常用逻辑用语同步练习(教师版)
高一数学寒假作业02 常用逻辑用语(教师版)
高一数学寒假作业专题02常用逻辑用语1．命题：∀x∈Z,2x∈Z的否定为（）A．∀x∈Z,2x∉Z B．∃x∈Z,2x∉Z C．∀x∉Z,2x∉Z D．∃x∈Z,2x∈Z 【答案】B【解析】命题：∀x∈Z,2x∈Z为全称量词命题，其否定为∃x∈Z,2x∉Z；故选：B2．“a=1”是“函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数，即f(−x)=−f(x)，即f(−x)+f(x)=0，可得lg(√x2+1+ax)+lg(√x2+1−ax)=lg(x2+1−a2x2)=0，所以x2−a2x2=0，可得a=±1，所以“a=1”是“函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.3．已知命题p：x2+x−2>0，命题q：x−1>0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为命题p：x>1或x<−2，命题q：x>1，所以p是q的必要不充分条件，故选：B4．设a>0且a≠1，则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分必要条件【答案】A【解析】若函数f(x)=a x在R上是减函数，则0<a<1，若函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数，则2−a>0，又a>0且a≠1，所以0<a<2且a因为集合(0,1)真包含于集合(0,1)⋃(1,2)所以“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数”的充分非必要条件.故选：A5．命题“∀x∈[1,2]，3x2−a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤3D．a≤4【答案】A【解析】若“∀x∈[1,2],3x2−a≥0为真命题，得a≤3x2对于x∈[1,2]恒成立，只需a≤(3x2)min=3，所以a≤2是命题“∀x∈[1,2],3x2−a≥0为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.6．2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市的一名务工人员,但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件.故选：B.7．若a,b∈R，则“a<b”是“lna<lnb”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】因函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，则lna<lnb⇔0<a<b而a,b∈R，当a<b时，a，b可能是负数或者是0，即lna或lnb可能没有意义，所以“a<b”是“lna<lnb”的必要不充分条件.8．下列四个结论中正确的个数是（）（1）设x<0，则4+x2x有最小值时4；（2）若f(x+1)为R上的偶函数，则f(x)的图象关于x=1对称；（3）命题“∃n∈N,2n>1000”的否定为：“∀n∈N,2n≤1000”；（4）命题“已知x,y∈R，若x+y=3，则x=2且y=1”是真命题．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】（1）∵x<0，∴−x>0，4−x >0，∴4+x2x=x+4x=−(−x+4−x)，∴(−x)+(4−x )≥2√(−x)(4−x)=4，当且仅当x=−2时取等号，∴4+x2x≤−4，∴（1）错；（2）∵函数y=f(x+1)为偶函数，∴函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，∵y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的，∴函数y=f(x)的图象关于x=1对称．∴（2）对．（3）由命题的否定可判断正确；（4）令x=4,y=−1，满足x+y=3与x=2且y=1矛盾，∴（4）错．正确个数为两个.故选：B9．下列说法中，错误的是（）A．“x，y中至少有一个小于零”是“x+y<0”的充要条件B．已知a,b∈R，则“a2+b2=0”是“a=0且b=0”的充要条件C．“ab≠0”是“a≠0或b≠0”的充要条件D．若集合A是全集U的子集，则x∉∁U A⇔x∈A【答案】AC【解析】对于A，当x=3，y=−2时，满足x，y中至少有一个小于零，但无法推出x+y<0，A 说法错误；对于B，若a2+b2=0，则a=b=0；若a=b=0，则a2+b2=0，即“a2+b2=0”是“a =0且b=0”的充要条件，B说法正确；对于C，当a=0,b=1时，满足a≠0或b≠0，但此时ab=0，即无法推出ab≠0，C说法错误；对于D ，若集合A 是全集U 的子集，则(∁U A )∪A =U ，即命题“x ∉∁U A ”与“x ∈A ”是等价命题，D 说法正确. 故选：AC10．下列选项中，p 是q 的充要条件的是（ ） A ．p ：xy >0，q ：x >0，y >0 B ．p ：A ∪B =A ，q ：B ⊆AC ．p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形存在两角相等D ．p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分 【答案】BC 【解析】对于A ：由xy >0，得x >0，y >0或x <0，y <0，故P 不是q 的充要条件，故A 错误； 对于B ：由A ∪B =A ，则B ⊆A ，若B ⊆A 则A ∪B =A ，故P 是q 的充要条件，故B 正确； 对于C ：三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故P 是q 的充要条件，故C 正确； 对于D ：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p 不是q 的充要条件，故D 错误； 故选：BC11．下列命题中，是真命题的是（ ） A ．a >1且b >1是ab >1的充分条件B ．“x >12”是“1x <2”的充分不必要条件C ．命题“∀x <1，x 2<1”的否定是“∃x ≥1，x 2≥1”D ．a +b =0的充要条件是ab =−1 【答案】AB 【解析】对于A ，当a >1，b >1时，ab >1，充分性成立，A 正确；对于B ，当x >12时，0<1x <2，充分性成立；当1x <2时，x >12或x <0，必要性不成立，则“x >12”是“1x <2”的充分不必要条件，B 正确；对于C ，由全称命题的否定知原命题的否定为：∃x <1，x 2≥1，C 错误； 对于D ，当a =0，b =0时，a +b =0，此时ab 无意义，充分性不成立，D 错误. 故选：AB.12．下列所给的各组p 、q 中，p 是q 的必要条件是（ ） A ．p ：△ABC 中，∠BAC >∠ABC ，q ：△ABC 中，BC >AC ； B ．p ：a 2<1， q ：a <2； C ．p ：ba<1，q ：b <a ；D ．p ：m ≤1，q ：关于x 的方程mx 2+2x +1=0有两个实数解． 【答案】AD【解析】对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当∠BAC>∠ABC时，有BC>AC，当BC>AC时，有∠BAC>∠ABC，所以p是q的充要条件；对于B，由a2<1，得−1<a<1，则a<2一定成立，而当a<2时，如a=−2，a2<1不成立，所以p是q的充分不必要条件；对于C，由ba<1可知，当a>0时，b<a；当a<0时，b>a；而当b<a时，若a>0，则b a <1，若a<0，则ba>1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，当m=0时，关于x的方程mx2+2x+1=0只有一个实根，若关于x的方程mx2+2x +1=0有两个实数解时，则{m≠0Δ=4−4m>0，得m<1且m≠0，所以p是q的必要不充分条件；故选：AD13．已知“∃x∈R，使得2x2+ax+12≤0”是假命题，则实数的a取值范围为________．【答案】(−2,2)【解析】∵“∃x∈R，使得2x2+ax+12≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使2x2+ax+12>0”是真命题，∴判别式Δ=a2−4×2×12<0，∴−2<a<2.故答案为：(−2,2)．14．若命题p是“对所有正数x，均有x>x2+2”，则¬p是___________.【答案】∃x>0，使得x≤x2+2【解析】解：根据全称命题的否定为特称命题得命题p：“对所有正数x，均有x>x2+2”的否定¬p是：存在正数x，使得x≤x2+2.故答案为：∃x>0，使得x≤x2+2.15．下列四个结论：①“λ=0”是“λa⃗=0⃗⃗”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2+AC2=B C2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件；④若a，b∈R，“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．其中正确命题的序号是________．【答案】①④【解析】当λ=0时，λa ⃗=0⃗⃗，当λa ⃗=0⃗⃗时，λ=0或a ⃗=0⃗⃗，①正确； 当△ABC 中∠B =π2，则AC 2=BC 2+AB 2，故②错误； 取a =0,b =1得到a 2+b 2≠0，故③错误；若a 2+b 2≠0，则a ，b 不全为0，若a ，b 不全为0，则a 2+b 2≠0，故④正确； 故答案为：①④.16．在复数范围内，给出下面3个命题：①|a +b |2=a 2+2ab +b 2；②已知z 1、z 2、z 3∈C ，若(z 2−z 1)2+(z 3−z 1)2=0，则z 1=z 2=z 3；③z 是纯虚数⇔z +z =0.其中所有假命题的序号为______. 【答案】①②③ 【解析】①：等号的左边是非负实数，而右边不一定是非负实数，如a =1，b =i ，假命题. ②：取z 1=0，z 2=1，z 3=i ，则(z 2−z 1)2+(z 3−z 1)2=0，但z 1、z 2、z 3互不相等，假命题.③：当z =0时满足z +z =0，但z 不是纯虚数，所以z +z =0推不出z 是纯虚数，假命题. 故答案为：①②③17．已知p:∀x ∈R,ax 2−ax +1>0恒成立，q:∃x ∈R,x 2+x +a =0.如果p,q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(−∞,0)⋃(14,4) 【解析】若p 为真命题，当a =0时，可得1>0恒成立，满足题意； 当a ≠0时，则{a >0Δ=(−a )2−4a <0，解得0<a <4，∴当p 为真命题，实数a 的取值范围是[0,4). 若q 为真命题，则有Δ=12−4a ≥0，解得a ≤14， ∴当q 为真命题，实数a 的取值范围是(−∞,14]. ∵p,q 中有且仅有一个为真命题，∴当p 为真命题，q 为假命题时，实数a 的取值范围是[0,4)∩(14,+∞)=(14,4); 当p 为假命题，q 为真命题时，实数a 的取值范围是(−∞,0).综上，当p,q 中有且仅有一个为真命题时，实数a 的取值范围是(−∞,0)⋃(14,4). 18．已知集合M ={x ∣(x +3)(x −5)⩽0},N ={x ∣−m ⩽x ⩽m }. （1）若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）当m ⩾0时，若“x ∈M ”是“x ∈N ”的必要条件，求实数m 的取值范围.（1）[5,+∞) （2）[0,3] 【解析】（1）可得M ={x ∣(x +3)(x −5)⩽0}={x ∣−3⩽x ⩽5} 若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，则M ⊆N ，所以{−m ⩽−3m ⩾5，解得m ⩾5，所以实数m 的取值范围为[5,+∞)；（2）若“x ∈M ”是“x ∈N ”的必要条件，则N ⊆M ， 因为m ⩾0，所以N ≠∅，则{m ⩾0−m ⩾−3m ⩽5，解得0⩽m ⩽3,综上所述，实数m 的取值范围为[0,3].19．将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断“α⇒β”是否成立. （1）直角三角形的外心在斜边上； （2）有理数是实数；（3）面积相等的两个三角形全等. 【答案】（1）若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.α⇒β成立 （2）若一个数是有理数，则这个数是实数.α⇒β成立（3）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.α⇒β不成立 【解析】（1）命题改写成：若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上. 由直角三角形的外心是斜边的中点，可知α⇒β成立. （2）命题改写成：若一个数是有理数，则这个数是实数. 实数由有理数和无理数构成，即Q ⊆R ，可知α⇒β成立.（3）命题改写成：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等，可知α⇒β不成立.20．已知命题p ：“∀−1⩽x ⩽1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】 （1）(2,+∞)； （2）[6,+∞).（1）由题意命题p ：“∀−1⩽x ⩽1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题． ∴m >x 2−x 在−1⩽x ⩽1恒成立，即m >(x 2−x)max ，x ∈[−1,1]； 因为x 2−x =(x −12)2−14，所以−14⩽x 2−x ⩽2，即m >2， 所以实数m 的取值范围是(2,+∞)；（2）由p 得，设A ={m|m >2}，由q 得，设B ={m|a −4<m <a +4}， 因为q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件； 所以q ⇒p ，但p 推不出q ， ∴B ⫋A ； 所以a −4⩾2，即a ⩾6， 所以实数a 的取值范围是[6，+∞)．21．已知集合A 是函数y =√2−x 2的定义域，集合B ={x |x 2−2ax +a 2−1≤0}，其中a ∈R ． （1）若a =1，求A⋂B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）A⋂B ={x|0≤x <√2}； （2）1−√2<a <√2−1. 【解析】（1）由题设，A ={x|−√2<x <√2}，B ={x|a −1≤x ≤a +1}， 由a =1，则B ={x|0≤x ≤2}， ∴A⋂B ={x|0≤x <√2}.（2）由题意知：B ⊆A ，而a +1>a −1恒成立， ∴{a −1>−√2a +1<√2，可得1−√2<a <√2−1. 22．请在①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的问题中横线部分．若问题中的a 存在，求出a 的取值范围，若问题中的a 不存在，请说明理由．问题：已知集合A {x |0≤x ≤4}，B ={x |1−a ≤x ≤1+a }(a >0)，是否存在实数a ，使得x ∈A 是x ∈B 成立的______？ 【答案】答案见解析. 【解析】选①，则A 是B 的真子集，则1−a ≤0且1+a ≥4（两等号不同时取）， 又a >0，解得a ≥3，∴存在a ，a 的取值集合M ={a |a ≥3}选②，则B 是A 的真子集，则1−a ≥0且1+a ≤4（两等号不同时取），又a>0，解得0<a≤1，∴存在a，a的取值集合M={a|0<a≤1}选③，则A=B，则1−a=0且1+a=4，又a>0，方程组无解∴不存在满足条件的a.。
第1章《集合与常用逻辑用语》教师
选修2-1 第一章常用逻辑用语复习※典型例题（）____________________小结：弄清四种命题之间的关系是解决此类问题的关键.例2 下列各小题中，p 是q的充要条件的是（）.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)的必要不充分条件，求实数a的取值范围.小结：处理充分、必要条件的问题首先要分清条件和结论，有时利用逆否命题与原命题等价的性对解题很有帮助.例3 给出下列命题:若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围.※ 动手试试练 1. 如果命题“p 且 q ”与命题“p 或 q ”都是假命题，那么 （ ） A.命题“非 p ”与命题“非 q ”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q ”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p ”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q ”是真命题练 2. 若命题 p 的逆命题是 q ， 命题 p 的否命题是r ，则 q 是 r 的 （ ） A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确 ※ 知识拓展区间[- 1,1] 的所有的 x,都有 f(x ) 0 恒成立，求 p 的取值范围.一、选择题1．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x>0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x>0，正确．2．(2011·高考北京卷)若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题解析：选D.根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．3．(2012·高考辽宁卷)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0解析：选C.利用“全称命题的否定是存在性命题”求解．命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0”．4．(2013·日照质检)下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x＞x ＋1C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x解析：选B.∵sin 2x2＋cos 2x2＝1，∴A 错．∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，∴C 错．又∵sin π6＜cos π6，∴D 错．故选B.5．(2013·大连质检)已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0，则下列命题是假命题的是( )A ．綈p ∨綈qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∨qD ．綈p ∧q解析：选B.由基本不等式可得：1a ＋1b ＝(1a ＋1b )×(a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥4，故命题p 为假命题，綈p 为真命题；∀x ∈R ，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，故命题q 为真命题，綈q 为假命题，綈p ∧綈q 为假命题，故选B.二、填空题6．已知命题p ：“∃x ∈R ＋，x ＞1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________________”；q 为________命题．(填“真”或“假”)解析：x ＞1时，x ≤1x为假命题．答案：∀x ∈R ＋，x ≤1x假7．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m <34，即－12<m <32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真8．给定下列几个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；③“等底等高的三角形是全等三角形”的逆命题．其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，而“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③为真命题．答案：①③ 三、解答题9．(2013·德州质检)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)q ：所有的正方形都是矩形；(2)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解：(1)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题．10．已知命题p ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数；q ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并指出其真假．解：“p 或q ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数或不相等． “p 且q ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0无实根．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∵p 真，q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假．一、选择题1. 已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2≥a ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．(－2,1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)解析：选C.因为命题“p 且q ”是真命题，故命题p 与命题q 均为真命题．由命题p 为真命题，可知a ≤1.由命题q 是真命题，可知Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≤－2或a ≥1.综上可知a 的取值范围为(－∞，－2]∪{1}．2．(2013·抚顺六校第二次检测)下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＞sin x 解析：选B.对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ＞3时，(x －1)2－2＞0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0，sin x ＞0，命题显然不成立．故选B.二、填空题3．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．解析：p 真时，0<a <1；q 真时，ax 2－x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4a 2<0，即a >12；p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 应一真一假：①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a ≤12⇒0<a ≤12；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1a >12⇒a ≥1.综上，a ∈(0，12]∪[1，＋∞)．答案：(0，12]∪[1，＋∞)4．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面． 命题p ：若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； 命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β.下面的命题中，①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨綈q ；④綈p ∧q . 真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以①④是真命题． 答案：①④ 三、解答题5．f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，求a 的取值范围．解：由于函数g (x )在定义域[－1,2]是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此该问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集，又因函数f (x )的值域是[－1，3]，函数g (x )的值域为[2－a,2＋2a ]，所以则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12，又因a ＞0，所求a 的取值范围是(0，12]．6.已知p ：40x m +<，q ：220x x -->，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围.解：由p ：40x m +<得4m x <-；由q ：220x x -->得1x <-或2x > ∵p 是q 的一个充分不必要条件，∴只有p ⇒q 成立，∴14m-≤-，∴4m ≥7.命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立； 命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增.若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。
常用逻辑用语教师版
2012-2013学年度???学校1月月考卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（题型注释）1．有下列四个命题：①“若x＋y=0 ，则x ，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中的真命题为【答案】①③【解析】试题分析：（1）“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0．它是真命题．（2）“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．（3）若q≤1，则△=4-4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．（4）原命题为假，故逆否命题也为假．故真命题为①③考点：本题主要考查命题的概念及命题真假判断。
点评：解题时要注意四种命题的相互转化，和真假等价关系，属基础题。
2．命题“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是.【答案】若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形．【解析】试题分析：逆否命题是先变成逆命题再变为否命题。
所以命题“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是：若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形．考点：本题主要考查命题的概念。
点评：逆否命题是先变成逆命题再变为否命题。
3．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥；命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且______________的三棱锥是正三棱锥．【答案】此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；……．【解析】试题分析：此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；……．考点：本题主要考查命题的等价关系。
常用逻辑用语.板块一.命题与四种命题.教师版
题型一：判断命题的真假【例1】 判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【考点】判断命题的真假 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴是命题；⑵不是命题；⑶不是命题；⑷不是命题；⑸是命题．【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根. （4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【考点】判断命题的真假 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 对于判断是否是命题的问题，主要根据命题的定义加以判断.命题的定义是“可以判断真假的陈述句”，因此说，要想判断一个语句是否是命题，主要判断两个方面：一是所给出的语句是否能判断真假，另一方面，是要看这个语句是不是陈述句.而对于（1）中的反意疑句句，如果将它转化为陈述句即为“矩形是平行四边形”，是可以判断真假的，从而是命题；（2）这是疑问句，题设条件没有对语句的真假作出判断，不是命题；（3）是祈使句；（4）是开语句；（5）这典例分析板块一.命题与四种命题是一种特殊的陈述句，但是目前为止无法判断真假，但是但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假，所以也是命题.【答案】（1）是命题，且是真命题.（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断.（3）不是命题，是祈使句. （4）是开语句，不是命题. （5）是命题.但目前无法判断真假.【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 π()3p ：5ππcos sin 63=-，左边== 【答案】π()3p ：5ππcos sin 63=-，真命题【例4】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交；⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B Ú，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴假命题，还可能是异面直线；⑵假命题，这两个平面可以平行也可以相交，不一定垂直；⑶假命题，常值函数是周期函数，但没有最小正周期；⑷假命题，反例：1)1-=．⑸假命题，反例：{12}A =，，{1}B =；事实上A B A B A ⇒≠Ú； ⑹真命题，因为1m >时，440m ∆=-<，方程无实根； ⑺假命题，如132a b c d ====，，，即为反例；⑻真命题，若结论不成立，即有a c b d ==，a b c d ⇒+=+．【答案】⑴假命题，⑵假命题，⑶假命题，⑷假命题，⑸假命题，⑹真命题，⑺假命题，⑻真命题.【例5】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①假命题，如12a =；②假命题，集合N 中最小的数是0，如01a b ==，；③假命题，{}11，与集合元素的互异性矛盾． 【答案】A【例6】 命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（ ）A ．p 真q 真B ． p 真q 假C ． p 假q 真D ． p 假q 假【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ；奇函数可以在0处无定义；对勾函数的单调减区间不能写成并集形式；【答案】D【例7】 给出下列三个命题：①若1≥a b >-，则11≥a ba b++；②若正整数m 和n 满足≤m n 2n；③设11()，P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以()，Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 与圆2O 相切；其中假命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【考点】判断命题的真假 【难度】2星【题型】选择【关键词】2005年，天津，高考【解析】 ①1()111x f x x x==-++在(1)，-+∞上为增函数，故①真；由均值不等式知②真；③由等式知点P 为圆12，O O 的交点，得不出其它结论，故③假；假命题个数为1．【答案】B【例8】 已知三个不等式：000，，c dab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 易知由000，c d ab bc ad a b >->⇒->；000，c dab bc ad a b>->⇒->； 000，c dbc ad ab a b->->⇒>．【答案】D ；【例9】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【考点】判断命题的真假【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D ．【例10】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥．其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】判断命题的真假 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 ②③正确．【答案】C ；【例11】 已知三个不等式：0,0,0c dab bc ad a b>->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （）A. 0B. 1C. 2D. 3【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 易知由0,00c dab bc ad a b>->⇒->； 0,00c dab bc ad a b>->⇒->；0,00c dbc ad ab a b->->⇒>.【答案】D【例12】 下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象．⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数．其中真命题的序号是 ．【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】① ④【例13】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，安徽，高考【解析】 ①显然是真命题；将△BCD 固定，A 点任意，则垂足也是任意的，但△BCD 的三条高线的交点是固定的，故②是假命题；③也是假命题，比如ABCD 是正四面体；任意两对棱中点的连线都互相平分，因此三条线段交于一点，④是真命题； 不妨设棱AB 最长，由AD BD AB +>及AC BC AB +>，可得2AD BD AC BC AB +++>，因此必有AC AD AB +>或BC BD AB +>成立，⑤是真命题．【答案】①④⑤；【例14】 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，江苏，高考【解析】【答案】①②【例15】 若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________.【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 提示：[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,514x x x <>⎧⎨≤≤⎩或【答案】[)1,2【例16】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2faa =，则f 是平面M 上的线性变换；w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点】判断命题的真假 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，四川，高考【解析】 令01，a b λμ====，由题有(0)2(0)(0)0f f f =⇒=，故①正确； 由题()2()f a b a b λμλμ+=+，()()222()f a f b a b a b λμλμλμ+=+=+， 即()()()f a b f a f b λμλμ+=+，故②正确；由题()f a b a b e λμλμ+=+-，()()f a f b a e b e λμλμ+=-+-， 即()()()f a b f a f b λμλμ+≠+，故③不正确；由题b a λ=，(0)()()()0()()f f b a f b f a f b f a λλλ=-=-=⇒=，即()()，f a f b 也共线，故④正确；【答案】①②④；【例17】 设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)x f x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是 .【考点】判断命题的真假 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】 |||1|x x ++表示x 轴上的点到点(0,0)和(1,0)-的距离之和，易知其最小值为1，若命题p 为真，则1a <；若命题q 为真，则731a ->， 可得2a <. p 真q 假不可能，若p 假q 真，则有12a ≤<.【答案】[1,2)【例18】 关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3 【考点】判断命题的真假 【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】 本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令21x t -=(0)≥t ①， 则方程化为20t t k -+=②， 作出函数21y x =-的图象，结合函数的图象可知：⑴当0t =或1t >时方程①有2个不等的根；⑵当01t <<时方程①有4个根；⑶当1t =时，方程①有3个根．故当0t =时，代入方程②，解得0k =此时方程②有两个不等根0t =或1t =，故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即104k <<此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程21x t -=的解有8个，即原方程的解有8个；当14k =时，方程②有两个相等正根12t =，相应的原方程的解有4个． 【答案】B ．【例19】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【考点】判断命题的真假 【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】 记，，A B C 三点的坐标分别为()()()，，，，，A A B B C C x y x y x y ， 则+≥A C C B A C C B A B A B AC CB x x x x y y y y x x y y AB +=-+--+--+-=，当，C C x y 都分别在，A B x x 与，A B y y 之间时，上面的不等式取到等号，故①正确，③不一定；对于②，取(00)(01)(1，，，，，C A B ，则②中等式左边112=+=，右边2(11)4=+=，故②假．【答案】A ；【例20】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．【考点】判断命题的真假 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，江西，高考【解析】 如图，设221x y +=的一条半径与x 轴正半轴所成的角为(02)≤≤πθθ，该半径在圆上的点坐标为(cos sin )θθ，，易知过该点的圆的切线方程为cos sin 1x y θθ+=（一般的，过圆222x y r +=上一点00()x y ，的圆的切线方程为200xx yy r +=），将圆221x y +=向y 轴正方向平移两个单位，则相应的切线方程为cos (2)sin 1x y θθ+-=，所以直线系M 是与圆22:(2)1C x y +-=相切的所有直线．A 错，因为过定点的圆的切线最多两条；B 对，显然圆C 内的点不在M 中的任一条直线上；C 对，因为对3≥n n ∀∈N ，，存在正n 边形与圆C 相切，正n 边形的边所在的直线即满足要求；D 错，圆C 是正三角形的内切圆和旁切圆时，正三角形的面积不相等．【答案】B 、C ；题型二：四种命题之间的关系【例21】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】逆命题：若||||x y =，则x y = （假，如1x =，1y =-）否命题：若x y ≠，则||||x y ≠ （假，如1x =，1y =-） 逆否命题：若||||x y ≠，则x y ≠ （真，∵||||x y x y =⇒=）【例22】 写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无.【解析】【答案】逆命题:若b a +是偶数，则b a ,都是偶数，它是假命题;否命题:若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数，它是假命题; 逆否命题:若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数，它是真命题.【例23】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假）否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假） 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真） ⑵逆命题：若a b +是偶数，则a 和b 都是偶数．（假）否命题：若a 和b 不全是偶数，则a b +不是偶数．（假） 逆否命题为：若a b +不是偶数，则a 和b 不都是偶数．（真）⑶分析：“当0c >时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a b >，结论是ac bc >．逆命题：当0c >时，若ac bc >，则a b >．（真） 否命题：当0c >时，若a b ≤，则ac bc ≤．（真） 逆否命题：当0c >时，若ac bc ≤，则a b ≤．（真） ⑷逆命题：若3x =且2y =，则5x y +=．（真） 否命题：若5x y +≠，则3x ≠或2y ≠．（真） 逆否命题：若3x ≠或2y ≠，则5x y +≠．（假）【例24】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【考点】四种命题之间的关系 【难度】星2 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴命题p 的否命题为：若0ac <，则二次方程20ax bx c ++=有实根，p 的否命题是真命题．∵0ac <，0ac ->240b ac ⇒∆=->⇒二次方程20ax bx c ++=有实根． ∴该命题是真命题．⑵命题q 的否命题为：若x a =或x b =，则2()0x a b x ab -++=． 该命题是真命题．⑶命题r 的否命题为：若(1)(2)0x x --≠，则1x ≠且2x ≠． 该命题是真命题．⑷命题l 的否命题为：ABC ∆中，若90C ︒∠≠，则A ∠、B ∠中至少有一个不是锐角．该命题是假命题．⑸命题s 的否命题为：若0abc ≠，则a b c ，，都不为零． 该命题是真命题．【例25】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ①中条件p ：两个三角形全等；结论q ：两个三角形面积相等，p q ⇒；②为q p ⇒，故为命题①的逆命题；③为p q ⌝⇒⌝，故为命题①的否命题； ④为q p ⌝⇒⌝，故为命题①的逆否命题．【答案】②为命题①的逆命题；③为命题①的否命题；④为命题①的逆否命题．【例26】 下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①的否命题为：若220x y +=，则0x y ==，真命题；②的逆命题为：相似的多边形都是正多边形，假命题； ③中原命题是真命题，故逆否命题也为真命题；④中原命题是真命题，因为若x 是有理数，x 也为有理数，得()x x -=题．【答案】B ．【例27】 命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 0a b ==的否定为，a b 至少有一个不为0． 【答案】D ；【例28】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x -B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2007年，重庆，高考【解析】【答案】D ．【例29】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅的情况有：2a =-或22240625(2)4(4)0a a a a ⎧-<⎪⇒-<<⎨++-<⎪⎩，故当625≤a -<时，不等式解集为空集；又6[11]25，，⎡⎫-⊆-⎪⎢⎣⎭，故原命题、逆否命题为真，否命题与逆命题为假． 【答案】B.【例30】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”，为真命题；②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；③为真命题，∵1q ≤时，一元二次方程的判别式440q ∆=-≥，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.【答案】C ．【例31】 下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①假命题，集合N 中最小的数是0；②假命题，如12a =； ③假命题，如0,1a b ==；④假命题，{}1,1与集合元素的互异性矛盾. 【答案】A【例32】 有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③④【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”为真命题；②的否命题为 “不全等三角形的面积不相等相等”为假命题； ③的逆否命题为“若220x x q ++=有实根,则1q ≤”，为真命题； ④的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，是假命题.【答案】C【例33】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 逆命题和否命题是真命题．【答案】C ；【例34】 给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C ；【例35】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D ．【例36】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①的逆命题为“若x y ，互为相反数，则0x y +=”为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不相等”为假命题；③的逆否命题为“若220x x q ++=没有实根，则1q >”，为真命题； ④的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，是假命题．【答案】C ；【例37】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 命题的条件p 为：ABC ∆不是等腰三角形；结论q 为：它的任意两个内角不相等．p ⌝：ABC ∆是等腰三角形；q ⌝：存在两个内角相等；故所求的逆否命题为：若ABC ∆有两个内角相等，则它是等腰三角形．【答案】若ABC ∆有两个内角相等，则它是等腰三角形．【例38】 下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B Ü”； ②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】②④．【例39】 “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为；【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】在ABC ∆中，若90°C ∠≠，则，A B ∠∠不都是锐角；【例40】 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 ①、②显然正确；③当1≤m 时，有440≥m ∆=-，∴方程有实数根，即原命题为真，∴它的逆否命题也为真；④A B B =则B A ⊆，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假．【答案】①②③；【例41】 命题“若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 原命题是真命题.【答案】原命题的逆否命题是“若x y +不是偶数，则,x y 不都是奇数”， 它是真命题.【例42】 写出命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.【考点】四种命题之间的关系 【难度】星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】原命题的逆否命题是：“若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”.它是真命题.∵方程20x x m +-=没有实数根， ∴140m ∆=+<， ∴14m <-， ∴0m ≤成立.(也可以证明原命题正确)【例43】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列； ⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【考点】四种命题之间的关系 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴∵11m m m S S a ++=+，212m m m m S S a a +++=++．由已知212m m m S S S ++=+，∴1212()()m m m m m m S a a S S a +++++=++，∴2112m m a a ++=-，即数列{}n a 的公比12q =-．∴112m m a a +=-，214m m a a +=，∴212m m m a a a ++=+，∴m a ，2m a +，1m a +成等差数列．⑵⑴的逆命题是：若m a ，2m a +，1m a +成等差数列，则m S ，2m S +，1m S +成等差数列．设数列{}n a 的公比为q ，∵1m m a a q +=，22m m a a q +=．由题设，212m m m a a a ++=+，即22m m m a q a a q =+，即2210q q --=，∴1q =或12q =-．当1q =时，∴1m S ma =，21(2)m S m a +=+，11(1)m S m a +=+不成等差数列． 故逆命题为假．【例44】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么OA 3OB ⋅=”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【考点】四种命题之间的关系 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2006年，上海，高考【解析】【答案】（1）［证法一］设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).①当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于点A (3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；②当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴3)(41212212121=+=+=⋅y y y y y y x x OB OA 综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OA OB ⋅=3”是真命题.［证法二］设直线l ：3+=ty x 代入抛物线y 2=2x 消去x ，得0622=--ty y . 设),(11y x A ，),(22y x B ，则t y y 221=+，621-=y y ， 从而1212121233OA OB x x y y (ty )(ty )y y ⋅=+=+++=21212129)(3y y y y t y y t ++++=3692362=-+⋅+-=t t t ，∴“如果直线l 过点T （3，0），那么OA OB ⋅＝3”是真命题.(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：智康高中数学.板块一.命题与四种命题.题库.教师版 21 ()213y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上. ［证明］设直线l ：b ty x +=代入抛物线y 2=2x 消去x ，得0222=--b ty y .，设),(11y x A ，),(22y x B ，则t y y 221=+，b y y 221-=，∴OA OB ⋅=121212()()x x y y ty b ty b +=+++12y y 22121212()t y y bt y y b y y =++++ b b b b t bt bt 2222222-=-+⋅+-=，令322=-b b 得3=b 或1-=b .此时直线l 过点(0,3)或(0,1-)，故原命题为假命题.。
2021年高中数学 第一章 常用逻辑用语 逻辑联结词“且”“或”“非”同步练习3 北师大版选修1-1
2021年高中数学第一章常用逻辑用语逻辑联结词“且”“或”“非”同
步练习3 北师大版选修1-1
1、设的前项和为，命题若，则为等比数列；命题若，则为等比数列。
则判断正确的是
A.p或q为假
B.p且q为真
C.且为真
D.或为假
2、下列判断错误
．．的是
A.命题“p且q”的否命题是“”
B.命题p：若则，命题，则命题“p且q”为真命题
C.集合A＝{a,b,c}，集合B={0,1}，则从集合A到集B的不同映射个数有8个
D. 已知点则0<a<1是向量的夹角为钝角的必要非充分条件
3、“△ABC中,若∠C=90°,则∠A.∠B都是锐角”的否命题为: _______________，否定形式是_____________-
4、已知命题””同时为假命题，求x的值。
参考答案
1、C
2、D.
3、否定形式：△ABC中,若∠C=90°,则∠A.∠B不都是锐角”
否命题：△ABC中,若∠C90°,则∠A.∠B不都是锐角”
4、同时为假命题，所以为真，为假。
故
21494 53F6 叶40163 9CE3 鳣20070 4E66 书31595 7B6B 筫yx 38823 97A7 鞧28916 70F4 烴37399 9217 鈗35698 8B72 譲37037 90AD 邭33743 83CF 菏22387 5773 坳。
新教材苏教版高中数学必修第一册第二章常用逻辑用语 课时分层练习题 精选最新配套习题,含解析
第二章常用逻辑用语1命题、定理、定义....................................................................................................... - 1 -2充分条件、必要条件、充要条件............................................................................... - 4 -3全称量词命题与存在量词命题................................................................................... - 9 -4全称量词命题与存在量词命题的否定..................................................................... - 13 -1命题、定理、定义基础练习1.下列语句中,是命题的个数是 ( )①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?②x,y都是无理数,则x+y是无理数;③请完成第九题;④正方形既是矩形又是菱形.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据命题的定义逐个判断.①不是命题,因为它不是陈述句;②是命题,是假命题,例如-+=0,不是无理数;③不是命题,因为它不是陈述句;④是命题,是真命题.2.下列四个命题中,可判断为真的是( )A.空集没有子集B.空集是任何集合的一个真子集C.空集的元素个数为0D.任何集合至少有两个不同子集【解析】选C.空集只有一个子集是它本身,故A、D错误;空集是任何非空集合的一个真子集,故B错误;C正确.3.将“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为_____________ _________________________.【解析】根据命题的特点,可以改写为:“如果两个角相等,那么它们的余角也相等”.答案:如果两个角相等,那么它们的余角也相等4.有下列命题:①对于任意m∈R,mx2+2x-1=0是一元二次方程;②若xy=0,则+=0;③互相包含的两个集合相等;④如果两个角互为补角,那么这两个角和为180°.真命题的个数是________.【解析】①当m=0时,方程是一元一次方程,故是假命题;②当x=1,y=0时,xy=0,但+≠0,故是假命题;③④是真命题.答案:25.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)6是12和18的公约数;(2)能被6整除的整数,一定能被3整除;(3)平行四边形的对角线互相平分;(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.【解析】(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.(2)若一个整数能被6整除,则这个数能被3整除,是真命题.(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c 的值依次为( )A.3,2,1B. 1,-2,-3C.-1,-2,-3D. 0,-2,-3【解析】选C.所举反例应满足“若a>b>c,则a+b≤c”,可设a,b,c的值依次为-1,-2,-3.2.下列叙述正确的有____个( )①若|a|=-a,则a≤0;②若|a|=|b|,则a=-b;③若a<b,则|a|<|b|;④若|a|>|b|,则a>b.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.绝对值等于其相反数的数是小于等于0的,故①正确;绝对值相等的两个实数,相等或互为相反数,故②错误;当a=-3,b=1时,a<b但|a|>|b|,故③错误;当a=-3,b=-1时,|a|>|b|,但a<b,故④错误.【补偿训练】下列说法正确的是 ( )A.命题“任何一个角的补角都不小于这个角”是真命题B.语句“标准大气压下,100 ℃时水沸腾”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”是真命题【解析】选D.选项A中的命题是假命题,例如120°的角大于它的补角;B所给语句是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”.对于D,因为m>0,所以方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.所以“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.3.下列命题中,是真命题的有( )①如果a>-1,那么am>-m(m≠0);②在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若x2+y2=0,则x,y全为零;④正三角形都相似.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解析】选 C.①a>-1,则当m>0时,am>-m,当m<0时,am<-m,故如果a>-1,那么am>-m(m≠0)是假命题;②在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a∥c,故在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c是假命题;③④是真命题,故真命题有2个.4.(多选题)下列命题中,是真命题的是( )A.三边长为5,12,13的三角形是直角三角形B.等边三角形是轴对称图形,它只有一条对称轴C.有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等D.抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是直线x=-2【解析】选ACD.对于A,由于52+122=132,根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形是直角三角形,此命题是正确的;对于B,等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴,此命题是错误的;对于C,利用证两次全等的方法可以判断出:有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等,故此命题正确;对于D,抛物线y=(x+2)2+1 的对称轴是直线x=-2,正确,是真命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知命题:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p:________,q:________.【解析】已知命题可改写成:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.p:一条直线是弦的垂直平分线,q:这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.答案:一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6.给出下列几个命题:(1)若x,y互为相反数,则x+y=0;(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;(3)若x>-3,则x2+x-6≤0.其中的假命题有________个.【解析】根据两数互为相反数的性质,(1)正确,为真命题;(2)由圆的内接四边形的性质可知,为真命题;(3)中若取x=3>-3,而x2+x-6=6>0,故为假命题.答案:1三、解答题7.(10分)判断下列命题的真假:(1)若三条线段a,b,c满足a+b>c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形;(2)个位数字是5的整数,能被5整除;(3)对于所有的自然数n,代数式n2-n+11的值都是质数;(4)一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形.【解析】(1)a=2,b=5,c=3,满足a+b>c,但不能围成三角形,所以命题为假.(2)因为个位数字是0或5的整数,能被5整除,所以命题为真.(3)约数只有1和它本身的数就是质数. 当n=11时,n2-n+11=112不是质数,所以命题为假.(4)命题为真,理由如下:已知:如图,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求证:三角形ABC为等腰三角形;证明:如图,因为DE=DF,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,所以Rt△BDE≌Rt△CDF,所以∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC为等腰三角形.2充分条件、必要条件、充要条件基础练习1.使|x|=x成立的一个必要条件是( )A.x<0B.x≥0或x≤-1C.x>0D.x≤-1【解析】选B.因为|x|=x⇒x≥0⇒x≥0或x≤-1,所以使|x|=x成立的一个必要条件是x≥0或x≤-1.2.有以下说法,其中正确的个数为( )(1)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.(2) “两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选D.(1)由于“m是有理数”⇒“m是实数”,因此“m是有理数”是“m 是实数”的充分条件.(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应的角相等,所以“两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3) 由(a+b)·(a-b)=0,得|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.【补偿训练】设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由(a-b)a2<0一定可得出a<b;但反过来,由a<b不一定得出(a-b)a2<0,如a=0.3.若△ABC∽△DEF,“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)【解析】相似三角形的对应高的比与相似比相等,所以“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的充要条件.答案:充要4.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________.【解析】函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0,b>0.答案:k>0,b>0【补偿训练】“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【解析】当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,知x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=>0,因为b<5,所以k>4.故填“充要”.答案:充要5.下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件?(1)p:x2=x+6,q:x=;(2)p:b2=ac,q:=;(3)p:A∩B=A,q:U B⊆UA;(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等,q:a=1或a=0.【解析】(1)由于“x2=x+6”,则“x=±”,故“x2=x+6”是“x=”的必要不充分条件.(2)b2=ac=,如b=0,c=0时,b2=ac,而,无意义.但=⇒b2=ac,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(3)画出Venn图(如图)可得.A∩B=A⇔A⊆B⇔U A⊇UB,故p是q的充要条件.(4)当a=1时,点P(1,1)到两坐标轴距离相等,当a=0时,点P(2,-2)到两坐标轴距离相等,当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时,|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.所以p⇔q,所以p是q的充要条件.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则( )A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件【解析】选B.x∈A必有x∈C,但反之不一定成立,所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.2.(2020·常州高二检测)盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道:青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”,由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.3.(2020·南通高一检测)设U是全集,A,B均是非空集合,则“存在非空集合C,使C”是“A∩B=∅”成立的 ( )得C⊆A,B⊆UA.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】“存在非空集合C,使得C⊆A,B⊆C”,B与A可能有公共元素,U“A∩B=∅”⇒“存在非空集合C,使得C⊆A,B⊆U C”,由此能求出结果.【解析】选C.U是全集,A,B均是非空集合,C”,B与A可能有公共元素,“存在非空集合C,使得C⊆A,B⊆U“A∩B=∅”⇒“存在非空集合C,使得C⊆A,B⊆U C”,所以“存在非空集合C,使C”是“A∩B=∅”成立的必要不充分条件.得C⊆A,B⊆U4.(多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则( )A.p是q的既不充分也不必要条件B.p是s的充分条件C.r是q的必要不充分条件D.s是q的充要条件【解题指南】可将r,p,q,s的关系用图表示,然后利用递推法结合图示作答. 【解析】选BD.根据题意画出示意图如图:由图示可知,p⇒r⇒s⇒q⇒r⇒s,所以p是q的充分条件,p是s的充分条件,r是q的充要条件,s是q的充要条件.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a 的取值范围是________.【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P,所以即所以-1≤a≤5.答案:-1≤a≤5【补偿训练】下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以是<1的一个充分条件的所有序号为______,可以是<1的一个必要条件的所有序号为________.【解析】由于<1,即-1<x<1,所以①x<1-1<x<1;但是-1<x<1⇒ x<1;② 0<x<1⇒-1<x<1;③-1<x<0⇒-1<x<1;④-1<x<1⇔-1<x<1.所以②③④是<1的一个充分条件,①④是<1的一个必要条件.答案:②③④①④,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=__________. 6.设n∈N+【解析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断.x= =2± ,因为 x 是整数,即 2±为整数,所以为整数,且n≤4 ,又因为n∈N,取 n=1,2,3,4,验证可知 n=3,4符合题意;反之+n=3,4 时,可推出一元二次方程 x2-4x+n=0有整数根.答案:3或4三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【证明】设p: a3+b3+ab-a2-b2=0,q: a+b=1.(1)充分性(p⇒q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.因为ab≠0,a2-ab+b2=+b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.(2)必要性(q⇒p):因为a+b=1,所以b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,综上所述:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.8.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|,(1)充分性(p⇒q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.当xy>0时,即x>0,y>0,或x<0,y<0,又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.(2)必要性(q⇒p):若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,则|x+y|2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,所以|xy|=xy,所以xy≥0.由(1)(2)可得,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.3全称量词命题与存在量词命题基础练习1.“存在集合A,使 A”,对这个命题,下面说法中正确的是( )A.全称量词命题、真命题B.全称量词命题、假命题C.存在量词命题、真命题D.存在量词命题、假命题【解析】选C.当A≠∅时,∅A,是存在量词命题,且为真命题.故选C.2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是( )A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2【解析】选D.命题对应的全称量词命题为:∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2.3.若“任意x∈,x≤m”是真命题,则实数m的最小值为( )A.-B.-C.D.【解析】选D.因为“任意x∈,x≤m”是真命题,所以m≥, 所以实数m的最小值为.4.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1<x2,都有<是________量词命题(填“全称”或“存在”),是________(填“真”或“假”)命题.【解析】含有全称量词“每一个”,是全称量词命题,令x1=-1,x2=0,则>,故此命题是假命题.答案:全称假5.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假:(1)实数都能写成小数形式.(2)有的有理数没有倒数.(3)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根.(4)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.【解析】(1)∀a∈R,a都能写成小数形式,此命题是真命题. (2)∃x∈Q,x没有倒数,有理数0没有倒数,故此命题是真命题.(3)∀m∈R,方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时,方程无实根,是假命题.(4)∃x∈R,使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立,所以为假命题.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列命题中,存在量词命题的个数是( )①实数的绝对值是非负数;②正方形的四条边相等;③存在整数n,使n能被11整除.A.1B.2C.3D.0【解析】选A.①②是全称量词命题,③是存在量词命题.2.设非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,则下列命题是假命题的是( )A.∀x∈Q,有x∈PB.∃x∈P,有x∉QC.∃x∉Q,有x∈PD.∀x∉Q,有x∉P【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q,所以Q P,所以集合Q中的元素都是集合P的元素,但是集合P中有元素集合Q中是没有的,所以A,B,C正确,D错误.3.(2020·丹东高一检测)已知∀x∈[0,2],p>x;∃x∈[0,2],q>x.那么p,q的取值范围分别为( )A.p∈(0,+∞),q∈(0,+∞)B.p∈(0,+∞),q∈(2,+∞)C.p∈(2,+∞),q∈(0,+∞)D.p∈(2,+∞),q∈(2,+∞)【解析】选C.由∀x∈[0,2],p>x;得p>2.由∃x∈[0,2],q>x;得q>0.所以p,q的取值范围分别为(2,+∞),(0,+∞).4.(多选题)下列命题是真命题的为( )A.∀x∈R,-x2-1<0B.∀n∈Z,∃m∈Z,nm=mC.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D.存在实数x,使得=【解析】选ABC.对于A,∀x∈R,-x2≤0,所以-x2-1<0,此命题是真命题;对于B,当m=0时,nm=m恒成立,此命题是真命题;对于C,任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,此命题是真命题.对于D,因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以≤<.故该命题是假命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为________.【解析】当a=,b=时,存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对可以为.答案:(答案不唯一)6.给出下列命题,①存在a,b∈R,使得a2+b2-2a-2b+2<0;②任何实数都有算术平方根;③某些四边形不存在外接圆;④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.其中正确命题的序号为________.【解析】①是假命题,因为对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2=+≥0;②是假命题,例如-4没有算术平方根;③是真命题,因为只有对角互补的四边形有外接圆;④为假命题,当x=y=0时,x2+|y|=0.答案:③【误区警示】解答本题①容易忽视配方法的应用.三、解答题7.(10分)是否存在整数m,使得命题“∀x≥-,-5<3-4m<x+1”是真命题?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在整数m,使得命题“∀x≥-,-5<3-4m<x+1”是真命题.因为当x≥-时,x+1≥,所以-5<3-4m<,解得<m<2,又m为整数,所以m=1,故存在整数m=1,使得命题“∀x≥-,-5<3-4m<x+1”是真命题.4全称量词命题与存在量词命题的否定基础练习1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】选D.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题,其否定一定是一个存在量词命题,故排除A,B,结合全称量词命题的否定方法,我们易得命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.2.(2020·潍坊高一检测)命题“∃x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是( )A.∃x∈(0,+∞),x+≤3B.∃x∈(0,+∞),x+<3C.∀x∈(0,+∞),x+<3D.∀x∈(0,+∞),x+≤3【解析】选C.命题“∃x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是:否定存在量词和结论,故为:∀x∈(0,+∞),x+<3.3.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是( )①所有能被3整除的数都能被6整除;②所有实数的绝对值是正数;③三角形的外角至少有两个钝角.A.0 1 2 3【解析】选B.①该命题的否定:存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能被3整除,不能被6整除的数,这是一个真命题;②该命题的否定:∃x=0∈R,|0|=0,不是正数,这是一个真命题;③该命题的否定:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角,这是一个假命题.4.(2020·扬州高一检测)命题“∃x∈R,x>2”的否定是________.【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以,命题“∃x∈R,x>2”的否定是:∀x∈R,x≤2.答案:∀x∈R,x≤2【补偿训练】命题“∃x>-1,x2+x-2 019>0”的否定是________.【解析】该命题的否定是“∀x>-1,x2+x-2 019≤0”.答案:∀x>-1,x2+x-2 019≤05.写出下列命题的否定,并判断真假:(1)直角相等.(2)等圆的面积相等,周长相等.(3)有的三角形为正三角形.(4)∀x>0,x+1>.【解析】(1)该命题的否定:有些直角不相等.这是一个假命题.(2)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题.(3)该命题的否定:所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.(4)该命题的否定:∃x>0,使x+1≤.因为x+1-=+>0,所以∀x>0,x+1>是真命题,它的否定是假命题.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.“对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是( )A.对于任意a≤0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根B.对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根C.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根D.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根【解析】选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”,另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.2.已知命题p:∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0;若p是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.a<1 B.a>3C.a≤3D.a≥3【解析】选D.p是真命题,所以p是假命题;所以∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0无解;所以当1<x<3时,a≤x不成立,所以a≥3.3.命题“∀a,b∈R,使方程ax=b都有唯一解”的否定是 ( )A.∀a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一B.∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一C.∀a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在D.∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在【解析】选D.该命题的否定:∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.【误区警示】解答本题,在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.4.(多选题)(2020·济南高一检测)下列命题正确的是( )A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1”C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件【解析】选ABD.A正确.“a>1”可推出“<1”,但是当<1时,a有可能是负数,所以“<1”推不出“a>1”,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件;B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3,y=3时,x2+y2≥4,但是“x≥2且y≥2”不成立,所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”,所以“x≥2且y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件.D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”,但“ab≠0”可推出“a≠0”,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.二、填空题(每小题5分,共10分)5.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为________,此命题的否定是______,是______命题(填“真”或“假”).【解析】此命题用符号表示为∃x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是∀x,y∈R,x+y≤1,原命题为真命题,所以它的否定为假命题.答案:∃x,y∈R,x+y>1 ∀x,y∈R,x+y≤1 假6.命题“对于任意三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+中至少有一个不小于2”的否定是____________.【解析】该命题的否定:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2.答案:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2三、解答题7.(10分)已知集合A=,集合B=,如果命题“∃m∈R,使得A∩B≠∅”为假命题,求实数a的取值范围.【解析】因为“∃m∈R,使得A∩B≠∅”为假命题,所以它的否定“∀m∈R,使得A ∩B=∅”为真命题,当a<0时,A==∅,符合A∩B=∅;当a≥0时,因为m2+3>0,所以由∀m∈R,A∩B=∅可得a<m2+3,对于∀m∈R恒成立,因为m2+3≥3,所以0≤a<3.综上,实数a的取值范围为a<3.。
02常用逻辑用语.教师版2021版
常用逻辑用语高考大纲思维导图讲义导航知识点梳理：一：命题的概念和四种命题1、命题：可以判断真假的陈述语句叫命题也就是说，判断一个语句是不是命题的两要素：①命题是陈述句②可以判断真假．常用小写的拉丁字母,,,p q r s……表示命题．真命题：其中判断为真的语句称为真命题．假命题：其中判断为假的语句称为假命题．2、命题的四种形式（1）对于“若p，则q”形式的命题，p称为命题的条件，q称为命题的结论．命题“如果p，则q”是由条件p和结论q组成的，对p q，进行“换位”、“否定”、“逆否”后，可以构成四种不同形式的命题．逆命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题．否命题：如果一个命题的条件、结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题．逆否命题：如果一个命题的条件、结论分别是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫逆否命题．（2）四种命题的关系如图所示．（3）四种命题的真假关系如下3条：原命题为真，它的逆命题不一定为真．原命题为真，它的否命题不一定为真．原命题为真，它的逆否命题一定为真．例题讲解考点1：命题的概念和四种命题【例题1】下列语句为命题的是（）A．1002lg=B．20172017是一个大数C．三角函数的图象真漂亮!D．指数函数是递增函数吗？【分析】命题的概念是指的用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，我们根据这一概念对给出的四个语句逐一进行判断即可得到正确答案．【解答】解：A是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，B、C、D均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题；故选：A．【例题2】（2017西城区期末）命题“若一个数是正数，则它的平方是正数”的逆命题是() A．“若一个数是正数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是正数”C．“若一个数不是正数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是正数”【分析】将原命题的条件与结论进行交换，得到原命题的逆命题．【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是正数”．故选：B．【例题3】．（2017丰台区期末）命题“若p则q”的逆否命题是（）A．若q则p B．若p⌝则q⌝C．若q⌝则p⌝D．若p则q⌝【分析】否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件，即可得到命题的逆否命题．【解答】解：逆否命题是：否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件，所以命题“若p则q”的逆否命题是：若q⌝则p⌝．故选：C．【例题4】（2019西城区月考）命题“x R ∀=，有()()f x g x >”的否定形式为( )A ．x R ∀∈，有()()f x g xB ．x R ∀∈，有()()f x g x <C ．0x R ∃∈，使00()()f x g xD ．0x R ∃∈，使00()()f x g x <【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“x R ∀=，有()()f x g x >”的否定形式为：0x R ∃∈，使00()()f x g x ．故选：C ．【例题5】（2017秋•海淀区校级期末）命题“若0x ≠，则20x >”的逆否命题为 “若20x ，则0x =” ． 【分析】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，写出即可．【解答】解：命题“若0x ≠，则20x >”的逆否命题为“若20x ，则0x =”． 故答案为：“若20x ，则0x =”．模块二：充要条件 1、四种条件充分条件：若p q ⇒，则p 是q 成立的充分条件． 必要条件：若q p ⇒，则p 是q 成立的必要条件． 充分且必要条件：如果p q ⇔，则p 是q 的充要条件． 既不充分也不必要条件：若果p q 且pq ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件．2.利用集合思想判别四种条件设A ={x x =满足条件P }，B ={x x =满足条件q} 1）设若A B ⊆且B A ，则称p 是q 的充分不必要条件．2）设若A B 且B A ⊆，则称p 是q 的必要不充分条件． 3）设若AB且BA，则称p是q的既不充分也不必要条件．4）设若A B ⊆且B A ⊆，则称p 是q的充分且必要条件． 例题讲解考点2：充要条件【例题1】（2020•密云区一模）已知x ，y ∈R ，则“x ＜y ”是“＜1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x＜y”与“＜1”相互推不出，与y的正负有关，∴“x＜y”是“＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【例题2】（2020•北京模拟）已知||＝1，则“⊥（+）”是“•＝﹣1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：||＝1，由⊥（+），∴•（+）＝+＝1﹣＝0，∴•＝﹣1．反之也成立．∴“⊥（+）”是“•＝﹣1”的充要条件．故选：C．【例题3】（2020•朝阳区一模）已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“”是“f（x）的图象关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴＝π，解得ω＝2．f（x）的图象关于直线对称，∴sin（2x﹣φ）＝±1，解得2×﹣φ＝kπ+（k∈Z），解得φ＝﹣kπ+（k∈Z）．则“”是“f （x ）的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A ．模块三：逻辑联结词1、逻辑联结词：“且”“或”“非”这些词叫做逻辑联结词；（1）且：用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}AB x x A x B =∈∧∈．（2）或：用逻辑联结词“或”把命题p 或q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}AB x x A x B =∈∨∈．（3）非：对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．可以用“非”来定义集合A 在全集U 中的补集：{|()}{|}UA x U x A x U x A =∈⌝∈=∈∉．2、简单命题：不含逻辑联结词的命题．复合命题：有简单命题和逻辑联结词组成的命题． 3、复合问题的真值表： 例题讲解考点3：逻辑联结词【例题1】命题“方程240x -=的解是2x =±”中，使用的逻辑联结词的情况是( )A ．没有使用联结词B ．使用了逻辑联结词“或”C ．使用了逻辑联结词“且”D ．使用了逻辑联结词“非”【分析】根据题意确定使用的逻辑联结词的情况．【解答】解：2x =±是指2x =或2x =-．∴使用了使用了逻辑联结词“或”，故选：B ．【例题2】）命题:20162017P ，则下列关于命题P 说法正确的是（ ）A ．命题P 使用了逻辑联结词“或”，是假命题B ．命题P 使用了逻辑联结词“且”，是假命题C ．命题P 使用了逻辑联结词“非”，是假命题D ．命题P 使用了逻辑联结词“或”，是真命题 【分析】根据p 或q 的定义进行判断即可．【解答】解：20162017等价为20162017=或20162017<，中间使用了逻辑连接词或，为真命题， 故选：D ．模块四：全称量词1.概念全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题，“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”符号简记为：,()x M p x ∀∈．读作：对任意x 属于M 有()p x 成立．特称命题：含有存在量词的命题称为特称命题：“存在M 中一个x ，有()p x 成立”符号简记为：,()x M p x ∃∈，读作：存在一个x 属于M ，使()p x 成立．2.全称与特称命题的否定存在性命题p：x A ∃∈，()p x ；它的否定是p ⌝：x A ∀∈，()p x ⌝． 命题的否定：将存在量词变为全称量词，再否定它的性质． 全称命题q：x A ∀∈，()q x ；它的否定是q ⌝：x A ∃∈，()q x ⌝． 命题的否定：将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．3.对命题中关键词的否定： 词语等于大于小于是都是至少一个至多一个任意p 或q p 且q 否定不等于小于或等于大于或等于不是不都是一个没有至少两个存在p ⌝且q ⌝p ⌝或q ⌝例题讲解考点4：全称量词【例题1】下列命题中是全称命题并且是真命题的是（ ）A ．x R ∀∈，2210x x ++>B ．若2x 为偶数，则x N ∀∈C ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数【分析】根据全称命题的定义及真假命题的判断，依次判断可得答案．【解答】解：对A ，是全称命题，但不是真命题；故A 不正确；对B ，是真命题，但不是全称命题，故B 不正确；对C ，是全称命题，也是真命题，故C 正确； 对D ，是真命题，但不是全称命题，故D 不正确，故选：C ．【例题2】（2020•朝阳区模拟）已知命题p ：∀x ∈R ，e x ＞1，那么命题p 的否定为（ ）A ．∃x 0∈R ，B ．∀x ∈R ，e x ＜1C ．∃x 0∈R ，D ．∀x ∈R ，e x ≤1【解答】解：命题否定：否定条件，否定结论． 命题p ：∀x ∈R ，e x ＞1，那么命题p 的否定为∃x 0∈R ，，故选：A ．【例题3】命题“x R ∀∈，3210x x -+”的否定是（ ）A ．x R ∃∈，3210x x -+B ．x R ∃∈，3210x x -+>C ．x R ∃∈，321x x O -+D ．x R ∀∈，3210x x -+>【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得x R ∃∈，3210x x -+> 故选：B ．练习A【练1】命题“若1a >，则0a >”的逆命题是（ ）A ．若0a >，则1a >B ．若0a ，则1a >C ．若0a >，则1aD ．若0a ，则1a 【分析】把原命题“若1a >，则0a >”的题设和结论互换，就得到原命题的逆命题．【解答】解：互换原命题“若1a >，则0a >”的题设和结论，得到它的逆命题是“若0a >，则1a >”， 故选：A ．【练2】（2017西城区期中）下列说法正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C ．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真 【分析】利用四种命题真假之间的关系分别判断．【解答】解：在四种命题中，只有互为逆否命题的两个命题，它们的真假性相同．因为逆命题和否命题是互为逆否命题，所以逆命题和否命题具有相同的真假性．所以一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真． 故选：D ．【练3】（2018西城区期末）命题“对任意的x R ∈，210x ->”的否定是（ ）A ．不存在x R ∈，210x ->B ．存在x R ∈，210x -<C ．存在x R ∈，210x -D ．对任意的x R ∈，210x -【分析】运用含有一个量词的命题的否定可解决此问题．【解答】解：根据题意得，命题“对任意的x R ∈，210x ->”的否定是存在x R ∈，210x -； 故选：C ．【练4】（2019海淀区模拟）命题“[0x ∀∈，2]，220x x -”的否定是（ ）A ．[0x ∀∈，2]，220x x ->B ．0[0x ∃∈，2]，20020x x -C ．[0x ∀∉，2]，220x x ->D ．0[0x ∃∈，2]，20020x x ->【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，可得命题的否定． 【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“[0x ∀∈，2]，220x x -”的否定是“0[1x ∃∈，2]，20020x x ->”．故选：D ．【练5】（2017朝阳区期中）下列命题中正确的命题是（ ）A ．0x R ∃∈，200230x x ++=B ．x N ∀∈，32x x >C ．若a b >，则22a b >D ．1x >是21x >的充分不必要条件【分析】利用判别式判断选项A 的正误；反例判断选项B 的正误；反例判断选项C 的正误；充要条件判断D 的正误； 【解答】解：A 项，方程2230x x ++=中，△4120=-<，不存在实数0x ，使得200230xx ++=成立，故A 项错误；B 项，当1x =时，32x x =，所以x N ∀∈，32x x >错误，故B 项错误；C 项，令1a =-，1b =-，则a b >，但不满足不等式22a b >，故C 项错误；D 项，21x >等价于1x <-或1x >，所以1x >是21x >的充分不必要条件，故D 项正确．故选：D ．【练6】下列四个命题中的真命题为（ ）A ．x R ∀∈，223x +>B ．x R ∀∈，310x +>C ．x N ∃∈，41x <D ．x Q ∃∈，220x -=【分析】对个选项逐一判断即可排除A ，B ，D ．【解答】解：A ．当0x =时，不成立；B ．当1x =-时，不成立；.0C N ∈，491<，所以C 正确；D．由220x -=，得x =D 不正确．故选：C ．【练7】若函数2()()f x x ax a R =+∈，则下列结论正确的是（ ）A ．a R ∃∈，()f x 是偶函数B ．a R ∃∈，()f x 是奇函数C ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数【分析】当0a =时，()f x 是偶函数；有2x 的存在，()f x 不会是奇函数；在(0,)∝上，只有当0a >时，()x 在(0,)+∞上是增函数；2()g x x =在(0,)+∞上是增函数，不存在a R∈，有()f x 在(0,)+∞上是减函数．【解答】解：当0a =时，()f x 是偶函数 故选：A ．【练8】（2019•海淀区一模）已知a b <，则下列结论中正确的是（ ）A ．0c ∀<，a b c >+B ．0c ∀<，a b c <+C ．0c ∃>，a b c >+D ．0c ∃>，a b c <+【分析】根据不等式的关系，结合特称命题和全称命题的性质分别进行判断即可．【解答】解：A 若1a =，2b =，1c =-，满足a b <，但a b c >+不成立；B 若9.5a =，10b =，1c =-，a b c <+不成立；C 因加a b <，0c >，所以，a b c <+恒成立，故C 错误，D 0c ∃>，a b c <+成立， 故选：D ．【练9】（2018秋•朝阳区校级月考）命题“对任意的x R ∈，3220x x -+<”的否定是（ ）A ．不存在x R ∈，3220x x -+B ．存在x R ∉，3220x x -+C ．存在x R ∈，3220x x -+D ．存在x R ∈，3220x x -+<【分析】命题“对任意的x R ∈，3220x x -+<”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题“对任意的x R ∈，3220x x -+< ””是全称命题，否定时将量词对任意的实数x R ∈变为存在x R ∈，再将不等号<变为即可．即存在x R ∈，3220x x -+故选：C ．【练10】（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，22m x x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 【分析】要使不等式恒成立，只需m 大于右边式子的最大值即可，则问题转化为求右边函数的最大值问题．【解答】解：222(1)1x x x -+=--+，22x x ∴-+最大值为1，x R ∀∈，22mx x -+，1m ∴，∴实数m的最小值为1．故答案为：1．【练11】（2018顺义区二模）能够说明“设a ，b 是任意实数．若22a b <，则a b <”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为 ．【分析】根据题意，找出满足条件的一组整数a ，b 即可． 【解答】解：当1a =，2b =-时，满足22a b <，但a b >；“设a ，b 是任意实数．若22a b <，则a b <”是假命题； 此时1a =，2b =-． 故答案为：1，2-．【练12】（2017西城区期末）命题“若220a b -=，则a b =”的逆否命题为 ． 【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：交换条件和结论，同时进行否定得逆否命题为：若a b ≠，则220a b -≠， 故答案为：若a b ≠，则220a b -≠【练13】（2019东城区期末）命题“2000,0x R x x ∃∈+>”，此命题的否定是 ．（用符号表示） 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：0x R ∃∈，200210x x -+>的否定是：x R ∀∈，20x x +．故答案为：x R ∀∈，20x x +【练14】（2018海淀区期末）命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（ ）A ．2x ∀>，210x -B ．2x ∀，210x ->C ．2x ∃>，210x -D ．2x ∃，210x -【分析】由全称命题的否定是特称命题，得解．【解答】解：命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是：2x ∃>，210x -，故选：C ．【练15】（2018丰台区期末）已知等式23log log m n =，m ，(0,)n ∈+∞成立，那么下列结论： ①m n =；②1n m <<；③1m n <<；④1n m <<；⑤1m n <<；⑥1n m <<． 其中不可能成立的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】利用对数的运算性质结合23log log m n =，m ，(0,)n ∈+∞成立得到m 与n 的关系，则答案可求．【解答】解：当1m n ==时，有23log log m n =，故①成立；当2m =，3n =时，有23log log m n =，故⑤成立；当2t m =，3t n =时，有23log log m n =，此时1n m <<，故②成立．∴不可能成立的是③④⑥，有3个．故选：B ．【练16】（2018朝阳区期末）设命题:0P x ∀>，x lnx >，则p ⌝为 ． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则全称命题的否定是特称命题得命题的否定：：00x ∃>，00x lnx 故答案为：00x ∃>，00x lnx【练17】（2019•怀柔区一模）设a ，b ，c 是任意实数，能够说明“若c b a <<且0ac <，则ab ac <”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．【分析】根据不等式的关系判断出0a >，0c <，b 任意，利用特殊值法进行判断即可． 【解答】解：若c b a <<且0ac <，则0a >，0c <，b 任意， 则取1a =，0b =，1c =-， 则满足条件，但ab ac <不成立， 故答案为：1，0，1-．【练18】（2019•西城区一模）能说明“在ABC ∆中，若sin2sin2A B =，则A B =”为假命题的一组A ，B 的值是 ．【分析】取60A =︒，30B =︒代入检验可得．【解答】解：当60A =︒，30B =︒时，sin 2sin120A =︒=，sin 2sin 60B =︒=，此时sin2sin2/A B =故答案为：60A =︒，30B =︒．【练19】（2018朝阳区期末）设a ，b ，c 是任意非零整数，能够说明“若a b c >>，则111a b c<<是假命题的一组数a ，b ，c 的值依次为 ．【分析】由题意可取2a =，1b =，1c =-，即可得到所求结论． 【解答】解：a ，b ，c 是任意非零整数，可取2a =，1b =，1c =-，可得1112<>-，即111a b c <>， 故111a b c<<是假命题的一组数a ，b ，c 的2a =，1b =，1c =-． 故答案为：2，1，1-．【练20】（2018北京）能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为 ． 【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．【解答】解：当0a >，0b <时，满足a b >，但11a b<为假命题，故答案可以是1a =，1b =-， 故答案为：1a =，1b =-．练习B【练1】设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可． 【解答】解：若a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1＝﹣1×1， 但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件． 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．【练2】设，均为单位向量，则“与夹角为”是“|+|＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|+|＝平方得||2+||2+2•＝3，即1+1+2•＝3，得2•＝1，•＝，则cosθ＝＝＝，则与夹角θ＝，即“与夹角为”是“|+|＝”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．【练3】设a，b，m均为正数，则“b＞a”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵a，b，m均为正数，∴由得b（a+m）＞a（b+m），即ab+bm＞ab+am，即bm＞am，∵m是正数，∴b＞a，成立，即“b＞a”是“”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式关系是解决本题的关键．【练4】已知命题p：﹣1＜x＜2，q：log2x＜1，则p是q成立的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分有不必要D．充要【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log2x＜1得0＜x＜2，∴p是q成立的成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．【练5】设a∈R，则“a＝1”是直线“ax+y﹣1＝0与直线ax+（a﹣2）y+5＝0垂直”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当a＝2时，直线ax+y﹣1＝0的斜率为﹣2，直线ax+（a﹣2）y+5＝0斜率不存在，故不垂直，当a≠2时直线ax+y﹣1＝0的斜率为﹣a，直线ax+（a﹣2）y+5＝0的斜率为，若两直线垂直，则﹣a•＝﹣1，解得a＝2（舍去）或a＝1，“a＝1”是“ax+y﹣1＝0与直线ax+（a﹣2）y+5＝0垂直”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．【练6】若a∈R，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“a＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据复数的几何意义结合充要条件的对应进行判断即可．【解答】解：＝﹣a＝﹣a﹣5i，对应点的坐标为（﹣a，﹣5），若复数在复平面内对应的点在第三象限，则﹣a＜0，即a＞0，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“a＞0”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的几何意义进行化简是解决本题的关键．【练7】设，为非零向量，则“”是“与方向相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由充分条件、必要条件的判定方法及向量共线的概念分析得答案．【解答】解：对于非零向量，，由⇒与方向相同或相反，反之，与方向相同⇒，则“”是“与方向相同”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定方法，考查向量共线的概念，是基础题．【练8】已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则“函数f（x）的图象经过点（，1）”是“函数f（x）的图象经过点（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由三角函数求值易得：“函数f（x）的图象经过点（，1）”是“函数f（x）的图象经过点（）”的充分不必要条件，得解．【解答】解：当函数f（x）的图象经过点（，1）时，得sin＝1，所以ω＝8k+2，k∈Z，则f（）＝sin（4kπ+π）＝0，即”函数f（x）的图象经过点（，1）”能推出“函数f（x）的图象经过点（）”当函数f（x）的图象经过点（），所以f（）＝0，所以sin＝0，所以＝kπ，所以ω＝2k，k∈Z，即f（）＝sin，不能推出f（）＝1，即“函数f（x）的图象经过点（，1）”是“函数f（x）的图象经过点（）”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了三角函数求值及充分必要条件，属中档题．【练9】已知m，n，p，q为正整数，且m+n＝p+q，则在数列{a n}中，“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“{a n}是等比数列”，则a m•a n＝a12q m+n﹣2，a p•a q＝a12q p+q﹣2，∵m+n＝p+q，∴a m•a n＝a p•a q成立，即必要性成立，若a n＝0，则{a n}是等差数列，当m+n＝p+q时，由“a m•a n＝a p•a q”成立，但“{a n}是等比数列”不成立，即充分性不成立，则“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．【练10】已知等差数列{a n}首项为a1，公差d≠0．则“a1，a3，a9成等比数列”是“a1＝d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，设数列{a n}的公差为d，从充分性与必要性的角度分析“a1，a3，a9成等比数列”和“a1＝d”的关系，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设数列{a n}的公差为d，若a1，a3，a9成等比数列，则（a3）2＝a1•a9，即（a1+2d）2＝a1•（a1+8d），变形可得：a1＝d，则“a1，a3，a9成等比数列”是“a1＝d”的充分条件；若a1＝d，则a3＝a1+2d＝3d，a9＝a1+8d＝9d，则有（a3）2＝a1•a9，则“a1，a3，a9成等比数列”是“a1＝d”的必要条件；综合可得：“a1，a3，a9成等比数列”是“a1＝d”的充要条件；故选：C．【点评】本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题．【练11】已知i是虚数单位，a∈R，则“a＝1”是“（a+i）2为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：a∈R，（a+i）2＝a2﹣1+2ai为纯虚数，则a2﹣1＝0，2a≠0，解得a＝±1．∴a∈R，则“a＝1”是“（a+i）2为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【练12】设{a n}是公比为q的等比数列，且a1＞1，则“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q≥1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在等比数列中，若a n＞1，即a n＝a1q n﹣1＞1，当q＝1时，满足条件，当q≠1时，当n﹣1＞0恒成立，则q＞1，综上q≥1成立，反之当q≥1是，则a n＝a1q n﹣1＞1成立，即“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q≥1”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式是解决本题的关键．【练13】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【练14】已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若S n＞na n对n≥2恒成立，则na1+d＞n（a1+（n﹣1）d]，整理得（n﹣1）d＜0，①当n≥2时，得d＜0，即等差数列{a n}是单调递减数列，则a3＞a4成立，若a3＞a4成立，得d＜0，此时由①得n﹣1＞0，得n＞1，此时n≥2恒成立，综上“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．【练15】已知z1，z2是两个复数，则“z1＝z2”是“|z1|＝|z2|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由“z1＝z2”⇒“|z1|＝|z2|”，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：“z1＝z2”⇒“|z1|＝|z2|”，反之不成立，例如取z1＝i，z2＝﹣i．∴z1，z2是两个复数，则“z1＝z2”是“|z1|＝|z2|”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了复数的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【练16】“a+b＝0”的充分不必要条件是（）A．a＝﹣b B．a2＝b2C．＝0 D．e a•e b＝1【分析】由必要条件、充分条件的判定方法逐一核对四个选项得答案．【解答】解：a+b＝0⇔a＝﹣b．∴a＝﹣b是a+b＝0的充要条件，故A错误；由a＝﹣b，可得a2＝b2，反之，由a2＝b2，不一定有a＝﹣b，∴a2＝b2是a＝﹣b，即a+b＝0的必要不充分条件，故B错误；⇔⇒a+b＝0，反之，由a+b＝0，不一定有，如a＝b＝0，∴是a+b＝0的充分不必要条件；故C正确；e a•e b＝1⇔e a+b＝1⇔a+b＝0，∴e a•e b＝1是a+b＝0的充要条件，故D错误．故选：C．【点评】本题考查必要条件、充分条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【练17】设，是非零向量，则“||＝||﹣||”是“∥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由向量共线与向量模的关系结合充分必要条件的判定方法逐一分析得答案．【解答】解：由||＝||﹣||，可得与共线反向，由∥，可得||＝||﹣||或||＝||+||，∴“||＝||﹣||”是“∥”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件，必要条件及其判定方法，是基础题．【练18】设a，b∈R，且ab≠0．则“ab＞1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意看命题“ab＞1”是“”否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．【练19】函数．则“a≥0”是“∃x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≥0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：若∃x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≥0，则1+a≥0，解得：a≥﹣1，故“a≥0”是“∃x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≥0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．【练20】设a∈R，b＞0，则3a＞b是a＞log3b的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：a∈R，b＞0，则3a＞b，利用对数函数y＝log3x的图象和性质左右两侧同时取对数可得：a＞log3b；故3a＞b能推出a＞log3b。
人教高中数学必修一 第一章 1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词同步测试(解析版)
第一章1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词基础过关练1．已知下列语句：①一束美丽的花；②x＞3；③2是一个偶数；④若x=2，则x²-5x+6=0．其中是命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．下列语句中不是命题的是( )A．3≥6B．二次函数的图像不一定关于y轴对称C．x＞0D．对任意x∈R，总有x²＞03．给出命题“方程x² +ax+1=0没有实数根”，则使该命题为真命题的n的一个值可以是( ) A．4 B．2 C．1 D．-34．如果命题“若m<3，则q”为真命题，那么该命题的结论q可以是( )A.m<2B.m<4C.m＞2D.m＞45．给出下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy=0，则|x|+|y|=0；③若a ＞b，则ac²＞bc²；④矩形的对角线互相垂直，其中假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．46．有下列语句：①集合{a，b}有2个子集；②x² -4≤0；③今天天气真好啊；④若A∪B=A ∩B，则A=B．其中真命题的序号为____________________。
7．下列命题不是“∃x∈R，x²⁰＞3”的表述的是( )A．有一个x∈R，使x²ᴼ＞3B．对有些x∈R，使x²ᴼ＞3C．任选一个x∈R，使x²ᴼ＞3D．至少有一个x∈R，使x²ᴼ＞38．下列说法中正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∨x∈R，x²+2<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R，x²+4x+4≤0”是存在量词命题．A．0 B．1 C．2 D．39．下列命题中是全称量词命题的是_____________（填序号）．①三角形两边之和大于第三边；②所有的x∈R，x³+1＞0；③有些相似三角形也全等；④平行四边形对角相等．10.命题“有些负数满足不等式（1+x）(1-9x）＞0”用“∃”或“∈”可表述为_____________. 11．下列语句是真命题的是( )A．所有的实数x都能使x² -3x+6＞0成立B．存在一个实数x，使不等式x²-3x+6<0成立C．存在一条直线与两条相交且不重合的直线都平行D．存在实数x，使x²<0成立12．若a、b∈R，且a²+b²≠0，则有下列命题：①a、b全为0；②a、b不全为0；③a、b 全不为0；④a、b至少有一个不为0．其中真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．313．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )A ．对任意的a ，b∈R ，都有a²+b²-2a -2b+2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x∈R ，以x x =2D ．一次函数的图像是一条直线14．有下列四个命题：①∈x∈R ，2x²-3x+4＞0；②∈x∈{1，-1，0}，2x+1＞0；③∃x∈N ，使x²≤x ；④∃x∈N*，使x 为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．已知命题p ：∈x ＞3，x ＞m 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m≤3B ．m≥3C ．m<3D ．m ＞316．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．(1) ∈x∈R ，x²+2x+1＞0；(2)∃x∈R ，｜x ｜≤0；(3)∈x∈{3，5，7}，3x+1是偶数；(4)∃x∈Q ，x²=3．能力提升练一、单选题 1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x²≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使x1＞2 2．“若2x -8<0，则p”为真命题，那么p 可以是( )A ．x<4B ．2<x<4C ．x<-2D ．x ＞83．下列命题中是假命题的是 ( )A ．∈x∈R ，x²+2＞0B ．∃x∈Z ，x³<1C ．∈x∈N ，x⁴≥1D ．∃x∈R ，x² -3x+2=0二、多选题4．如果命题“若m ＞5，则q”为真命题，那么q 可以是( )A.m ＞0B.m<8C.m ＞2D.m ＞6E.m<65．下列命题中是假命题的是( )A ．形如6b a +的数是无理数B ．一个数不是正数就是负数C ．在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边D ．若x+y 为有理数，则x ，y 都是有理数E ．能被2整除的数一定能被4整除三、填空题6．下列命题中，是全称量词命题的是______；是存在量词命题的是_____．（填序号） ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．7．已知下列四个命题：(1)∃x∈Z ，x²=3； (2)∃X∈R ，x²=3；(3)∈x∈R ，x²+x+1＞0； (4) ∈x∈R ，x²+x+1<0.其中真命题有____________个．8．下列存在量词命题中是真命题的序号是________。
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常用逻辑用语同步训练一、基础知识：知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。
如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
③“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。
可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
典型例题例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。
（1）矩形难道不是平行四边形吗？（不是）（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（不是） （3）若2a+4>0,则a>-2. （是） （4）5>x （不是）（5）平行四边形的两组对边分别平行。
（是） 例2、下列命题是真命题的为（ A ）A ．若yx 11=,则y x = B ．若21x =,则1x = C ．若y x =,则y x =D ．若y x <,则 22y x =例3、已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的 （ D ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝例4、若p 是真命题，q 是假命题，则（ D ）（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命题知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p 和q 分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ； 逆否命题：若q 则p. 2. 四种命题的关系：①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.典型例题例5．写出“若2=x 或3=x ，则0652=+-x x ”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判其真假。
解: 逆命题：若0652=+-x x ，则2=x 或3=x ，是真命题； 否命题：若2≠x 且3≠x ，则0652≠+-x x ，是真命题； 逆否命题：若0652≠+-x x ，则2≠x 且3≠x ，是真命题。
命题的否定：若2=x 或3=x ，则0652≠+-x x ，是假命题。
例6. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
解析： 逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知是实数，若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题； 逆否命题：已知是实数，若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题。
知识点三：充分条件与必要条件：1. 定义：对于“若p 则q ”形式的命题： ①若p q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若pq ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；③若既有p q ，又有qp ，记作pq ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”. “必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法. (3) 利用集合间的包含关系判断，比如A B 可判断为AB ；A=B 可判断为AB ，且BA ，即AB.如图：“”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件.典型例题例7、下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是 （ A ） （A ）p: a c +＞b+d , q: a ＞b 且c ＞d（B ）p: a ＞1,b>1 q:()(01)xf x a b a a =->≠，且的图像不过第二象限 （C ）p: x=1, q: 2x x = （D ）p: a ＞1, q:()log (01)a f x x a a =>≠，且在(0,)+∞上为增函数例8使a b >成立的充分而不必要的条件是 （ A ）（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞例9．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件例10、“|X|=|Y|”是“X=Y ”的 （ A ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件知识点四：全称量词与存在量词：1. 全称量词与存在量词：（I) 全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为”“)(,x p M x ∈∀，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题. （II ）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。
含有 存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.2. 对含有一个量词的命题进行否定： （I ）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：”“)(,x p M x ∈∀，他的否定)(x p M x p ⌝∈∃⌝，：： 全称命题的否定是特称命题。
（II ）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：)(x p M x ，∈∃：，他的否定：”“)(,x p M x ⌝∈∀ 特称命题的否定是全称命题。
注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。
（2正面词等于大于小于是都是 一定是 至少一个 至多一个 否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是一定不是一个也没有至少两个典型例题例11．已知命题p ：x ∀∈R ，||0x ≥，那么命题p ⌝为 （ C ）A ．x ∃∈R ，||0x ≤B ．x ∀∈R ，||0x ≤C ．x ∃∈R ，||0x <D ．x ∀∈R ，||0x < 例12．已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为 （ B ） A ．2x x ∀∈≤R ， B ．2x x ∃∈<R ， C ．2x x ∀∈≤-R ， D ．2x x ∃∈<-R ， 例13．下列命题中的真命题是 （ D ）A ．R x ∈∃使得5.1cos sin =+x xB ． x x x cos sin ),,0(>∈∀πC ．R x ∈∃使得12-=+x x D ． 1),,0(+>+∞∈∀x e x x例14．已知命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++≤，那么下列结论正确的是 ( B )A ．0:p x ⌝∃∈R ，200220x x ++> B ．:p x ⌝∀∈R ，2220x x ++>C ．0:p x ⌝∃∈R ，200220x x ++≥ D ．:p x ⌝∀∈R ，2220x x ++≥知识点五：求参数的取值范围：例15.已知p ：40x m +<，q ：220x x -->，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围.例16．命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对任意x R ∈恒成立； 命题q ：函数(1)y a x b=-+在R 上递增。
若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。
二、题型分析题型一：命题、真命题、假命题的判断例1：下列语句是命题的是 ( A )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗例2．下列说法正确的是 ( B )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题变式练习：下列命题是真命题的是 ( D )A ．{∅}是空集 B.{}x ∈N||x －1|<3是无限集C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数 题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数； (真）(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；（真)(3)已知x 、y 为非零自然数，当y －x ＝2时，y ＝4，x ＝2. （假）变式练习：指出下列命题的条件p 与结论q ，并判断命题的真假：(1)若整数a 是偶数，则a 能被2整除； （真） (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（假） (3)相等的两个角的正切值相等．（假）题型三：命题真假判断中求参数范围例4、已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R)无实根，求使p 为真命题且q 也为真命题的m 的取值范围．题型四：四种命题的等价关系及真假判断例5．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题 ( D )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题例6．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是 ( B )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数例7．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是 ( C )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2例8．．给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；④“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R”的逆命题． 其中真命题的序号为__ ______．变式练习．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则p 是r 的 ( B ) A ．逆命题 B ．逆否命题 C ．否命题 D ．以上判断都不对题型五：问题的逆否证法例9．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．题型六：判断条件关系及求参数范围例10．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成立的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例11、设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 例12、已知命题：方程有两个不等的负根，命题：无实根，若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.解析：由已知可知，，解得，，解得 …….4分或为真，且为假为真，为假，或为真，为假，即或，…….8分解得或，综上，实数的取值范围是或. …….12分变式练习1：已知条件：p ：y ＝lg(x 2＋2x －3)的定义域，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式练习2： 已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．题型七、充要条件的论证例13.求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．题型八、命题真假值的判断例14．如果命题“p ∨q ”与命题“非p ”都是真命题，那么 ( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定为真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同 变式练习：判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ，非p 形式的命题的真假：(1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数； (2)p ：2≤3，q ：3<2；(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．题型九、命题的否定与否命题例15．命题“若a <b ，则2a <2b”的否命题为________，命题的否定为________．变式练习1：“a ≥5且b ≥3”的否定是____________；“a ≥5或b ≤3”的否定是____________．变式练习2： 命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 题型十、全称命题与特称命题相关小综合题例17．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤－3或a >2 B ．a ≥2 C ．a >－2 D ．－2<a <2变式练习1： 已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)变式练习2： 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题，其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④ 题型十一、综合训练典型题例18．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．变式练习1：已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．课后作业1.若非空集合,,A B C 满足A B C =U ，且B 不是A 的子集， 则( )A .“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B .“xC ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件 C .“x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D .“x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 答案 B2.“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 ( )A ．充分不必要条件B .必要不充分条件C ．充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B3. 设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件 答案 B4.p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB.1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x p D .1sin ,:>∈∀⌝x R x p 答案 C5. 命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A .若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B .若11<<-x ，则12<x C .若11-<>x x ，或，则12>x D .若11-≤≥x x ，或，则12≥x 答案 D6.命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 （ ） A .不存在01,23≤+-∈x x R xB .存在01,23≥+-∈x x R x C .存在01,23>+-∈x x R xD .对任意的01,23>+-∈x x R x答案 C7.设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B8.设p ：x 2－x －20>0,q ：212--x x <0,则p 是q 的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 p ：x 2－x －20>0⇔x >5或x <－4，q ：212--x x <0⇔x <－2或－1<x <1或x >2，借助图形知选A.9.“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B10.对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B11 11．已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．12．已知命题p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．13．求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程().062122=++-+a x a x （1） 有两个都大于1的实数根；（2） 至少有一个正实数根．。