16选修1-1常用逻辑用语(二)教师版

1第 1 页 共 15 页教学辅导教案学生姓名年 级高二学 科 数学 上课时间 2017年 月 日教师姓名课 题简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .[证明] (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1. 因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：(1)原方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2,0)为圆心，半径为3的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值和最小值，此时有|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 故yx的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故(y －x )max ＝－2＋6，(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知其在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又知圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.[问题1] 分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”形式的命题，并判断其真假．(1)p ：等腰梯形的对角线相等，q ：等腰梯形的对角线互相平分；(2)p ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点，q ：不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立． [解] (1)p ∨q ：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题． p ∧q ：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．綈p ：等腰梯形的对角线不相等，假命题．(2)p ∨q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点或不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立，真命题． p ∧q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点且不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立，假命题． ¬p ：函数y ＝x 2－2x ＋2有零点，假命题．[问题2] 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围．[解] “p 或q ”为真命题，则p 为真命题或q 为真命题． 当p 为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＞0x 1x 2＝1＞0，，解得m ＜－2； 当q 为真命题时， 有Δ＝16(m ＋2)2－16＜0， 解得－3＜m ＜－1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，－1)． [问题3] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1； (4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题． [问题4] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0；(3)存在一组m ，n 的值，使m －n ＝1； (4)至少有一个集合A ，满足A {1,2,3}．[解] (1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是特称命题．当m ＝4，n ＝3时，m －n ＝1成立，所以该命题是真命题． (4)是特称命题．存在A ＝{3}，使A {1,2,3}成立，所以该命题是真命题． [问题5]写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋6≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.[解] (1)¬p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题． 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立． (2)¬q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)¬r ：∀x ∈R ，x 2＋4x ＋6＞0，真命题． (4)¬s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题， 因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.[问题6] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立， 而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，(1＋a )2＋2－a 2，a ＜－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]． 法二：x 2－2ax ＋2≥a ， 即x 2－2ax ＋2－a ≥0， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)， f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(2－a )＞0，a ＜－1，f (－1)≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a ＜－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．1．命题p ∧q ，p ∨q ，¬p 的真假关系表p q p ∧q p ∨q ¬p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称 常见量词表示符号 全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃3.全称命题和特称命题命题名称 命题结构命题简记 全称命题 对M 中任意一个x ，有p (x )成立 ∀x ∈M ，p (x ) 特称命题存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立∃x 0∈M ，p (x 0)4.含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，¬p (x 0) ∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ，¬p (x )【典例剖析】【例1】分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边； (2)1或－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A(A ∪B )．(1)这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真，q 真，则“p ∧q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假，q 真，则“p ∨q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“綈p ”假，所以该命题是假命题.【例2】对命题p ：1是集合{x |x 2＜a }中的元素；q ：2是集合{x |x 2＜a }中的元素，则a 为何值时，“p 或q ”为真？a 为何值时，“p 且q ”为真？解：若p 为真，则1∈{x |x 2＜a }， 所以12＜a ，即a ＞1；若q 为真，则2∈{x |x 2＜a }，即a ＞4.若“p 或q ”为真，则a ＞1或a ＞4，即a ＞1； 若“p 且q ”为真，则a ＞1且a ＞4，即a ＞4.【例3】用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x 2＋x ＋1＞0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．【例6】若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0，求实数a 的取值范围．解：当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0； 当a ＞0时，需满足Δ＝4－4a 2＞0，得－1＜a ＜1，故0＜a ＜1. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．1．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，下面使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析：选C 使“p ∧q ”为真命题的点即为直线y ＝2x －3与抛物线y ＝－x 2的交点． 2．已知命题p ：设x ∈R ，若|x |＝x ，则x >0，命题q ：设x ∈R ，若x 2＝3，则x ＝3，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．(綈p )∨q解析：选D 由|x |＝x 应得x ≥0而不是x >0，故p 为假命题；由x 2＝3应得x ＝±3，而不只有x ＝3，故q 为假命题．因此綈p 为真命题，从而(綈p )∨q 也为真命题． 3．命题p ：2∉{1,3}，q ：2∉{x |x 2－4＝0}，则命题p ∧q ：2∉{1,3}且2∉{x |x 2－4＝0}是________(填“真”或“假”)命题，命题p ∨q ：____________，是________(填“真”或“假”)命题．解析：命题p ：2∉{1,3}是真命题． 因为{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，所以命题q ：2∉{x |x 2－4＝0}是假命题． 答案：假 2∉{1,3}或2∉{x |x 2－4＝0} 真4．若p ：不等式ax ＋b ＞0的解集为xx ＞－ba ，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，且“p ∧q ”为真命题，则a ，b 满足__________．解析：因为命题“p ∧q ”为真命题， 所以p 、q 均为真命题，于是a ＞0，且a ＜b . 答案：0＜a ＜b 5．判断下列命题的真假：(1)函数y ＝cos x 是周期函数并且是单调函数；10．已知p ：存在正实数x ，使x 2＋mx ＋1＝0成立．若¬p 是假命题，求实数m 的取值范围．解：∵¬p 为假命题，∴p 为真命题， 即关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有正解． 由x 2＋mx ＋1＝0，得m ＝－x －1x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2， 当且仅当x ＝1时取等号． 即m 的取值范围为(－∞，－2)．方法与技巧1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”． 失误与防范1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可；p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真． 2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.常用逻辑用语与一元二次不等式一、命题的真假判断典例：已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么( )A ．“¬p ”是假命题B ．q 是真命题C ．“p 或q ”为假命题D ．“p 且q ”为真命题 答案 C解析 由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即x 2＋1≥2x ，所以p 为假命题；对于命题q ，当m ＝0时，有－1<0，恒成立， 所以命题q 为假命题． 综上可知：¬p 为真命题，p 且q 为假命题，p 或q 为假命题，故选C.温馨提醒 判断和一元二次不等式有关的命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断． 二、确定参数的取值范围典例：(1)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为________．(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2答案 (1)[－2,2] (2)A解析 (1)方法一 由题意，命题“对任意实数x ，使x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.方法二 若命题“存在实数x ，使∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故原命题实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 温馨提醒 在与全称命题、特称命题有关的问题中，如果从原来的命题出发解决问题不方便，则可以先否定原来的命题，再依据补集思想解决原问题.1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．¬q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．2．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．¬p ∨qB ．p ∧qC ．¬p ∧¬qD ．¬p ∨¬q 答案 D解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有¬p ∨¬q 为真命题．3．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，sin x ＝52B ．∃x ∈R ，log 2x ＝1C ．∀x ∈R ，(12)x >0 D ．∀x ∈R ，x 2≥0 答案 A解析 因为∀x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，∃x ＝2，log 2x ＝1；对于C ，根据指数函数图象可知，∀x ∈R ，(12)x >0；对于D ，根据二次函数图象可知，∀x ∈R ，x 2≥0. 4．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则¬p 为( )A ．所有的指数函数都不是单调函数B ．所有的单调函数都不是指数函数C ．存在一个指数函数，它不是单调函数D ．存在一个单调函数，它不是指数函数答案 C解析 命题p ：所有指数函数都是单调函数，则¬p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数，故选C.5．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.6．下列结论正确的个数是( )①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限；②若x ，y 是实数，则“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 或x ≠－y ”；③命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定¬p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”；又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1， ∴綈q ：c >12且c ≠1. 又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.1．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( )A ．p ∨q 是假命题B ．p ∧q 是真命题C ．p ∧(¬q )是真命题D ．p ∨(¬q )是假命题答案 C解析 ∵x ＝10时，x －2＝8，lg 10＝1，x －2>lg x 成立，∴命题p 为真命题，又x 2≥0，命题q 为假命题，所以p ∧(¬q )是真命题．2．下列结论正确的是( )A ．若p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0B ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题C ．“函数f (x )为奇函数”是“f (0)＝0”的充分不必要条件D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题为真命题答案 D解析 ∵x 2＋x ＋1<0的否定是x 2＋x ＋1≥0，∴A 错；若p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，∴B 错；f (x )为奇函数，但f (0)不一定有意义，∴C 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0则x ＝1”的否命题为“若x 2－3x －2≠0，则x ≠1”是真命题，D 对．3．下列结论正确的个数是( )(1)命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”； (2)函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π是“a ＝1”的必要不充分条件；。