镜像法

/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。

例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。

一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。

这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。

在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。

如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。

待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。

在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。

点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。

导体表面感应电荷分布可由边界条件0S n z D E ρε==决定，即2223/22()S qdx y d ρπ=-++ (4.32a)或223/22()S qd r d ρπ=-+ (4.32b)式中222r x y=+。

它是导体表面上任一点到原点的距离的平方。

由式(4.32)可以看出，导体表面上感应电荷分布是不均匀的，感应电荷密度分布如图4.3所示。

导体表面上感应电荷总量为d d S S q x y ρ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰q=-导体表面上感应电荷对点电荷q 的作用力，也可用镜像电荷'q 对点电荷q 的作用力来计算，即22016zqF a dπε=-(4.33)若在无限大接地导体平面附近有多个点电荷存在，则可给出每个点电荷对应的镜像电荷的位置和大小，空间电场将是所有点电荷及其镜像电荷产生的电场的叠加。

4.4.2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像设一无限长的均匀带电的直线电荷，位于无限大接地导体平面上方，且与导图4.体平面平行，线电荷密度为l ρ，与导体平面距离为h ，如图4.4(a)所示我们可以将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。

根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为l ρ-，位置如图4.4(b)所示。

由第二章中【例2-4】，可得待求场域(0)y >中的电位为201ln2lr r ρφπε=(4.34)式中，221/21[()]r x y h =+-,221/22[()]r x y h =++。

当12r r =时，0φ=，满足接地导体平面边界电位为零的条件。

上半空间的电场为12010222ll r r E a a r r ρρπεπε-=+(4.35a)或12221/2221/2002[()]2[()]llr r E a a x y h x y h ρρπεπε-=++-++ (4.35b)4.4.3 点电荷对无限大介质平面的镜像设一点电荷q 位于一无限大介质分界平面附近，且与分界面的距离为d ，界面两侧介质的介电常数分别为1ε和2ε，如图4.5(a)所示。

由于点电荷q 产生的电场对界面两侧的介质均有极化作用，在介质分界面两(a) (b) (c)图4.5 点电荷对无限大介质平面的镜像侧将出现极化电荷，空间任一点的电位将由点电荷和分界面的极化电荷共同产生。

设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作 用，满足界面上的边界条件，根据惟一性定理，空间场就可唯一确定了。

在两种介质分界面上边界条件为12φφ=，12n n D D =，12t t E E = (4.36)由于分界面两侧均为待求场域，所以要对两个区域分别讨论。

当待求区域为介质1所在区域时设想一镜像电荷'q 位于区域x 中，且'q 的位置与q 关于分界面对称，如图4.5(b)所示 。

此时，将整个区域的介电常数视为1ε，那么区域1中任一点的电位为111'44'q q RR φπεπε=+(4.37)区域1内，任一点处的电位移矢量为1'22'44'R R q q D a a RR ππ=+(4.38)当待求区域为介质2所在区域时设想一镜像电荷''q 位于区域1中，且''q 的位置与q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2ε，如图4.5(c)所示。

于是，区域2种任一点的电位和电位移矢量分别为22''4''q q R φπε+=(4.39)2''2''4''R q q D a R += π(4.40)在分界面上，当'''R R R ==时，式(4.37)和(4.39)应满足电位连续的边界条件，得12'''q q q q εε++= (4.41)式(4.38) 和式(4.40)应满足法向分量相等的边界条件，可得'''q q q q -=+(4.42)联立式(4.41)和式(4.42)可得1212'''q q qεεεε-=-=+ (4.43)我们将'q 和''q 代入式(4.37)、式(4.38)、式(4.39)和式(4.40)中，便可得到两个区域中的电位和电场分布。

4.4.4 线电流对无限大磁介质平面的镜像设一无限长的直线电流I 位于一无限大磁介质分界面平面附近，该电流与分界面平行，且与分界面距离为d ，界面两侧磁介质的磁导率分别为1μ和2μ，如图4.6(a)所示。

由于电流I 产生的磁场对界面两侧的磁介质均产生磁化作用，在分界面上 出现磁化电流，设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边 界条件不变，则空间磁场就可以用电流I 和镜像电流产生的磁场叠加来计算。

1.当计算上半空间的磁场时可认为整个空间充满磁导率为1μ的磁介质，在下半空间有一镜像电流'I ，且'I 与I 关于分界面对称，如图4.6(b)所示。

上半空间任一点的磁场由电流I 和镜像电流'I 共同产生，即1''22'I I H a a rr ϕϕππ=+(4.44)2.当计算下半空间磁场时可认为整个空间充满磁导率为2μ的磁介质，在上半空间有一镜像电流''I ，且''I 与电流I 位置重合，如图4.6(c)所示。

下半空间任一点的磁场由电流I 和镜像电流''I 共同产生，即2''''2''I I H a r ϕπ+=(4.45)在分界面上，当'''r r r ==时，磁场的边界条件为12t tH H =，12n n B B = (4.46)从图4.6(b)和图4.6(c)可以看出1'sin sin 22t I I H rrϕϕππ=-2''sin 2t I I H rϕπ+=111'cos cos 22n II B rrμμϕϕππ=+22('')cos 2n I I B rμϕπ+=由边界条件式(4.46)得'''I I I I -=+ (4.47)12(')('')I I I I μμ+=+ (4.48)联立式(4.47)和式(4.48)可得2121'''I I Iμμμμ-=-=+ (4.49)图4.6 线电流对无限大磁介质平面的镜像根据两种磁介质参数1μ和2μ的不同，由式(4.49)可确定镜像电流'I 和''I 的大小和方向。

(1)当21μμ>时，则'0I >，''0I <，说明'I 与I 方向一致，''I 与I 方向相反； (2)当21μμ<时，则'0I <，''0I >，说明'I 与I 方向相反，''I 与I 方向相同； (3)当1μ有限，2μ→∞，即第二种媒质为铁磁物质时，则'I I =，''I I =-，此时，铁磁质中各点的磁场强度2H为零。

而磁感应强度的大小为(a)(c)(b)221212222121lim lim [()]2I B H I I r rμμμμμμμμμππ→∞→∞-==+=+ (4.50)(4)当1μ→∞，2μ为有限时，则'I I ≈-，''I I ≈，说明当电流I 位于磁物质中时，下半空间的磁感应强度比电流位于整个空间充满磁介质2μ时产生的磁感应强度增加了一倍。