八下分式方程的增根与无解
分式方程无解
分式方程无解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢分式方程的增根与无解例谈分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例 1 解方程．①解：方程两边都乘以，得2-4x=3．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．例 2 解方程．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3若方程无解，则m=——————．解：原方程可化为－．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a为何值时，关于x 的方程①会产生增根？解：方程两边都乘以，得2＋ax＝3整理得x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a为何值时，关于x的方程①无解？此时还要考虑转化后的整式方程x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以，得2＋ax＝3整理得x＝－10②若原方程无解，则有两种情形：当a－1＝0时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程的增根与无解详解(最新整理)
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
八年级数学 分式方程的增根与无解 教学设计
三、微反思
总结分式方程增根产生的原因以及分式方程无解的条件，使学生从数学本质上对二者进行区分。
1、分式方程的增根：将分式方程化为整式方程后，整式方程的解使最简公分母为0，则这个解就是原分式方程的增根，此时原分式方程无解；
2、分式方程无解的条件：①有增根；②化为整式方程后，整式方程无解；
二、微探究
探究一：增根产生的原因
1、分析解分式方程的过程，指出增根产生的原因。
增根的产生，是因为在将分式方程化为整式方程的过程中，两边都乘了一个可能为零的整式（最简公分母），未知数的取值范围扩大为了全体实数。
2、进一步明确增根的特征。
（1）增根是整式方程的解；
（2）增根使原分式方程的最简公分母为0.
分式方程的增根与无解教学设计
授课教师姓名
微课名称
分式方程的增根与无解
知识点来源
北师大版八年级数学下册第五章《概率的进一步认识》第4节.
录制工具和方法
Camtasia Studio+PPT，全屏录制（PPT中直录）
设计思路
本节微课通过几个例题，旨在从解分式方程的过程中，通过对比，帮助学生分析增根产生的原因，以及分式方程无解的条件，从而使学生能够正确进行区分，避免错误.
具体思路如下：探究一（初步应用）——探究二（变式提升）——归纳总结——自主反馈.
教学设计
内容
教学目的
1、理解分式方程增根产生的原因；
2、明确分式方程无解的条件，能区分增根与无解的区别与联系，并熟练应用，解决问题.
教学重点难点
重点：理解分式方程增根产生的原因，明确分式方程无解的条件．
难点：对分式方程转化为整式方程后无解情况的理解与应用．
八年级数学下册 10.5 分式方程 分式方程的“增根”与“无解”素材 苏科版(2021学年)
八年级数学下册10.5 分式方程分式方程的“增根”与“无解”素材(新版）苏科版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(八年级数学下册1０．5 分式方程分式方程的“增根”与“无解”素材(新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
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分式方程的“增根”与“无解”学习了解分式方程以后,我们便知道了“增根”的知识，不少同学对“增根”与“无解”混为一谈,甚至根本无法理解，为了说明这两个概念,现帮助同学们重新定位．一、增根的概念将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根）,这种根通常称为增根.如,若方程2m x -＋3=12x x+-有增根,则这个增根一定是x =２。
二、分式方程增根产生的原因在解分式方程的关键是要将分式方程转化为整式方程,而转化的关键又是去分母，由于对原分式方程的解来说，它必须使分式方程中各分式分母的值不为零，而对约去分母后得到的整式方程来说，却不要求分母的值非零,因为整式方程中各分母都是已知数,零不能作分母,当所得到的整式方程的某一根使原分式方程中至少有一个分式的分母为零时,即这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式,那么最简公分母（整式)的值为零，即去分母过程中就相当于在方程两边同时乘以了0,不符合等式性质的要求,所以这个整式方程的根不适合原分式方程,它就是增根，因而,解分式方程时,必须要检验。
三、无解的概念分式方程无解有两种情形:一是将原分式方程两边都乘以最简公分母,约去分母得到整理后的整式方程为ax =ｂ，此时若a =0,而ｂ≠0，则此整式方程无解,即原分式方程无解;二是化分式方程为整式方程,此整式方程的解是原分式方程增根，此时分式方程无解。
浅谈分式方程的增根与无解
【八年级】浅谈分式方程的增根与无解在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。
今天，给大家带来 2 类典型的问题。
一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。
1.有关增根的问题1.1增根是如何产生的先看一个有意思的问题：x-1=0显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1.我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。
换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。
因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。
而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。
由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。
1.2增根到底有多少个再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。
故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。
这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。
因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。
那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。
一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。
二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。
如何理解分式方程中的增根和无解
如何理解分式方程中的增根和无解【摘要】：增根和无解是解分式方程时常常遇到的两个问题。
在讲解分式方程的解的过程中，如果没有把分式方程的增根和无解的概念、二者的联系与区别、以及各自的解法等问题讲解透彻，会导致学生在学习分式方程时，对增根和无解的理解存在一定的困难。
有些同学简单的认为这两个概念大致相同，做题时就都用同一种方法，或是将二者的解法混为一团。
正确理解分式方程中的增根和无解，对于学生来说是一个难点。
教师在教学过程中，也常常因为学生对这两个问题的理解不够透彻而感到焦急、困惑。
老师们也希望能够用简单易懂的道理来帮助学生认识、分析分式方程中的增根和无解的联系和区别，从而让学生能够正确的解题。
【关键词】：分式方程整式方程增根无解最简公分母【正文】：八年级学生在学习解分式方程时，有一个很重要的步骤是：检验，在检验这一过程中常常会遇到增根和无解这两个问题。
分式方程的增根与无解是分式方程中两个常见的概念，它们所满足的条件不同。
分式方程的增根同时满足的的两个条件为：（1）增根使最简公分母为0，（2）增根是分式方程化为整式方程时，整式方程的根。
分式方程无解的两种原因：（1）分式方程去分母后所得的整式方程无解。
（2）分式方程的根是增根。
现将二者的区别与联系以例题的形式进行分析解释： 例 1：解分式方程 1 = x - 510 x 2 - 25解：原分式方程分母因式分解得：1 = x - 5 10 (x + 5)(x - 5)分式方程左右两边同时乘以最简公分母（ x +5）( x -5)得：x +5=10解得x =5检验：当x =5 时，（ x +5）( x -5)=0，所以x =5 是原分式方程的增根。
即原分式方程无解。
说明：此题中当x =5 时，最简公分母（ x +5）( x -5)的值为 0，在检验的过程中发现x =5 是原分式方程的增根。
即原分式方程无解。
例1 让学生初步感受分式方程中增根和无解的意义。
二者具体有哪些联 系与区别，在后面的例题中将加以详细的分析与说明。
【doc】怎样区别分式方程的增根与无解
怎样区别分式方程的增根与无解责旧.蝙辑:王二喜刘顿学习了解分式方程以后,不少同学把增根与无解混为一谈.为了掌握这两个概念,现举例说明这两个概念的区别和联系.一.岔将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知数的整式,并约去分母,可能产生不适合原分式方程的解或根,这种根称为增根.如,若方程—+3=有增根,则这个增根一定是=2.一二_徭绣罗解分式方程的关键是去分母将分式方程转化为整式方程.对原分式方程的解来说,各分式的分母不能为零,而对去分母后得到的整式方程来说,没有这个限制.因此,解分式方程时,必须检验.2O09.3的增根与无解怎样区剔分式方程课程_IiI赍源_…i庭裔锄辑分式方程无解有两种情形:一种是将原分式方程两边都乘以最简公分母,去分母并整理得到的整式方程为ax=b,若a=O,而b≠0,则此整式方程无解,即原分式方程无解;另一种是化分式方程为整式方程,整式方程的解是原分式方程的增根,此时分式方程无鳃.,ll如,若关于的方程一1=0无解,试求n的值.将原方程去分母转化为(o一1)x+2=O,即(n一1)一2.当n一1=0时,~Ja=l,此时整式方程无解.所以当n=1时,原方程无解.对于方程(.～1)x+2=O,当=1时,原方程无解.所以当(n一1)×1+2=0时,即o=一1,原方程无解.所以a为1或一1.在解本题时,考虑问题要全面,不要只考虑原分式方程有增根的情形,而忽略了整式方程无解,则原分式方程无解的情况.一分薅方癌警车麟按哮暴分式方程有增根,则增根是原分式方程变形后所得整式方程的根,但不是原分式方程的根,即这个根使最简公分母为0.如,解分式方程=3一刍,可得x=2,把=2代人(2一),得2一x=O,即=2使分式方程的分母2一为0.所以x=2不是原方程的解,x=2 是原方程的增根,此方程无解.在本题中,分式方程有增根,方程无解.请思考下面两道题:1.若关于的方程:m无解,求m的值.2.m为何值时,关于的方程+x2-4=会产生增根.目I2OO9.3。
(完整版)分式方程的增根与无解详解
分式方程的增根与无解讲解2 4x 3例1解方程上 二—.①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.x 13 x 例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 口 = 旦 无解，则m 二——x 2 2 x解：原方程可化为方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.2例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10②若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：此时还要考虑转化后的整式方程(a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)2当a 为何值时，关于x 的方程门 axx 2 4①无解?axx 2 4①会产生增根?整理得(a—1) x = —10 ②若原方程无解，则有两种情形:（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母 （x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零须是所化整式方程的根。
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八下分式方程的增根与无
解
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八年级数学下---分式方程的增根与无解专项练习
分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；（注意是分母为0的x 值不一定都是增根）
分式方程无解：是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．
练习1：1、当k 为何值时，方程
x x k x --=-133会出现增根？
2、已知分式方程
3312x ax x +++=有增根，求a 的值。
3、分式方程x x m x x x -+-=+111
有增根x =1，则m 的值为多少？
4、a 为何值时，关于x 的方程4121x x x a x x -+=+-()
有解？
5、求使分式方程x x m x --=-323
2
产生增根的m 的值。
6、已知关于x 的方程2
x x k 2x 21x 12-+=++-有增根，求k 的值。
7、当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-无实根。
练习2：1、若方程4
412212--=--+x x x k x 会产生增根，则（ ） A 、2±=k B 、k=2C 、k=－2D 、k 为任何实数
2、若解分式方程
21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（） A.－1或－2B.－1或2C.1或2 D.1或－2
3、若方程)1)(1(6-+x x -1
-x m =1有增根，则它的增根是（） A 、0B 、1C 、-1D 、1或-1
4、若方程有增根，则a ＝（）.
5、已知
有增根，则k ＝（）． 6、若分式方程1x −2+3=3−x
a +x 有增根，则a 的值是（）
7、关于x 的方程12144a x x x
-+=--有增根，则a =（） 8、若分式方程=11
m x x +-有增根，则m 的值为（） 9、分式方程121
m x x =-+有增根，则增根为（） 10、关于x 的方程
1122k x x +=--有增根，则k 的值为（） 11、关于x 的方程2
1326
x m x x -=--有增根，则m 的值（）
练习3：1、若方程3
2x x --=2m
x -无解，求m 的值。
2、当a 为何值时，关于x 的方程223
242ax x x x +=--+无解？
3、当m 为何值时，关于x 的方程211
12x x m x x x ---=+-无实根？
4、关于x 的方程3-x x -2=3-x m
有一个正数解，求m 的取值范围。
（注意要排除增根）
5、已知关于x 的方程m 3x m
x =-+无解，求m 的值。
6、分式方程x x m x x
x -+-=+111无解，则m 的值为多少？
7、当m 为何值时，方程＋＝0无解。
8.当a 为何值时，关于x 的分式方程3
11x a
x x --=-无解。
练习4：
1.若分式方程1x a
a x +=-无解，则a 的值为（）
2.若分式方程201m x
m x ++=-无解,则m 的取值是（）
3.若关于x 的方程(1)5
321m x m x +-=-+无解，则m 的值为（）
4.若关于x 的方程311x m x x --=-无解，求m 的值为（）。