边界层理论

6.95 5 10 1.965 4 0.15 10 3
3
从表12-1中，用内插法，查得

vx ' f ( ) 0.619 U
所以 Vx ＝0.619Ｕ＝4.3ｍ/ｓ
（2）按上例条件，求ｘ＝３ｍ处的边界层厚度δ
解:
按定义边界层外边界上速度 Vx=99％Ｕ
查表12-1，找出 由
v y ~
v 2v 1 y x ~ 1， ~ , 2 x y v y ~ , x 2v y ~ 2 x
v 1 x ~ y
2v 1 x ~ 2 2 y
化简后为
vx vx 2 vx 1 p vx vy x y x y 2 p 0 y v y vx 0 x y
由于f和η 均为无量纲量，且在方程及边界 条件中不显含ν 及Ｕ，故所得结果可以一劳永逸 地应用。 表12-1给出问题的数值解，其中
vx f ( ) U
'
就
是边界层内无量纲的速度分布。
例7.1
本例说明上表12-1的用法。
(1)
欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）
U 可将ｘ及ｙ的值代入 y x 中得出η 值，由
LU 2
Re L
b
总摩擦阻力系数Ｃｆ由下式确定：
1.328 Cf 1 2 Re L 2 U bL
L
Rf
（12-21)
为按平板板长计算的雷诺数。算出 式中 Re Re
UL

摩擦阻力系数后，可确定平板层流边界层情况 下的摩擦阻力为：
1 2 R f C f U bL 2
(12-22)
1 p p p ( p dx)d ( p dx)( d ) 0 dx 2 x x p dx 0 dx x
式中略去了二阶小量
可得到定常流动条件下卡门动量积分方程式：
x


0
v x dy U x
2


0
p v x dy 0 x
vx ' f ( ) df / d U U y x
(12-18)
将上式代入边界层方程，有
2 f ff 0
''' ''
(12-20)
f满足的是三阶非线性常微分方程 边界条件为： η ＝０， f＝０， f′＝０
η →∞， f′＝1
非线性的微分方程，得不到解析解。
采用级数展开办法，或者直接进行数值积分。
' f ( ) 此值从上表中找出相应的
则
vx ( x, y) U f ()
'
设 U=25 km/h，ν =0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm， 求：Vx＝？
解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν =0.0015m2/s, x=3m, y=0.005m,
代入η 中得：
Re kp ( Ux

) kp
Uxkp

5 105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
xkp 5 10
5

U
（12-1）
§12-2
边界层基本微分方程
粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过 小曲率物体，物体表面可近似当作平面。 取物面法线为ｙ轴。在大Re数情况下的边界 层流动有下面两个主要性质： 1) 边界层厚度较物体特征长度小得多，即 1
在边界层内：ｐ=ｐ(x)，ｖｘ=ｖｘ(y) δ =δ (x)
方程两个积分都只是ｘ的函数，则有
d 2 d dp v x dy U v x dy 0 0 dx dx 0 dx
（12-23）
这就是边界层动量积分方程，对层流和湍流 边界层都能适用。
式中未知数有ｖｘ，τ 0和δ 三个。求解方程
（12-4）
边界条件： ｙ＝０，Vｘ＝Vｙ＝０； ｙ＝δ ，Vｘ＝Ｕ（ｘ）。
上式为边界层基本微分方程（Prandtl方程）。
讨论： Prandtl边界层方程中第二个方程：
p 0 y
说明了什么？
p0 p1 p2 p1= p2 = p3 = p0
p3
Prandtl边界层方程的求解 Blasius解----顺流放置无限长平板上的层流 边界层流动。 均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面， 原点在平板前缘， 平板极薄且无曲度， 边界层外缘处速度 为来流速度Ｕ。沿 边界层外缘上各点 dp 上压力相同， 0 即
虽然边界层基本微分方程比N-S方程要简单
得多，但求解问题仍有很大困难尚且如此之大，
因此,发展求解边界层问题的近似方法便具有很 大的理论与实际意义。 Karman动量积分方程方程，就是一种近似求 解边界层问题的方法。
§12-3
边界层动量积分方程
应用动量定理来研究边界层内单位时间内 沿ｘ方向的动量变化和外力之间的关系。 设流动定常 控制体边界ABCD
于是
0 0.332
U 2
Re x
上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力
与ｘ坐标的平方根成反比的规律随着ｘ的增
加而减小。
现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为 Ｌ，板宽为ｂ，则平板单面总摩擦阻力是：
R f 0bdx b 0.332
0 0 L L
U 3
x
dx 0.664
边界层： 在固体壁面附近，显著地受到粘性
影响的这一薄层。 从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先
建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创
了近代流体力学的一个分支——边界层理论。 均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得 沿平板垂直方向的速度分布如下图：
与来流速度相同的量级,U99％ 均 匀 来 流 速 度
算边界层。
（3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将N-S 方程化简，获得边界层的基本微分方程。
边界层内的流动状态：
层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层
（层流底层） ，其厚度与Re有关。
层流边界层转变为湍流边界层的判别准则：
雷诺数
Re Ux

ｘ为离平板前缘点的距离
对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：
要补充两个关系式： (1)边界层内的速度分布Vｘ＝Vｘ(y） 一般由经验确定，与实际符合越好，计算结果 就越精确,这是求解边界层问题的关键。 （2）切应力与边界层厚度δ 的关系 即τ 0 ＝τ 0（δ ）
两个厚度: 动量损失厚度 ，排挤厚度
拉格朗日积分改写为：
dp dU U dx dx
dx
上述边界层方程简化为：
vx vx 2 vx vx vy x y y 2 v y vx 0 x y
（12-5）
边界条件： ｙ＝０，Vｘ＝０，Vy＝０； ｙ→∞，Vｘ＝Ｕ。
严格上，速度从零增至Ｕ须经过无限远距
离，近似认为ｙ＝δ ，Vｘ＝U。
具有Blasius相似解:
因为
dp dU dU U dy Udy dx dx 0 dx 0 d d dU U vx dy Uvx dy vx dy dx 0 dx 0 dx 0
将这些结果代入（12-23）式得：
d 2 d dU v x dy Uvx dy dx 0 dx 0 dx
作用在该控制体上沿ｘ方向外力： AB面:
PAB p P CD PAC p (p dx )( d ) x 1 p (p dx ) d 2 x
CD面:
AC面:
A,C 两点的平均压力
ＢＤ面上作用在流体上的总切应力为：
FBD＝－τ 0dx
该控制体上沿ｘ方向诸外力之和为：
U y x
x
vx 99% 时，η ＝5, U
可得
0.15 104 3 5 5 0.127m 1.27cm U 6.95
板面上的切应力0 由牛顿内摩擦定律
vx 0 y
y 0
U '' U f (0) x
按照表12-1，f″（0）=0.332,
单位时间内经过ＡＢ面流入的质量和带入的 动量分别为：
mAB ux dy
0

2 K AB ux dy 0

单位时间内流出ＣＤ面的质量和动量分别为：
mCD K CD ( vx ) [ vx dx]dy 0 x 2 2 v x dy dx v x dy 0 0 x
v y vx 0 x y
连续性方程
引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中 的各物理量无量纲化：
x x , L y y , L vx v , x U v y vy U , p p U 2
将其代入N-S方程，整理后得：
2 2 v v v v p 1 x x x x v v ( ) x y 2 2 x y x Re x y 1 1 '2 '2 1 1 ' ( ) 1 '2
L
2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级
以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简：
vx vx vx v x 2 vx 2 vx 1 p vy ( ) 2 2 x y x x y v y x vy v y 2 vy 2 vy 1 p ( ) 2 2 y y x y
边界层的概念
N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解) 工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。 高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯 性力相比是很小的。 1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流 体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴 近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性 完全可以忽略。