北京科技大学2006-2007学年度第1学期高等数学A试题及标准答案
北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2009--2010学年第一学期高 等 数 学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（ ）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装 订 线 内 不 得 答 题 自觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（ ）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（ ）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（ ）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。
2006-2007高等数学A(一)B
2006-2007高等数学A （一）B 试卷大题 一二三四五六七八成绩一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)[][][]上的定积分，．在 差上的积分与一个常数之，．在 ．一个原函数 ．原函数一般表示式 的是，则 连续，，在、设b a D b a C B A x f x F b x a t x f x F b a x f b x)( )()( )()()()(d )()()(1≤-≤=⎰-().11)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan22222C xD C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则、设 ()2112212121)()()()()(,,3s s D s s C s s B s s A dx x f s s ba---+=⎰ 则如图表示的面积和、123)30(01343． ． ． ． ）内的实根的个数为（ ，在、方程D C B A x x =+-()4)(2)(1)(0)()cos1)x 1ln(x 52222 （、 D C B A dx x ⎰-=-+++ππ二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分2小题, 每小题5分, 共10分)1、.________________ln cot ln lim的值等于xx x +→2、,)(cos 的一个原函数是已知x f xx =⋅⎰x xx x f d cos )(则___________.三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )在求过)3,2,4(0-P 与平面010:=-++z y x π平行且与直线⎩⎨⎧=-=--+010052:1z z y x l垂直的直线方程。
四、解答下列各题(本大题共3小题，总计18分) 1、(本小题6分)⎰.d )(ln 2x x 求 2、(本小题6分)．求⎰-10221dx x x3、(本小题6分)设非零向量a b ,满足b a b a b a b a 532,52-⊥+-⊥+，求(,)a b ∧。
07-08(1)高数I(A)参考答案
2007-2008学年第一学期2007级电气、电子、工程管理、机制、教技、土木工程、计算机、农机、网络工程、物理专业高等数学Ⅰ 试卷A 参考答案一、填空题(填对每空得2分，填错或不填每空得0分，计20分) 1．982442424++++x x x x ．2．3-e．3． 3 ． 4． 3 ． 5． （ 0 ，-1 ）． 6．21．7．0144=++y x ．8．51．9． 0 ． 10．14．二、选择题（选对每题得2分，不选、选错或多选每题得0分，计10分） 1．（ D ） 2．（ B ） 3．（ C ） 4．（ A ） 5．（ B ）三、计算题（每小题5分，计20分）1．解： xx x x x x x x sin )sin 21(1lim sin 2cos 1lim 200--=-→→…………………………2分xx xx sin sin 2lim 20→= …………………………………3分 x xx sin 2lim0→=..........................................4分 2=． (5)分2．解：应用洛必达法则得xxx xtd t t x xx 2arctan limarctan lim20-=∞-→∞-→⎰………………………3分x x a r c t a nlim 21∞-→-= ………………………4分 4)2(21ππ=-⨯-=. ………………………5分3．解： ⎰dx xx2sin ⎰-=x xd cot ……………………………………1分 ⎰+-=xdx x x cot cot ， …………………………2分 ⎰+-=dx x x x x sin cos cot ……………………………3分 ⎰+-=x d x x x s i n s i n1c o t ………………………4分c x x x ++-=|s i n |ln cot ．………………………5分4．解： ⎰-+1021xx dx ⎰+=20cos sin cos sin πtt tdt tx ……………………………1分⎰++=202)cos (sin )cos (sin cos πt t dt t t t (2)分⎰+++=202sin 112cos 2sin 21πdttt t……………………3分⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=202sin 12cos 121πdt t t ………………………4分 4)2sin 1ln(212120ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=t t ．………………5分四、解答题（每小题5分，计20分） 1．解：)sin ()cos 1(t t ad t ad dxdy --= (1)分ttcos 1sin -=． …………………………………………2分)sin (cos 1sin 22t t ad t t d dxy d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ………………………………………3分)cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos 22t a t t t t ----=……………………………4分23)cos 1(1)cos 1(1cos t a t a t --=--=． …………………5分 2．解： 方程两边同时微分得)()(y x e d xy d += ………………………1分即 )(dy dx e xdy ydx y x +=++ ……………………3分 整理得 ydx dx e dy e xdy y x y x -=-++， …………………4分 从而得 dx ex yedy yx yx ++--=．……………………………5分3．解：令u e x=可得u x ln =，代入已知式得 ……………………………1分 u u f ln )(='， c u u u udu +-=⎰ln ln …………………2分 从而有 0ln )(c u u u u f +-= ……………………………………3分 由0)1(=f 得 10=c ……………………………………………4分 因此 1ln )(+-=x x x x f ． ……………………………………5分4．解：设所求平面的法线向量为0),,(≠=C B A n ，两个已知平面的法线向量分别为)4,2,1(,)2,5,3(21-=-=n n， ……………………………………1分则有n n n n⊥⊥21, 即有 ⎩⎨⎧=+-=-+0420253C B A C B A ………………………2分得 A C A B 1611,87-=-=，0≠A ……………………………………3分 所以所求平面的方程为 0)3(161187)2(=+---z A Ay x A ，………4分整理得所求平面的方程为 065111416=---z y x ． …………………5分五、证明题（6分×2题＝12分） 1．证明：由题设有hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→，所以…………………1分hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h )]()5([)()3(lim)5()3(lim 00000000----+=--+→→……………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=→h x f h x f h x f h x f h )()5()()3(lim 00000…………3分hx f h x f h x f h x f h h 5)()5(lim53)()3(lim3000000---+-+=→→……5分)(8)(5)(3000x f x f x f '='+'=． (6)分2．证：设x x x x f -++=)1ln()1()(，则0)0(=f ，………………………1分 又 )1l n ()(x x f +='． ……………………………………………2分 当0>x 时， 0)(>'x f ，函数单调增加， ……………………3分当01<<-x 时， 0)(<'x f ，函数单调减少．………………………4分 从而，当01≠<-x 时有0)(>x f ，且0)0(=f ， ………………………5分因此，当1->x 时，x x x ≥++)1ln()1(． ……………………………6分六、综合应用题（6分×3题＝18分）解：由⎩⎨⎧=+-=022y x x y 得两曲线交点为)4,2(),1,1(-， …………………1分1．图形面积为 ⎰--+=212)2(dx x x A …………………………3分 29312212132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x x ， …………………6分2．图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰--+=21222])()2[(dx x x V x π……………………………9分 57251)2(312153ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x ……………………12分3．曲线2x y =交y 轴于点)0,0(，直线02=+-y x 与y 交于点)2,0( ……………………………13分图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰⎰--=4422)2(dy y ydy V y ππ， (15)分 316)2(32423402πππ=--=y y ； ………………………18分。
06年高等数学(上)试题及答案
华东交通大学2006—2007学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科06级) 课程类别：必闭卷（√） 考试日期：2007.1.15 题号 一 二三四 五 总分 12 3 4 5 6 7 1 2分值 10 15 7777777998阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)______)1(34)( 122=-+-=x x x x x x f 第一类间断点为设函数、___________ 11 2 02=+=⎰dy dt t y x则，设、_______)1 1(1 3==K xy 处的曲率，在点等边双曲线、_________141=+⎰dx x x、__________ } 3 2{}2 1 1{ 5==-=λλ则垂直，，，与，，已知向量、b a二、选择题(每题 3分，共15分)∞=--+∞→ D. 2 C. 1 B. 0 . A )B ()sin 11( 122limx x x x x 、22222221 D. )1(2 C. 12 B. 2 A.) C ( )()1ln(arctan 2t t t dxy d x y y t y t x -++==⎩⎨⎧+==则，确定设、 得分 评阅人得分 评阅人1dx x211+222ln 1-21xx ex e x x x e x xxsin D. C. )ln(1 B. 1 A.)D (0 3><>++<>时成立的是当下列各式中，、1cos D. 1cos C. 1sin B. 1sinA.) A ()1(1sin )( 42C x C x C x C x dx xf xx x f ++-++-='=⎰则，设、⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+=-+⎩⎨⎧=+=++822 D. 0 822 C.0 822 B. 822 A.)D ( 19522222222222z y y x y y y x x y y x y y x xoy z y z y x 为平面上的投影曲线方程在曲线、三、计算题(每题 7分，共49分)x x x ex x 222sin 112lim--→、21 42 21422 1 2222limlimlimlim23042==-=-=--=→→→→xxe xe x xxe x x ex x xx x x xx 原式解：)22(2lim n n n n n --+∞→、 2 21214 224 limlim=-++=-++=∞→∞→nn nn n n nn n 原式解：得分 评阅人得分评阅人y e e y xx '++=求，设、 )1ln( 32 xx x x xxxx x x x e ee e e e e e e ee y 222122221 ]2)1(21[11 )1(11+=⋅++++='++++='-解：dxx x ⎰-2214、Cx x xCt t dtt tdttdttttdt dx t x +---=+--=-=====⎰⎰⎰arcsin 1 cot )1(csccot cos sincos cos sin 2222原式则，令解：dxx x ⎰1arctan 5、)1(arctan 121+=⎰x d x 原式解：得分 评阅人得分 评阅人得分 评阅人分扣缺1C。
北京科技大学2009-2012高等数学第一学期期中考试题
C
G ( x ) 是 g ( x ) 的高阶无穷小;
D
G ( x) 是 g ( x) 的低阶无穷小.
17．设有下列四个条件：(1) f ( x) 在 a, b 上连续； (2) f ( x) 在 a, b 上有界； (3) f ( x) 在 a, b 上可导； (4) x0 a , b , lim f ( x ) 存在, 则上述 4 个命题的正确关系
A
偶函数
B
奇函数
2．以下哪个说法（
A
非奇非偶函数 ）与 lim xn A 的定义等价.
n
C
D
有界函数
(0,1), 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A 100 . B 1, 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A . C 对任意的自然数 N , 存在 0, 当 n N 时，有 xn A . D 存在自然数 N , 对任意 0, 当 n N 时，有 xn A .
北京科技大学 2009——2010 学年第一学期
高 等 数 学 A(I) 期中试卷
院(系) 班级 学号 姓名 考场
题号 得分 评阅
一
二
三
课程考核成绩
说明: 1 、考场、学院、班、学号、姓名均需写全 , 不写全的试卷为废卷 ; 2 、涂改学号及姓名的试卷为废卷； 3 、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.
高等数学 AI 期中试卷
第 3 页 共 7 页
得 分
四、应用题（本题共 5 分）
k3 2 2 x ,其中 x 是箭离原点的水平距离, 20．一射手在原点射出的箭的轨迹方程为 y kx 300 y 是相应的高度( x 轴为地平线， 距离单位为 m), 正数 k 是轨迹曲线在原点处的切线斜率. 问 (1) 正数 k 取何值时， 箭的水平射程最大？ (2) 正数 k 取何值时， 箭射中 30m 远处一直立墙面的高度最大？
2006-2007(1)高等数学试题(A卷)(54)解答
2006-2007(1)高等数学试题(A 卷)(54)解答第 2 页 共 6页学院领导 审批并签名A 卷广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（54学时）参考解答与评分标准题 次 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 分 数 15 15 18 12 24 10 6 100 得分 评卷人一．填空题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 10lim(1)xx x →-= 1-e2．=++∞→x x x x cos 122lim 20 3. 曲线2x y =在点)4,2(处的切线方程为440y x -+=学院专业班级姓名学号第 3 页 共 6页4. 函数2x e y -=的渐近线为 0=y5. 曲线233x x y -=的拐点坐标为 (1,-2)二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．下列函数为偶函数的是（ C ）.(A) x x cos ; (B) 1+x ; (C) 12+x; (D)xx cos +.2. 当0→x 时,11-+x 是2x 的( B )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶但不等价; (D) 等价.3．函数)(x f 在点0x 处有定义,是函数)(x f 在点0x处连续的( A ).(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.4. 函数||y x =在点0=x 处（ B ）.(A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.5. 设⎰+-=C x dx x f sin )(, 则=')(x f ( D ).(A) cos x -; (B) x sin -; (C) x cos ; (D) sin x .第 4 页共 6页第 5 页 共 6页求0|=x dxdy . 解:方程 2=+-x ye xy e(*)两端同时对x 求导,得0=+'--'x y e y x y y e (**) 3分 在(*)式中令0=x ,得 0)0(=y 在(**)式中令0=x ,得 1)0(-='y 6分即 0|=x dxdy =-1第 6 页 共 6页四．计算下列极限(每小题6分，本大题满分12分)1. 0sin lim (1cos )x x xx x →--. 解:原式=3021sin limx xx x -→2分=2023cos 1limx x x -→4分=xxx 3sin lim 0→ =316分 2．xx xln 12)1(lim ++∞→. 解:原式=x x x eln )1ln(lim2++∞→2分 =2212limxx x e ++∞→4分 =2e装 订 线 内 不 要答 题第 7 页 共 6页6分五．计算下列积分(每小题6分，本大题满分24分)1. dx x x )3(-⎰.解: 原式=dxx dx x ⎰⎰-2/12/333分=C x x +-2/32/52526分 2. ⎰dxx x )1(sin 2+.解:原式=⎰⎰+xdxdx xx 2sin2分 =22221)(sin 21x x d x +⎰4分 =C x x +--)(cos 21226分第 8 页 共 6页3. 22ln(1)x dxx +⎰. 解:原式=)1()1ln(2⎰-+xd x2分=)1ln(1)1ln(122+++-⎰x d xxx=dx xx x ⎰+++-2212)1ln(14分 =C x x x+++-arctan 2)1ln(126分 4. dxxx ⎰+31.解: 令6u x =,则du u dx 56= ∴dxxx ⎰+31=duu u u ⎰+2356=du uu ⎰+1633分=duuu ⎰+-+11)1(63第 9 页 共 6页=du udu u u ⎰⎰+-+-11)1([62]=Cu u u u ++-+-)1ln(663223=Cx x x x ++-+-)1ln(6626636分第 10 页 共 6页六．(本题满分10分)某厂生产x件产品的成本为 21()2500020040C x x x =++(元). 问(1) 若使平均成本最小, 应生产多少件产品?(2) 若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品?解: (1)依题意, 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++== 2分所以 40125000)(2+-='xx C 令0)(='x C ,得1000=x5分故要使平均成本最小, 应生产1000件产品; (2) 依题意, 利润)40120025000(500)(2x x x x L ++-==240125000300x x --7分装 订 线 内 不 要答 题第 11 页 共 6页则 x x L 201300)(-='令0)(='x L ,得6000=x10分 故若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产6000件产品.七．(本题满分6分)证明: 当0x >时,221)1ln(1x x x x +>+++. 证明: 令221)1ln(1)(x x x x x f +-+++= 2分 则有 22221111)1ln()(x xx x x x x x x x f +-+++++++=' =)1ln(2x x ++>0(当0>x 时)第 12 页 共 6页 4分故函数)(x f 在(0,+∞)内是单调增加函数,所以 当0x >时,)0()(f x f >=0, 即 221)1ln(1x x x x +>+++. 6分。
07-08高数A1甲卷答案
姓名 班级 学号装 订 线安徽工业大学高等数学A1期末试卷(甲卷)参考答案与评分标准一、 单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）二、 填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 说明：①第10题和第16题每一小空1分 ②第16题中点b a ,,0的端点开闭均可9.45 10. 2009- ，小 11. 3234πa 12．0 13. 20092 14. 1 15. )()!1(!232n n x o n x x x x +-++++ 16. ),0(),(b a 及 -∞，0四、解答题(本题共６小题，满分44分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 25. (本题满分8分)解：2cos 10x x -→时， ～2)(22x , ------------------------------------ 2分2sin x ～2x --------------------------------------------------3分原式22402lim x x x x ⋅=→21= ---------------------------------------------- 8分说明：本题解法较多，可参照上述标准给分，如等价无穷小代换与洛必达法则结合使用。
26. (本题满分10分) 解：1)(-='n nxx f ，n f k ='=)1( -----------------------------------２分切线方程 )1(--=n nx y -----------------------------------４分令0=y 得n n x 1-=故nn n 1-=ξ ---------------------------６分 )(lim n n f ξ∞→nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1lim )1(11lim -⋅-∞→⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n 1-=e ----------10分27. (本题满分8分)解: θθx y dx dy ''= ---------------------------------------------------------------- 2分2212111θθθ++-=------------------------------------------------------- 5分2θ=---------------------------------------------------------------- 6分00==θ时，x ，------------------------------------------------- 7分 ==0x dxdy 02=θθ0=-----------------------------------------------8分说明：没有注明00==θ时，x 的扣１分 28.(本题满分８分)解: dx x x ⎰3sin +dx x x x ⎰++)1(21222---------- -----------------------1分 ⎰-=x xd 3cos 31dx x x )111(22⎰+++ )3cos 3cos (31⎰--=xdx x x x x arctan 1+-)]3(3cos 313cos [31⎰--=x xd x x x x arctan 1+--------------6分)3sin 313cos (31x x x --=c x x++-arctan 1--------------- - 8分说明：两个积分对一个给3分，丢了积分常数c 的扣2分29.(本题满分5分) 解：)1(21x xy -=' --------------------------------------------------- 1分 dx y s ⎰'+=3121-----------------------------------------------------3分dx x x⎰++=31)21(41 dx x x⎰+=31)1(21 ----------------------------------------------4分 3123)31(x x +=3432-=--------------------------------------5分30.(本题满分5分)证明：令 )()(x xf x F =，------------------------------------------------1分 则)(x F 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导，-----------------3分 且0)2008()0(==F F ，由罗尔定理得 ------------------------------4分 至少存在一点c ，使0)('=c F ，即0)()('=+c f c c f ， 也即cc f c f )()('-= 得证。
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
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高等数学试卷(A）
院(系)班级学号姓名
试卷卷面成绩
占课程考核成绩７0%
平时成绩占３0%
课程考核成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
小计
得分
阅卷
校对
得分
一、填空题（每小题3分，共1５分)
１.设 .
2.已知 ,则全微分 .
３.已知 ,则 .
4. .是求函数 在区间 上的最小值．
根据 ，可得驻点 .（1分)
由实际问题考虑,此函数的最小值存在,且驻点是唯一的.
则当行驶速度为 公里/小时时总费用最省.（1分）
十一．如图:
（3分）
当水面下降高度为h时,
(１分)
由上二式可以解得 （1分)
十二
（1)解：由题设知
上式两边对于 求导得: 。
得 分
二、单项选择题（每小题3分,共1５分）
６．设 在 处连续，则a的值为【】.
(A)0(B)１(C)２(D）
7．在空间直角坐标系下,z轴的对称式方程为【】．
(A） ;（Ｂ） ；
（C) ；（Ｄ) .
8.函数 在点 可导，则 下列结论正确的是【】
（A） (Ｂ) ( C） (Ｄ)0
9.已知函数 具有任意阶导数， 且 ,则当n为大于2的整数时, 的n阶导数 是【】
得 分
十、(５分)已知汽车行驶每小时的耗油费用为 （元),它与行驶速度 （公里／ 小时）的关系为 .若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元，问汽车最经济的行驶速度为多少?
得 分
十一、（5分)如图:已知半径为 的半球形水池充满了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时,水面下降的高度。
（A） (B) （C) （D) 。
1０．设 的导数是 ,则 的一个原函数为【】
(Ａ)１＋ （Ｂ）1－ （C)1＋ (D)1－
得 分
三、(8分)计算
得 分
四、(８分）设 求
得 分
五、(8分）求不定积分
得 分
六、(8分)利用定积分定义计算极限 ）
得 分
七、（8分)求极限
得 分
八、（8分)求定积分
得 分
九、(8分）求极限
三.
=
=
=0（2分）
四、 (5分）
(3分）
五解法1：;
令
（3分) (３分)
= （2分)
解法２:原式= (3分)
（3分）
(2分）
六.I (3分）= （４分)
= (1分)
七．解：原式 (３分)
考虑极限 (3分)
原式 （2分)
八解：设原积分= ，则
设原积分= ,则
（５分）
=5（３分)
九.解:原式=
十解:设汽车行驶了 公里,则耗时 小时．
设 ，得到 ,解之得到 。
由 及 ，得到 ,从而
即 。(２分)
(２)证：当 时, ， 即 单调减少,又 ，所以
。（１分）设 ,则
当 时, ,即 单调增加，因而
，即有 。综上所述得到当 时 (１分）
得 分
十二、（4分)
设函数 在区间 上可导， ,且满足等式
（1） 求导数 ;
（2）证明:当 时，成立不等式 .
A卷
北京科技大学２006—２007学年度第一学期
高等数学试卷（A)题答案及评分标准
(注:此答案及评分标准应于评阅试卷一同存档）
参考答案
一．填空题
１.
2. .
3．
４.
5．
二．选择题
６.A7.Ｂ8．Ｃ9.A１０．Ｂ