北京市房山区九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A. x2=y3B. x3=2yC. xy=32D. x3=y22.如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A. 4：9B. 2：3C. 2：3D. 16：813.已知函数y=（m-3）x m2−7是二次函数，则m的值为（）A. −3B. ±3C. 3D. ±74.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD=1，BD=2，那么AEAC的值为（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：35.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A. I=3RB. I=−6RC. I=−3RD. I=6R6.反比例函数y=3x的图象经过点（-1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（）A. y1<y2B. y1>y2C. y1=y2D. 不能确定7.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中正确的是（）A. a+b+c>0B. ab>0C. b+2a=0D. 当y>0，−1<x<38.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A. 10mB. 15mC. 20mD. 22.5m二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，-1）的二次函数的解析式______．10.已知xy=43，则x−yy=______．11.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为______．12.若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为______．13.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是______．14.如图，C1是反比例函数y=kx在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为______（x＞0）．15.如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______m．16.如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为______时，使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）18.已知二次函数y=x2-2x-3．（1）将y=x2-2x-3化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．（4）不等式x-2x-3＞0的解集是______．19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．20.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，-2）两点，求此二次函数的表达式．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=-x+1的图象的一个交点为A（-1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=-x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=kx的值的范围．22.如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．23.如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为______（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？24.已知抛物线y=x2-（2m-1）x+m2-m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．25.如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．（1）画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；（2）在抛物线型拱壁E、F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？26.有这样一个问题：探究函数y=12（x-1）（x-2）（x-3）+x的性质．（1）先从简单情况开始探究：①当函数y=12（x-1）+x时，y随x增大而______（填“增大”或“减小”）；②当函数y=12（x-1）（x-2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为______；（2）当函数y=12（x-1）（x-2）（x-3）+x时，下表为其y与x的几组对应值．据描出的点，画出该函数的图象；②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______．27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为______．28.已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．则DE•CD______CF•AD（填“＜”或“=”或“＞”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE•CD=CF•AD成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA=BC=3，DA=DC=4，∠BAD=90°，DE⊥CF．则DECF的值为______．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、由得，3x=2y，故本选项比例式成立；B、由得，xy=6，故本选项比例式不成立；C、由得，2x=3y，故本选项比例式不成立；D、由得，2x=3y，故本选项比例式不成立．故选：A．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，∴两个相似多边形周长的比等于2：3，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．3.【答案】A【解析】解：∵函数y=（m-3）x是二次函数，∴，解得：m=-3．故选：A．根据二次函数的定义结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元二次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值．本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵AD=1，DB=2，∴=，∴=．故选：B．由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，得出比例式，进一步求得答案即可．此题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定方法是解决问题的关键．5.【答案】D【解析】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，∵过（2，3），∴k=3×2=6，∴I=，故选：D．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．6.【答案】A【解析】解：∵反比例函数y=的图象经过点（-1，y1），（2，y2），∴y1=-3，y2=，∵-3＜，∴y1＜y2．故选：A．根据点的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：A、由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故本选项错误，B、由对称轴x＞0．可得-＞0，可得ab＜0，故本选项错误，C、由与x轴的交点坐标可得对称轴x=1，所以-=1，可得b+2a=0，故本选项正确，D、由图形可得当y＜0，-1＜x＜3．故本选项错误，故选：C．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．根据条件画出草图，利用数形结合的思想是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=-==15（m）．故选：B．将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．9.【答案】y=x2+2x-1【解析】解：根据题意得：y=x2+2x-1，故答案为：y=x2+2x-1根据题意写出满足题意二次函数解析式即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．10.【答案】13【解析】解：，得x=y，把x=y，代入=．故答案为：．由，得x=y，再代入所求的式子化简即可．考查了比例的性质，找出x、y的关系，代入所求式进行约分．11.【答案】y=（x-3）2-1【解析】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把（0，1）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，-1），所以平移后的抛物线为y=（x-3）2-1．故答案为y=（x-3）2-1．利用二次函数的性质得抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），利用点平移的规律得到，点（0，1）平移后对应点的坐标为（3，-1），然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12.【答案】6【解析】解：∵x=1是方程2ax2+bx=3的根，∴2a+b=3，∴当x=2时，函数y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=6，故答案为6．由x=1是方程2ax2+bx=3的根，得到2a+b=3，由x=2时，得到函数y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b），代入即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．13.【答案】100米【解析】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°．又∵∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即．解得：AB=100米．故答案为：100米先可证明△ADB∽△EDC，然后依据相似三角形的性质求解即可．本题主要考查的是相似三角形的性质与判定，依据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．14.【答案】y=-2x【解析】解：∵C2与C1关于x轴对称，∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，∵点A（2，1），∴A′坐标（2，-1），∴C2对应的函数的表达式为y=-，故答案为y=-．根据关于x轴对称的性质得出点A关于x轴的对称点A′坐标（2，-1），从而得出C2对应的函数的表达式．本题考查了反比例函数的性质，掌握关于x轴对称点的坐标是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：如图：过点C作CD⊥EF，由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，∴∠E=∠DCF，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，有=；即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．16.【答案】（-1，0）或者（1，0）或者（-4，0）【解析】解：∵点C在x轴上，∴∠BOC=90°两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，若OC与OA对应，则OC=OA=4，C（-4，0）；若OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．首先判断由B、O、C三点组成的三角形形状，再利用两个三角形直角边与直角边对应关系的两种可能，分别求解．17.【答案】解：如图，∵HE∥DF，HC∥AB，∴△CDF∽△ABE∽△CHE，∴AE：AB=CF：DC，∴AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米，由比例可知：CH=1.5米＞1米，故影响采光．【解析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值是相同的，利用者可以求出大楼的影子长AE，然后可以知道CE=1，再算出CE在CD上的高度CH，比较CH与CG的大小就可以判断是否影响采光．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例求出AE，CD，就可以解决问题．18.【答案】（0，-3）（3，0）（-1，0）x＜-1或x＞3【解析】解：（1）y=x2-2x-3=x2-2x+1-3-1=（x-1）2-4，即y=（x-1）2-4；（2）令x=0，则y=-3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，-3），又y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（-1，0）．故答案是：（0，-3）；（3，0）（-1，0）；（3）列表：图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2-2x-3＞0的解集是x＜-1或x＞3．故答案是：x＜-1或x＞3．（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y=x2-2x-3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．19.【答案】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴EACA=EDCB，又∵DE=2，BC=3，AC=6，∴EA6=23，∴AE=4．【解析】根据相似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．20.【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，-2）两点，∴c=11+b+c=−2，解得：b=−4c=1，∴二次函数的表达式为y=x2-4x+1．【解析】由二次函数经过（0，1）和（1，-2）两点，将两点代入解析式y=x2+bx+c中，即可求得二次函数的表达式．本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．21.【答案】解：（1）∵点A在一次函数y=-x+1的图象上，∴m=-（-1）+1=2，∴点A的坐标为（-1，2）．∵点A在反比例函数y=kx的图象上，∴k=-1×2=-2．∴反比例函数的表达式为y=-2x．（2）令y=-x+1=0，解得：x=1，∴点B的坐标为（1，0），∴当x=1时，y=−2x=-2．由图象可知，当x＜1时，y＞0或y＜-2．【解析】（1）由点A在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可找出反比例函数表达式；（2）令一次函数表达式中y=0求出x值，进而可得出点B的坐标，根据点B的横坐标结合图形即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标是解题的关键．22.【答案】（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴ABEC=BECF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．∴EC=BC-BE=8-2=6．∴56=2CF．∴CF=125．【解析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，又因为又∠DAE=∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC=AD=8，所以EC=BC-BE=8-2=6，代入计算即可．本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，是中考常见题型．23.【答案】y=-2x2+4x+16【解析】解：（1）y=（4-x）（4+2x）=-2x2+4x+16，故答案为：y=-2x2+4x+16；（2）根据题意可得：-2x2+4x+16=16，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），答：BE的长为2米．（1）根据题意可得DG=2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为16，进而可得矩形苗圃AEFG 的面积为16，进而可得：-2x2+4x+16=16，再解方程即可．此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．24.【答案】（1）证明：令y=0得：x2-（2m-1）x+m2-m=0，∵△=（2m-1）2-4（m2-m）×1=（4m2-4m+1）-（4m2-4m）=1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x=0，根据题意有：m2-m=-3m+3，解得m=-3或1．【解析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；（2）根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与x轴的交点等．25.【答案】解：（1）画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为（6，10），A点坐标为（0，4），可设抛物线ADC的函数表达式为y=a（x-6）2+10，将x=0，y=4代入得：a=-16，∴抛物线ADC的函数表达式为：y=-16（x-6）2+10．（2）由y=8得：-16（x-6）2+10=8，解得：x1=6+23，x2=6-23，则EF=x1-x2=43，即两盏灯的水平距离EF是43米．【解析】（1）根据所建坐标系易求抛物线ADC的顶点坐标和A的坐标解答即可；（2）把y=8代入表达式中运用函数性质求解即可．此题主要考查了二次函数的应用，关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．26.【答案】增大（1，1），（2，2）y随x的增大而增大【解析】解：（1）①∵y=（x-1）+x=x-，k=＞0，∴y随x增大而增大，故答案为：增大；②解方程组得：，，所以两函数的交点坐标为（1，1），（2，2），故答案为：（1，1），（2，2）；（2）①②该函数的性质：①y随x的增大而增大；②函数的图象经过第一、三、四象限；③函数的图象与x轴y轴各有一个交点等，故答案为：y随x的增大而增大．（1）①根据一次函数的性质得出即可；②求出组成的方程组的解，即可得出答案；（2）①把各个点连接即可；②根据图象写出一个符合的信息即可．本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质等知识点，能够根据图象得出正确信息是解此题的关键．27.【答案】32【解析】解：（1）如图，直线l为所作；（2）∵△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，即OB=OC=3，∴C（0，3），B（3，0），把C（0，3），B（3，0）分别代入y=x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-4x=3；（3）连接BC交直线l于P，如图，则PA=PB，∵PC+PA=PC+PB=BC，∴此时PC+PA的值最小，而BC=OB=3，∴PA+PC的最小值为3．故答案为3．（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可；（2）根据等腰直角三角形的性质得到OB=OC=3，则C（0，3），B（3，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（3）连接BC交直线l于P，如图，根据两点之间线段最短可判断此时PC+PA 的值最小，然后根据等腰直角三角形的性质计算出BC即可．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．28.【答案】= 2524【解析】（1）解：DE•CD=CF•AD，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴=，∴DE•CD=CF•AD，故答案为：=．（2）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴=，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴=，∴=，∴DE•CD=CF•AD，即当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立．（3）解：=．理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CNA=90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM=CN，AN=CM，在△BAD和△BCD中∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM∽△DCN，∴=，∴=，∴CM=x，在Rt△CMB中，CM=x，BM=AM-AB=x-3，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，∴（x-3）2+（x）2=32，x=0（舍去），x=，CN=，∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF=90°，∴△AED∽△NFC，∴==，故答案为：．（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；（2）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出=，证△CGD∽△CDF，得出=，即可得出答案；（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程（x-3）2+（x）2=62，求出CN=，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．。
2021-2022学年北京市房山区初三数学第一学期期中试卷及解析
2021-2022学年北京市房山区初三数学第一学期期中试卷一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 1．（2分）二次函数2(3)1y x =-+的图象的顶点坐标是( ) A ．(3,1)- B ．(3,1)-C ．(3,1)--D ．(3,1)2．（2分）已知12x y =，则x yy+的值为( ) A ．12B ．23C ．32D ．23．（2分）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．64．（2分）如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为( ) A ．81:16B ．27:12C ．9:4D ．3:25．（2分）如图是测量河宽的示意图，测得150BD m =，75DC m =，60EC m =，则河宽AB 的长为()A ．60mB ．80mC ．100mD ．120m6．（2分）已知二次函数21y x =-图象上三点：1(1,)y -，2(2,)y ，3(3,)y ，比较1y ，2y ，3y 的大小()A ．132y y y <<B ．123y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<7．（2分）已知二次函数2(2)6y x =--，当14x -时，y 的最小值为( ) A ．3B ．0C ．2-D ．6-8．（2分）如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为xm ，矩形的面积为2Sm ．当x 在一定范围内变化时，S 随x 的变化而变化，则S 与x 满足的函数表达式为( )A ．(5)(05)S x x x =-<<B ．(10)(05)S x x x =-<<C ．(5)(05)S x x x =-<<D ．(10)(05)S x x x =-<<二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分 9．（2分）二次函数2241y x x =-++图象的开口方向是 ． 10．（2分）若23m n =，那么:m n = ．11．（2分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为 m ．12．（2分）如图，在ABC ∆中，点P 是AB 边上的一点，连接CP ，要使ACP ABC ∆∆∽，还需要补充的一个条件是 ．13．（2分）如图Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，E 是AC 上一点，5AE =，ED AB ⊥，垂足为D ，则AD 的长为 ．14．（2分）如果二次函数223y mx mx m =--的图象与y 轴的交点为(0,3)，那么m = ． 15．（2分）写出抛物线22(1)y x =-上一对关于对称轴对称的点的坐标，这对点的坐标可以是 和 ．16．（2分）如图为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)-，(3,0)．有以下3种说法：①0ac <；②0a b c ++>；③当1x >时，y 随着x 的增大而增大．这3种说法中，正确的有 ．三、解答题（本题共11道小题，17-20题每题6分，21题4分，22-24题每题6分，25题8分，26-27题每题7分，共68分）17．（6分）已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，求证：ACD CBD ∆∆∽．18．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x⋯ 2-1-0 1 2 ⋯ y⋯53-4-3-⋯（1）该二次函数与y 轴的交点坐标是 ． （2）在给定的坐标系中画出该二次函数的图象．19．（6分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，求证：ADE EFC ∆∆∽．20．（6分）已知二次函数223y x x =--．（1）将223y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式； （2）求该二次函数图象的顶点坐标．21．（4分）如图是边长为1的正方形网格，△111A B C 的顶点均为格点，在该网格中画出△222(A B C △222A B C 的顶点均在格点上），使△222A B C ∽△111A B C ．22．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象过点(1,0)A 和(0,3)B -． （1）求此二次函数的表达式；（2）设此二次函数图象的顶点为C ，写出一个过点C 的二次函数的表达式．23．（6分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，连接DE ，且ADE ACB ∠=∠． （1）求证：ADE ACB ∆∆∽；（2）如果E 是AC 的中点，8AD =，10AB =，求AE 的长．24．（6分）在矩形ABCD 中，10AB =，12BC =，点E 为DC 的中点，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥，垂足为点F ．（1）求证：BEC ABF ∆∆∽； （2）求AF 的长．25．（8分）已知二次函数243y x x =-+． （1）该函数与x 轴的交点坐标 ；（2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；x⋯ ⋯ y⋯⋯（3）根据图象回答：①当自变量x 的取值范围满足什么条件时，0y <？ ②当03x <时，y 的取值范围是多少？26．（7分）如图，AD 是ABC ∆的中线，点O 是AD 上任一点，连接BO 并延长，交AC 于点E ． （1）如图1，当12AO AD =时，求AEAC 的值； （2）如图2，当13AO AD =时，求AE AC 的值．27．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx a =++过点(1,0)A -． （1）求抛物线的对称轴；（2）直线4y x =+与y 轴交于点B ，与该抛物线对称轴交于点C ．如果该抛物线与线段BC 有交点，结合函数的图象，求a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 1．【解答】解：抛物线2(3)1y x =-+的顶点坐标是(3,1)． 故选：D ． 2．【解答】解：12x y =， ∴131122x y x y y +=+=+=． 故选：C ．3．【解答】解：两条直线被三条平行线所截，∴623x =， 解得：4x =， 故选：B ．4．【解答】解：两个相似三角形的面积之比为9:4，∴相似比是3:2，相似三角形的周长比等于相似比，∴这两个三角形的周长之比为：3:2，故选：D ． 5．【解答】解：AB BC ⊥，CE BC ⊥，//AB CE ∴， ABD ECD ∴∆∆∽，∴AB BD CE CD =，即1506075AB =， 120()AB m ∴=．∴河宽AB 为120m ．故选：D ．6．【解答】解：将点1(1,)y -，2(2,)y ，3(3,)y 分别代入21y x =-得， 1110y =-=， 2413y =-=，3918y =-=．可见123y y y <<． 故选：B ．7．【解答】解：二次函数2(2)6y x =--，∴该函数图象的开口向上，对称轴为直线2x =，当2x =时取得最小值6-，14x -，∴当2x =取得最小值6-，故选：D ．8．【解答】解：由题意得2()10x y +=， 即5y x =-， (5)S xy x x ∴==-，故选：A ．二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分 9．【解答】解：2241y x x =-++中20a =-<，∴图象的开口向下，故答案为：下．10．【解答】解：23m n =， :3:2m n ∴=．故答案为：3:2． 11．【解答】解：如图；6AD m =，21AB m =，2DE m =；由于//DE BC ，所以ADE ABC ∆∆∽，得： DE ADBC AB=，即2621BC =， 解得：7BC m =， 故答案为：7．12．【解答】解：A A ∠=∠∴当B ACP ∠=∠或ACB APC ∠=∠或AP ACAC AB=时，ACP ABC ∆∆∽． 故答案为：B ACP ∠=∠或ACB APC ∠=∠或AP ACAC AB=． 13．【解答】解：ED AB ⊥， 90ADE C ∴∠=︒=∠，A A ∠=∠，ADE ACB ∴∆∆∽，∴AD AEAC AB =， 即5810AD =， 解得：4AD =． 故答案为：4．14．【解答】解：二次函数223y mx mx m =--的图象与y 轴的交点为(0,3)， 33m ∴-=， 1m ∴=-，故答案为：1-．15．【解答】解：抛物线22(1)y x =-的对称轴是直线1x =，∴这对对称点的坐标可以是(2,2)，(0,2)（答案不唯一）．故答案是：(2,2)，(0,2)（答案不唯一）． 16．【解答】解：①该抛物线的开口方向向上， 0a ∴>；又该抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<， 0ac ∴<；故本选项正确；②根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是直线1312x -+==， ∴当1x =时，0y <，即0a b c ++<； 故本选项错误；③由②知，该抛物线的对称轴是直线1x =，∴当1x >时，y 随着x 的增大而增大；故本选项正确；综上所述，以上说法正确的是①③； 故答案为：①③．三、解答题（本题共11道小题，17-20题每题6分，21题4分，22-24题每题6分，25题8分，26-27题每题7分，共68分） 17．【解答】证明：CD AB ⊥， 90ADC BDC ∴∠=∠=︒， 90ACB ∠=︒，90A ACD ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒， A BCD ∴∠=∠， ACD CBD ∴∆∆∽．18．【解答】解：（1）抛物线经过点(0,3)-，∴该二次函数与y 轴的交点坐标是(0,3)-；故答案为：(0,3)-；（2）描点、连线，画出函数图象如图：19．【解答】证明：//DE BC ，AED C ∴∠=∠．又//EF AB ，A FEC ∴∠=∠． ADE EFC ∴∆∆∽．20．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =--=--； （2）2(1)4y x =--，∴该二次函数图象的顶点坐标是(1,4)-．21．【解答】解：如图，△222A B C 即为所求．22．【解答】解：（1）把(1,0)A 和点(0,3)B -代入2y x bx c =-++得103b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得23b c =⎧⎨=-⎩，所以这个二次函数的解析式为223y x x =+-；（2）2223(1)4y x x x =+-=+-，(1,4)C ∴--，二次函数24y x =-的图象过点(1,4)--，∴过点C 的一个二次函数的表达式为24y x =-，答案不唯一．23．【解答】解：（1）ADE ACB ∠=∠，A A ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽；（2）由（1）可知：ADE ACB ∆∆∽， ∴AD AE AC AB=， 点E 是AC 的中点，设AE x =，22AC AE x ∴==，8AD =，10AB =， ∴8210x x =，解得：x =AE ∴=24．【解答】解：（1）在矩形ABCD 中， 有90C ABC ABF EBC ∠=∠=∠+∠=︒AF BE ⊥，90AFB C ∴∠=∠=︒，BAF EBC ∴∠=∠BEC ABF ∴∆∆∽（2）在矩形ABCD 中，10AB =，10CD AB ∴==， E 为DC 的中点，5CE ∴=，又12BC =，在Rt BEC ∆中，由勾股定理得：13BE =，由ABF BEC ∆∆∽得：AF AB BC BE = 即：101213AF =， ∴解得：12013AF =25．【解答】解：（1）2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点坐标为(2,1)-， 令0y =，则2430x x -+=，解得11x =，23x =，所以，与x 轴的交点坐标是(1,0)，(3,0)； 故答案为：(1,0)，(3,0)；（2）如图所示；x ⋯ 2- 1- 01 2 ⋯ y ⋯ 158 3 0 1 ⋯（3）①当13x <<时，0y <；②03x <时，y 的取值范围是13y -．26．【解答】解：（1）如图1，过D 作//DF AC 交BE 于点F ．//DF AC ，且AD 是ABC ∆的中线．DF ∴是BCE ∆的中位线，2CE DF ∴=．12AOAD=，AO DO∴=，//DF AC，EAO FDO∴∠=∠．在AOE∆和DOF∆中，EAO FDOAO DOAOE DOF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOE DOF ASA∴∆≅∆，DF AE∴=，2CE AE∴=，3AC AE∴=，∴13AEAC=；（2）过D作//EDF AC交BE于点F，//DF AC，且AD是ABC∆的中线．DF∴是BCE∆的中位线，2CE DF∴=．13AOAD=，∴12AODO=，//DF AC，EAO FDO∴∠=∠，AEO DFO∠=∠，AOE DOF∴∆∆∽，∴12AE AODF DO==，2DF AE∴=，4CE AE ∴=．5AC AE ∴=， ∴15AE AC =． 27．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx a =++过点(1,0)A -， 30a b a ∴-+=，4b a ∴=，∴抛物线的解析式为243y ax ax a =++， ∴抛物线的对称轴为422a x a=-=-； （2）直线4y x =+与y 轴交于点B ，与该抛物线对称轴交于点C ， (0,4)B ∴，(2,2)C -，抛物线23y ax bx a =++经过点(1,0)A -且对称轴2x =-， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A 的对称点(3,0)-， ①0a >时，如图1，将0x =代入抛物线得3y a =， 抛物线与线段BC 恰有一个公共点，34a ∴，解得43a ， ②0a <时，如图2，将2x =-代入抛物线得y a =-， 抛物线与线段BC 恰有一个公共点，2a ∴-，解得2a -；综上所述，43a或2a -．。
房山区初三上期末终结性检测数学期中试卷
年房山区初三上期末终结性检测数学期中试卷一、选择题(本大题共小题， 每小题只有唯一正确答案. 每小题分，共分)._3的倒数是().1 1.-3.3.3.3【答案】【解析】—3的倒数是 1 1—-，故答案为.-3 3已知O O 的半径是4 , 0P =3，则点P 与O O 的位置关系是()• .点P 在圆上 .点P 在圆内 .点P 在圆外•不能确定【答案】【解析】r .0P =3，所以点P 在圆内.故答案为.抛物线y =2(x -1) +3的顶点坐标为 ().【答案】【解析】抛物线的顶点为 (1,3).故答案为.若3a =2b ，则…的值为().a1 1 12. 2.3【答案】■ ^1 |y 3^=0，则(-xy)2 的值为()..-6 . 9. 6. -9【答案】【解析】要使..右.|y.3|2=0，则x=1，y —3 ,•••(-xy)2 =9 .故答案为.将抛物线y =5x 2先向左平移2个单位，再向上平移 3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 (). .y =5(x 2)2 3 . y=5(x —2)2 3. y=5(x —2)2—3. y =5(x 2)2 -3【答案】【解析】将抛物线y=5x 2先向左平移2个单位得到y =5(x + 2$ ,再向上平移3个单位后得到 y=5(x +2j + 3故答案为.如右图所示，已知 AB//CD , EF 平分• CEG , • 1=80，则.2的度数为().(2,1)(2, -1) . (一1,3) . (1,3)【解析】 3 若3a = 2b ，贝U b = 3 a ，所以 3 a_b a _?a_ 1 .故答案为.a a 2.20 . 40【答案】【解析】••• AB// CD ,••• . 2.1. FEG =180 ,••• EF 平分.CEG ,1 1• . FEG =2（180‘「/1） =90 一㊁1 ,1 1•/2 =180 J —90 1 =90 1 =50 .2 2故答案为.50 60如图，AB是。
北京市房山区九年级(上)期中数学试卷
C．（0，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
3．（3 分）抛物线 y＝2x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，则平移后的
抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x+1）2+3
B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3
D．y＝2（x﹣1）2+3
4．（3 分）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ）
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结
合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：
．
27．（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+2mx﹣m2+1 的对称轴是 直线 x＝1．
（1）求抛物线的表达式； （2）点 D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若 y1＜y2，请直接写出 n 的取值范
O（0，0）． （1）求 a 的值； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标． 20．（5 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 边上．若 DB＝6，
第3页（共8页）
AD＝ CD，sin∠CBD＝ ，求 AD 的长和 tanA 的值．
21．（5 分）若二次函数 y＝ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表：
第6页（共8页）
29．（8 分）对于二次函数 y＝x2﹣3x+2 和一次函数 y＝﹣2x+4，把 y＝（t x2﹣3x+2）
+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中 t 是不为零的
实数，其图象记作抛物线 L．现有点 A（2，0）和抛物线 L 上的点 B（﹣1，n），
北京市房山区九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共16.0 分）1. 若3x=2y （xy≠0）），则以下比率式成立的是（A. x2=y3B. x3=2yC. xy=32D. x3=y22. 假如两个相像多边形的面积比为 4 9 ）：，那么它们的周长比为（A. 4 ： 9B. 2：3C. 2：3D. 16：813. 已知函数y=（m-3） xm2-7 是二次函数，则m 的值为（）A.-3B. ±3C. 3D. ±74.如图，在△ABC 中，点 D ， E 分别在 AB， AC 上，且 DE∥BC ，AD=1， BD=2，那么 AEAC 的值为（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：35.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比率函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为（）A. I=3RB. I=-6RC. I=-3RD. I=6R6. 反比率函数y=3x 的图象经过点（ -1，y1），（ 2，y2），则以下关系正确的选项是（）A. y1<y2B. y1>y2C. y1=y2D. 不可以确立7.已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下图，以下说法中正确的是（）A.a+b+c>0B.ab>0C.b+2a=0D.当 y>0 ， - 1<x<38.跳台滑雪是冬天奥运会竞赛项目之一，运动员起跳后的飞翔路线能够看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位： m）与水平距离x（单位： m）近似知足函数关系 y=ax2+bx+c（ a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x 与 y 的三组数据，依据上述函数模型和数据，可推测出该运动员起跳后飞翔到最高点时，水平距离为（）A. 10mB. 15mC. 20mD.二、填空题（本大题共8 小题，共16.0 分）9.请写出一个张口向上，且与y 轴交于（ 0， -1）的二次函数的分析式 ______ ．10.已知 xy=43 ，则 x-yy =______．11.把抛物线 y=x2+1 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，获得抛物线为 ______．12.若 x=1 是方程 2ax2+bx=3 的根，当 x=2 时，函数 y=ax2+bx 的函数值为 ______．13.为了估量河的宽度，我们能够在河对岸的岸边选定一个目标志为点 A，再在河的这一边选点 B 和点 C，使得 AB⊥BC ，而后再在河岸上选点 E，使得 EC ⊥BC ，设BC 与 AE 交于点 D，如下图，测得 BD =120 米，DC=60 米， EC=50 米，那么这条河的大概宽度是______．14.如图， C1是反比率函数y=kx 在第一象限内的图象，且过点 A（ 2， 1），C2与 C1对于 x 轴对称，那么图象 C2对应的函数的表达式为 ______（ x＞0）．15.如图，小明在 A 时测得某树的影长为2m， B 时又测得该树的影长为8m，若两第二天照的光芒相互垂直，则树的高度为 ______m．16. 如图，在直角坐标系中，有两个点A（ 4， 0）、 B（ 0，2），假如点 C 在 x 轴上（点 C 与点 A 不重合），当点C 坐标为 ______时，使得由B、 O、C 三点构成的三角形和△AOB 相像．三、计算题（本大题共 1 小题，共 6.0 分）17.已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G 距地面 1 米， CD 在地面上留下的最大影长CF 为 2 米，现欲在距 C 点 7 米的正南方 A 点处建一幢12 米高的楼房 AB （设 A，C， F 在同一水平线上）．（ 1）按比率较精准地作出高楼AB 及它的最大影长AE；（ 2）问若大楼AB 建成后能否影响温室CD 的采光，试说明原因．四、解答题（本大题共11 小题，共62.0 分）18.已知二次函数 y=x2 -2x-3．（1）将 y=x2-2x-3 化成 y=a（x-h）2+k 的形式；（2）与 y 轴的交点坐标是 ______，与 x 轴的交点坐标是 ______；（3）在座标系中利用描点法画出此抛物线．xy（ 4）不等式x2-2x-3＞ 0 的解集是 ______．19.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90 °， D 是 AC 边上一点， DE ⊥AB于点 E．若 DE=2， BC=3，AC =6，求 AE 的长．220.若二次函数 y=x +bx+c 的图象经过点（ 0，1）和（ 1，-2）两点，求此二次函数的表达式．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比率函数y=kx 的图象与一次函数y=-x+1 的图象的一个交点为 A（ -1， m）．（ 1）求这个反比率函数的表达式；（ 2）假如一次函数 y=-x+1 的图象与 x 轴交于点 B（ n， 0），请确立当 x＜ n 时，对应的反比率函数 y=kx 的值的范围．22.如图，在 ? ABCD 中，点 E 在 BC 边上，点 F 在 DC 的延伸线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；23.如图， ABCD 是一块边长为 4 米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形 AEFG 的形状，此中点 E 在 AB 边上，点 G 在 AD 的延伸线上， DG=2BE，设 BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1） y 与 x 之间的函数关系式为 ______（不需写自变量的取值范围）；（ 2）依据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？24.已知抛物线 y=x2 -（ 2m-1） x+m2-m．（ 1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不一样的交点；（ 2）若此抛物线与直线y=x-3m+3 的一个交点在y 轴上，求m 的值．25. 如图，地道的截面由抛物线ADC 和矩形AOBC 构成，矩形的长OB 是12m OA，宽是 4m．拱顶 D 到地面 OB 的距离是 10m．若以 O 原点， OB 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为 y 轴，成立直角坐标系．（ 1）画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC 的函数表达式；（ 2）在抛物线型拱壁E、 F 处安装两盏灯，它们离地面OB 的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF 是多少米？26.有这样一个问题：研究函数 y=12（ x-1）（ x-2）（x-3）+x 的性质．（ 1）先从简单状况开始研究：①当函数 y=12（ x-1）+x 时， y 随 x 增大而 ______（填“增大”或“减小”）；②当函数 y=12（ x-1）（ x-2） +x 时，它的图象与直线y=x 的交点坐标为 ______ ；（2）当函数 y=12 （ x-1）（ x-2）（ x-3） +x 时，下表为其 y 与 x 的几组对应值．x -12 0 1 32 2 52 3 4 92 y -11316 -3 1 2716 2 3716 3 7 17716① 如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；② 依据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______．27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n 与 x 轴正半轴交于A， B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线 y=x2+mx+n 的对称轴（尺规作图，保存作图印迹，不写作法）；（ 2）若△OBC 是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的分析式；（ 3）在（ 2）的条件下，点 P 为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为______．28.已知四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD 边上的点， DE 与 CF 交于点 G．（ 1）如图 1，若四边形 ABCD 是矩形，且 DE ⊥CF ．则 DE ?CD ______CF ?AD（填“＜”或“=”或“＞”）；（ 2）如图2，若四边形 ABCD 是平行四边形，尝试究：当∠B 与∠EGC 知足什么关系时，使得DE CD=CF AD成立？并证明你的结论；? ?（ 3）如图 3，若 BA =BC=3，DA =DC=4，∠BAD =90°，DE⊥CF ．则 DECF 的值为 ______．答案和分析1.【答案】A【分析】解：A 、由得，3x=2y，故本选项比率式成立；B、由得，xy=6，故本选项比率式不可立；C、由选项比率式不可立；得，2x=3y，故本D、由选项比率式不可立．得，2x=3y，故本应选：A．依据两内项之积等于两外项之积对各选项剖析判断即可得解．本题考察了比率的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的重点．2.【答案】B【分析】解：∵两个相像多边形面积的比为 4：9，∴两个相像多边形周长的比等于 2：3，∴这两个相像多边形周长的比是 2：3．应选：B．直接依据相像多边形周长的比等于相像比，面积的比等于相像比的平方进行解答即可．本题考察的是相像多边形的性质，即相像多边形周长的比等于相像比，面积的比等于相像比的平方．3.【答案】A【分析】解：∵函数 y=（m-3）x 是二次函数，∴，解得：m=-3．应选：A．依据二次函数的定义联合二次项系数非零，即可得出对于 m 的一元二次方程及一元一次不等式，解之即可得出m 的值．本题考察了二次函数的定义，切记二次函数的定义是解题的重点．4.【答案】B【分析】解：∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC ，∴=，∵AD=1 ，DB=2 ，∴ =，∴= ．应选：B．由 DE∥BC 判断△ADE ∽△ABC ，得出比率式，进一步求得答案即可．本题考察相像三角形的判断与性质，掌握三角形的判断方法是解决问题的关键．5.【答案】D【分析】设电阻 R表示电流 I 的函数分析式为I= ，解：用∵过（2，3），∴k=3 ×2=6，∴I=，应选：D．依据函数图象可用电阻 R 表示电流 I 的函数分析式为 I=，再把（2，3）代入可得 k 的值，从而可得函数分析式．本题主要考察了待定系数法求反比率函数分析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能知足分析式．6.【答案】A【分析】解：∵反比率函数 y=的图象经过点（-1，y1），2（，y2），∵-3＜ ，∴y 1＜ y 2．应选：A ．依据点的横坐 标联合反比率函数 图象上点的坐 标特色即可求出 y 1、y 2 的值，比较后即可得出 结论．本题考察了反比率函数 图象上点的坐 标特色，依据点的横坐 标利用反比率函数图象上点的坐 标特色求出点的 纵坐标是解题的重点．7.【答案】 C【分析】解：A 、由二次函数 y=ax 2的图象可适当 x=1 时，＜，即＜ ．故+bx+c y 0 a+b+c 0本选项错误 ，对 轴 x ＞ 0．可得-选项错误 ， B 、由 称 ＞0，可得 ab ＜0，故本C 、由与 x 轴 的交点坐 标 可得 对 称 轴 x=1，因此-选项 =1，可得b+2a=0，故本 正确，D 、由图形可适当 y ＜0，-1＜x ＜3．故本选项错误 ，应选：C ．依据对称轴及抛物线与 x 轴交点状况 进行推理，从而对所得结论进行判断．本题考察了二次函数 图象与系数的关系．二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点地点确立．依据条件画出草 图，利用数形 联合的思想是解 题的重点．8.【答案】 B【分析】解：依据题意知，抛物线 y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（0，）、40（，）、20（，），则因此 x=- ==15（m ）．应选：B ．将点（0，）、40（，）、20（，）分别代入函数分析式，求得系数的 值；而后由抛物 线的对称轴公式能够获得答案．考察了二次函数的 应用，本题也能够将所求得的抛物 线分析式利用配方法求得极点式方程，而后直接获得抛物 线极点坐标，由极点坐标推知该运动员起跳后飞翔到最高点 时，水平距离．29.【答案】 y=x +2x-1解：依据题意得：y=x 2+2x-1，故答案为：y=x 2+2x-1依据题意写出知足题意二次函数分析式即可．本题考察了待定系数法求二次函数分析式，以及二次函数的性质，娴熟掌握待定系数法是解本 题的重点．10.【答案】 13【分析】解：，得x= y ，把 x= y ，代入= ．故答案为： ．由，得x= y ，再代入所求的式子化 简即可．考察了比率的性 质，找出 x 、y 的关系，代入所求式 进行约分．11.【答案】 y=（ x-3） 2-1【分析】解：抛物线 y=x 2+1 的极点坐标为（0，1），把0（，1）向右平移3 个单位，再向下平移 2 个单位所得对应点的坐标为（3，-1），因此平移后的抛物线为 y=（x-3）2-1．利用二次函数的性 质得抛物线 y=x 2+1 的极点坐标为（0，1），利用点平移的规律获得，点（0，1）平移后对应点的坐标为（3，-1），而后利用极点式写出平移后的抛物 线分析式．本题考察了二次函数 图象与几何 变换：因为抛物线平移后的形状不 变，故a 不变，因此求平移后的抛物 线分析式往常可利用两种方法：一是求出原抛物 线上随意两点平移后的坐 标，利用待定系数法求出分析式；二是只考 虑平移后的极点坐标，即可求出分析式．12.【答案】 6【分析】2解：∵x=1 是方程 2ax +bx=3 的根，∴当 x=2 时，函数 y=ax 2+bx=4a+2b=2（2a+b ）=6，故答案为 6．由 x=1 是方程 2ax 2+bx=3 的根，获得 2a+b=3，由x=2 时，获得函数y=ax 2+bx=4a+2b=2（2a+b ），代入即可．本题考察了二次函数 图象上点的坐 标特色，图象上的点的坐 标适合分析式．13.【答案】 100 米【分析】解：∵AB ⊥BC ，EC ⊥BC ， ∴∠B=∠C=90°． 又 ∵∠ADB= ∠EDC ，∴△ADB ∽△EDC ． ∴，即．解得：AB=100 米．故答案为：100 米先可证明 △ADB ∽△EDC ，而后依照相像三角形的性质求解即可．本题主要考察的是相像三角形的性 质与判断，依照相像三角形的性 质列出比例式是解 题的重点．解：∵C 2 与 C 1 对于 x 轴对称，∴点 A 对于 x 轴的对称点 A ′在 C 2 上，∵点 A （2，1），∴A ′坐标（2，-1），∴C 2 对应的函数的表达式 为 y=- ，故答案为 y=-．依据对于 x 轴对称的性质得出点 A 对于 x 轴的对称点 A ′坐标（2，-1），从而得出 C 2 对应的函数的表达式．本题考察了反比率函数的性 质，掌握对于 x 轴对称点的坐 标是解题的重点．15.【答案】 4【分析】解：如图：过点 C 作 CD ⊥EF ，由题意得：△EFC 是直角三角形， ∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠E=∠DCF ，∴Rt △EDC ∽Rt △CDF ，有=；即DC 2=ED?FD ，2 代入数据可得 DC =16，故答案为：4．依据题意，画出表示图，易得：Rt △EDC ∽Rt △CDF ，从而可得= ；即DC 2=ED?FD ，代入数据可得答案．本题经过投影的知 识联合三角形的相像，求解高的大小；是平行投影性 质在实质生活中的 应用．16.【答案】 （ -1， 0）或许（ 1， 0）或许（ -4， 0）【分析】解：∵点 C 在 x 轴上，若 OC 与 OA 对应，则 OC=OA=4 ，C （-4，0）；若 OC 与 OB 对应，则 OC=1，C （-1，0）或许（1，0）．本题可从两个三角形相像下手，依据C 点在 x 轴上得悉 C 点纵坐标为 0，议论OC 与 OA 对应以及 OC 与 OB 对应的状况，分别议论即可．第一判断由 B 、O 、C 三点构成的三角形形状，再利用两个三角形直角 边与直角边对应关系的两种可能，分 别求解．17.【答案】 解：如图， ∵HE ∥DF ， HC ∥AB ，∴△CDF ∽△ABE ∽△CHE ， ∴AE ： AB=CF ：DC ，∴AE=8 米，由 AC=7 米，可得 CE=1 米， 由比率可知： CH =1.5 米＞ 1 米， 故影响采光． 【分析】因为在同一时辰同一地址任何物体的高与其影子长的比值是同样的，利用者能够求出大楼的影子 长 AE ，而后能够知道 CE=1，再算出 CE 在 CD 上的高度 CH ，比较 CH 与CG 的大小就能够判断能否影响采光．本题只假如把 实质问题 抽象到相像三角形中，利用相像三角形的 对应边成比例求出 AE ，CD ，就能够解决问题 ．18.【答案】 （ ， ） （，）（ ， ） ＜或 ＞0 -33 0-1 0x -1x 3【分析】1）y=x 2 -2x-3=x 22 2 解：（ -2x+1-3-1=（x-1）-4 ，即 y=（x-1）-4；（2）令x=0，则 y=-3，即该抛物线与 y 轴的交点坐 标是 （0，-3），又 y=x 2-2x-3=（x-3）（x+1），因此该抛物线与 x 轴的交点坐标是（3，0）（-1，0）．故答案是：（0，-3）；3（，0）（-1，0）；x -1 0 1 2 3 y-3-4-3图象如下图：；（4）如下图，不等式 x 2-2x-3＞0 的解集是 x ＜-1 或 x ＞3．故答案是：x ＜-1 或 x ＞3．（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加前一次项系数的一半的平方来凑完整平方式，把一般式 转变为极点式．（2）将已知方程转变为两点式方程即可获得 该抛物线与 x 轴的交点坐 标；令x=0 即可获得 该抛物线与 y 轴交点的纵坐标；（3）将抛物线 y=x 2-2x-3 上的点的坐 标列出，而后在平面直角坐 标系中找出 这些点，连结起来即可；（4）联合图象能够直接获得答案．本题考察了二次函数的三种形式、二次函数的 对称性和由函数 图象确立坐 标、直线与图象的交点 问题，综合表现了数形联合的思想．19.【答案】 解： ∵∠C=90 °， DE ⊥AB ，∴∠AED=∠C=90 °， 又 ∵∠A=∠A ， ∴△AED ∽△ACB ， ∴EACA=EDCB ，又 ∵DE =2， BC=3， AC=6，∴AE=4．【分析】依据相像三角形的判断得出两三角形相像，得出比率式，代入求出即可．本题考察了相像三角形的性质和判断的应用，能推出△AED ∽△ACB 是解此题的重点．20.【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，-2）两点，∴c=11+b+c=-2 ，解得： b=-4c=1 ，2∴二次函数的表达式为y=x -4x+1．由二次函数经过（0，1）和（1，-2）两点，将两点代入分析式 y=x 2+bx+c 中，即可求得二次函数的表达式．本题考察了用待定系数法求函数分析式的方法，同时还考察了方程组的解法等知识．21.【答案】解：（1）∵点A在一次函数y=-x+1 的图象上，∴m=-（ -1）+1=2 ，∴点 A 的坐标为（ -1， 2）．∵点 A 在反比率函数y=kx 的图象上，∴k=-1 ×2=-2 ．∴反比率函数的表达式为y=-2x．（2）令 y=-x+1=0 ，解得： x=1，∴点 B 的坐标为（ 1， 0），∴当 x=1 时， y=-2x =-2 ．由图象可知，当x＜1 时， y＞ 0 或 y＜ -2．【分析】（1）由点A 在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特色即可求出点A的坐标，依据点 A 的坐标利用反比率函数图象上点的坐标特色即可找出反比率函数表达式；（2）令一次函数表达式中 y=0 求出 x 值，从而可得出点 B 的坐标，依据点 B 的横坐标结合图形即可得出结论．本题考察了反比率函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比率函数图象上点的坐标特色，依据一次函数图象上点的坐标特色22.【答案】 （ 1）证明：如图．∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， AD ∥BC ．∴∠B=∠ECF ， ∠DAE=∠AEB ． 又 ∵∠DAE =∠F ， ∴∠AEB=∠F ． ∴△ABE ∽△ECF ；（ 2）解： ∵△ABE ∽△ECF ，∴ABEC=BECF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD =8． ∴EC=BC -BE=8-2=6 ． ∴56=2CF ． ∴CF=125 ． 【分析】（1）由平行四边形的性质可知 AB ∥CD ，AD ∥BC ．因此∠B=∠ECF ，∠DAE= ∠AEB ，又因为又∠DAE= ∠F ，从而可证明：△ABE ∽△ECF ；（2）由（1）可知：△ABE ∽△ECF ，因此，由平行四边形的性质可知BC=AD=8 ，因此 EC=BC-BE=8-2=6，代入计算即可．本题考察了平行四 边形的性质、相像三角形的判断和性 质，是中考常有题型．23.【答案】 y=-2 x 2+4x+16【分析】解：（1）y=（4-x ）（4+2x ）=-2x 2+4x+16，故答案为：y=-2x 2+4x+16；（2）依据题意可得：-2x 2+4x+16=16，解得：x 1=2，x 2=0（不合题意，舍去），答：BE 的长为 2 米．（1）依据题意可得 DG=2x ，再表示出 AE 和 AG ，而后利用面积可得 y 与 x 之间的函数关系式；（2）依据题意可得正方形苗圃 ABCD 的面积为 16，从而可得矩形苗圃 AEFG本题主要考察了二次函数的应用，重点是正确理解题意，找出题目中的等量关系．2 224.【答案】（1）证明：令y=0得：x -（2m-1）x+m -m=0，=（ 4m2-4m+1） -（ 4m2-4m）=1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x 轴有两个不一样的交点；（2）解：令 x=0 ，依据题意有： m2-m=-3 m+3，解得 m=-3 或 1．【分析】（1）依据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不一样的根即△＞0即可；（2）依据题意，令 x=0，整理方程可得对于 m 的方程，解可得 m 的值．本题是二次函数的综合题，考察二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与分析式的关系，抛物线与 x 轴的交点等．25.【答案】解：（1）画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC 的极点坐标为（6， 10），A 点坐标为（ 0， 4），可设抛物线ADC 的函数表达式为y=a（ x-6）2+10，将 x=0 ， y=4 代入得： a=-16 ，∴抛物线 ADC 的函数表达式为：y=-16 （ x-6）2+10．（2）由 y=8 得： -16 （x-6）2+10=8 ，解得： x1=6+23 ， x2=6-23 ，则 EF=x1-x2=43，即两盏灯的水平距离EF是4米．3【分析】（2）把y=8 代入表达式中运用函数性质求解即可．本题主要考察了二次函数的应用，重点在依据图形特色选用一个适合的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．26.【答案】增大 1 1 2 2 y 随x 的增大而增大（，），（，）【分析】解：（1）①∵y= （x-1）+x= x- ，k= ＞0，∴y 随 x 增大而增大，故答案为：增大；②解方程组得：，，因此两函数的交点坐标为（1，1），2（，2），故答案为：（1，1），2（，2）；（2）①② 该函数的性质：① y 随 x 的增大而增大；② 函数的图象经过第一、三、四象限；故答案为：y 随 x 的增大而增大．（1）① 依据一次函数的性质得出即可；② 求出构成的方程组的解，即可得出答案；（2）①把各个点连结即可；② 依据图象写出一个切合的信息即可．本题考察了一次函数的性质，二次函数的性质等知识点，能够依据图象得出正确信息是解此题的重点．27.【答案】32【分析】解：（1）如图，直线 l 为所作；（2）∵△OBC 是等腰直角三角形，且其腰长为 3，即 OB=OC=3，∴C（0，3），B（3，0），把 C（0，3），B（3，0）分别代入 y=x 2+mx+n 得，解得，∴抛物线分析式为 y=x 2-4x=3；（3）连结 BC 交直线 l 于 P，如图，则 PA=PB，∵PC+PA=PC+PB=BC，∴此时 PC+PA 的值最小，而 BC=OB=3，∴PA+PC 的最小值为 3．故答案为 3．（1）利用基本作图，作 AB 的垂直均分线即可；（2）依据等腰直角三角形的性质获得 OB=OC=3，则C（0，3），B（3，0），而后利用待定系数法求抛物线分析式；（3）连结 BC 交直线 l 于 P，如图，依据两点之间线段最短可判断此时 PC+PA 的值最小，而后依据等腰直角三角形的性质计算出BC即可．本题考察了二次函数的综合题：娴熟掌握二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数分析式；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．28.【答案】= 2524【分析】（1）解：DE?CD=CF?AD，原因是：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A= ∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+ ∠CFD=90°，∠ADE+ ∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED ，∵∠A= ∠CDF，∴△AED ∽△DFC，∴=，∴DE?CD=CF?AD，故答案为：=．（2）当∠B+∠EGC=180°时，DE?CD=CF?AD 成立．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠ADC ，AD ∥BC，∴∠B+∠A=180 °，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A= ∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA ，∴△DFG∽△DEA ，∴=，∵∠B=∠ADC ，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴=，∴=，∴DE?CD=CF?AD，即当∠B+∠EGC=180°时，DE?CD=CF?AD 成立．（3）解： =．原因是：过 C 作 CN ⊥AD 于 N ，CM ⊥AB 交 AB 延伸线于 M ，连结 BD ，设 CN=x ，∵∠BAD=90°，即AB ⊥AD ，∴∠A= ∠M= ∠CNA=90°，∴四边形 AMCN 是矩形，∴AM=CN ，AN=CM ，在 △BAD 和△BCD 中∴△BAD ≌△BCD （SSS ），∴∠BCD=∠A=90 °，∴∠ABC+ ∠ADC=180°，∵∠ABC+ ∠CBM=180°，∴∠MBC= ∠ADC ，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM ∽△DCN ，∴ = ，∴= ，∴CM= x ，在 Rt △CMB 中，CM= x ，BM=AM-AB=x-3 ，由勾股定理得：BM 2+CM 2=BC 2，x-32 2 2 ） x ）=3 ， ∴（ +（x=0（舍去）x=， ，CN= ，∵∠A= ∠FGD=90°，∴∠AED+ ∠AFG=180°，∵∠AFG+ ∠NFC=180°，∴∠AED= ∠CFN ，∵∠A= ∠CNF=90°，∴△AED ∽△NFC ，∴ = = ，故答案为： ．（1）依据矩形性质得出 ∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED ，证出△AED ∽△DFC 即可；（2）当∠B+∠EGC=180° 时，DE?CD=CF?AD 成立，证△DFG ∽△DEA ，得出= ，证 △CGD ∽△CDF ，得出 = ，即可得出答案；（3）过 C 作 CN ⊥AD 于 N ，CM ⊥AB 交 AB 延伸线于 M ，连结 BD ，设 CN=x ，△BAD ≌△BCD ，推出∠BCD= ∠A=90 °，证△BCM ∽△DCN ，求出 CM=x ，在△ 2 2 2 2 （） ，代入得出方程（x-3） x Rt CMB 中，由勾股定理得出 BM +CM =BC + 2=62，求出 CN= ，证出△AED ∽△NFC ，即可得出答案．本题考察了矩形性 质和判断，勾股定理，平行四边形的性质和判断，全等三角形的性 质和判断，相像三角形的性 质和判断的 应用，主要考察学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．。
北京市房山区2022-2023九年级数学上学期期中试卷(含解析)
北京市房山区2022-2023九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．1．若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【考点】交叉相乘法则．【解析】各选项中，对比例交叉相乘，可知，只有A与已知条件相符。
故选：A．2．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9 B．2：3 C．：D．16：81【考点】相似多边形的性质．【解析】∵两个相似多边形的周长比等于面积的比的平方，所以，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．3．已知函数y=（m﹣3）x是二次函数，则m的值为（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．±【考点】二次函数的定义．【解析】∵函数y=（m﹣3）x是二次函数，∴，解得：m=﹣3．故选：A．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD=1，BD=2，那么的值为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【考点】平行线分线段成比例．【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵AD=1，DB=2，∴=，∴=．故选：B．5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A．B．C．D．【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；GA：反比例函数的应用．【解析】设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，∵过（2，3），∴k=3×2=6，∴I=，故选：D．6．反比例函数y=的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），∴y1=﹣3，y2=，∵﹣3＜，∴y1＜y2．故选：A．7．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中正确的是（）A．a+b+c＞0 B．ab＞0C．b+2a=0 D．当y＞0，﹣1＜x＜3【考点】二次函数图象与系数的关系．【解析】A、由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故本选项错误，B、由对称轴x＞0．可得﹣＞0，可得ab＜0，故本选项错误，C、由与x轴的交点坐标可得对称轴x=1，所以﹣=1，可得b+2a=0，故本选项正确，D、由图形可得当y＜0，﹣1＜x＜3．故本选项错误，故选：C．8．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a ≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【考点】二次函数的应用．【解析】根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，﹣1）的二次函数的解析式y=x2+2x﹣1 ．【考点】二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．【解析】根据题意得：y=x2+2x﹣1，故答案为：y=x2+2x﹣110．已知，则= ．【考点】比例的性质．【解析】，得x=y，把x=y，代入=．故答案为：．11．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为y=（x﹣3）2+1 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【解析】抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把（0，1）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，1），所以平移后的抛物线为y=（x﹣3）2+1．故答案为y=（x﹣3）2+1．12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为 6 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【解析】∵x=1是方程2ax2+bx=3的根，∴2a+b=3，∴当x=2时，函数y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=6，故答案为6．13．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B 和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是100米．【考点】相似三角形的应用．【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°．又∵∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即．解得：AB=100米．故答案为：100米14．如图，C1是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为y=﹣（x＞0）．【考点】反比例函数的图象；G4：反比例函数的性质；G7：待定系数法求反比例函数解析式；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【解析】∵C2与C1关于x轴对称，∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，∵点A（2，1），∴A′坐标（2，﹣1），∴C2对应的函数的表达式为y=﹣，故答案为y=﹣．15．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．【考点】相似三角形的应用；U5：平行投影．【解析】如图：过点C作CD⊥EF，由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，∴∠E=∠DCF，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，有=；即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．16．如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为（﹣1，0）或者（1，0）或者（﹣4，0）时，使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似．【考点】坐标与图形性质；S9：相似三角形的判定与性质．【解析】∵点C在x轴上，∴∠BOC=90°两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，若OC与OA对应，则OC=OA=4，C（﹣4，0）；若OC与OB对应，则OC=1，C（﹣1，0）或者（1，0）．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）17．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是（0，﹣3），与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3 ．【考点】二次函数的图象；H9：二次函数的三种形式；HC：二次函数与不等式（组）．【解析】（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4；（2）令x=0，则y=﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），又y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）．故答案是：（0，﹣3）；（3，0）（﹣1，0）；（3）列表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案是：x＜﹣1或x＞3．18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【解析】∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴，又∵DE=2，BC=3，AC=6，∴，∴AE=4．19．（5分）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式．【解析】∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，﹣2）两点，∴，解得：，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x+1．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x+1的图象的一个交点为A（﹣1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=的值的范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【解析】（1）∵点A在一次函数y=﹣x+1的图象上，∴m=﹣（﹣1）+1=2，∴点A的坐标为（﹣1，2）．∵点A在反比例函数的图象上，∴k=﹣1×2=﹣2．∴反比例函数的表达式为y=﹣．（2）令y=﹣x+1=0，解得：x=1，∴点B的坐标为（1，0），∴当x=1时，=﹣2．由图象可知，当x＜1时，y＞0或y＜﹣2．21．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．【考点】平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【解答】（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6．∴．∴．22．（5分）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣2x2+4x+16 （不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？【考点】一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用．【解析】（1）y=（4﹣x）（4+2x）=﹣2x2+4x+16，故答案为：y=﹣2x2+4x+16；（2）根据题意可得：﹣2x2+4x+16=16，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），答：BE的长为2米．23．（6分）已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【解答】（1）证明：令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0，∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1=（4m2﹣4 m+1）﹣（4m2﹣4m）=1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x=0，根据题意有：m2﹣m=﹣3m+3，解得m=﹣3或1．24．（6分）已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．【考点】相似三角形的应用．【解析】如图，∵HE∥DF，HC∥AB，∴△CDF∽△ABE∽△CHE，∴AE：AB=CF：DC，∴AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米，由比例可知：CH=1.5米＞1米，故影响采光．25．（6分）如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．（1）画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；（2）在抛物线型拱壁E、F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？【考点】HE：二次函数的应用．【解析】（1）画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为（6，10），A点坐标为（0，4），可设抛物线ADC的函数表达式为y=a（x﹣6）2+10，将x=0，y=4代入得：a=﹣，∴抛物线ADC的函数表达式为：y=﹣（x﹣6）2+10．（2）由y=8得：﹣（x﹣6）2+10=8，解得：x1=6+2，x2=6﹣2，则EF=x1﹣x2=4，即两盏灯的水平距离EF是4米．26．（6分）有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质．（1）先从简单情况开始探究：①当函数y=（x﹣1）+x时，y随x 增大而增大（填“增大”或“减小”）；②当函数y=（x ﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为（1，1），（2，2）；（2）当函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，下表为其y与x的几组对应值．x …﹣0 1 2 3 4 …y …﹣﹣3 1 2 3 7 …①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：y随x的增大而增大．【考点】二次函数的图象；H3：二次函数的性质．【解析】（1）①∵y=（x﹣1）+x=x﹣，k=＞0，∴y随x增大而增大，故答案为：增大；②解方程组得：，，所以两函数的交点坐标为（1，1），（2，2），故答案为：（1，1），（2，2）；（2）①②该函数的性质：①y随x的增大而增大；②函数的图象经过第一、三、四象限；③函数的图象与x轴y轴各有一个交点等，故答案为：y随x的增大而增大．27．（7分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为3．【考点】二次函数综合题．【解析】（1）如图，直线l为所作；（2）∵△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，即OB=OC=3，∴C（0，3），B（3，0），把C（0，3），B（3，0）分别代入y=x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x=3；（3）连接BC交直线l于P，如图，则PA=PB，∵PC+PA=PC+PB=BC，∴此时PC+PA的值最小，而BC=OB=3，∴PA+PC的最小值为3．故答案为3．28．（7分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．则DE•CD= CF•AD（填“＜”或“=”或“＞”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE•CD=CF•AD 成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA=BC=3，DA=DC=4，∠BAD=90°，DE⊥CF．则的值为．【考点】四边形综合题．【解答】（1）解：DE•CD=CF•AD，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴=，∴DE•CD=CF•AD，故答案为：=．（2）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴=，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴=，∴=，∴DE•CD=CF•AD，即当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立．（3）解：=．理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CNA=90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM=CN，AN=CM，在△BAD和△BCD中∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC，∴△BCM∽△DCN，∴=，∴=，∴CM=x，在Rt△CMB中，CM=x，BM=AM﹣AB=x﹣3，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，∴（x﹣3）2+（x）2=32，x=0（舍去），x=，CN=，∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF=90°，∴△AED∽△NFC，∴==，故答案为：．。
北京市2024-2025学年北京中学初三(上)期中考试数学试卷
2024北京北京中学初三（上）期中数 学满分100分 考试时间120分钟一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．方程29x =的解是（ ）A ．3x =B ．3x =−C ．121,9x x ==D ．123,3x x ==−3．将抛物线2y x =向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）A ．23y x =+B ．23y x =−C ．2(3)y x =+D ．2(3)y x =−4．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n ︒后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1205．用配方法解方程2420x x −+=，配方正确的是（ ）A 2(2)2x −=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x −=−D ．2(2)6x −=6．关于二次函数2(2)3y x =−−+，以下说法正确的是（ ）A ．当2x >−时，y 随x 增大而减小B ．当2x >−时，y 随x 增大而增大C ．当2x >时，y 随x 增大而减小D ．当2x >时，y 随x 增大而增大7．根据下列表格的对应值，判断方程210x x +−=一个解的取值范围是（ ）x 0.590.60 0.61 0.62 0.63 21x x +−0.061− 0.04− 0.018− 0.0044 0.027 A ．0.590.60x << B ．0.600.61x << C ．0.610.62x << D ．0.620.63x <<8．如图，矩形OABC 中，(3,0),(0,2)A C −，抛物线22()1y x m m =−−−+的顶点M 在矩形OABC 内部或其边上，则m 的取值范围是（ ）A ．30m −≤≤B ．10m −≤≤C ．12m −≤≤D ．31m −≤≤−第二部分 非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点(1,2)P −关于原点的对称点的坐标为______．10．写出一个开口向下，与y 轴交于点(0,1)的抛物线的函数表达式：______．11．若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有一个根为1，则m 的值为______．12．已知()()12,1,,1P x Q x 两点都在抛物线241y x x =−+上，那么12x x +=______． 13．若关于x 的方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方“”的位置，则旋转中心的坐标是______．15．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ，可列方程为______．小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成：每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如下表所示：分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17．解方程：2280x x −−=18．已知二次函数22y x x =−．（1）补全表格，并在右图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点(2,7)P −______该函数的图象上（填“在”或“不在”）．19．如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，将ABC △绕点C 逆时针旋转得到DEC △，使点A 的对应点D 落在BC 边上，点B 的对应点为E ，求线段,BD DE 的长．20．已知m 是方程220x x −−=的根，求代数式()15m m −+的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中()()2,4,2,0A B −−，将OAB △绕原点Ｏ顺时针旋转90︒得到OA B ''△（,A B ''分别是A 、B 的对应点）．（1）在图中画出OA B ''△，点A '的坐标为______；（2）若点(),2M m 位于OAB △内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90︒的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点()()1,03,0，． （1）求该二次函数的解析式；（2）当13x −<<时，直接写出函数值y 的取值范围．23．阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：（1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步；（2）中间小正方形的面积为______平方步；（3）若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为______；（4）由（2）（3）可得关于x 的方程______，进而解得矩形田地的宽为24步．24．已知关于x 的一元二次方程2)440x k x k −++=（． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．25．如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD 和BC 与路面AB 垂直，隧道内侧宽8AB =米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB 上取点E ，测量点E 到墙面AD 的距离AE ，点E 到隧道顶面的距离EF ．设AE x =米，EF y =米．图1 图2 通过取点、测量，工程人员得到了x 与y 的几组值，如下表：x （米）0 2 4 6 8 y （米） 4.05.56.0 5.5 4.0 （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB 的最大距离为______米，并求出满足的函数关系式()2(0)y a x h k a =−+<；（2）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？26．已知：二次函数221y ax ax a =−++．（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）若点()12)1,,2,A n y B n y +−（在抛物线()2210y ax ax a a =−++>上，且12y y <，求n 的取值范围．27．如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC △内一点，连接,,AP BP CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接,PP BP ''．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为______；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时旋转90︒得到点P ，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．已知点()()()1,1,3,1,3,2A B C ．（1）在点()()()1232,0,1,1,1,2P P P −−−中，点______是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；（2）如果点(),2D m 是ABC △关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；（3）已知抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为1n −（，），其关于原点对称的抛物线上存在ABC △关于原点O 的“伴随点”，求出n 的最大值和最小值．。
2022-2023学年北京市房山区九年级第一学期期中数学试卷答案
房山区2022—2023学年度第一学期初中学业水平调研参考答案九年级数学2022.11一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.7410.2.411.2y x=答案不唯一12.=13.相似三角形对应高的比等于相似比14. 1.5x =-15.3.7~（答案范围3.6 3.9）16.8三、解答题（本题共11小题，共68分.第17,22题5分；第18,20,21,23,25题每题6分；第19,24,26,27题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．证明：∵AD BC O 与交于点，∴AOB COD ∠=∠.………….………..……….1分∵A C ∠=∠，………….………..……….2分∴△ABO ∽△CDO .………….………..………3分∴AB BO CD DO =.………….………..……….4分∵4,2,3,BO DO AB ===∴CD =1.5………….………..……….5分18.解:（1）由题意得，12 3.c b c =-⎧⎨-++=-⎩，∴01b c ==-，.………….………..……….3分∴抛物线的表达式为221y x =--.………….………..……….4分（2）当x 0>时，函数y 随x 的增大而减小.………….………..……….6分19．解：（1）263y x x =-+26993= -+-+x x ……….………..……….1分（2）对称轴为3x =；………….………..……….3分顶点坐标为36-（，）.………….………..……….4分（3）………….………..……….5分函数图象如图所示：………….………..……….7分20.解：（1）函数图象的对称轴为2x =；设：二次函数表达式为2(2)(0)y a x k a =-+≠….………..……….1分将(0,3)(3,0)和两点代入函数表达式得430.a k a k +=⎧⎨+=⎩，………….………..……….2分x …0123456…y=(x -3)2-6…3-2-5-6-5-23…解得11.a k =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为221y x =--（）.………….………..……….3分此问解法不唯一，参考给分（2）当x 13x <>或时,0y >.………….………..……….4分（3）当03x ≤≤时，函数y 的最大值为3；最小值为1-.……..……….6分21.解：（1）∵BE BD =，∴BED BDE ∠=∠.………….………..……….1分∴180180,BED BDE -∠=-∠o o .AEB ADC ∠=∠即………….………..……….2分∵,AD BAC ∠平分∴.BAE DAC ∠=∠………….………..……….3分∴△ABE ∽△ACD .……….………..……….4分（2）由（1）△ABE ∽△ACD 可得：.AE BEAD CD=………….………..……….5分又∵1,3,BD BE BC ===∴ 2.CD =∴1=.2AE BE AD CD =.………..……….6分22.画一个即可………………..……….4分F 1F 3F 2△ABC ∽△1EDF ,相似比为1=.3AB DE 或△1EDF ∽△ABC ,相似比为=3.DE AB △ABC ∽△2F DE ,相似比为2=3BC DE 或△2F DE ∽△ABC ,相似比为32=2DE BC△ABC ∽△3F DE ,相似比为=3BC DE 或△3F DE ∽△ABC ,相似比为=2DE BC △ABC ∽△4F ED ,相似比为2=3BC ED 或△4F ED ∽△ABC ,相似比为32=.2ED BC ………….………..……….5分23.（1）由于球在半空中达到最大高度3.86m ，则设：二次函数表达式为2 3.86y ax =+（a ≠0）……….………..……….1分代入()3,3.05可得 3.059 3.86a =+，………….………..……….2分解得：0.09a =-.………….………..……….3分所以，抛物线表达式为20.09 3.86y x =-+.………….………..……….4分（2）设运动员跳离地面高度为h m ，将-4 x 代入二次函数20.09 3.86y x =-+可得 2.42y =，……….……..……….5分故 1.840.3 2.42h ++=，则0.28h =.……….………..……….6分答：运动员跳离地面的高度是0.28m .24.（1）解：将点23C （,）代入一次函数表达式y x b =+得23,b +=解得: 1.b =∴一次函数表达式为 1.y x =+………………………………1分当0y =时， 1.x =-∴点A 坐标为(1,0)-………………………………2分将点10A -（,）、23C （,）代入22(0)y ax x c a =++≠得20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩解得：13a c =-⎧⎨=⎩∴二次函数表达式为223y x x =-++…………………………3分（2）①1 2.m m <->或…………………………4分②解：设点D 、E 的坐标为2(,23)D m m m -++，1E m m +（，）.当点E 在线段AC 上时，点D 在点E 上方.设DE y =，则22y m m =-++.…………………………5分令211-21- ）（m ，有49y 12m -≤≤ （如图所示），∴当12m =时，y 有最大值为94,即DE 长度最大值为94.…………………………6分此时，E 点的横坐标为12.…………………………7分25.方法一证明：过点A 作AP ⊥BC 于P.AD 是角平分线，.DM AB DN AC ⊥⊥，.DM DN ∴=…………………1分12.12ABD ACDAB DMS AB S AC AC DN ∆∆⋅∴==⋅……………………3分12.12ABD ACDBD APS BDS DC DC AP ∆∆==……………………5分AB BDAC DC∴=……………………6分P方法二证明： AD 为角平分线∴12∠=∠……………………1分 DE AB∥∴13∠=∠,BD AEDC EC=……………………2分∴23∠=∠∴ AE ED =……………………3分∴BD ED DC EC = DE AB∥∴ CED CAB △∽△……………………4分∴ED AB EC AC =……………………5分∴AB BD AC DC=……………………6分方法三证明：过点B 作BE ∥AD 交CA 的延长线于点E ……………………1分AD 为角平分线∴12∠=∠……………………2分 BE ∥AD∴2E ∠=∠,31∠=∠……………………3分BD AEDC AC =……………………4分∴3E ∠=∠∴ AE AB =……………………5分∴AB BD AC DC=……………………6分此题解法不唯一，参考给分26.解：（1）令0x =，则2y =-,∴点A 坐标为02-（，）.……………………1分2122b mx a m-=-=-=.∴点B 坐标为10（，）.……………………2分（2）点A 关于1x =的对称点为22-（,）,……………………3分设直线l 的表达式为(0)y kx b k =+≠,将点(1,0),(22)-代入表达式022k b k b +=⎧⎨+=-⎩,解得22k b =-⎧⎨=⎩.∴直线l 表达式为22y x =-+.……………………4分（3） 抛物线关于1x =对称，直线AB 与l 关于1x =对称,且抛物线在32 x 这一段位于直线AB 的下方.∴由对称性，抛物线在01- x 这一段位于直线l 的下方.又 抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为-1.…………………5分∴当1x =-时，2124 ´+ －（－）y ∴抛物线过点（﹣1，4）……………………6分∴224m m +-=,解得2m =.∴抛物线的表达式为2242y x x =--.……………………7分27.解：（1）依题意322b mx a =-=-=--,∴6m =-.…………………1分4AB =,∴点A 坐标为50-（，），点B 坐标为10-（，）.将10-（,）代入表达式得10m n --+=,∴ 5n =-.∴抛物线表达式为265y x x =---.……………………2分（2） 平移后的抛物线经过坐标原点，且与x 正半轴交于点C∴设平移后的抛物线表达式为：y =-x 2+mx （m >0）……………………3分∴顶点P 的坐标为21,24m m ⎛⎫⎪⎝⎭,OCP △是等腰直角三角形.∴2124m m =.……………………4分解得120()=2m m =舍，.∴顶点P 的坐标为()1,1……………………5分此问解法不唯一，参考给分（3）当4m =时，抛物线表达式为24y x x n =-++.∴对称轴为22bx a=-=.……………………6分124x x +>,∴1222x x +>.即M 、N 两个点的中点在对称轴右侧，又 122x x <<且图象开口向下∴12y y >……………………7分或：∵点M （x 1，,y 1）和N （x 2，,y 2）在抛物线上，且x 1<2，x 2>2，∴点M 在直线x =2的左侧，点N 在直线x =2的右侧.∵x 1+x 2>4，∴2-x 1<x 2-2.∴点M 到对称轴的距离比点N 到对称轴的距离近，且图象开口向下，如图所示.∴12y y >……………………7分解法不唯一，参考给分。
房山初三期中考试数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. √4B. -√9C. 0.5D. π2. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 = b^2，则a = bB. (a + b)^2 = a^2 + b^2C. (a - b)^2 = a^2 - b^2D. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^23. 若a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两根，则a + b的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 74. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点为（）A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）5. 下列各函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2D. y = √x6. 下列各三角形中，是直角三角形的是（）A. 边长分别为3、4、5的三角形B. 边长分别为5、12、13的三角形C. 边长分别为6、8、10的三角形D. 边长分别为7、24、25的三角形7. 在梯形ABCD中，AD // BC，AB = 5cm，BC = 10cm，AD = 6cm，CD = 8cm，则梯形ABCD的面积是（）A. 25cm²B. 30cm²C. 40cm²D. 45cm²8. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则Sn = （）A. n(a1 + an) / 2B. n(a1 + a2) / 2C. n(a1 + an) / 2dD. n(a1 + a2) / 2d9. 下列各式中，正确的是（）A. log2(8) = 3B. log2(1/8) = -3C. log2(16) = 4D. log2(1/16) = -410. 若x是方程2x^2 - 5x + 2 = 0的根，则x^2 - 2x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共50分）11. 若sinα = 1/2，则cosα的值为__________。
北京市北京市房山区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷及参考答案
北京市北京市房山区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷一、单选题1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）.A . 1cm ，2cm ，20cm ，40cmB . 1cm ，2cm ，3cm ，4cmC . 4cm ，2cm ，1cm ，3cmD . 5cm ，10cm ，15cm ，20cm 2. 下列各组图形一定相似的是（ ）。
A . 任意两个平行四边形B . 任意两个矩形C . 任意两个菱形D . 任意两个正方形3. 如图，△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝80°，∠A ＝60°，则∠C 等于（ ）A . 40°B . 60°C . 80°D . 100°4. 对于二次函数y ＝﹣2x ， 下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象关于直线x ＝0对称C . 图象开口向上D . 无论x 取何值，y 的值总是负数5. 已知二次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A . a+b+c＞0 B . a ＞0 C . b ﹣4ac ＜0 D . c ＜06. 如图，小正方形的边长为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A .B .C .D .7. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且DE∥AB ，若S ：S ＝1：3，则S ：S ＝（ ）A . 1：9B . 1：12C . 1：16D . 1：208. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x +bx+c 与x 轴只有一个交点M ，与平行于x 轴的直线l 交于A 、B 两点，若A B=3，则点M 到直线l 的距离为（ ）222△CDE △BDE △CDE △A BE 2A .B .C . 2D .9. 如图，D是△ABC的边如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了AB=，，），，），，）在函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是14.积最大的△A B C（A，1111（1）将其化为y=a(x-h)+k的形式；（2）画出其函数图象；（3）根据图象直接写出当y>2时x的取值范围.20. 下表是二次函数y＝ax+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1﹣0123…y…m﹣1﹣2﹣12…（1）二次函数图象的开口向，顶点坐标是，m的值为；（2）当x＞0时，y的取值范围是；（3）当抛物线y＝ax+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，n的取值范围是．21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．求证：DC = DA·DB22. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE交于点O，连接D、E.（1）依题意补全图形；（2）△OAB与△OED相似吗？说明理由.23. 如图，平行四边形ABCD中，过点C作CE交BD于点M，交AD于点F，交BA的延长线于点E，若FM =2，EF =6，求CM的长.222224. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1） 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2） 该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？．25.有这样一个问题：探究函数y ＝的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y ＝的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：（1）函数y ＝ 的自变量x 的取值范围是；（2） 下表是y 与x 的几组对应值．x﹣2﹣ ﹣1﹣1234…y 0﹣﹣1﹣m …求m 的值；（3） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4） 结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．26. 已知抛物线C ：y =2x ﹣4x+k 与x 轴只有一个公共点．（1） 求k 的值；（2） 怎样平移抛物线C 就可以得到抛物线C ：y =2（x+1）﹣4k ？请写出具体的平移方法；（3） 若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线C ：y =2（x+1）﹣4k 上，且n ＜t ，直接写出m 的取值范围．27. 如图，小芳家的落地窗（线段DE ）与公路（直线PQ ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A 处向窗外的公路望去．1121222222（1） 请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC ．（2） 小芳很想知道点A 与公路之间的距离，于是她想到了一个办法．她测出了邻家小彬在公路BC 段上走过的时间为10秒，又测量了点A 到窗的距离是4米，且窗DE 的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米/秒，请你帮助小芳计算出点A 到公路的距离．28. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x +2mx ﹣m +1的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）点D （n ，y ），E （3，y ）在抛物线上，若y ＜y ，请直接写出n 的取值范围；（3）设点M （p ，q ）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p ＜2时，点M 关于y 轴的对称点都在直线y=kx ﹣4的上方，求k 的取值范围．参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.22121213.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.。
2020-2021学年北京市房山区初三第一学期期中数学试卷
房山区2020-2021学年度第一学期期中检测试卷九年级数学本试卷共8页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
一、 选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．二次函数24+3y x x =-的二次项系数、一次项系数和常数项分别是A ．143，，B ．043，，C ．43-1，，D ．043-，， 2．如果34(0)x y y =≠，那么下列比例式中成立的是A ．43x y=B ．34x y = C ．34x y = D ．43x y =3．如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ，若=2AD ，1DB =，则DEBC等于A ．14B ．13C ．12 D ．234．将二次函数22y x =的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数 图象的表达式是 A ．22(1)5y x =--B ．22(1)5y x =+-C ．22(1)+5y x =-D ．22(1)5y x =++5．已知二次函数22y x x =-，若点1(1)A y -，和2(2)B y ，在此函数图象上， 则1y 与2y 的大小关系是A ．12y y =B ．12y y ＜C ．12y y ＞D ．无法确定6. 如图，A 是反比例函数(0)ky k x=≠的一点，若ABO ∆的面积为2，则k 的值为 A ．4-B ．2-C ．2D ．47．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”.今译如下：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别位于AB ，AD 的中点， EG AB ⊥，FH AD ⊥，15EG =里，HG 经过A 点，则FH 的长为 A ．0.95里B ．1.05里C ．2.05里D ．2.15里8．已知关于x 的函数()2axy x b =+的图象如图所示. 根据探究函数图象的经验，可以推断常数a ，b 的值满足A ．00a b >>，B ．00a b <<，C ．00a b ><，D ．00a b <>， 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若52x y =，则x yx-= ． 10．请写出一个对称轴为y 轴的二次函数的表达式 ．11． 两个相似三角形的对应边的比为3:2，则这两个相似三角形周长的比为 ，面积的比为 ．12．已知ABC ∆，P 是边AB 上的一点，连接CP .请你添加一个条件，使ACP ∆∽ABC ∆，这个条件可以是 ．（写出一个即可）E D CBA HGF EDCBAP CBA密封 线内 不能 答 题13．在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是 ．14．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，请你确定关于x 的一元二次方程2=0(0)ax bx c a ++≠的解为 ．15．若二次函数223y kx x =--的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ． 16．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为1～8的整数）．函数(0)ky x x=<的图象为曲线L ．（1）若L 过点1T ，则k ＝ ；（2）若曲线L 使得1T ～8T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的整数值有 个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．若:35:(2)x x =+，求x 的值. 18. 已知：抛物线 243y x x =-+. （1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ， 顶点坐标为 ；（2）在坐标系中画出此抛物线 .19．如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 .ABC ∆和DEF ∆的顶点都在边长为1的小 正方形的格点上 .（1）则ABC ∠= ︒，BC = ；（2）判断ABC ∆与DEF ∆是否相似 .若相似，请说明理由．20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … 4-3-2-1-012…y…52-032232052-…求这个二次函数的表达式 .21. 已知：如图，在ABC ∆中，D 是AC 上一点，E 是AB 上一点，且AE ADAC AB=. （1）求证：AED ∆∽ACB ∆；（2）若45A ∠=︒，60C ∠=︒，求ADE ∠的度数 ．22.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =+的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的 图象相交于点(1)A m ，. （1）求这个反比例函数的表达式； （2）请直接写出当1x <时，反比例函数(0)ky k x=≠ 的函数值y 的取值范围是 ．C BFA EDE DCBA–4–3–2–11234–5–4–3–2–112345yxO3x=1y xOCBDA NRQP HMO23．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F .若6AB =，4BC =，求DF 的长 .24．数学学习小组根据函数学习的经验，对一个新函数2ay x x=-的图象和性质进行了如下探究：（1）列表，下表是函数y 与自变量x 的几组对应值 x…3- 2- 1-12- 121 32 2 52 3724 …y …103- 4- 6- 10- 6 223252367m … 请直接写出:自变量x 的取值范围 ；a = ；m = .（2）如图，在平面直角系xOy 中，描出上表中各对 对应值为坐标的点（其中x 为横坐标，y 为纵坐标）， 并根据描出的点画出函数的图象；（3）观察所画出的函数图象，写出该函数的性质.（写一条性质即可）25.某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD ，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成 .已知墙长为22米（如图），设矩形ABCD 的边x AB =米，面积为S 平方米 .（1）求活动区面积S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围； （2）当AB 为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积 .26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数221y x mx =-+图象与y 轴的交点为A ，将点A 向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B ．（1）直接写出点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）若函数221y x mx =-+的图象与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围 ．D CBA FEDCBA27．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是ABC ∆内一动点（不包括ABC ∆的边界），连接AD . 将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到线段AE . 连接CD ，BE .（1）依据题意，补全图形； （2）求证：BE CD =；（3）延长CD 交AB 于F ，交BE 于G . 连接BD ，DE .当BDE ∆为等腰直角三角形时，请你直接写出ABBD= .备用图28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P a b ，和点()Q a b '，，给出如下定义： 若b a mb b a m ⎧'=⎨-<⎩，≥，，则称点Q 为点P 的m 值变点．例如：点(23)，的1值变点的坐标是(23)，，点(25)-，的1值变点的坐标是(25)--，． （1）①点1)的2值变点的坐标是 ； ②在点(31)A --，，(13)B -，中有一个点是函数3y x=图象上某一个点的2 值变点，这个点是 ；（2）若点P 在函数25(33)y x x k k =-+->-≤≤，的图象上，其2值变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b '-11≤≤1，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其3值变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b p '≥或b q '<，其中p q >．令s p q =-，直接写出s 关于t 的函数表达式及s 的最小值 .DCBAABC。