6.5 速度变换定理和多普勒效应

S'
u
S''
v
O''
O
O'
x
l0
l 1 v 2 / c 2
1 v 2 / c 2 l l0 1 v 2 / c 2 l' 1 v 2 / c 2
l 1 u 2 / c 2 l 1 v u/c 2
v v u 2 由速度逆变换式有 1 v u/c
vx u u 1 2 v x c
2
v y 1 β v y u 1 2 vx c
v z
第6章相对论
dz 1 2 dz z u dt dt 2 dx c
2
v z 1 β u 1 2 vx c
2
例1 一宇宙飞船以速度 u 远离地球沿 x 轴方向飞行，发现 飞船前方有一棒形不明飞行物，平行于 x 轴。飞船上测得 此物长为l ' ，速度大小为 v ' ，方向沿 x 轴正向。 求 地面上的观测者测得此物长度。 S 解 令地球参照系为 S 系，飞船为 S' 系，不明飞行物为S'' 系，则在S'' 系中测得不明飞行物的长度为原 长 l 0 ，由长度收缩公式有
θ 0 ν l ν 0
1 β 1β
(1) 若光源离开观察者，上式中 取正号，这时l <0 ，实测频 率 l 小于光源固有频率0 (2) 若光源趋近观察者，上式中 取负号，这时l >0 ，实测频 率 l 大于光源固有频率0 2. 光的横向多普勒效应
“红移 ” “蓝移 ”
红移
9
第6章相对论
例1 一遥远的河外星系以很高的速率离开地球退行而去， 其谱线发生红移。与固有频率 0 相对应的波长为 0 = 434 nm 的谱线，地面上观测记录的该谱线的波长 = 600 nm. 求 此河外星系的退行速率。
解 以v 表示本题所求的退行速率，以 表示与波长 对应的频率， 则有0 = c/0 和 = c/ ，代入纵向多普勒效应式，有
解 (1)
x'2 x'1 t '2 t '1 t ' (t '2 ) (t '1 ) c c t'2 t'1 τ u u τ (1 ) τ x'2 x'1 c c 1 1 0.60 t1 0 50 100（分钟） 1 1 0.60
*§6.5 速度变换定理和多普勒效应
一、狭义相对论的速度变换定理
二、光的多普勒效应
y y' S'
u
P (x, y, z; t )
(x', y', z'; t' )
洛仑兹变换
S
Δ x uΔ t x' 1 β 2
Δ t' uΔ x' c t 1 β 2
1
r
2
r
O' x (x' )
为 u = 0.6c. 依题意飞船 B 在 S 系中的速度 υ = -0.8 c， 由洛仑兹速度变换，S' 系(飞 S S' u v 船 A) 测得飞船 B 的速度为
4
v u v' 2 1 vu/c 0.8c 0.6c 0.94c 2 1 0.8 0.6c / c 第6章相对论
O z
第6章相对论
z'
由洛仑兹坐标变换
dx
dx udt 1
2
dy dy
dz dz
v x
dt '
dt
u dx 2 c 1 2
dx dx udt x u dt dt 2 dx c
2 dy dy 1 y u dt dt 2 dx c
3 第6章相对论
例2 飞船 A , B 相对于地面分别以 0.6 c 和 0.8 c 的速度相向而行。 求 (1) 飞船 A 上测得地球的速度； (2) 飞船 A 上测得飞船 B 的速度； (3) 地面上测得飞船 A 和飞船 B 的相对速度。 解 (1) 根据运动的相对性，飞船 A 上测得地球的速度为: - 0.6c (2) 设地面为 S 系，飞船 A 为 S' 系，S' 系相对与 S 系的速度
u v0 ν0 经典多普勒效应： ν u vs
6 第6章相对论
*推导
1 β ν ν0 u 1 cosθ c
2
y
光源
u
(x, y, z , t )
观察者
x 2 y 2 c 2 (t * t )2
θ
x
O (0, 0, 0, t* )
xdx xudt c 2 (t * t )(dt * dt )
c
1 1 0.60
u 1 50 1 0.60 25 (分钟) (2) t2 0
11 第6章相对论
λ λ 0
代入题给数据，解得
1v / c 1v / c
v 0.31c 0.93 108 m s
10
第6章相对论
例2 以 0.6 c 速度飞行的宇宙飞船上的乘客，通过电磁波收 看来自地球的物理讲座。对地球上报告厅里的学生来说，该 讲座持续了50分钟。 求 飞船处于下列情况下，飞船上的乘客要用多长时间看完整个 讲座。(1)飞船离开地球远去时；(2)飞船向着地球返回时。
对地面的速度，因此不受极限速度的限制。
5
第6章相对论
二、 光的多普勒效应
对于光波，有
ν c
与空间有关 与时间有关
在相对论中，不同的惯性系中波长和频率将不同， 但两者的乘积恒为 c 相对论多普勒频移公式
1 β2 ν ν0 u 1 cosθ c
0 为光源的固有频率 为观察者实测到的光频率
u dt* (1 )dt x2 y 2 c
又 dt
7
c(t * t ) x 2 y 2
x
dt* (1 u cosθ )dt c
(1 u cos ) c 1 2
dt0 1 β2
dt * dt0
T* ν0 T0 ν
第6章相对论
1. 光的纵向多普勒效应
A O O'
B
(3) 地面上测得飞船 A 和飞船 B 的相对速度为
0.6c 0.8c 1.4c
在相对论中，物质的运动速度不会超过真空中的光速
c，是指某观察者看到的所有物体相对于它的速度不会
超过 c. 在地面上观测飞船 A 和飞船 B 的相对速度是 地面看到的其它两物体的相对速度，它不是某一物体
θ
8
ν t 0 1 β
第6章相对论
2
3
机械波和光的多普勒效应的区别
(1) 机械波无横向多普勒效应；而光波具有横向
多普勒效应。
(2) 光的多普勒频移与波源对于观察者运动，还 是观察者对于波源运动无关，而机械波的多普ຫໍສະໝຸດ 勒频移在这两种情况下是不同的。
(3) 波的传播媒质运动不影响光的多普勒频移， 但却影响机械波的多普勒频移。