解析几何F答案

解析几何F答案
《解析几何》试题（F ）答案
一、填空题：（每空2分，共30分） 1、
{}
36,45,48--； 2、
)3
,3,3(
3
21321321z z z y y y x x x ++++++；
3、4
π或43π
，{}2,1,1-或{}2,1,1--； 4、15-； 5、)1,1,2(-；
6、01844-=-=-z y x 或0
1
241-=
-=-z y x ； 7、3； 8、14
1arcsin
，)0,2,2(--； 9、
2； 10、双叶双曲面；
11、锥面； 12、椭圆抛物面； 13、旋转椭球面。

二、（本题16分）
解：（1）矢量设A 在矢量B 方向上的射影为
B
B
A A prj
B ⋅=
，…………………………………………
…………………………2 由于b a A 32+=，b a B -=，所以，
2
2
223),(cos 232))(32(b
b a b a a b ab a b a b a B A -∠+=-+=-+=⋅， (2)
而
)
,(cos 22))((2
2
222
b a b a b a ab b a b a b a B ∠-+=-+=--=， (2)
又由于1=a ，2=b ，3),(π=∠b a ， 所
以
9
-=⋅B A ，
3
2
=B ，……………………………………………
………………..2 解
得
3
3-=A prj B 。

…………………………………………
………………………….2 （
2
）
因
为
=⨯B A ),(sin 55)()32(b a b a a b b a b a ∠=⨯=-⨯+ (3)
=353
sin 10=π。

所以以A 和B 为邻边的平行四边形的面积为
3
5。

(3)
三、（本题8分）
解：由于四面体的四个顶点为)0,0,0(A ，)6,0,6(B ，
)0,3,4(C 及)3,1,2(-D ，则以点)0,0,0(A 为始点，分别以点)
6,0,6(B ，)0,3,4(C 及)3,1,2(-D 为终点的矢量是 (1)
{}
6,0,6=……………………………………………
(1)
{}
0,3,4=AC ……………………………………………
(1)
{}
3,1,2-=……………………………………………
(1)
则以点)0,0,0(A ，)6,0,6(B ，)0,3,4(C 及)3,1,2(-D 为顶点的四面体的体积是
),,(6
1
V =
，…..…………………………………
……………………2 即
1
3
120346066
1
=-=V 。

……………………………………
……………………………..2 四、（本题12分）
解：求直线⎩
⎨
⎧=++-=-++0
220
2z y x z y x 与曲面2
2
2z x y -=的交点，可解两方程联立组成的方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==++-=-++22202202z x y z y x z y x 的根，
即)2,1,3(-与)4,4,6(-， (4)
而与直线⎩
⎨
⎧=++-=-++0
220
2z y x z y x 垂直的平面的法矢量是该直线的方向矢量
⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧---=1111,2111,2111n ，……………………………
(4)
由于平面通过点)2,1,3(-与)4,4,6(-，根据平面的点法式方程，可写出
所求平面方程为
3023=+--z y x 与
1223=---z y x 。

(4)
五、（本题12分）
解：方法一：通过直线l 作平面1
π与平面π垂
直，则平面1
π与平面π的交线即为投影直线方
程。

(3)
由于平面1
π通过直线l ，故可设平面1
π的方程
为
)52(443=-+++-+z y z y x λ，或写成
54)1()24(3=-+-+++λλλz y x ，…………………………
(3)
因平面1
π与平面π垂直，故它们的法矢量的数量
积为零，即
)1(0)24()1(23=-⨯++⨯-+⨯λλ，…………………………
(2)
由此解得
1
=λ，所以平面1
π的方程为0
163=-+y x ，………………………………..2 所求
投
影
直
线
的
方
程
为
⎩⎨
⎧=-=-+0
20163y x y x 。

………………………………………
(2)
方法二：因为平面1
π通过直线l 且与平面π垂
直，故它的法矢量1
n 与直线l 的方向矢量s 及平面π
的法矢量n
都垂直，故可取
1
n =
n
s ⨯。

而 (2)
s
=
k j i k j
i
6361
2
0143+-=-，………………………………
………………..2 所
以
j
i k
j
i n s n 1260
12
6361+=--=⨯=，……………………………
(2)
又因平面1
π通过直线l ，故直线l 上任一点都在平
面
1
π上，不妨设
=y ，得直线
l
上的点
)5,0,3
1(。

……………………………………………
(2)
由平面的点法式方程知，平面1
π的方程为
)0(12)3
1
(6=-+-y x 即
163=-+y x ，…………………………………..2 从而得，所求投影直线的方程为
⎩⎨
⎧=-=-+0
20163y x y x 。

(2)
六、（本题10分）
解：抛物面2
2y x =与平面1=+z x 的交线方程为
⎩⎨
⎧=+=1
22z x y x ，……………………………………………
(2)
从中分别消去未知数z 、y 、x ，可得三个坐标面上的射影柱面方程
2
2y x =，……………………………………………
(2)
1
=+z x ，……………………………………………
(1)
1
22=+z y ，…………………………………………
(1)
从而可得三个坐标面上的射影曲线方程为 在
xoy
坐标面上的射影曲线方程为
⎩⎨
⎧==0
22z y x ， (2)
在
xoz
坐标面上的射影曲线方程为
⎩⎨
⎧==+0
1y z x ， (1)
在yoz
坐标面上的射影曲线方程为
⎩⎨
⎧==+0
122x z y 。

(1)
七、（本题12分） 解：设点),,(1
1
1
1
z y x M 在准线
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2
2212222
22z y x z y x 上，则有
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2
2212121212
12121z y x z y x ，……………………………………
(2)
由于母线的方向数是1,0,1-，所以过点),,(1
1
1
1
z y x M 的
母线方程为
t z z y y x x ∆
=-=-=--1
01111，…………………………………
(3)
⎪⎩⎪
⎨⎧-==+=⇒t z z y y t x x 1
11，…………………………………………
……………………………..2 所
以，
⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2
)(2)(21)()(2222
22t z y t x t z y t x ，………………………………
………………….2 z
t =⇒，代入
1
)()(222=-+++t z y t x ，…………………………………
(2)
从而得柱面方程为1
)(22
=++y z x ，
即
12222=-+++xz z y x 。

…………………………………
(1)
课程名称：解析几何 课程所属院系：数统学院 课程所属教研室：应用数学 分 章节 值
一
二
三
四
五
六
综合
题型概念
填
空10 2
10
8
计
算24 10 24 12 证
明
教研室主任签字：
副主任（院长）签字：
主任（院长）签字：。