高考数学解答题专项训练(2)
广东新课标高考数学解答题专项训练（2）
1．已知向量
m
＝（cos θ，sin θ）,n =(
-2 sin θ, cos θ),θ
∈(π
，2π)
且∣ m +n ∣=
5
2
8 ，求cos （
+2
θ
8
π
）
2．如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（1）求证AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B —AC —E 的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离.
3．设事件A 发生的概率为p ，若在A 发生的条件下B 发生的概率为p ′，则由A 产生B 的概率为p ·p ′．根据这一事实解
答下题．一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第0、1、2、…、100，共101站，设棋子跳到第n 站时的概率为p n ，一枚棋子开始在第0站（即p 0＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站．直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为12
．
（1）求p 1，p 2，p 3，并根据棋子跳到第n ＋1站的情况，试用p n ，p n －1表示p n ＋1； （2）设a n ＝p n －p n －1 (1≤n ≤100)，求证：数列｛a n ｝是等比数列，并求出｛a n ｝的通项公式；
（3）求玩该游戏获胜的概率．
4．已知A 、B 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一条弦，M （2，1）是AB 中点，以M
为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N （4，-1）。
（1）设双曲线的离率心为e ，试将e 表示为椭圆的半长轴长的函数。
（2）当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程。
（3）求出椭圆的长轴长的取值范围。
5．已知()f x 为一次函数，[(1)]1f f =-，()f x 的图像关于直线
0x y -=的
对称的图像为
C
，若点1(,)n n
a n a +（n N *∈）在曲线C 上，并有11a =，
11
1n n
n n a a a a +--=（2n ≥） （1）求
()f x 的解析式及曲线C 的方程；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设3
123!4!5!
(2)!
n
n
a a a a S n =
++++
+，对于一切n N *∈，n S m >恒成立，
求自然数m 的最大值.
6．袋中有4个红球，3个黑球，从中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。求：
（1）今从袋中随机取4个球，求得分为7分的概率；
（2）今从袋中每次摸一个球，看清颜色后放回再摸下次，连续进行4次，求得分不少于6分的概率。
7．已知△ABC 的面积33=S , 且6BC AB =?.
（1）求AC 长的最小值；
（2）当AC 长取最小值时，求AB 在AC 上的射影。
8．已知四边形ABCD 中，52290===?=∠=∠BC AD AB BDC BAD ，，，将ABD ?沿对角线BD 折起，折起后，点A 的位置记为/
A ，使平面
⊥BD A / 平面BCD 。
（1）求证：平面⊥BC A / 平面DC A /；
（2）求二面角D BC A --/
的正切值；
（3）求三棱锥BCD A - /
的体积。
9．在ABC ?中，已知),0(a A ，),0(a B -，AC 、BC 两边
所在的直线分别与x 轴交于原点同侧的点M 、N ，且满足24a ON OM =?（a 为不等于零的常数）．
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）如果存在直线:l )0(1≠-=k kx y ，使l 与点C 的轨迹相交于不同的P 、Q 两点，且AQ AP =，求a 的取值范围．
10．已知函数()3
f x x ax b =++定义在区间[]1,1-上，且()0(1)f f =。又()11P x y ?、
()22Q x y ?是其图像上任意两点()12x x ≠。
（1）求证：()f x 的图像关于点()0,b 成中心对称图形； （2）设直线PQ 的斜率为k ，求证：2k <； （3）若1201x x ≤<≤，求证：121y y -<。 11． 已知向量0).2(-n ,m ,1),(sin n ,1,32cos ，π为共线向量，且ααα∈=???
? ??
--
=m （1）求sinα－cosα的值； （2）求
α
α
αtan 12cos 2sin 1+++的值.
12．如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，
,//,AE PD EF CD AM EF ⊥=
（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；
（2）若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值。 13．已知双曲线M ：x 2－y 2＝1，直线l 与双曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线y =x 、双曲线M 、直线y =－x 于A 、B 、C 、D 四点，O 为坐标原点．
（1）若AB BC CD ==,求△AOD 的面积； （2）若△BOD 的面积等于△AOD 面积的
1
3
，求证：.AB BC CD ==
14．已知()()a x x x a x f ,2,2,2
13
2-∈-
=为正常数。 （1）可以证明：定理“若a 、+∈R b ，则ab
b
a ≥+2
（当且仅当b a =时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若()0>x f 在()2,0上恒成立，且函数()x f 的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测()x f y =的单调性（无需证明）；
15．（1）已知数列}{n a 的通项公式：)(1
32
32N n a n n n ∈-+?=，试求}{n a 最大项的值；
（2）记2
-+=n n n a p
a b ，且满足（1），若})({31n b 成等比数列，求p 的值；
（3）如果2,1,1
111≠->++=
+C C C p
C C n n n ，且p 是满足（2）的正常数，试证：对于
任意自然数n ，或者都满足2,2212<>-n n C C ；或者都满足2,2212><-n n C C 。 16．已知函数bx ax x x f 33)(2
3
++=在x=2时有极值，其图象在点（1,f(1)）处的切线与直线053=++y x 平行。
（1）求该函数的单调递减区间；
（2）当m>0时，求函数f(x)在[0,m]上的最小值。
17．已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222
x x
a x x
b ==-，且[0,]2x π∈，设()2||f x a b a b λ=?-+．
（1）求a b ?及||a b +．
（2）若()f x 的最小值是3
2
-，求λ的值． （3）若方程
()40f x -=有解，求λ的取值范围．
18．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1 中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成600的角， AA 1= 2．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点。E 是线段BC 1上一点，且BE=
3
1
BC 1 ． （１）求证： GE ∥侧面AA 1B 1B ；
（２）求平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小 ． 19．已知曲线2
:(0)C y x x =>，过C 上的点1(1,1)A 作曲线C 的切线1l 交x 于点1B ，再过点1B 作y 轴的平行线交
曲线C 于点2A ，再过点2A 作曲线C 的切线2l 交x 轴于点2B ，再过点2B 作y 轴的平行线交曲线C 于点3A ，……，依次作下去，记点n A 的横坐标为n
a ()n N *∈
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1n n
a S ?≤
（3）求证：11413n n
i i i
a S =-≤∑ 20．F 1、F 2为双曲线22
221x y a b
-=的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点M
在右准线上，且满足：1
FO PM =，11||||OF OM
OP OF OM λ??
=+
??
?
（λ＞
0） （1）求此双曲线的离心率；
（2）若过点N ）的双曲线C 的虚轴端点分别为B 1、B 2（B 1在y 轴正半轴上），点A 、B 在双曲线上，且22B A B B λ=，110B A B B ?=，求双曲线C 和直线AB 的方程。
21．角A 、B 、C 是ΔABC 的内角，B A C <=
,2
π
，向量)1,cos 2(A =，
)sin ,2
1
(
A =且57=?。
（1）求sinA 的值；
（2）求2
cos 2sin )24
(
cos 2
A
A B +-
π
的值。 22．运动队11月份安排4次体能测试，规定每位运动员一开始就要参加测试，一旦某次测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。若李明4次测试当次合格的概率依次组成一公差为
91的等差数列，且他直至第二次测试才合格的概率为.81
25 （1）求李明第一次参加测试就合格的概率P 1；（结果用分数表示） （2）求李明11月份体能测试能合格的概率.（结果用分数表示） 23．在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//CB ，CD ⊥P 1D 且P 1D = 6，BC = 3，DC =
6，A 是P 1D
的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置，使二面角P －CD －B 成45°角，设E 、
F 分别是线段AB 、PD 的中点．
（1）求证：AF//平面PEC ；
（2）求平面PEC 和平面PAD
所成的二面角的大小； （3）求点D 到平面PEC 的距离．
24．在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB = ||MC ③GM ∥AB
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程；
（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F , 0），已知PF ∥FQ ,
RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小。
25．已知b ax ax x f +=
)(且不等式2|)(|>x f 的解集为).3
2
,2(-- （1）求)(x f 的解析式；
（2）设数列}{n a 满足：)(),(),2006
1
(
)2006(11*+∈=+=N n a f a f f a n n ； （3）设n
n n n b b b b T a nf b 1
111),1(
321++++== ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：.2+ B C D A P 1 D B C F E A P 参考答案 1． (cos sin 2,cos sin )m n θθθθ+=-++，222||(cos sin 2)(cos sin )m n θθθθ+=-+++＝4＋22(cos sin )θθ-＝4＋4cos()4 π θ+。由已知||m n +＝ 825，得cos()4πθ+＝7 25 又cos()4π θ+ ＝22cos ()28θπ+－1，∴2cos ()28θπ+＝ 16 25 。∵(,2)θππ∈，∴598288πθππ<+< ，∴cos()08πθ+<，∴4 cos()85 πθ+=-。 2．（1）∵BF ⊥平面ACE. ∴BF ⊥AE 。 ∵二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥ ∴CB ⊥平面ABE. ∴CB ⊥AE ∴AE ⊥平面BCE （2）连结BD 交AC 于C ，连结FG ， ∵正方形ABCD 边长为2，∴BG ⊥AC ，BG= 2， ⊥BF 平面ACE ，由三垂线定理的逆定理得FG ⊥AC. BGF ∠∴是二面角B —AC —E 的平面角. 由（1）AE ⊥平面BCE ， 又∵AE ＝EB ，∴在等腰直角三角形AEB 中，BE=2. 又 直角,6,22=+= ?BE BC EC BCE 中 33 26 22= ?=?= EC BE BC BF ∴直角BFG ?中，23 6 3sin .2 BF BGF BG ∠=== ∴二面角B —AC —E 等于.3 6arcsin （3）过点E 作EO ⊥AB 交AB 于点O. OE=1. ∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD. 设D 到平面ACE 的距离为h ， ,ACD E ACE D V V --= ∴11.3 3 ACB ACD S h S EO ???=? ⊥AE 平面BCE ，∴AE ⊥EC 。 ∴ 11 221 22 113 2 AD DC EO h AE EC ????? === ? ∴点D到平面ACE的距离为. 3 3 2 3．（1）p1＝ 1 2，p2＝p0× 1 2＋p1× 1 2＝1× 1 2＋ 1 2× 1 2＝ 3 4．p3＝p1× 1 2＋p2× 1 2＝ 1 2× 1 2＋ 3 4× 1 2＝ 5 8．p n＋1＝p n－1× 1 2＋p n× 1 2＝ 1 2p n＋ 1 2p n－1． （2）p n＋1－p n＝－ 1 2p n＋ 1 2p n－1＝－ 1 2( p n－p n－1) a n＋1＝－ 1 2a n， a n＋1 a n＝－ 1 2．∴｛a n｝是公比为－ 1 2的等比数列． a1＝p1－p0＝ 1 2－1＝－ 1 2．a n＝(－ 1 2) n． （3）p99＝(p99－p98)＋(p98－p97)＋…＋(p2－p1)＋(p1－p0)＋p0＝a99＋a98＋…＋a2＋a1＋1 ＝1＋ －1 2× 1－(－ 1 2) 99 1－(－ 1 2) ＝1－ 1 3－ 1 3× 1 299＝ 2 3(1－ 1 2100)． ∴获胜的概率为 2 3(1－ 1 2100)． 4．11221212 (,),(,),4,2 A x y B x y x x y y +=-= 则 ,A B在椭圆上 ∴ 22 11 22 22 22 22 1 1 x y a b x y a b ? += ?? ? ?+= ?? 两式相减，得,0 ) )( ( ) )( ( 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1= + - + + - b y y y y a x x x x ∴ 2 22 12 2 12 211 1,2, 24 AB MN y y b k k a b x x a -+ ==-===-= -- 即 222 a b c =+ 又，∴22 b c = ，∴椭圆的离心率 2 e'= 设椭圆的右准线为l，过N作MN l '⊥于N' 则由双曲线定义及题设知 |2 2 | 2 |4 | 2 2 |4 | 2 )4 2( | | | | 2 2 2 2 - = - = - + - = ' = a c a c a N N NM e （2）2232| 22|2===-= a a a e 或当 ∴时23=a ，,12 ,2,1918,922 222 =+==+=y x a y x b 椭圆方程为时当椭圆方程为而此 时点M （2，1）在椭圆外，不可能是椭圆弦AB 的中点，舍去。 故所求椭圆方程为19 182 2=+y x （3）由题设知,02,3:2 2 2 =-++-=a y x x y AB 椭圆方程为 222 3 20y x x y a =-+??+-=? ,6,6,0)18(1212,01812322222>>>--=?=-+-a a a a x x 即应有 由（2）知.226,| 22|2≠>-= a a a e 且 当;226,222,1| 22|2 ,226<<∴<->-= < 当22222,222,1| 22|2,22+<<∴+<>-= >a a a e a 解得时 故)244,24()24,62(2+?的取值范围是a 5．（1）设 ()f x kx b =+（0k ≠），2 [(1)]1f f k kb b =++=-，因为()f x 的图像关于 直线 0x y -=的对称的图像为C ，所以曲线C 为 1 ()x b f x k k -= -，所以 1 ()n b f n k k -= -， 11(1)n b f n k k ---= -， 1111 ()(1)()n b n b f n f n k k k k k -----= ---=； 又点1 (, )n n a n a +（n N *∈）在曲线C 上， 所以 1 1 ()n n a f n a -+= ②， 1 1 (1)n n a f n a ---= ， 所以1 1 11 ()(1)1n n n n a a f n f n a a --+---= -=， 所以1 1k =，1k =， 代入①式得： 1b =-，所以： 函数()1f x x =-，曲线C 的方程为1y x =+ （2）由② 1 1()n n a f n a -+= ，所以1 1n n a n a +=+， 所以得 1 3212 21 (1)32!n n n n a a a a n n n a a a a ---????=-?=， 因为11a =，所以!n a n = 因为 3 123!4!5! (2)!n n a a a a S n = ++++ +＝1111 11 ()()( )2334 12 n n -+-+ +-++＝ 1122 n -+， 因为11023n < ≤+，11 116222 n ≤-<+， 所以n S 的最小值为 16，所以 1 6 m <，因而自然数m 的最大值为0. 6．（1）设从袋中取出得4个球中由x 个红球，y 个黑球，则由?? ?==??? ?=+=+1 3 724y x y x y x 即从袋中取出了3个红球与1个黑球，所以得分为7分得概率为:3512 4 7 4 413341==A A C C P 答：从袋中随机取4个球，得分为7分的概率为 35 12 。 （2）从袋中有放回得取球，可以看作是独立重复试验，显然，每次摸一个球，取得红球得 A / E F D C 概率是 74，取得黑球得概率是7 3 ，仍设从袋中取出得4个球中由x 个红球，y 个黑球，则有?? ?==??? ?≥+=+22624y x y x y x 或???==13y x 或???==0 4 y x ，所以连续进行4次，得分不少于6分的概率为2401 1888)74(73)74()73()74(4 4433 422242= +? +?=C C C P 或 2401 188824014322401811)73(74)73()74(131440042= --=??--=C C P 答：从袋中每次摸一个球，看清颜色后放回再摸下次，连续进行4次，得分不少于6 分的概率为 2401 1888 。 7．（1）由题意知,BC AB ?||||BC AB =6cos =θ ① 2 1= S ||||BC AB )sin(θπ-21 =||||BC AB 33sin =θ ② 由①②, 得3tan =θ ，∵),0(πθ∈，∴ 3 π θ=， 12cos 6||||== θ且3 2π = ∠ABC 由余弦定理得： ABC COS AC ∠-+||||2||||||222＝≥362 3 122)321(||||2=??=-πCOS BC AB ， ∴6||≥AC ,当且仅当AB ＝32=时取最小值6。 （2）由（1）知，此时ABC ?为等腰三角形，6 π = ∠BAC ， 在上的射影为： 32 3 326 cos ||=? =π AB 8．（1）证明：∵ 平面 ⊥'BD A 平面BCD ，且BD CD ⊥ ∴ ⊥CD 平面BD A ' ∴ B A CD '⊥（2分） 又 ∵ D A B A '⊥' ∴ ⊥'B A 平面CD A '（3分） ∵ ?'B A 平面BC A ' ∴ 平面⊥'BC A 平面DC A ' （2）解：作BD E A ⊥'于E ， ∵ 平面⊥'BD A 平面BCD ，∴ ⊥'E A 平面BCD （5分） 作EF ⊥BC 于F ，连F A '，则BC F A ⊥' ∴ FE A '∠为二面角D BC A --'的平面角 ∵ 22='='D A B A ?='∠90D A B ∴ 2='E A BD=4 ∵ BC=5, ∴?=∠90BDC , ∴ CD=3. 在BEF Rt ?中，∵ BE=2 ∴ 5 6532sin =?=∠=DBC BE EF 在EF A Rt '?中，3 5tan ='∠FE A （3）4322222 1 3131=????=??= ='?'--'CD S V V BD A BD A C BCD A 9．（1）设点)0)(,(≠x y x C ，)0,(),0,(N M x N x M ． 当a y =时，x AC //轴，当a y -=时， x BC //轴，与题意不符，所以a y ±≠; 由A ．C ．M 三点共线有 x y a x a M --=--000，解得y a ax x M -=． 同理由B ．C ．N 三点共线，解得y a ax x N += ． 0>?N M x x ，∴ 24M N ax ax OM ON x x a a y a y ?=?= ?=-+， 化简得点C 的轨迹方程为)0(44222≠=+x a y x ． （2）设PQ 的中点为R ， ?? ?-==+1 , 44222kx y a y x 0448)41(222=-+-+?a kx x k ， 由0)44)(41(464222>-+-=?a k k ，∴222410+->a k a …① 2214142k k x x x R +=+= ，2 411 1k kx y R R +-=-=． PQ AR AQ AP ⊥?= ，即1-=?k k AR ， ∴ 2 2 11414014a k k k k + +?=-- +，0342=-+a ak ，即a a k 432-= ………② 0,02>∴≠k k ， ∴30<-a 3 1> ?a ． 当1=a 时，直线l 过点B ，而曲线C 不过点B ，所以直线l 与曲线C 只有一个公共点. 故1=a 舍去;故a 的取值范围是33 1