石墨烯电子的能带和狄拉克方程(三)
掺杂石墨烯狄拉克点
掺杂石墨烯狄拉克点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：掺杂石墨烯狄拉克点，是指在石墨烯结构中引入杂质原子，从而在石墨烯的能带中形成狄拉克点的现象。
石墨烯自2004年被首次成功制备以来，由于其优异的电子输运性能和独特的二维结构，在纳米材料领域引起了广泛的研究兴趣。
而通过掺杂石墨烯狄拉克点，可以调控石墨烯的电子性质，进而拓展其在电子器件、传感器和催化等领域的应用。
在石墨烯的晶格结构中，碳原子是以六边形的形式排列，在其正常晶格中，每个碳原子都有四个共价键。
而在掺杂石墨烯中，杂质原子的加入会破坏石墨烯的原有晶格结构，使得部分碳原子失去原子间的共价键连接，形成缺陷结构。
这些缺陷结构可以通过不同的掺杂方式来引入，例如N、B、S、P 等元素原子的掺杂，或者通过辐照、化学氧化等方法来形成。
通过引入这些缺陷结构，石墨烯的晶体结构中会出现额外的能级，形成所谓的狄拉克点。
狄拉克点是一种特殊的能带结构，具有线性色散关系，其带隙为零。
狄拉克点周围的载流子表现出类似于相对论性粒子的行为，具有高速度和长寿命等特点。
这使得狄拉克点成为了研究石墨烯电子特性的重要研究对象。
除了通过掺杂来形成狄拉克点，还可以通过外界的局域电场、应变、拓扑结构等方式来调控石墨烯的能带结构，进而实现对狄拉克点的控制。
这为石墨烯在电子学、光电子学、磁电子学等领域的应用提供了新的可能性。
掺杂石墨烯狄拉克点的研究不仅可以揭示石墨烯的电子性质，还可以为新型电子器件的设计和研发提供重要的理论支持。
在传感器方面，通过在石墨烯中掺杂特定的杂质可以调控其电荷传输性质，从而实现对气体、生物分子等的敏感检测。
在催化方面，狄拉克点的存在可以促进催化反应的进行，提高催化活性和选择性，为环境保护和能源开发提供新的途径。
掺杂石墨烯狄拉克点的研究具有重要的理论和应用意义，为纳米材料领域的发展带来新的机遇和挑战。
随着对石墨烯电子性质和狄拉克点行为的深入研究，相信这一领域将会有更多的突破和发展，为我们带来更多的科学发现和技术创新。
石墨烯的能带结构
石墨烯的能带结构
石墨烯是一个二维的单层碳原子晶体，其能带结构与三维晶体不同。
石墨烯的能带结构是一个简单的线性结构，其中存在两个无色散的Dirac点。
在石墨烯中，每个碳原子有三个近邻碳原子，它们在二维平面上形成一个六边形格子。
由于局部电子结构的共价键成键能达到几电子伏特(eV)级别，而高能电子或光子的能量竞相达到几百电子伏特级别，因此大部分情况下，我们只需要关注石墨烯最外层的价带和导带。
石墨烯的费米面在K点处与价带相交，这个交点是双价带结构中的能源极值点，称为Dirac点。
由于石墨烯的晶格结构以及碳原子的π轨道特性，这个点出现在唯一的两个对称点处，即K点和K'点。
在K点和K'点处，碳原子的高度对称性使得石墨烯中的电荷载流子表现出线性色散关系。
通过改变能带结构的形状和尺寸，可以调节石墨烯的电学性质，实现对电子传输的控制。
总之，石墨烯的能带结构具有独特的线性结构，其中包含两个无色散的Dirac点。
这种结构赋予了石墨烯优异的电学和热学性质，使其成为当今材料科学研究中的热点。
石墨烯中的二维无质量狄拉克费米子气
石墨烯中的二维无质量狄拉克费米子气量子电动力学(量子力学和相对论结合的产物)已经给出了各种现象的清晰的解释，涉及从粒子物理学到宇宙学和从天体物理学到量子化学的领域。
以量子电动力学为基础的思想也影响了凝聚态理论，但是在已有的实验系统中,量子相对论效应通常是极小的，它们都可以用非相对论薛定谔方程精确地描述。
这里我们报道一种由狄拉克(相对论)方程描述其电子输运的凝聚态系统(石墨烯,即碳单原子层)的实验研究。
石墨烯中的载流子相当于静止质量为零的相对论粒子，并且具有等效光速c*≈106ms-1。
我们的研究揭示了二维狄拉克费米子特有的现象。
特别地，我们还观察到了如下现象：第一，石墨烯的电导率从没有低于一个最小值，即使载流子的浓度趋近于零，这个最小值相当于电导率的量子单元；第二，石墨烯中的整数量子霍尔效应发生反常，其填充因子是半整数；第三，石墨烯中无质量的载流子的回旋质量m c由方程E=m c c*2描述。
此二维系统不仅其本身相当有趣，它还使我们从实验平台上进入微妙丰富的量子电动力学的物理世界。
石墨烯是碳原子以密排蜂窝状晶体结构排列的单层，它可以看作是从石墨中抽取的一个单独的原子平面，或者是展平的单壁碳纳米管，也可以是一个巨大平坦的富勒烯分子。
这种材料曾被认为不会以自由状态存在，直到最近才从实验上进行研究。
我们采用文献6中描述的原创过程得到了石墨烯样品，涉及到对石墨的微机械分裂，接着结合使用光学显微镜、扫描电子显微镜和原子力显微镜鉴定和选择单层石墨烯。
将选择的石墨烯薄膜进一步加工成多端器件，如图1中所示，接着进行标准微细加工。
尽管只有一个原子厚度，也没有与环境隔离，我们的石墨烯器件在环境条件下很稳定，并且载流子显示出高迁移率。
下面我们集中讨论理想(单层)石墨烯的物理性质，与超薄的石墨薄膜(它是半金属，最近其性质也得到了研究)甚至由两层石墨烯组成的器件相比，它具有不同的电子结构，从本质上显示出不同的性质。
图1显示了石墨烯的电场效应。
基于石墨烯超表面的效率可调太赫兹聚焦透镜
DOI: 10.12086/oee.2021.200319基于石墨烯超表面的效率可调太赫兹聚焦透镜王俊瑶，樊俊鹏，舒 好，刘 畅，程用志*武汉科技大学信息科学与工程学院，湖北 武汉 430081摘要：本文提出了一种基于石墨烯超表面的效率可调太赫兹聚焦透镜。
该超表面单元结构由两层对称的圆形镂空石墨烯和中间介质层组成，其中镂空圆形中间由长方形石墨烯片连接。
该结构可实现偏振转换，入射到超表面的圆偏振波将以其正交的形式出射，如左旋圆到右旋圆偏振转换。
利用几何相位原理，通过旋转长方形条的方向，透射波会携带额外的附加相位并能满足2π范围内覆盖。
合适地排列石墨烯超表面的单元结构，以实现太赫兹聚焦透镜。
仿真结果表明：通过改变石墨烯的费米能级，可以对超表面圆偏振转换幅度进行调节，进而超透镜的聚焦效率也可以动态调节。
因此，这种基于石墨烯超表面的效率可调聚焦透镜不用改变单元结构的尺寸，只需通过改变费米能级便可实现，可以广泛地应用到能量收集、成像等太赫兹应用领域。
关键词：超表面；聚焦透镜；石墨烯；太赫兹中图分类号：TH74；TQ127.11 文献标志码：A王俊瑶，樊俊鹏，舒好，等. 基于石墨烯超表面的效率可调太赫兹聚焦透镜[J]. 光电工程，2021，48(4): 200319Wang J Y , Fan J P , Shu H, et al. Efficiency-tunable terahertz focusing lens based on graphene metasurface[J]. Opto-Electron Eng , 2021, 48(4): 200319Efficiency-tunable terahertz focusing lens based on graphene metasurfaceWang Junyao, Fan Junpeng, Shu Hao, Liu Chang, Cheng Yongzhi *School of Information Science and Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan, Hubei 430081, China Abstract: This paper proposes an efficiency-tunable terahertz focusing lens based on the graphene metasurface. The unit cell is composed of two symmetrical circular graphene hollows and an intermediate dielectric layer, wherein the hollow circular middle is connected by a rectangular graphene sheet. This structure can realize polarization conversion, for example, when an incidence with left-hand circular polarization emitted on the metasurface the po-larization of the transmitted light is right-hand circular polarization. According to the principle of geometric phase, by rotating the direction of the rectangular bar, the transmitted wave will carry an additional phase and can cover the range of 2π. An THz focusing lens can be realized by properly arranging the unit structure of the graphene metasurface. The simulation results show that the conversion amplitude of circular polarized light can be adjusted by changing the Fermi level of graphene, and the focusing efficiency of the metalens can also be dynamically adjusted.LCPRCP(cross-polarization)xy zV g——————————————————收稿日期：2020-08-27； 收到修改稿日期：2020-10-26基金项目：湖北省教育厅科技研究计划重点项目(D2*******)；武汉科技大学研究生创新基金项目(JCX201959)；大学生创新基金项目资助课题(20ZA083)作者简介：王俊瑶(2000-)，女，主要从事电子科学与技术专业。
石墨烯电子的能带和狄拉克方程(二)
（1）石墨烯电子狄拉克方程之数理演绎 （2015年5月1日）作者： 北京东之星应用物理研究所伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）1. 量子场论中狄拉克方程的引出非相对论量子力学中，速度c v <<的自由粒子运动状态ψ由薛定谔方程描述（自然单位1==c ）：从能量-动量色散关系mp E 22=，对应算符变换：tiE ∂∂>- ∇->-i p容易导出自由粒子薛定谔波动方程：ψ∇-=ψ∂∂mt 2i 2 当c v ~，粒子服从相对论量子力学能量-动量色散关系222m p E+= , 由上述算符对应关系可建立场ψ 的克莱因-戈登（Klein-Gordon ）相对论波动方程,又称KG 方程：ψ=ψ∂∂-∇2222)t(m （2）或 0)(22=ψ-m 口其中， 2222t ∂∂-∇=口狄拉克凭借理论直觉，对（2）两端做形式开方，以维持算符线性化（对t 二次微商会导致负几率困难）得到：ψ+∇⋅-=ψ∂∂)(i m i t βα , m i H βα+∇⋅-=（3） 这就是三维自由粒子的狄拉克方程（Dirac equation ）。
态函数ψ是函数空间和4维自旋空间的直积空间中的矢量，比例参量α，β的形式和性质如是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00jj j σσα )3,2,1(=j , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=I I 00β ，其中I 为2X2单位矩阵， 三个泡利矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01101σ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=002i i σ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10013σ（4） 易证：122i==βα,i αα=+i ,ββ=+0},{=+≡i j j i j i αααααα j i ≠ 0},{=βαi引入：⎩⎨⎧=-==βγβαγ4jj i)3,2,1(=j 可将狄拉克方程（3）写成四维形式：)(=ψ+∂m μμγ4,3,2,1=μ（5）这里),(),,,(432,1it x x x x x x==μ，μμx ∂∂≡∂证明(3),(5)的一致性如下： 方程(3)乘(β-) ; (β-)0)i(=ψ-∇⋅+∂∂m i t βα方程左端有m x x m x i it jj j j +∂∂+∂∂=+∂∂-∂∂γγβαβ44))(( 于是由（3）导出（5）。
石墨烯电子能带结构的计算
石墨烯电子能带结构的计算摘要：本文简要阐述了石墨烯的结构和主要特性，采用碳原子的SP2 杂化理论和能带理论，运用紧束缚近似方法计算了石墨的能带结构。
关键词：石墨烯，结构和性质，紧束缚近似，能带结构一、引言石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新材料。
是一种由碳原子以SP2杂化轨道组成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一个碳原子厚度的二维材料。
石墨烯目前是世上最薄，最坚硬，电阻率最小的材料。
而且电子迁移的速度极快，因此被期待可用来发展出更薄、导电速度更快的新一代电子元件或晶体管。
由于石墨烯实质上是一种透明、良好的导体，也适合用来制造透明触控屏幕、光板、甚至是太阳能电池。
二、石墨烯结构石墨烯是由碳六元环组成的两维(2D)周期蜂窝状点阵结构, 它可以翘曲成零维(0D)的富勒烯(fullerene),卷成一维(1D)的碳纳米管(carbon nano-tube, CNT)或者堆垛成三维(3D)的石墨(graphite), 因此石墨烯是构成其他石墨材料的基本单元。
石墨烯的基本结构单元为有机材料中最稳定的苯六元环, 是目前最理想的二维纳米材料。
理想的石墨烯结构是平面六边形点阵，可以看作是一层被剥离的石墨分子，每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键，π电子可以自由移动，赋予石墨烯良好的导电性。
二维石墨烯结构可以看是形成所有sp2杂化碳质材料的基本组成单元。
三、石墨烯特性1、电子运输石墨烯表现出了异常的整数量子霍尔行为。
其霍尔电导为量子电导的奇数倍，且可以在室温下观测到。
这个行为已被科学家解释为“电子在石墨烯里遵守相对论量子力学，没有静质量”。
2、导电性石墨烯结构非常稳定。
石墨烯中各碳原子之间的连接非常柔韧，当施加外部机械力时，碳原子面就弯曲变形，从而使碳原子不必重新排列来适应外力，也就保持了结构稳定。
这种稳定的晶格结构使碳原子具有优秀的导电性。
石墨烯中的电子在轨道中移动时，不会因晶格缺陷或引入外来原子而发生散射。
石墨烯的能带结构及其与电子输运的关系
石墨烯的能带结构及其与电子输运的关系石墨烯是一种独特的材料，由单层的碳原子组成的二维晶体结构。
在近年来，石墨烯因为其独特的电学和光学性质受到了广泛的研究。
尤其是在电子输运领域，石墨烯在提高电子速度、操作速度和功耗等方面有着广泛的应用前景。
本文将就石墨烯的能带结构及其与电子输运的关系进行深入分析。
一、石墨烯的能带结构石墨烯的能带结构是其独特电学性质的重要基础。
石墨烯的能带结构由两个部分组成：价带和导带。
价带是一个由半满的电子能级组成的能带，而导带是一个由空的电子能级组成的能带。
当石墨烯中的电子受到激发后，它们会跳到导带中，从而形成电流。
不同于其他材料的能带结构，石墨烯的价带和导带都是相交的。
这种相交的能带结构使得石墨烯的电子表现出一些非常特殊的性质。
其中最重要的是，电子表现出一种类似于相对论的行为，称为狄拉克费米子（Dirac Fermion）。
二、石墨烯的电子输运石墨烯的独特能带结构对电子的输运有着深刻的影响。
一般来说，石墨烯中的电子输运分为两种模式：扩散和隧穿。
扩散是指电子在石墨烯中通过晶格振动进行的传递。
在扩散模式下，石墨烯中的电子表现出一种类似于半球的传输模式。
这种传输模式使得石墨烯中的电子具有非常高的迁移速度和导电能力。
隧穿是指电子通过两个不连通的导体之间的空间逸出。
在隧穿模式下，电子可以穿过电势垒并传输到另一个导体中。
由于石墨烯中的电子跨越空间的能力非常强，因此石墨烯在隧穿方面的应用潜力非常大。
三、结论总体来说，石墨烯的独特能带结构使得它具有非常特殊的电学性质。
石墨烯中的电子不仅具有非常高的迁移速度和导电能力，而且还具有非常强的隧穿能力。
因此，在未来的电子设备中，石墨烯将有着广泛的应用前景。
同时，石墨烯的发现也为我们提供了一种全新的材料研究思路，或许它将带领我们打开更为广阔的材料世界。
石墨烯电子的能带和狄拉克方程
石墨烯电子能带之数理演绎 （2015年2月20日）（为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考）作者： 北京东之星应用物理研究所伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢晶格原胞与基矢图⋅1 布里渊区与倒格子基矢图⋅2图1中)0,3,3(2)0,3,3(221a a a a -===这里a =1.42A 是。
由正格子基矢（122(3)0,3,1(32)0,3,1(3221a a b a b -==ππ由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点K ，'K 的坐标是：下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac 点或K ('K )点2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量∑∑><++++-+=j i j i ii i i i pz c h b a t b b a a H ,2).()(ε上式还可表为矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑><++><++++j j j i ij pz ijpz i i j j j i i i i i i iipz b a t t b a b a t t b a b a b a ,22,2)(00)()(δεδεε模型不考虑电子自旋，<i,j >表示只对最近邻格点的电子跃迁求和，pz 2ε是单电子2pz 轨道能量石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A ，B 构成，任意选定一个格点位矢是i R的A原子为参考原子，环绕它的是三个最近邻B 类原子1j R ,2j R 和3j R，如图3.+i a （j b ）是位于i R （j R ）的电子的产生（消灭）算符，（4）中的对算符+i a j b 表示的物理过程描述被j b 在j R 处消灭一个电子后又在i R 由+i a 产生一32,3.j j ji i R R R R和的三个最近邻参考原子图个电子，此过程等同于电子由j R 跃迁到最近邻i R，跃迁能t =2.8eV 。
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石墨烯电子结构之态密度 （2019年9月28日）
北京东之星应用物理研究所 (Estarlabs, Beijing ）
伍 勇
引言
有关石墨烯电子结构的前两篇文档在百度网发表以后，电子结构没有态密度(The density of states (DOS))的内容我总感觉有些缺失，现在我已完成两篇拓扑半金属的文档，在空余间隙里，把石墨烯电子态密度的图补上。
根据文献[1], 石墨烯电子态密度原始公式如下
))k (E E ()
(k d )E (N -=⎰δπ2222 积分位于蜂房晶格的布里渊区，因子2考虑了自旋简并。
对于小能量0→E ，积分贡献仅来自K 和 'K 点附近，并且)q (E E =线性依赖于一阶近似波矢的大小。
于是 dq /dE )E (q ))q (E E ()(dq q )E (N πδπ22220
=-⋅⨯=⎰∞ 对于电子和空穴 :
vq E h ,e ±=，，得到态密度随能量的线性变化关系 2v E )E (N π= (K 和 'K 点附近,0→E ) (1) 而一般自由电子能谱m
q E 22
2 =的D 2固态系统能态密度是常数: dE m E dE m mE )qdq dz 22222 ππππ==⋅⨯=(21
22 ， 2
πm dE dz )E (N == (2) 在写本文档前两篇内容时，见到文献[2]包含四段区间的椭圆积分态密度的完全表达式，那时，我还不知道，怎么在整个布里渊区画出这个复杂的态密度图形。
感谢文献[3],帮助我完成了这个作业，文献[3]给出一种更紧凑的石墨烯DOS 形式。
))()((K Re )()()
t /()(D εεε
εεπεε-+-+=3116314332 30<<ε
函数)x (K 是第一类椭圆积分。
下面是在软件Mathematica 我输入的指令。
Plot[(4Abs[x]/(3.88*\[Pi]))/Sqrt[(Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x])]*Re[EllipticK[Sqrt[(16Abs[x])/((Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x]))]]],{x,-3.1,3.1},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.005]},PlotRange->{{2.7,-2.7},{0,1.25}},Frame->True,FrameTicks->{{{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2},None},{{-3,-2,-1,0,1,2,3},None}},FrameStyle->{{Directive[Thick,12],Directive[Thick,12]},Directive[Thick,12]}]
可以对照文献[1]提供的DOS 图：
在石墨烯电子能带M 处存在鞍点，也是态密度的范霍夫奇点：M E E
ln )E (N --∝δ
对应图中在1±=ε点对数发散是态密度的范霍夫奇异性。
参考文献：
[1] M. Katsnelson, GRAPHENE Carbon in Two Dimensions,2012 0.40.2
ε
)
(D ε
[2]A. H. Castro Neto , F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov and A. K. Geim The electronic properties of graphene
[3]V.O. Ananyev, M.I. Ovchynnikov,On the density of states of graphene in the nearest-neighbor approximation (Received June 8, 2017)
致谢百度网，道客巴巴的文献支持。