥的概念
一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个
公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．
类比棱柱的学习过程，你能给出棱锥的相关概念吗？ 底面：棱锥的多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点．
三、认识棱柱、棱锥、棱台
（2）认识一个几何体，我们应关注哪些内容，其基 本思路是什么？由此你能对研究一个几何对象 的内容、思路和方法有一定的体会吗？请结合 本节课一个具体的几何体谈谈你的体会．
七、布置作业
作业： 教科书习题8.1第1，2，6，7，10题．
目标检测设计
1．下列说法中正确的是（ ）． （A）棱柱的侧面可以是三角形 （B）由六个大小一样的正方形所组成的图形是正 方体的展开图 （C）正方体的各条棱都相等 （D）棱柱的各条棱都相等
目标检测设计
2．在多面体中，三棱锥有什么结构特征？ 3．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其
中FG∥B′C′∥EH，剩下的几何体是什么？截去的 几何体是什么？你能说出它们的名称吗？
再见
棱锥的分类 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点 与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．
三、认识棱柱、棱锥、棱台
问题6 我们知道，常见的多面体除了棱柱、棱锥以 外，还有棱台．棱台可以看作是由截棱锥形成的．
观察由棱锥截得棱台的动画，你能发现二者之间 的关系吗？类比棱柱与棱锥，你能给出棱台的相关概 念并对棱台进行表示和分类吗体的面的特点，上述图片反映的几
何体可以分为哪几类？各类几何体具有什么样的结构特征？
数学人教A版(2019)必修第二册8
∴四边形ACC′A′是平行四边形.
∴AC=A′C′，
∴△ABC≌△ A′B′C′.
是否也有类似的结论？例如，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，DC//AB, A′B′
//AB. DC与A'B'平行吗?
C′
D′
A′
B
′
A
A'
C
D
A
B
C
B'
C'
B
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行. 它
给出了判断空间两条直线平行的依据. 基本事实4表达的性质通常叫做平行
∴四边形EFGH 是平行四边形.
H
E
D
G
B
F
C
练习一
如图，在三棱柱中，E,F分别是AB,AC上的点，且AE:EB=AF:FC,则EF与位置
关系是_______
解：平行
由平行线分线段成比例定理的性质得EF//BC,从而可判
断结论。
在△ABC中∵AE:EB=AF:FC∴EF//BC
又BC// ,所以EF//
人教A版2019必修第二册
第 8章 立体几何初步
8.5.1 直线与直线平行
学习目标：
1.掌握基本事实4的内容及应用；
2.理解空间等角定理的内容及应用.
教学重点：
基本事实4与等角定理的应用.
教学难点：
等角定理中角的相等与互补的辨别.
复习引入
在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线
高中数学 第八章 立体几何初步 8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征习题(含解析)新人教A版
第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.2.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,知这4个图都满足.3.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是() A.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台A'-BCC'B'.4.下列说法错误的有()①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.A.0个B.1个C.2个D.3个,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(),看哪一个可以折叠围成正方体即可.6.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.8.一个几何体的表面展开平面图如图.(1)该几何体是哪种几何体;(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.9.按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).(1)一个三棱柱和一个多面体;(2)三个三棱锥.在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC 与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)能力提升练1.(2020检测)一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥必不是()A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥,正六边形共由6个等边三角形构成,设每个等边三角形的边长为r,正六棱锥的高为h,正六棱锥的侧棱长为l,由正六棱锥的高h、底面正六边形的边长r、侧棱长l构成直角三角形得,h2+r2=l2,故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D.2.(2020某某某某检测)设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是()A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.3.(2020全国高一课时练习)下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(),变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.4.(2020某某黄冈检测)下列说法正确的有个.①棱台的侧棱都相等;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.5.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF 均为直角三角形.(3)S△PEF=a2,S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2,S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.素养培优练如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E BE=,再在长方形BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F D1F=,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为.。
高中数学人教A版必修第二册8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件
探究二
思维辨析
随堂演练
解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又 VA=VA1=4,∴AA1=4 2,∴△AEF周长的最小值为4 2.
反思感悟 本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要
答案:①③④⑤
防范措施 在解答关于空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定 义,切忌只凭图形主观臆断.同时立体几何问题中也要注意分类讨 论思想的应用,否则就会因审题片面而出错.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
变式训练如图,甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台?为什么?
解:题图甲这个几何体不是棱柱.这是因为虽然上、下面平行,但 是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内.所以多边形 ABB1B2A2A1不是一个平面图形,它更不是一个平行四边形,因此这 个几何体不是一个棱柱.题图乙中的六个三角形没有一个公共点, 故不是棱锥,只是一个多面体;题图丙也不是棱台,因为侧棱的延长 线不能相交于同一点.
①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;②各个面都是三角 形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰 梯形的六面体是棱台;④四棱锥有4个顶点.
A.0个 B.1个 C.3个D.4个 分析所给命题→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构 特征→作出判断 答案:A
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
课堂篇探究学习
解:作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是 线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B 之间最短的绳长为5.